2019年初中数学-八年级妙用三角形外角定理解题

妙用三角形外角定理解题

“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”.这就是由三角形内角和定理推出的外角定理，该定理中集中体现了外角和内角间的两种关系：等量关系和不等量关系.常应用于在已知两角度数时求第三角的度数或证明两个角之间的不等关系.下举几例说明外角定理在解题过程中的妙用.

一 利用外角定理求角的度数

例1如图,ABC ∆中,,50,60︒=∠︒=∠B A 点D 在的延长线上,则ACD ∠=__________度.

分析：从图中可以看出，ACD ∠是ABC ∆的外角，所以可以直接利用三角形的外角定理得出的度数。 解：因为ACD ∠是ABC ∆的外角，所以ACD ∠=A+∠B=50°+60°=110°.

例2如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则∠

BDC=________.

分析：右图是一个四边形，直接求∠BDC 的度数有一定的困难，所以可以考虑通过添加辅助线变成三角形的问题来解决，所以我们可以通过延长BD 与AC 交于点E ，利用外角定理来求解。

解：延长BD 交AC 交于点E ，因为∠BDC 是△DEC 的外角，所以∠BDC=∠C+∠DEC ，又因为∠DEC 是△ABE 的外角，所以∠DEC=∠A+∠B,所以∠BDC=∠C+∠DEC=∠C+∠A+∠B=50°+40°+30°=120°

.

点拔：求角的度数时，若不能直接求得时，可以考虑添加辅助线来把它变成三角形中的有关问题，通过外角定理加以解决。

二 利用外角来求不规则图形的角度和

例3 如图，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数

.

分析：这是一个不规则的图形，所以不能直接求出其度数和，三角形的外角定理来解决。

解：由图知∠A+∠F=∠OQA ，∠B+∠C=∠QPC ，∠D+∠E=∠EOP ．

而∠OQA 、•∠QPC 、∠EOP 是△OPQ 的三个外角．

所以∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠OQA+∠QPC+∠EOP=360°．

点拔：在求一个不规则图形的度数和时，利用外角进行巧妙的转化成内角和或是已知度数是成功的关键。

三 利用外角来说明角之间的不等关系

例4 .如图，在△ABC 中，E 是AC 延长线上的一点，D 是BC 上的一点， 试说明：∠BDE ＞∠A 。

A

B C D

分析：因为∠BDE和∠A并不在一个三角形上，所以没有办法直接证明，因此需要一个中间量来过渡一下，从图中不难发现，∠DCE正好是桥梁。

解：因为∠BDE是△DCE的外角，所以∠BDE>∠DCE,又因为∠DCE是△ABC的外角，所以∠DCE>∠A,所以∠BDE＞∠A。

例5已知E是△ABC中∠C的外角的平分线与BA的延长线的交点，

求证：∠BAC＞∠B

分析：由于∠BAC、∠B均在⊿ABC的内部，所以直接证明是有很大的困难的，而三角形中外角大于两个与它不相邻的内角，所以可以通过转化成外角来处理。首先看大角是哪个三角形的外角，小角是哪个三角形的内角，有时，还需要中间量来过渡证明。本题中大角∠BAC是的外角，∠BAC＞∠1，而∠1=∠2，所以只需要证明∠2＞∠B。而∠2为⊿ABE的外角，所以∠2＞∠B，故∠BAC＞∠B。

证明：因为∠BAC是△ACE的外角，所以

∠BAC＞∠1；因为CE是角平分线，所以∠1=∠2；又因为∠2是△BCE的外角，所以∠2＞∠B，所以∠BAC ＞∠B。

点拔：证明角的不等关系，往往不能直接证明，所以借助外角就成了解决问题的法宝.

四三角形外角定理在生活中的应用

例6如图，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是向球门AB冲近，说明这是为什么？

分析：这是一个体现数学价值的好题，球员在球门附近射门，不仅是力量大，更主要的是，射门的张角变大了，在数学上可以用外角知识来解决。

解：如图，设球员接球时位于点C，他尽力向球门冲近到D，

此时不仅距离球门近，射门更有力，而且对球门AB的张角也扩大，球就更容易射中．

理由说明如下：

延长CD到E，则∠ADE>∠ACE，∠BDE>∠BCE，

所以∠ADE+∠BDE>∠ACE+∠BCE，即∠ADB>∠ACB．

点拨：解此题关键是将生活中的问题抽象为数学问题．

精典练习：

1 如图1，∠1、∠2、∠3的大小关系为_____________。

2 如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____________.

3如图3，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ) A.63° B.83° C.73° D.53

附练习答案：

1 （∠1>∠2>∠3），

2 (360°)

3 （A）