人教版八年级数学上册《三角形的外角》拔高练习
人教版八年级上册数学三角形的外角同步练习(含答案)
人教版八年级上册数学11.2.2三角形的外角同步练习一、单选题1．如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，则BDC ∠的度数是（ ）A ．80︒B ．90︒C ．100︒D ．110︒ 2．如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（ ）A ．105°B ．120°C ．75°D ．45° 3．如图，,380,1220∠=︒∠-∠︒=∥a b ，则1∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．80︒ 4．如图，直线//a b ，点A 在直线a 上，点C 、D 在直线b 上，且AB ∠BC ，BD 平分∠ABC ，若∠1＝32°，则∠2的度数是（ ）A ．13°B ．15°C ．14°D ．16° 5．如图，AB CD ∥，∠A =45°，∠C =∠E ，则∠C 的度数为（ ）A ．45°B ．22.5°C ．67.5°D ．30° 6．如图，∠B ＝30°，∠CAD ＝65°，且AD 平分∠CAE ，则∠ACD 等于（ ）A ．95°B ．65°C ．50°D ．80° 7．已知，如图，AB CD ∥，95A ∠=︒，65C =︒∠，1:23:4∠∠=，则B 的度数为（ ）A ．56°B ．45°C ．36°D ．24° 8．如图，点D 在BC 的延长线上，DE ∠AB 于点E ，交AC 于F ，若∠A =35°，15D ∠=︒，则∠ACB 的度数为（ ）A ．85°B ．75°C ．70°D ．65°二、填空题 9．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、B C 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=___________．10．如图，AB ∥CD ，MF 与AB 、CD 分别交于点E 、F ，∠CFE 的平分线FG 交AB 于点G ，若∠MEG =140︒，则∠EGF 的度数为_______．11．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，D 为BC 边上的一点，点E 在AC 边上，ADE AED ∠=∠，若30BAD ∠=︒，则CDE ∠的度数为__________．12．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若147∠=︒，则2∠=______．13．如图，点D 在线段AB 的延长线上，∠BAC ＝26°，∠CBD ＝115°，则∠C 的度数是______．14．如图，PAC △∠PBD △，若40A ∠=︒，20BPD ∠=︒，则PCD ∠的度数为______．15．∠ABC的内角关系如图所示，则∠1=_______．16．如图，∠1 和∠2 是∠ABC的两个外角，若∠A=40°，∠1=100°，则∠2=_____．三、解答题17．（1）如图1，P是∠ABC中BC边延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝_____；（2）如图2，已知∠ABE＝142°，∠C＝72°，则∠A＝______，∠ABC＝_______；（3）如图3，已知∠3＝120°，则∠1－∠2＝_______．18．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ACD＝30°，CD平分∠ACB．求:(1)∠BDC的度数．(2)∠B的度数．19．如图，在∠ABC中，∠1=∠2=36°，∠3=∠4，求∠DAC的度数．20．某校八年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．(1)如图1，在∠ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，若∠A＝66°，则∠BPC ＝°；(2)如图2，∠ABC的内角∠ACB的平分线与∠ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，则∠BEC＝（用α表示∠BEC）；(3)如图3，BQ平分外角∠CBM，CQ平分外角∠BCN．试确定∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．参考答案：1．A2．A3．C4．A5．B6．D7．B8．C9．280︒10．70︒11．15°12．43°13．89︒14．60︒15．150︒16．120︒17．（1）120°，（2）70°，38°，（3）60°18．(1)∠BDC=100°(2)∠B=50°19．36°20．(1)122(2)2α(3)∠BQC＝90°12A-∠，答案第1页，共1页。
人教版八年级数学上《三角形的外角》拔高练习
《三角形的外角》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．803．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°4．（5分）如图，∠1的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．（5分）如图所示的图形中x的值是（）A．60B．40C．70D．80二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于．7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为．8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝．9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝°．10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．12．（10分）CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求∠B的度数．13．（10分）如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知）∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（）∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（）∴∠A＝2∠2﹣2∠1（）＝2（∠2﹣∠1）（）＝2∠E（等量代换）（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．14．（10分）已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C 在直线AB的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．请将下列推理过程补充完整：证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（），∴∠CDQ＝∠β（）．∴∠β＝（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．15．（10分）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：《三角形的外角》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°【分析】根据图形求出∠1，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣45°＝45°，则∠α＝60°+45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．80【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【解答】解：∵与∠ABC相邻的外角＝∠A+∠C，∴x+65＝x﹣5+x，解得x＝70．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．3．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】首先证明∠ADC＝∠A+∠C+∠ABC，求出∠ABC即可解决问题．【解答】解：∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠EDC﹣∠DBC+∠C，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠A+∠C+∠ABC，∴120°＝40°+20°+∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，故选：B．【点评】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（5分）如图，∠1的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠1＝80°+40°＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．（5分）如图所示的图形中x的值是（）A．60B．40C．70D．80【分析】根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题；【解答】解：由三角形的外角的性质可知：x+70＝x+10+x，解得x＝60．故选：A．【点评】本题考查三角形的外角的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于105°．【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：由题意：∠C的外角＝∠A+∠B＝60°+45°＝105°，故答案为105°．【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为5：4：3．【分析】先根据三个内角度数的比设未知数，根据三角形的内角和列一元一次方程求出x 的值，再求其对应的三个外角的度数并求比值即可．【解答】解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x＝180，6x＝180，x＝30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°＝5：4：3，故答案为：5：4：3．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，比较简单，明确三角形的内角和为180°，并熟知三角形的一个内角与其相邻的外角和为180°．8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝50°．【分析】先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC＝∠EBC，∠BCD ＝∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝180°+∠A ＝260°，故∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝130°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】证明：BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线∴∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A＝260°，∴∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝130°在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝116°．【分析】BD交AC于H，根据三角形内角和定理，即可得到∠AHB的度数，再三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：如图，延长BD交AC于H，则∠AHB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣96°＝84°，又∵∠C＝20°，∴∠CDH＝84°﹣20°＝64°，∴∠BDC＝180°﹣∠CDH＝116°，故答案为：116．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理以及外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为120°．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及CE是外角的平分线列式求出∠B的度数，再根据BD为内角平分线求出∠ABD的度数，然后利用三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数．【解答】解：根据三角形的外角性质，∠DBC+∠BDC＝2（∠ABC+∠E），∵BD为内角平分线，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ABC+130°＝2（∠ABC+50°），解得∠ABC＝20°，∴∠ABD＝×20°＝10°，在△ABD中，∠BDC＝∠ABD+∠BAC，即130°＝10°+∠BAC，解得∠BAC＝120°．故答案是：120°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，角平分线的定义，根据外角平分线求出∠ABC的度数是解题的关键，也是解答本题的突破口，有一定的技巧．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∵DF∥BE．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．12．（10分）CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求∠B的度数．【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠ECD＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD，∴∠ACE＝∠ACE+∠ECD＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝180°﹣60°﹣80°＝40°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．13．（10分）如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知）∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质）∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质）∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代换）＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数）＝2∠E（等量代换）（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E，由于∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，所以∠E＝∠ABE，从而可证AB∥CE．【解答】解：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知），∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质），∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质），∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知），∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质），∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代换），＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数），＝2∠E（等量代换）；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，∴2∠E＝2∠ABE，即∠E＝∠ABE，∴AB∥CE．【点评】本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性质，需要学生灵活运用所学知识．14．（10分）已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C 在直线AB的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．请将下列推理过程补充完整：证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（已知），∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题；（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．．【解答】解：（1）证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（已知），∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）；故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，∠α+∠C，（2）证明：∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CFN＝∠β+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∵PQ∥MN（已知），∴∠CFN＝∠α（两直线平行，同位角相等）∴∠α＝∠β+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠α＝∠β+45°（等量代换）．【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．（10分）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝100°．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠ACD＝∠A+∠B＝65°，依据AC平分∠DCE，可得∠ACE＝∠ACD＝65°，进而得出∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°；（2）依据AC平分∠DCE，可得∠ACD＝∠ACE，依据三角形外角性质可得∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，根据∠ACD＝∠A+∠B，即可得到∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【解答】解：（1）∵∠A＝35°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°，又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝∠ACD＝65°，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°，故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC＝2∠A+∠B．理由：∵AC平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。
人教版 八年级上册数学 第十一章《三角形》拔高题练习
第十一章《三角形》拔高题练习一．选择题1．在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，若∠BOC＝132°，则∠A的度数为（）A．42°B．48°C．84°D．100°2．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．八边形的内角和为（）A．180°B．360°C．1080°D．1440°4．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形5．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．下列各图中，正确画出△ABC中AC边上的高的是（）A．①B．②C．③D．④7．下列图形中不具有稳定性的是（）A．锐角三角形B．长方形C．直角三角形D．等腰三角形8．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝（）度．A．450 B．540 C．630 D．7209．在△ABC中，2（∠A+∠B）＝3∠C，则∠C的补角等于（）A．36°B．72°C．108°D．144°10．现有2cm，5cm长的两根木棒，再从下列长度的四根木棒中选取一根，可以围成一个三角形的是（）A．2cm B．3cm C．5cm D．7cm11．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（）A．6 B．3 C．2 D．不确定12．如图，图中直角三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个13．如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC的外角∠ACD，则∠E＝（）A．40°B．36°C．20°D．18°14．已知三角形的三边长分别为2，a﹣1，4，则化简|a﹣3|+|a﹣7|的结果为（）A．2a﹣10 B．10﹣2a C．4 D．﹣415．如图，∠A＝120°，且∠1＝∠2＝∠3和∠4＝∠5＝∠6，则∠BDC＝（）A．120°B．60°C．140°D．无法确定二．填空题16．正八边形一个内角的度数为．17．如果一个多边形的内角和等于它外角和的3倍，则这个多边形的边数是．18．甲地离学校4km，乙地离学校1km，记甲乙两地之间的距离为dkm，则d的取值范围为．19．用含30°角的两块同样大小的直角三角板拼图，拼出的不同四边形中能够满足对边互相平行的有种．20．如图，D为△ABC一点，AB＝AC，BC＝CD，∠ABD＝15°，则∠A＝°．＝4cm2，21．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC 则阴影部分的面积为cm2．三．解答题22．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB的度数．23．已知：∠MON＝40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D．设∠OAC＝x°．（1）如图1，若AB∥ON，则①∠ABO的度数是；②当∠BAD＝∠ABD时，x＝；当∠BAD＝∠BDA时，x＝．（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．24．如图，在△BCD中，BC＝4，BD＝5，（1）求CD的取值范围；（2）若AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C的度数．25．如图，在△ABC中，∠ABC＝65°，∠C＝35°，AD是△ABC的角平分线．（1）求∠ADC的度数．（2）过点B作BE⊥AD于点E，BE延长线交AC于点F．求∠AFE的度数．26．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线．（1）若∠A＝40°，∠B＝76°，求∠DCE的度数；（2）若∠A＝α，∠B＝β，求∠DCE的度数（用含α，β的式子表示）；（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A＝α，∠B＝β，求∠HGE与α、β的数量关系．27．已知△ABC中，BE平分∠ABC，点P在射线BE上．（1）如图1，若∠ABC＝40°，CP∥AB，求∠BPC的度数；（2）如图2，若∠BAC＝100°，∠PBC＝∠PCA，求∠BPC的度数；（3）若∠ABC＝40°，∠ACB＝30°，直线CP与△ABC的一条边垂直，求∠BPC的度数．参考答案一．选择题1．解：如图：∵∠BOC＝132°，∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣132°＝48°，∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝96°，∴∠A＝180°﹣96°＝84°，故选：C．2．解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得n＝7．故选：C．3．解：（8﹣2）•180°＝6×180°＝1080°．故选：C．4．解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形．故选：A．5．解：延长DC，与AB交于点E．∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝50°，∴∠ACD＝∠A+∠AEC＝50°+∠AEC．∵∠AEC是△BDE的外角，∴∠AEC＝∠ABD+∠D＝∠ABD+10°，∴∠ACD＝50°+∠AEC＝50°+∠ABD+10°，整理得∠ACD﹣∠ABD＝60°．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，∴∠P+∠ACD＝∠A+∠ABD，即∠P＝50°﹣（∠ACD﹣∠ABD）＝20°．故选：B．6．解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为E，纵观各图形，①②③都不符合高线的定义，④符合高线的定义．故选：D．7．解：长方形属于四边形，不具有稳定性，而三角形具有稳定性，故B符合题意；故选：B．8．解：如图∵∠3+∠4＝∠8+∠9，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7，＝∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7，＝五边形的内角和＝540°，故选：B．9．解：∵2（∠A+∠B）＝3∠C，∠A+∠B＝180°﹣∠C，∴2（180°﹣∠C）＝3∠C，∴∠C＝72°，∴∠C的补角等于108°，故选：C．10．解：设第三根木棒长为xcm，由题意得：5﹣2＜x＜5+2，3＜x＜7，∴5cm符合题意，故选：C．11．解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC，∴△ABD和△ADC的周长的差，＝（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD），＝AB﹣AC，＝5﹣3，＝2，故选：C．12．解：如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个，故选：C．13．解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∵∠ABC＝40°，∠ACD＝76°，∴∠ACD﹣∠ABC＝36°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACD，∠EBC＝∠ABC，∵∠ECD是△BCE的一个外角，∴∠ECD＝∠EBC+∠E，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝18°．故选：D．14．解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a﹣1＜4+2，即3＜a＜7．∴|a﹣3|+|a﹣7|＝a﹣3+7﹣a＝4．故选：C．15．解：在△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣120°＝60°，又∵∠1＝∠2＝∠3，∠4＝∠5＝∠6，∴∠DBC+∠DCB＝×60°＝40°，∴∠BDC＝180°﹣40°＝140°，故选：C．二．填空题（共6小题）16．解：正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°＝1080°，每一个内角的度数为×1080°＝135°．故答案为：135°．17．解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n﹣2）＝3×360°解得n＝8．故答案为：8．18．解：（1）甲乙都在学校同侧，则d≥4﹣1＝3；（2）甲乙在学校两侧，则d≤4+1＝5；则d的取值范围为：3≤d≤5．19．解：30°角与60°的角拼在一起，30°角与90°的角拼在一起，90°的角与60°的角拼在一起，共3种．20．解：设∠A＝x．∵BC＝CD，∠ABD＝15°，∴∠CBD ＝∠CDB ＝15+x ．∵AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝30+x ．∴x +2（30+x ）＝180°，x ＝40°．即∠A ＝40°．21．解：∵D 为BC 中点，根据同底等高的三角形面积相等，∴S △ABD ＝S △ACD ＝S △ABC ＝×4＝2，同理S △BDE ＝S △CDE ＝S △BCE ＝×2＝1，∴S △BCE ＝2，∵F 为EC 中点，∴S △BEF ＝S △BCE ＝×2＝1．故答案为1．三．解答题（共6小题）22．解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°，∵CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠ADB ＝180°﹣∠B ﹣∠BAD ＝180°﹣30°﹣50°＝100°．23．解：（1）①∵∠MON ＝40°，OE 平分∠MON ∴∠AOB ＝∠BON ＝20°∵AB ∥ON ∴∠ABO ＝20°②∵∠BAD ＝∠ABD ∴∠BAD ＝20°∵∠AOB +∠ABO +∠OAB ＝180°∴∠OAC ＝120°∵∠BAD ＝∠BDA ，∠ABO ＝20°∴∠BAD ＝80°∵∠AOB +∠ABO +∠OAB ＝180°∴∠OAC ＝60°故答案为：①20°； ②120，60；（2）①当点D 在线段OB 上时，∵OE 是∠MON 的角平分线，∴∠AOB＝∠MON＝20°，∵AB⊥OM，∴∠AOB+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝70°，若∠BAD＝∠ABD＝70°，则x＝20若∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣70°）＝55°，则x＝35若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50②当点D在射线BE上时，因为∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，所以只有∠BAD＝∠BDA，此时x＝125．综上可知，存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角，且x＝20、35、50、125．24．解：（1）∵△BCD中，BC＝4，BD＝5，∴5﹣4＜CD＜5+4，∴CD的取值范围是：1＜CD＜9；（2）∵AE∥BD，∴∠AEF＝∠BDE＝125°，∵∠AEF是△ACE的外角，∴∠C＝∠AEF﹣∠A＝125°﹣55°＝70°．25．解：（1）∵∠ABC＝65°，∠C＝35°，∴∠BAC＝80°，又∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠BAC＝40°，∴△ACD中，∠ADC＝180°﹣40°﹣35°＝105°；（2）∵BE⊥AD，∴∠AEF＝90°，由（1）可得∠EAF＝40°，∴∠AFE＝180°﹣40°﹣90°＝50°．26．解：（1）∵∠A＝40°，∠B＝76°，∴∠ACB＝64°，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB＝∠ACB＝32°，∵CD是AB边上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝14°∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝32°﹣14°＝18°；（2）∵∠A＝α，∠B＝β，∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β），∵CD是AB边上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣β，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝β﹣α；（3）如图所示，∵∠A＝α，∠B＝β，∴∠ACB＝180°﹣α﹣β，∵CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB＝∠ACB＝（180°﹣α﹣β），∵CD是AB边上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣β，∴∠DCE＝∠ECB﹣∠BCD＝β﹣α，由平移可得，GH∥CD，∴∠HGE＝∠DCE＝β﹣α．27．解：（1）∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABP＝＝＝20°，∵CP∥AB，∴∠BPC＝∠ABP＝20°；（2）设∠ABP＝x，则∠PBC＝∠ACP＝x，△ABC中，∠ACD＝∠A+∠ABC，x+∠PCD＝100°+2x，∴∠PCD＝100+x，△BCP中，∠PCD＝∠PBC+∠BPC，∴100+x＝x+∠BPC，∴∠BPC＝100°；（3）①当CP⊥BC时，如图3，则∠BCP＝90°，∵∠PBC＝20°，∴∠BPC＝70°；②当CP⊥AC时，如图4，则∠ACP＝90°，△BCP中，∠BPC＝180°﹣20°﹣30°﹣90°＝40°；③当CP⊥AB时，延长CP交直线AB于G，如图5，则∠BGC＝90°，∵∠ABC＝40°，∴∠BCG＝50°△BPC中，∠BPC＝180°﹣50°﹣20°＝110°；综上，∠BPC的度数为70°或40°或110°．。
人教版八年级数学上册11.2.2《三角形的外角》同步训练习题
人教版八年级数学上册11.2.2《三角形的外角》同步训练习题一．选择题（共7小题）1．（2015秋•铁力市校级月考）下列说法错误的是（）A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B．有两个角互余的三角形是直角三角形C．直角三角形只有一条高D．任何一个三角形中，最大角不小于60度2．（2015春•长春期末）已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC 的关系是（）A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADCC．∠BAC＞∠ADC D．不能确定3．（2015春•定陶县期末）三角形的一个外角与它相邻的内角相等，而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍．则这个三角形各角的度数是（）A．45°，45°，90°B．36°，72°，72°C．25°，21°，134°D．30°，60°，90°4．（2015春•龙口市期中）如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°5．（2014•天水一模）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（）A．60°B．50°C．45°D．25°6．（2015春•启东市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′D B=（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．（2015春•泰山区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）A．70°B．80°C．90°D．100°二．填空题（共7小题）8．（2015•徐州模拟）直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为．9．（2015春•孟津县期末）直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是．10．（2015春•北京校级期中）如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则∠BOC=．11．（2015春•保山校级期中）如图，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于度．12．（2015秋•萧山区月考）如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，那么∠BOC为．13．（2014•天心区模拟）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是°．14．（2014春•孟津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=度．三．解答题（共5小题）15．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=900，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．16．（2015春•昆明校级期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．17．（2015春•高密市期末）一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？18．（2015春•荔城区期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？19．（2014春•唐河县期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）人教版八年级数学上册11.2.2《三角形的外角》同步训练习题答案解析一．选择题（共7小题）1．（2015秋•铁力市校级月考）下列说法错误的是（）A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形B．有两个角互余的三角形是直角三角形C．直角三角形只有一条高D．任何一个三角形中，最大角不小于60度选C【点评】本题考查了钝角三角形、直角三角形的概念．注意D中，如果最大角小于60°，则三个角的和就小于180°，与三角形的内角和定理，内角和为180°相矛盾．2．（2015春•长春期末）已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC 的关系是（）A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADCC．∠BAC＞∠ADC D．不能确定【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，再根据∠BAC=∠BAD+∠DAC即可得解．【解答】解：由三角形的外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠B=∠DAC，∴∠BAC=∠ADC．故选B．【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．3．（2015春•定陶县期末）三角形的一个外角与它相邻的内角相等，而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍．则这个三角形各角的度数是（）A．45°，45°，90°B．36°，72°，72°C．25°，21°，134°D．30°，60°，90°【考点】三角形的外角性质．【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和与三角形的内角和等于180°可以求出与这个外角相邻的内角等于90°，然后根据这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，求出这个内角即可．【解答】解：根据题意，与这个外角相邻的内角等于180°÷2=90°，∵这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，∴90°÷3=30°，∴90°﹣30°=60°，∴这个三角形各角的度数是：30°，60°，90°．故选D．【点评】本题主要考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．4．（2015春•龙口市期中）如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC 的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．85°【考点】三角形的外角性质；余角和补角；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形内角和等于180°求出∠3+∠4的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，∴∠3+∠4=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠A=180°﹣20°﹣25°﹣35°=100°，在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣100°=80°．故选C．【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．5．（2014•天水一模）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（）A．60°B．50°C．45°D．25°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ABD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°，∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，在△BDE中，∵∠D=25°，∠ABD=110°，∴∠1=180°﹣25°﹣110°=45°．故选C．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．（2015春•启东市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（）A．40°B．30°C．20°D．10°【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，又∵∠CA′D为△A′BD的外角，∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，则∠A′DB=55°﹣35°=20°．故选：C．【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．7．（2015春•泰山区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB 的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（）A．70°B．80°C．90°D．100°【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，∵∠BPC=20°，∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，∴∠A+∠P=90°，故选C．【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．二．填空题（共7小题）8．（2015•徐州模拟）直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为30°．【考点】直角三角形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【解答】解：∵直角三角形的一锐角为60°，∴另一锐角为90°﹣60°=30°．故答案为：30°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．9．（2015春•孟津县期末）直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是55°、35°．【考点】直角三角形的性质．【分析】设一个锐角为x，根据题意表示出另一个锐角，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x﹣20°，则x+x﹣20°=90°，解得，x=55°，x﹣20°=35°故答案为：55°、35°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意方程思想的正确运用．10．（2015春•北京校级期中）如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则∠BOC=100°．【考点】三角形的外角性质．【分析】延长BO与AC相交于点D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【解答】解：如图，延长BO与AC相交于点D，由三角形的外角性质，在△ABD中，∠1=∠A+∠ABO=50°+18°=68°，在△COD中，∠BOC=∠1+∠ACO=68°+32°=100°．故答案为：100°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造成三角形是解题的关键．11．（2015春•保山校级期中）如图，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于270度．【考点】三角形的外角性质．【分析】如图，根据题意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠B=90，∴∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，∴∠1+∠2=270°．故答案为：270．【点评】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于求证∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN．12．（2015秋•萧山区月考）如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，那么∠BOC为81°8′．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13．（2014•天心区校级模拟）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是75°．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．【解答】解：如图，∠1=45°﹣30°=15°，∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．故答案为：75．【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．14．（2014春•孟津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180度．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【专题】探究型．【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C=∠2，∠A+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论．【解答】解：∵∠2是△OBC的外角，∴∠B+∠C=∠2，∵∠1是△AEF的外角，∴∠A+∠E=∠1，∵∠1+∠2+∠D=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．故答案为：180．【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．三．解答题（共5小题）15．（2015秋•武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【考点】直角三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．16．（2015春•昆明校级期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．因为∠BAC=63°，所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，所以x=39°；所以∠3=∠4=78°，∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．17．（2015春•高密市期末）一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？【考点】三角形的外角性质．【专题】应用题．【分析】直接利用图形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解．【解答】解：延长CD与AB相交于点F．∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°，又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°，∵实际量得的∠BDC=148°，143°≠148°，∴这个零件不合格．【点评】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．18．（2015春•荔城区期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？【考点】三角形的外角性质．【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠AEB﹣∠FAE，∠ADC=∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD=∠ADC．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC；（2）探究（1）中结论仍成立；理由：∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD，∵∠FAE=∠GAD，∴∠FAE=∠BAD，∵∠EFD=∠AEB﹣∠FAE，∠ADC=∠ABC﹣∠BAD，又∵∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC．【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．19．（2014春•唐河县期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A．（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）【考点】三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．【专题】探究型；整体思想．【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A．理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，又∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠OCD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠OBC，又∵∠OCD是△BOC的一个外角，∴∠BOC=∠OCD﹣∠OBC=∠A+∠OBC﹣∠OBC=∠A；（3）拓展：结论∠BOC=（∠A+∠D）．在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=（360°﹣∠A﹣∠D），∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣∠A﹣∠D），在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）=（∠A+∠D），即∠BOC=（∠A+∠D）．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．。
八年级上册数学人教版课时练《 三角形的外角》 试题试卷 含答案解析(1)
《11.2.2三角形的外角》课时练一、选择题1．三角形中有一内角是60°，则与它相邻的外角是()A．120°B．100°C．90°D．80°2．如图，平面上直线a、b分别过线段OK两端点(数据如图)，则a、b相交所成的锐角是()A．20°B．30°C．70°D．80°3．如图所示，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝35°，∠ACE＝60°，则∠A等于()A．35°B．95°C．85°D．75°4．如图所示，下列结论正确的是()A．∠1＞∠2＞∠A B．∠1＞∠A＞∠2C．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠1＞∠A5．将一把直尺和一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF 的大小为()A．10°B．15°C．20°D．25°6．如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°，那么与这个外角相邻的内角的度数为() A．30°B．60°C．90°D．120°二、填空题7．三角形的一边与另一边的组成的角叫做三角形的外角．8．三角形的外角等于与它的两个内角的和．三角形的外角和等于.9．如图所示，在△ABC中，D是BC上任意一点，E是AD上任意一点，∠ADB是的外角，∠AEB是的外角，∠CDA是的外角．10．如图∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝()11．如图，∠3＝140°，则∠2－∠1＝.12．如图，直线AB、CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝.13．如图，∠A＝60°，∠B＝47°，∠C＝33°，则∠D＝．14．用“＞、＜、＝”填空．(1)∠B＋∠A∠ACD；(2)∠ACD∠A，∠ACD∠B.三、解答题15．如图，直线DE交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于点F.若∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．16．如图，△ABC中，D是BC边上一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°.求∠DAC的度数．17．如图，∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°.求∠BDC的度数．18．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BCD＝100°，EC平分∠ACB，求∠A与∠ACE的度数．19．一个零件的形状如图所示，按规定，∠BAC＝90°，∠B＝21°，∠C＝20°，检验工人量得∠BDC＝130°，就断定这个零件不合格．运用所学知识说明不合格的理由．20．如图，在△ABC中，三个内角的平分线相交于点O，过点O作OD⊥OB，交边BC于点D，△ABC的外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F.(1)求证：BF∥OD；(2)若∠F＝35°，求∠BAC的度数．参考答案1-6ABCAA C7.延长线8.不相邻360°9.△ACD△DBE △DBE 或△ABD 10.180°11.40°12.80°13.140°14.(1)＝(2)＞＞15.解：∵∠B ＝67°，∠ACB ＝74°，∴∠A ＝180°－67°－74°＝39°.∵∠AED ＝48°，∴∠BDF ＝39°＋48°＝87°.16.解:∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝2∠2.又∵∠4＝∠3，∴∠4＝2∠2.设∠2＝x°，则∠4＝2x°.在△ABC 中，x°＋2x°＋78°＝180°，解得x°＝34°.∴∠3＝∠4＝68°.∴∠DAC ＝180°－(∠3＋∠4)＝180°－136°＝44°.17.解:如图，延长CD 交AB 于E ，因为∠BDC 是△BDE 的外角，所以∠BDC ＝∠1＋∠BED.又∠BED 是△ACE 的外角，所以∠BED ＝∠A ＋∠2，因此∠BDC ＝∠1＋∠2＋∠A ＝20°＋25°＋35°＝80°.18.解：∵∠BCD ＝100°，∠BCD ＝∠B ＋∠A ，∠B ＝40°，∴∠A ＝60°.∵∠BCD ＋∠BCA ＝180°，∴∠BCA＝80°.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝40°.19.解：如图，连接AD 并延长至E.由外角定理有∠CDE ＝∠C ＋∠1，∠BDE ＝∠B ＋∠2，∴∠CDE ＋∠BDE ＝∠C ＋∠1＋∠B ＋∠2，即∠CDB ＝∠C ＋∠B ＋∠CAB ，若零件合格，则有∠BDC ＝90°＋20°＋21＝131°，而量得∠CDB ＝130°，∴零件不合格．20.（1）证明：∵BF 平分∠ABE ，BO 为∠ABC 的平分线，∴∠FBE ＝12∠ABE ＝12(180°－∠ABC)＝90°－∠DBO.∵OD ⊥OB ，∴∠BOD ＝90°，∴∠ODB ＝90°－∠OBD ，∴∠FBE ＝∠ODB ，∴BF ∥OD ；（2）解：∵BF 平分∠ABE ，∴∠FBE ＝12∠ABE ＝12(∠BAC ＋∠ACB)．∵在△ABC 中，三个内角的平分线相交于点O ，∴∠FCB ＝12∠ACB.∵∠F ＝∠FBE －∠FCB ＝12(∠BAC ＋∠ACB)－12ACB ＝12∠BAC.∵∠F ＝35°，∴∠BAC ＝2∠F ＝70°.。
【最新】人教版八年级数学上册11.2.2三角形的外角含答案.doc
11.2.2 三角形的外角要点感知1 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的______.预习练习1-1 如图所示,______是△ABC的一个外角.要点感知2 三角形的外角等于与______的两个内角的______.预习练习2-1 如图所示,∠A=65°,∠B=45°,则∠ACD=______.知识点1 认识外角1.如图，以∠AOD为外角的三角形是______.知识点2 内外角的数量关系2.若三角形的一个外角等于和它相邻的内角，则这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.都有可能3.如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是( )A.10°B.20°C.30°D.80°4.已知△ABC的三个内角度数之比是1∶2∶3，则三个外角对应的度数之比是______.5.求出图中的x的值.知识点3 外角定理与平行线性质的综合6.(红河中考)如图，AB∥CD，∠D=∠E=35°，则∠B的度数为( )A.60°B.65°C.70°D.75°7.(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3=______度.8.(昆明中考)如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是( )A.85°B.80°C.75°D.70°9.(湘西中考)如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是( )A.15°B.25°C.30°D.10°10.如图，∠α＝125°，∠1＝50°，则∠β的度数是______.11.如图所示,P是△ABC内一点,延长BP交AC于点D.若∠3=25°,∠A=67°,∠4=40°,则∠1的度数是多少？挑战自我12.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC 沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，求∠1+∠2的度数.参考答案课前预习要点感知1 外角预习练习1-1 ∠ACD要点感知2 它不相邻和预习练习2-1 110°当堂训练1.△AOB和△COD2.B3.C4.5∶4∶35.由图知x+80=x+x+20.解得x=60.6.C7.80课后作业8.A 9.A 10.105°11.∵∠1=∠2+∠4,∠2=∠3+∠A,∴∠1=∠3+∠A+∠4=25°+67°+40°=132°.12.连接AA′，由图可知：∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A，∴∠1+∠2=∠EAA′+∠EA′A+∠DAA′+∠DA′A=∠EAD+∠EA′D.∵∠A=75°，∠A′=75°，∴∠1+∠2=150°.。
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角练习题(含答案) (48)
人教版_部编版八年级数学上册第十一章第二节三角形的外角作业练习题（含答案)如图，在ABC ∆中，AB AC =，,,D E F 分别在三边上，且,BE CD BD CF ==，G 为EF 的中点.（1）若40A ∠=︒，求B 的度数；（2）试说明：DG 垂直平分EF .【答案】（1）70°（2）见解析【解析】【分析】（1）如图，首先证明∠ABC=∠ACB ，运用三角形的内角和定理即可解决问题；（2）如图，作辅助线；首先证明△BDE ≌△CFD ，得到DE=DF ，运用等腰三角形的性质证明DG ⊥EF ，即可解决问题．【详解】（1）因为AB AC =，所以C B ∠=∠，因为40A ∠=︒， 所以18040702B ︒-︒∠==︒；（2）连接DE DF ，，在BDE ∆和CFD ∆中，BD CF B C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以()BDE CFD SAS ∆∆≌，所以DE DF =，因为G 为EF 的中点，所以DG EF ⊥，所以DG 垂直平分EF .【点睛】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理等几何知识点来分析、判断、解答．72．如图，CD 是△ABC 的角平分线，点E 是AC 边上的一点，ECD EDC ∠=∠. （1）求证：//ED BC ；（2）30A ︒∠=，65BDC ︒∠=，求∠DEC 的度数.【答案】（1）证明见解析；（2）110°.【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义可得ACD BCD ∠=∠，从而求出BCD EDC ∠=∠，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；（2）根据三角形的外角性质得+BDC A ACD ∠=∠∠，可求出ECD EDC 35︒∠=∠=，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．【详解】（1）∵CD 是△ABC 的角平分线，∴ACD BCD ∠=∠∵ECD EDC ∠=∠∴BCD EDC ∠=∠∴//ED BC （内错角相等，两直线平行）；（2）∵∠BDC 是△ADC 的外角∴+BDC A ACD ∠=∠∠∴653035ACD BDC A ︒︒︒∠=∠-∠=-=∴ECD EDC 35︒∠=∠=∴1803535110DEC ︒︒︒︒∠=--=.故答案为（1）证明见解析；（2）110°.【点睛】本题考查三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，三角形的外角性质，准确识别图形是解题的关键．73．如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=60°，求∠DAC的度数.【答案】20°【解析】【分析】根据三角形外角的性质可得∠3=∠1+∠2，结合条件可得∠4=2∠2，然后在△ABC中运用三角形内角和定理可求出∠2，即可得到∠1，从而可求出∠DAC．【详解】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x因为∠BAC=60°所以∠2 +∠4=120°即x+2x=120°所以x=40°所以∠3=∠4=80°，∠DAC=180°-∠3-∠4=20°【点睛】本题主要考查三角形内角和定理及外角的性质,从条件中找到3∠和12与∠∠之间的关系是解题的关键.74．如图，ABC 中，点E 在BC 边上，AE AB =，将线段AC 绕点A 旋转到AF 的位置，使得CAF BAE ∠=∠，连接EF ，EF 与AC 交于点G(1)求证：EF BC =；(2)若65ABC ∠=︒，28ACB ∠=︒，求FGC ∠的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)78°.【解析】【分析】（1）因为CAF BAE ∠=∠，所以有BAC EAF ∠=∠，又因为AE AB AC AF ==，，所以有()BAC EAF SAS △≌△，得到EF BC =；（2）利用等腰三角形ABE 内角和定理，求得∠BAE=50°，即∠FAG=50°，又因为第一问证的三角形全等，得到28F C ∠=∠=︒，从而算出∠FGC【详解】(1)CAF BAE ∠=∠BAC EAF ∴∠=∠AE AB AC AF ==，()BAC EAF SAS ∴△≌△EF BC ∴=(2)65AB AE ABC =∠=︒，18065250BAE ∴∠=︒-︒⨯=︒50FAG ∴∠=︒BAC EAF △≌△28F C ∴∠=∠=︒502878FGC ∴∠=︒+︒=︒【点睛】本题主要考查全等三角形证明与性质，等腰三角形性质，旋转性质等知识点，比较简单，基础知识扎实是解题关键75．已知：D 是直线AB 上一点，E 是直线AC 上一点，直线BE 与直线CD 相交于F ，62CAB ∠=，若35ACD ∠=，20ABE ∠=.求：（1）BDC ∠度数；（2）BFD ∠度数．【答案】（1）27BDC ∠= ；（2）133BFD ∠=；【解析】【分析】（1）利用外角的性质可得出BDC ∠的度数；（2）利用外角的性质先得出BFC ∠的度数，再计算BFD ∠的度数.【详解】解：（1）∵DC CD C +=∠A ∠A ∠BA∴BDC ∠=BAC ∠-ACD ∠=6235︒-︒=27︒（2）BFC ∠=DBE BDC ∠+∠=2027︒+︒=47︒∴BFD ∠180BFC =︒-∠18047=︒-︒133=︒【点睛】本题考查了三角形的外角的性质的应用，熟练掌握三角形外角的性质是解题关键.76．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A ，B ，E 分别是x 轴和y 轴上的任意点. BD 是∠ABE 的平分线，BD 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点C ．探究： （1）求∠C 的度数.发现： （2）当点A ，点B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上移动时，∠C 的大小是否发生变化？若不变，请直接写出结论；若发生变化，请求出∠C 的变化范围.应用：（3）如图2在五边形ABCDE 中，∠A ＋∠B ＋∠E ＝310°，CF 平分∠DCB ，CF 的反向延长线与∠EDC 外角的平分线相交于点P ，求∠P 的度数．【答案】（1）∠C=45°；（2）不变.∠C=1∠AOB =45°；(3) 25°.2【解析】【分析】（1）先确定∠ABE与∠OAB的关系，∠ABE=∠OAB+90°，再根据角平分线和三角形的外角求得∠ACB的度数；（2）设∠DBC=x，∠BAC=y，再根据BC平分∠DBO，AC平分∠BAO可知∠CBO=∠DBC=x，∠OAC=∠BAC=y．再由∠DBO是△AOB的外角，∠DBC 是△ABC的外角可得出关于x、y，∠C的方程组，求出∠C的值即可；（3）延长ED，BC相交于点G，易求∠G的度数，由三角形外角的性质可得结论.【详解】（1）∵∠ABE=∠OAB+∠AOB，∠AOB =90°，∴∠ABE=∠OAB+90°，∵BD是∠ABE的平分线，AC平分∠OAB，∴∠ABE=2∠ABD，∠OAB=2∠BAC，∴2∠ABD=2∠BAC+90°，∴∠ABD=∠BAC+45°，又∵∠ABD= ∠BAC +∠C ，∴∠C=45°．（2）不变.∠C=12∠AOB =45°. 理由如下：设∠DBA=x ，∠BAC=y ，∵BD 平分∠EBA ，AC 平分∠BAO ．∴∠EBD=∠DBA=x ，∠OAC=∠BAC=y ．∵∠EBA 是△AOB 的外角，∠DBA 是△ABC 的外角， ∴2902x y x C y ︒+⎧⎨∠+⎩＝＝， ∴∠C=45°．(3) 延长ED ，BC 相交于点G.在四边形ABGE 中，∵∠G ＝360°－(∠A ＋∠B ＋∠E)＝50°，∴∠P ＝∠FCD －∠CDP ＝12(∠DCB －∠CDG) ＝12∠G ＝12×50°＝25°. 【点睛】本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．77．如图1，在绿茵场上，足球队员带球进攻，总是尽力向球门AB 冲近．（1）在D 点的射门角度ADB ∠与在C 点的射门角度ACB ∠哪个大？请说明理由．（2）若测得130︒∠=，220︒∠=，50ACB ︒∠=，请计算出球员在D 点射门的角度ADB ∠．（3）通过上面的计算，你能得到关于1∠，2∠，ACB ∠与ADB ∠四个角之间的等世关系吗？直接写出这个结论．并利用这个结论，计算图2五角星中五个角A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的和．（4）请写出图3中六个角AB C D E F ∠∠∠∠∠∠，，，，，之间的一个等量关系，并利用（3）的结论进行证明．【答案】（1）ADB ACB ∠>∠；（2）100ADB ︒∠=；（3）12,180ADB ACB A B C D E ︒∠=∠+∠+∠∠+∠+∠+∠+∠=；（4）F D A B E C ∠+∠=∠+∠+∠+∠．【解析】【分析】（1）利用三角形外角的性质得到43∠>∠，56∠>∠，即可解答.（2）利用三角形外角的性质得到413∠=∠+∠，562∠=∠+∠，再进行等量代换，即可解答.（3）利用三角形外角的性质得到3C E ∠=∠+∠，4A B D ∠=∠+∠+∠，再进行等量代换即可解答.（4）连接BE ，由（3）中的结论得，514,623A C ∠=∠+∠+∠∠=∠+∠+∠，再进行等量代换即可解答.【详解】解：（1）ADB ACB ∠>∠．理由：如图1，∵4∠是ACD ∆的外角，∴43∠>∠．∵5∠是BCD ∆的外角，∴56∠>∠．∴4536∠+∠>∠+∠，即ADB ACB ∠>∠．（2）如图1，∵4∠是ACD ∆的外角，∴413∠=∠+∠．∵5∠是BCD ∆的外角，∴562∠=∠+∠．∴4512302050100ADB ACB ︒︒︒︒∠=∠+∠=∠+∠+∠=++=．（3）12ADB ACB ∠=∠+∠+∠．如图2，∵3∠是COE ∆的外角，∴3C E ∠=∠+∠．由上述结论得4A B D ∠=∠+∠+∠，∵34180︒∠+∠=，∴180A B C D E ︒∠+∠+∠+∠+∠=．（4）F D A B E C ∠+∠=∠+∠+∠+∠．证明：如图3，连接BE ．由（3）中的结论得，514,623A C ∠=∠+∠+∠∠=∠+∠+∠．∴561234A C A ABC FED C ∠+∠=∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠． 即AFE EDC A ABC FED C ∠+∠=∠+∠+∠+∠．【点睛】此题考查三角形外角的性质，余角与补角，解题关键在于进行等量代换.78．如图所示，BD CE ，是ABC ∆的两条高，50A ︒∠=，求BOC ∠的度数．【答案】130BOC ︒∠=【解析】【分析】要求∠BOC的度数，观察图形可以看到∠BOC是△DOC的外角，可以得到∠BOC=∠CDB+∠ACE，将问题转化为求∠CDB以及∠ACE的度数，根据BD 是△ABC的高可得∠BDC=90°，要求∠ACE的度数，由CE是△ABC的高可得∠A+∠ACE=90°，再由∠A=50°可求得∠ACE=40°，即可解答.【详解】∵BD、CE均为△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=∠BDC=90°，∵∠A=62°，∴∠ACE=90°-∠A=90°-62°=40°.则∠BOC=∠BDC+∠ACE=90°+40°=130°.故答案为：130°.【点睛】此题考查三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系，解题关键在于掌握各性质定义.79．如图，已知50A︒∠的度数．C︒∠=，求BDC∠=，40B︒∠=，30【答案】120BDC︒∠=【解析】【分析】连接AD 并延长，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可．【详解】如图,连接AD 并延长,则∠1=∠B+∠BAD ，∠2=∠C+∠CAD ，∴∠BDC=∠1+∠2=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD=∠B+∠C+∠BAC ， ∵∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°，∴∠BDC=50°+40°+30°=120°.故答案为：120°.【点睛】此题考查三角形的外角性质，解题关键在于作辅助线.80．如图所示，已知CE 为ABC ∆的外角ACD ∠的平分线，CE 交BA 的延长线于点E ，求证：BAC B ∠>∠．【答案】详见解析【解析】【分析】比较两个角的大小，首先把两个不同的角用相等的角等效替换，再进行比较．【详解】证明：∵CE 平分ACD ∠（已知），∴12∠=∠（角平分线的定义）．∵BAC ∠是ACE ∆的一个外角（外角的定义），∴1BAC ∠>∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）． ∴2BAC ∠>∠（等量代换）．又∵2∠是EBC ∆的一个外角（外角的定义），∴2B ∠>∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）．∴BAC B ∠>∠．【点睛】此题考查三角形的外角性质，解题关键在于利用等量代换.。
初二数学三角形外角练习题
初二数学三角形外角练习题三角形是初中数学中重要的几何概念之一，而三角形的外角则是对我们理解三角形性质和解题有着重要影响的概念。
本文将通过列举一些三角形外角的练习题，帮助初二学生加深对三角形外角的理解和应用。
练习题1：已知三角形ABC，点D为BC延长线上一点，且∠ACD = 151°，∠BAC = 65°，求∠ABC的度数。
解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠ABC = ∠ACD -∠BAC = 151° - 65° = 86°。
练习题2：已知三角形DEF中，∠D = 90°，∠F = 72°，点G在EF上，且∠DGF = 52°，求∠EDG的度数。
解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠EDG = ∠DGF + ∠F = 52° + 72° = 124°。
练习题3：已知三角形MNP中，∠M = 38°，∠P = 108°，点Q在MN上，且∠PNQ = 82°，求∠Q的度数。
解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠Q = ∠PNQ + ∠P = 82° + 108° = 190°。
练习题4：已知三角形XYZ中，∠X = 45°，∠Z = 100°，点W在YZ上，且∠XWZ = 30°，求∠W的度数。
解答：根据三角形外角与其对应内角的关系可知，∠W = ∠XWZ + ∠Z = 30° + 100° = 130°。
练习题5：已知△ABC和△DEF为等边三角形，且它们的外角∠A和∠D相等，求∠A的度数。
解答：等边三角形的内角都为60°，因此∠A = 180° - 60° - 60° = 60°。
通过以上练习题的解答，我们可以进一步理解和应用三角形外角与其对应内角之间的关系。
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《三角形的外角》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．803．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°4．（5分）如图，∠1的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．（5分）如图所示的图形中x的值是（）A．60B．40C．70D．80二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于．7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为．8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝．9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝°．10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．12．（10分）CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求∠B的度数．13．（10分）如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知）∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（）∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（）∴∠A＝2∠2﹣2∠1（）＝2（∠2﹣∠1）（）＝2∠E（等量代换）（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．14．（10分）已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C 在直线AB的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．请将下列推理过程补充完整：证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（），∴∠CDQ＝∠β（）．∴∠β＝（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．15．（10分）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：《三角形的外角》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（）A．75°B．105°C．110°D．120°【分析】根据图形求出∠1，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：如图，∠1＝90°﹣45°＝45°，则∠α＝60°+45°＝105°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．2．（5分）在△ABC中，∠A，∠C与∠B的外角度数如图所示，则x的值是（）A．60B．65C．70D．80【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解．【解答】解：∵与∠ABC相邻的外角＝∠A+∠C，∴x+65＝x﹣5+x，解得x＝70．故选：C．【点评】本题考查了三角形的外角性质，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．3．（5分）如图，顺次连结同一平面内A，B，C，D四点，已知∠A＝40°，∠C＝20°，∠ADC＝120°，若∠ABC的平分线BE经过点D，则∠ABE的度数（）A．20°B．30°C．40°D．60°【分析】首先证明∠ADC＝∠A+∠C+∠ABC，求出∠ABC即可解决问题．【解答】解：∵∠ADE＝∠ABD+∠A，∠EDC﹣∠DBC+∠C，∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠A+∠C+∠ABC，∴120°＝40°+20°+∠ABC，∴∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝30°，故选：B．【点评】本题考查三角形的外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（5分）如图，∠1的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【分析】根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∠2＝180°﹣140°＝40°，∴∠1＝80°+40°＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．5．（5分）如图所示的图形中x的值是（）A．60B．40C．70D．80【分析】根据三角形的外角的性质构建方程即可解决问题；【解答】解：由三角形的外角的性质可知：x+70＝x+10+x，解得x＝60．故选：A．【点评】本题考查三角形的外角的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，则∠C的外角等于105°．【分析】利用三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：由题意：∠C的外角＝∠A+∠B＝60°+45°＝105°，故答案为105°．【点评】本题考查三角形的内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．7．（5分）三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为5：4：3．【分析】先根据三个内角度数的比设未知数，根据三角形的内角和列一元一次方程求出x 的值，再求其对应的三个外角的度数并求比值即可．【解答】解：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x＝180，6x＝180，x＝30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°＝5：4：3，故答案为：5：4：3．【点评】本题考查了三角形的内角和定理和外角的性质，比较简单，明确三角形的内角和为180°，并熟知三角形的一个内角与其相邻的外角和为180°．8．（5分）如图，BD与CD分别平分∠ABC、∠ACB的外角∠EBC、∠FCB，若∠A＝80°，则∠BDC＝50°．【分析】先根据BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线可知∠DBC＝∠EBC，∠BCD ＝∠BCF，再由∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角得出∠CBE+∠BCF＝180°+∠A ＝260°，故∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝130°，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】证明：BD、CD分别是∠CBE、∠BCF的平分线∴∠DBC＝∠EBC，∠BCD＝∠BCF，∵∠CBE、∠BCF是△ABC的两个外角∴∠CBE+∠BCF＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A＝260°，∴∠DBC+∠BCD＝（∠EBC+∠BCF）＝130°在△DBC中，∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠BCD）＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．9．（5分）如图，∠A＝70°，∠B＝26°，∠C＝20°，则∠BDC＝116°．【分析】BD交AC于H，根据三角形内角和定理，即可得到∠AHB的度数，再三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：如图，延长BD交AC于H，则∠AHB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣96°＝84°，又∵∠C＝20°，∴∠CDH＝84°﹣20°＝64°，∴∠BDC＝180°﹣∠CDH＝116°，故答案为：116．【点评】本题考查的是三角形的内角和定理以及外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．10．（5分）如图，△ABC中，BD为△ABC内角平分线，CE为△ABC外角平分线，若∠BDC ＝130°，∠E＝50°，则∠BAC的度数为120°．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及CE是外角的平分线列式求出∠B的度数，再根据BD为内角平分线求出∠ABD的度数，然后利用三角形的外角性质即可求出∠BAC的度数．【解答】解：根据三角形的外角性质，∠DBC+∠BDC＝2（∠ABC+∠E），∵BD为内角平分线，∴∠DBC＝∠ABD，∴∠ABC+130°＝2（∠ABC+50°），解得∠ABC＝20°，∴∠ABD＝×20°＝10°，在△ABD中，∠BDC＝∠ABD+∠BAC，即130°＝10°+∠BAC，解得∠BAC＝120°．故答案是：120°．【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理与三角形的外角性质，角平分线的定义，根据外角平分线求出∠ABC的度数是解题的关键，也是解答本题的突破口，有一定的技巧．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点F为AC延长线上的一点，连接DF．（1）求∠CBE的度数；（2）若∠F＝25°，求证：BE∥DF．【分析】（1）先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，由邻补角定义得出∠CBD＝130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE＝65°；（2）先根据三角形外角的性质得出∠CEB＝90°﹣65°＝25°，再根据∠F＝25°，即可得出BE∥DF．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE＝∠CBD＝65°；（2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．又∵∠F＝25°，∴∠F＝∠CEB＝25°，∵DF∥BE．【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，邻补角定义，角平分线定义．掌握各定义与性质是解题的关键．12．（10分）CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且EF∥BC交AB于点F，∠A＝60°，∠CEF＝50°，求∠B的度数．【分析】依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ACB的度数，再根据三角形内角和定理，即可得到∠B的度数．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠CEF＝∠ECD＝50°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠ECD，∴∠ACE＝∠ACE+∠ECD＝100°，∴∠ACB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣100°＝80°，∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝180°﹣60°﹣80°＝40°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键．13．（10分）如图，已知在△ABC中，CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线．（1）求证：∠A＝2∠E，以下是小明的证明过程，请在括号里填写理由．证明：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知）∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质）∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质）∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知）∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质）∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代换）＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数）＝2∠E（等量代换）（2）如果∠A＝∠ABC，求证：CE∥AB．【分析】（1）根据角平分线的性质以及三角形外角的性质即可求证；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E，由于∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，所以∠E＝∠ABE，从而可证AB∥CE．【解答】解：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∠2是△BCE的一个外角，（已知），∴∠ACD＝∠ABC+∠A，∠2＝∠1+∠E（三角形外角的性质），∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠E＝∠2﹣∠1（等式的性质），∵CE是外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC的平分线（已知），∴∠ACD＝2∠2，∠ABC＝2∠1（角平分线的性质），∴∠A＝2∠2﹣2∠1（等量代换），＝2（∠2﹣∠1）（提取公因数），＝2∠E（等量代换）；（2）由（1）可知：∠A＝2∠E∵∠A＝∠ABC，∠ABC＝2∠ABE，∴2∠E＝2∠ABE，即∠E＝∠ABE，∴AB∥CE．【点评】本题考查三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形外角的性质，角平分线的性质，需要学生灵活运用所学知识．14．（10分）已知，直线PQ∥MN，△ABC的顶点A与B分别在直线MN与PQ上，点C 在直线AB的右侧，且∠C＝45°，设∠CBQ＝∠α，∠CAN＝∠β．（1）如图1，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D，求证：∠β＝∠α+45°．请将下列推理过程补充完整：证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（已知），∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）（2）如图2，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F，请判断∠α与∠β的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据题意可以写出推理过程，从而可以解答本题；（2）根据三角形外角的性质和三角形的内角和即可得到结论．．【解答】解：（1）证明：∵∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CDQ＝∠α+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵PQ∥MN（已知），∴∠CDQ＝∠β（两直线平行，同位角相等）．∴∠β＝∠α+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠β＝∠α+45°（等量代换）；故答案为：已知，两直线平行，同位角相等，∠α+∠C，（2）证明：∵∠CFN是△ACF的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CFN＝∠β+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∵PQ∥MN（已知），∴∠CFN＝∠α（两直线平行，同位角相等）∴∠α＝∠β+∠C（等量代换）．∵∠C＝45°（已知），∴∠α＝∠β+45°（等量代换）．【点评】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．15．（10分）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝100°．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：【分析】（1）依据三角形外角性质，即可得到∠ACD＝∠A+∠B＝65°，依据AC平分∠DCE，可得∠ACE＝∠ACD＝65°，进而得出∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°；（2）依据AC平分∠DCE，可得∠ACD＝∠ACE，依据三角形外角性质可得∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，根据∠ACD＝∠A+∠B，即可得到∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【解答】解：（1）∵∠A＝35°，∠B＝30°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°，又∵AC平分∠DCE，∴∠ACE＝∠ACD＝65°，∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°，故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC＝2∠A+∠B．理由：∵AC平分∠DCE，∴∠ACD＝∠ACE，∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．【点评】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．。