九年级数学几何模型压轴题(篇)(Word版 含解析)
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九年级数学几何模型压轴题(篇)(Word 版 含解析)
一、初三数学 旋转易错题压轴题(难)
1.如图1,在Rt ABC △中,90A ∠=︒,AB AC =,点D ,E 分别在边AB ,AC
上,AD AE =,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是_________,位置关系是_________;
(2)探究证明:把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,
CE ,判断PMN 的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若4=AD ,10AB =,请直接写出
PMN 面积的最大值.
【答案】(1)PM PN =,PM PN ⊥;(2)等腰直角三角形,见解析;(3)492
【解析】 【分析】
(1)由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半,又△ABC 为等腰直角三角形,AD=AE ,所以得PN=PM ,且互相垂直;
(2)由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌,再利用PM 与PN 皆为中位线,得到PM=PN ,再利用角度间关系推导出垂直即可;
(3)找到面积最大的位置作出图形,由(2)可知PM=PM ,且PM ⊥PN ,利用三角形面积公式求解即可. 【详解】
(1)PM PN =,PM PN ⊥;
已知点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点,根据三角形的中位线定理可得
12PM EC =
,1
2
PN BD =,//PM EC ,//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠,NPD ADC ∠=∠ 在Rt ABC ∆中,90A ∠=︒,AB AC =,AD AE = 可得BD EC =,90DCE ADC ∠+∠=︒ 即得PM PN =,PM PN ⊥
故答案为:PM PN =;PM PN ⊥. (2)等腰直角三角形,理由如下: 由旋转可得BAD CAE ∠=∠, 又AB AC =,AD AE = ∴BAD CAE ∆∆≌
∴BD CE =,ABD ACE ∠=∠, ∵点M ,P 分别为DE ,DC 的中点 ∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴1
2
PM CE =
,且//PM CE , 同理可证1
2
PN BD =
,且//PN BD ∴PM PN =,MPD ECD ∠=∠,PNC DBC ∠=∠, ∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠,
DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠,
∴
90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒,
即PMN ∆为等腰直角三角形.
(3)把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置,
此时1()72PN AD AB =
+=,1
()72
PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长,由(2)可知PM PN =,PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为149
7722
⨯⨯=. 【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识,解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系.
2.两块等腰直角三角形纸片AOB 和COD 按图1所示放置,直角顶点重合在点O 处,
25AB =,17CD =.保持纸片AOB 不动,将纸片COD 绕点O 逆时针旋转
(090)αα<<角度,如图2所示.
()1利用图2证明AC BD =且AC BD ⊥;
()2当BD 与CD 在同一直线上(如图3)时,求AC 的长和α的正弦值.
【答案】(1)详见解析;(2)7,725
. 【解析】 【分析】
(1)图形经过旋转以后明确没有变化的边长,证明AOC BOD ≅,得出AC=BD , 延长BD 交AC 于E ,证明∠AEB=90︒,从而得到BD AC ⊥.
(2) 如图3中,设AC=x ,在Rt △ABC 中,利用勾股定理求出x ,再根据sinα=sin ∠ABC=AC
AB
即可解决问题 【详解】
()1证明:如图2中,延长BD 交OA 于G ,交AC 于E .
∵90AOB COD ∠=∠=, ∴AOC DOB ∠=∠, 在AOC 和BOD 中,
OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
, ∴AOC BOD ≅,
∴AC BD =,CAO DBO ∠=∠, ∵90DBO GOB ∠+∠=, ∵OGB AGE ∠=∠, ∴90CAO AGE ∠+∠=, ∴90AEG ∠=, ∴BD AC ⊥.
()2解:如图3中,设AC x =,
∵BD 、CD 在同一直线上,BD AC ⊥, ∴ABC 是直角三角形, ∴222AC BC AB +=, ∴222(17)25x x ++=, 解得7x =,
∵45ODC DBO α∠=∠+∠=,45ABC DBO ∠+∠=, ∴ABC α∠=∠, ∴7
sin sin 25
AC ABC AB α=∠==. 【点睛】
本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,利用全等三角形的性质解决问题,第二个问题的关键是利用(1)的结论解决问题,属于中考常考题型.
3.边长为2的正方形ABCD 的两顶点A 、C 分别在正方形EFGH 的两边DE 、DG 上(如图1),现将正方形ABCD 绕D 点顺时针旋转,当A 点第一次落在DF 上时停止旋转,旋转过程中, AB 边交DF 于点M ,BC 边交DG 于点N. (1)求边DA 在旋转过程中所扫过的面积;
(2)旋转过程中,当MN 和AC 平行时(如图2),求正方形ABCD 旋转的度数; (3)如图3,设△MBN 的周长为p ,在旋转正方形ABCD 的过程中,p 值是否有变化?请证明你的结论.
【答案】(1);(2);(3)不变化,证明见解析.
【解析】