三角函数实际应用题 答案解析版本

三角函数的实际应用

知识：

直角三角形中其他重要概念

⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．

⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表

示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h

i l

α==．坡度越大，坡

面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．

图(3)

图(2)

图(1)

俯角

仰角视线

视线

水平线

铅垂线

2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； ⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位 3. 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

典型例题

类型一.所求线段由两段和差组成。

例题1.（2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长.（参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈，sin370.6︒≈，

cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）

.解：由题知：70ACD ∠=︒，37BCD ∠=︒，80AC =.

在Rt ACD ∆中，cos CD ACD AC ∠=

，0.3480CD

=∴，27.2CD =∴（海里）. 在Rt BCD ∆中，tan BD BCD CD ∠=，0.7527.2

BD

=∴，20.4BD =∴（海里）.

答：还需要航行的距离BD 的长为20.4海里.

变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角∠ABC 的度数是 20°，仪器 BM 的高是 0.8m ，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m ，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m ，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

解：由题意：CD ＝BM ＝0.8m ，BC ＝MD ＝11m ， 在Rt △ECB 中，EC ＝BC •tan20°＝11×0.36≈3.96（m ）， ∴ED ＝CD +EC ＝3.96+0.8≈4.8（m ），

答：需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长4.8m

2.如图，登山缆车从点A 出发，途径点B 后到达终点C 。其中AB 段与BC 段的运行路程为m 200，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为︒30，BC 段的运行路线与水平面的夹角为

︒42，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离。

（参考数据：67.042sin ≈︒，74.042cos ≈︒，90.042tan ≈︒）

答案：234米

3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为︒30，测得大楼顶端A 的仰角为︒45（点E C B ,,在同一水平直线上）。已知m AB 80=，m DE 10=，求障碍物C B ,两点间的距离。（结果精确到m 1.0，参考数据： 1.73231.4142==，）

解：如图，过点D 作DF ⊥AB 于点F ，过点C 作CH ⊥DF 于点H ． 则DE ＝BF ＝CH ＝10m ，

在直角△ADF 中，∵AF ＝80m ﹣10m ＝70m ，∠ADF ＝45°，

∴DF＝AF＝70m．

在直角△CDE中，∵DE＝10m，∠DCE＝30°，

∴CE＝＝＝10（m），

∴BC＝BE﹣CE＝70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．

答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．

类型二：辅助线技巧

例题1（2017成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾

60方向行驶4千米至B地，再沿到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西︒

45方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求北偏东︒

C

B,两地的距离。

解：过B作BD⊥AC于点D．

在Rt△ABD中，AD=AB•cos∠BAD=4cos60°=4×=2（千米），

BD=AB•sin∠BAD=4×=2（千米），

∵△BCD中，∠CBD=45°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴CD=BD=2（千米），

∴BC=BD=2（千米）．

答：B，C两地的距离是2千米．

变式1如图，南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，

当渔船航行至海面B处时，测得该岛位于正北方向

()3

1

20+海里的C处，为了防止某国海

巡警干扰，就请求我A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东︒

45方向上，A 位于B的北偏西︒

30的方向上，求A、C之间的距离。

解：如图，作AD⊥BC，垂足为D，

由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°．

设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，

在Rt△ABD中，可得BD＝x，

又∵BC＝20（1+），CD+BD＝BC，

即x+x＝20（1+），

解得：x＝20，

∴AC＝x＝20（海里）．

答：A、C之间的距离为20海里．