三角函数实际应用经典总结

三角函数的实际应用

知识：

直角三角形中其他重要概念

⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．

⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表

示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h

i l

α==．坡度越大，坡

面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．

图(3)

图(2)

图(1)

俯角

仰角视线

视线

水平线

铅垂线

2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：

⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；

⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）； ⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形； ⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位 3. 0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

典型例题

类型一.所求线段由两段和差组成。

例题1.（2018成都） 由我国完全自主设计、自主建造的首舰国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达A 处时，测得小岛C 位于它的北偏东70︒方向，且于航母相距80海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛C 位于它的北偏东37︒方向.如果航母继续航行至小岛C 的正南方向的D 处，求还需航行的距离BD 的长.（参考数据：sin700.94︒≈，cos700.34︒≈，tan70 2.75︒≈，sin370.6︒≈，

cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）

变式1.为了减轻二环高架上汽车的噪音污染，成都市政府计划在高架上的一些路段的护栏上方增加隔音屏．如图，工程人员在高架上的车道 M 处测得某居民楼顶的仰角∠ABC 的度数是 20°，仪器 BM 的高是 0.8m ，点M 到护栏的距离 MD 的长为 11m ，求需要安装的隔音屏的顶部到桥面的距离 ED 的长（结果保留到 0.1m ，参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）

2.如图，登山缆车从点A 出发，途径点B 后到达终点C 。其中AB 段与BC 段的运行路程为m 200，且AB 段的运行路线与水平面的夹角为︒30，BC 段的运行路线与水平面的夹角为

︒42，求缆车从点A 运行到点C 的垂直上升的距离。

（参考数据：67.042sin ≈︒，74.042cos ≈︒，90.042tan ≈︒）

3.（成华二诊）如图，大楼沿右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为︒30，测得大楼顶端A 的仰角为︒45（点E C B ,,在同一水平直线上）。已知m AB 80=，m DE 10=，求障碍物C B ,两点间的距离。（结果精确到m 1.0，参考数据： 1.73231.4142==，）

类型二：辅助线技巧

例题1（2017成都）科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行。如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后， 导航显示车辆应沿北偏西︒60方向行驶4千米至B 地，再沿北偏东︒45方向行驶一段距离到达古镇C ， 小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求

C B ,两地的距离。

变式1如图，南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至海面B 处时，测得该岛位于正北方向()

3120+海里的C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往C 处护航，已知C 位于A 处的北偏东︒45方向上，A 位于B 的北偏西︒30的方向上，求A 、C 之间的距离。

2.（2017武侯二诊）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB ，如图，在山外一点C 测得BC 距离为m 200，︒=∠45CAB ，︒=∠30CBA ，求隧道AB 的长。

3.渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B 处.在B 处看见灯塔M 在北偏东15︒方向，求此时灯塔M 与渔船的距离.

北

东

北

15︒60︒M

B

A

例题2（锦江二诊）如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长

变式1如图，某中学在主楼的顶部D 和大门A 的上方之间挂一些彩旗，经测量，大门距主楼的距离BC ＝90m ，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面BE ＝1.5m ．求：学校主楼CD 的高度（结果精确到0.01m ）

2如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少cm ？ （结果精确到0.1cm ，参考数据：

≈1.732）

3如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC 高度．

类型三.双直角三角形与方程思想

例题 1.如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A ，又在河的另一岸边取两点C B ,,测得︒=∠30α,︒=∠45β，量得BC 长为100米，求河的宽度（结果保留根号）。