浅谈构造法在中学数学解题中的应用

浅谈构造法在中学数学解题中的应用富源六中文波

[摘要]：现代数学素质教育要求大力提高学生的数学素养，这不仅要使学生掌握数学知识，而且要使学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决实际问题。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它是一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维。其本质特征是“构造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性。本文主要通过大量的例题说明构造法是广泛存在于解题过程中的，而且对于解某些问题是非常有用的.

[关键词]：构造法；创造性；构造；几何变换

1 前言

解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一.

构造的数学思想提炼于数学各分支的研究方法之中，它融直观性、简单性、统一性、抽象性、相似性于一体，显示出简化与精密、直观与抽象的高度统一.

什么是构造法又怎样去构造呢？构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法”.

构造法的涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体的问题的特点而采取相应的解决办法，其基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法.在解题过程中，若按习惯定势思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维围，运用构造法来解题也是培养我们创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助.

构造法包含的容很多，在解题中的应用也千变万化，无一定规律可言,它需要更多的分析、类比、归纳、判断，同时能激发人们的直觉思维和发散思维.如何借助构造的思想实现解题过程中的转化呢？关键是对题设条件进行逻辑处理，

通过一般化、特殊化的想象，巧妙地对问题进行分析与综合，构造出一种思维的

创造物和想象物.

构造法是数学解题方法中很重要的一种方法，在解题中被广泛应用.它之所

以重要，不仅因为它完善了我们的数学思维，开拓了我们的思路，加深了我们对

数学的理解，给人以一种美的享受.其妙处在于不是直接去解决所给的问题，而

是去构造一个与原问题有关的辅助新问题，这里引出新问题并非为了它本身，而

是希望通过它的解决来帮助解决新问题.如果新问题比原问题更简单，更直观，

那么这种思考问题的方法就会成功.

2 应用构造法解题

构造法是数学解题中的一种重要思维方法，不仅可以拓宽思路，创造一些新

的情境，提高分析问题解决问题的能力，而且富有巧妙、新颖、独特的功效.有

些问题用别的方法束手无策，可一旦用了构造法就豁然开朗了.

2.1构造函数法

对于某些代数式的证明问题，可以把其中一个元素看成是另一个元素的函

数，或者把一个代数式看成一个函数，或者根据题目结构特点，巧妙地构造一个

函数，从而站在函数的角度，研究这个函数的性质，达到解决问题的目的.

例1 求函数y =

分析：由根号下的式子看出11x+-x=且01x ≤≤

故可联想到三角函数关系式并构造2sin x θ= (0)2πθ≤≤

所以 sin cos )4

y x x πθ=+=+

当4πθ=即12

x =时，max y =2.2 构造方程法

若不等式的证明问题正面思维遇阻，可以改为逆向思维，从结论考虑，沟通

条件和结论的关系，构造出与结论有关的方程，以便利用方程理论迅速解决问题.

有些数学题，经过观察可以构造一个方程，从而得到巧妙简捷的解答.

例2 已知实数,,a b c 满足0a b c ++=和2abc =.求证：,,a b c 中至少有一个不

小于2

分析：由条件得,b c a +=-，2bc a =

.所以,b c 是一元二次方程220x ax a

++=的两个根，故可构造方程来求解. 证明：由题设显然,,a b c 中必有一个正数，不妨设0a >.

则,2b c a bc a +=-⎧⎪⎨=⎪⎩

即,b c 是二次方程022=++a ax x 的两实根.所以280a a ∆=-≥. 故2a ≥.

2.3 构造几何图形

构造几何图形，就是将题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种关系

得以在图中表现出来，然后借助几何的直观寻求问题的解答，或借助几何知识对

问题进行推证.

例3若,,0x y z >，则zx x z yz z y xy y x ++>+++++222222.

分析：可以用两边同时平方来证此题，但是太繁.由22x y xy ++我们就会联

想到余弦定理，于是构造三角形用余弦定理来求证.

证明：如图2—2，作120AOB BOC COA ∠=∠=∠=,

设,,OA x OB y OC z ===.

由余弦定理AB ＝xy y x ++22, BC ＝yz z y ++22,CA ＝zx x z ++22.

因为AB BC CA +>, 图 2—1所以xy y x ++22 +yz z y ++22>zx x z ++22.

2.4 构造新数列求原数列通项

数列的通项公式是研究数列的关键，因而求数列的通项公式显得极为重要.

构造新数列求通项，既可以考察学生等价转换与化归的数学思想，又能反映我们

对等差、等比数列的理解深度.

2.4.1 形如n+1n a pa q =+，求通项公式，可构造新数列{}n a λ+

例4 已知数列{}n a 满足114,21n n a a a +==+，求数列{}n a 通项公式.