构造法在解题中的运用
例析构造法在高中数学解题中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１６㊀例析构造法在高中数学解题中的应用例析构造法在高中数学解题中的应用Һ张文琴１㊀许零筝２㊀（１．台州市第一中学，浙江㊀台州㊀３１８０００；２．三门第二高级中学，浙江㊀台州㊀３１７１９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ构造法是指依据题设条件㊁结论特征和性质，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等．构造法在数学解题中的应用，彻底打破了定向思维的束缚，开辟了全新的解题视角，有效提升了学生的数学解题能力．基于此，文章分析了构造法在高中数学解题中的应用价值，并针对构造法在高中数学解题中的具体应用进行了详细探究．ʌ关键词ɔ高中数学；解题能力；构造法；核心素养常规的解题思路基本上都是从已知条件向所求结论展开定向思考．但针对部分题目来说，常规的解题思路已经无法满足解题要求．此时，学生可以借助创造性的思维，根据题目中所给出的已知条件㊁结论特征等，构造辅助内容，使其成为全新的方程㊁函数㊁图像㊁代数式等，进而将已知条件和结论联系起来，形成解题思路．从构造法的内涵上来说，其中也蕴含了大量的数学思想，如：类比㊁归纳㊁转化．学生在创造性解答问题的过程中，不仅促进了数学知识的内化㊁迁移，也实现了数学思维的发展，这与数学核心素养的要求不谋而合．鉴于此，强化学生利用构造法解题，已经成为当前高中数学教学的重中之重．一㊁构造法与高中数学解题教学（一）构造法的内涵构造法在高中数学解题中尤为常见，主要思路是运用所学数学知识，以题目中的已知条件㊁所求结论作为解题出发点，通过综合性分析，构造出能够满足题目已知条件和所求结论的新形式，进而促进原有数学问题转化，使原本繁杂的数学问题变得简单㊁清晰，以便于学生迅速形成新的解题思路．鉴于构造法的内涵，其在解题中呈现出五个显著的特点：其一，构造性，主要是借助创新思维构造模型，立足于数学问题的本质，促进数学问题的简单化；其二，直观性，主要是借助已有数学知识，结合数学题目构建新的模型，形成解题思路；其三，可行性，构造法在高中数学解题中应用范围比较广，具备极强的实用性；其四，灵活性，在运用构造法解答数学问题时，学生必须具备丰厚的知识储备量，并结合自身的解题习惯，自行选择构造数学模型的类型；其五，多样性，构造法在应用时没有定式，学生可结合具体的题目要求，构造不同的解题模型．（二）构造法的应用价值首先，提高了学生的数学解题能力．构造法作为一种创造性解决问题的方法，可以使得题目中的隐藏条件变得可视化．因此，构造法的应用有效地消除了学生在解题过程中的畏难情绪，有助于强化学生的数学解题思路，使其逐渐强化解题能力．其次，提高了学生的数学思维能力．数学学科对学生的思维能力要求比较高，而学生的思维能力和解题能力之间息息相关．构造法的应用不仅促进了学生归纳㊁类比㊁转化数学思想的发展，也促进了学生数学思维能力的发展，这为学生更好地解决数学问题奠定了坚实的基础．最后，提高了学生的知识转化能力．高中数学题目极具综合性，学生在解题时，只有将各个部分的数学知识点整合起来，通过数学知识的迁移和转化，才能完成数学题目的解答．构造法的应用将代数㊁几何㊁函数等知识点整合起来，促进了数学知识的转化，使学生能灵活运用数学知识，从不同的角度思考问题㊁解决问题．二㊁构造法在高中数学解题中的具体应用（一）构造方程，解答数学问题构造方程在高中数学解题中尤为常见，主要是立足于方程与函数之间的关系，结合题目已知条件，构造方程，解答相关的数学问题．例１㊀已知（ｍ－ｎ）ｘ２－４（ｎ－ｘ）（ｘ－ｍ）＝０，求证：参数ｍ，ｘ，ｎ所构成的数列为等差数列．解析㊀这一数学题目与数列相关．如果按照传统的解题思路，那么学生所面临的求解难度比较大，甚㊀㊀㊀解题技巧与方法１１７㊀㊀至还需要大量的运算，极易出现错解的现象．鉴于此，可通过构造方程，从题目中所求结论出发，将其与题目中的已知条件结合起来，进而形成明确的证明思路：构造二次方程（ｎ－ｘ）ｔ２－（ｍ－ｎ）ｔ＋（ｘ－ｍ）＝０．观察其各项系数特点，可发现各项系数之和为零，故方程必有一根为１．又恰好该二次方程的根的判别式Δ＝０，故该二次方程有两个等根，即由根与系数的关系，得ｔ１ｔ２＝ｘ－ｍｎ－ｘ＝１，即２ｘ＝ｍ＋ｎ，所以得证．由此可见，借助构造方程的思想，从新的角度思考和分析问题，使得原本复杂的数学问题简单化，真正提升了学生的数学解题效率．（二）构造数列，解答数学问题在高中数学教学中，数列知识尤为重要．解答这一类型数学问题时，可灵活运用构造数列的方式，结合题目中相关信息和条件要求，通过替换等方式，构建新的数列，旨在简化数学问题，提升解题效率．例２㊀已知ｎ为正整数，求证：１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＞１．解析㊀在这一题目中，已知条件非常简单，只有ｎ为正整数．鉴于此，可运用构建数列的方式寻求证明思路：令１ｎ＋１＋１ｎ＋２＋１ｎ＋３＋ ＋１３ｎ＋１＝ａｎ，则：ａｎ＋１－ａｎ＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋３＋１３ｎ＋２－１ｎ＋１＝１３ｎ＋４＋１３ｎ＋２－２３ｎ＋３＝２（３ｎ＋２）（３ｎ＋３）（３ｎ＋４）．因为ｎ为正整数，所以ａｎ＋１－ａｎ＞０，因此数列｛ａｎ｝为递增数列，根据ａ１＞１可得出该不等式成立．由此可见，按照常规思路很难求解此题，甚至还会在解题的过程中，由于步骤多㊁计算复杂等，导致出现错误．鉴于此，可通过构造数列，使复杂问题简单化，帮助学生顺利解题．（三）构建函数，求解数学问题在高中数学解题中，构造函数也尤为常见，其与构造方程本质相同．在解题中，可结合具体题目，构造函数，以此分析并解决数学问题．例３㊀已知ａ＜ｂ，ａ，ｂ，ｃ均为正实数，求证：ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．解析㊀对于这一题目，如果按照传统思路和方法进行证明，则极易陷入解题误区．鉴于此，可融入构造法，通过分析题目中已知条件，构建函数模型，形成证明思路：假设ｃ＝ｘ，将ａ＋ｃｂ＋ｃ构造成函数，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ，将ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ进行转化，即ｆ（ｘ）＝ａ＋ｘｂ＋ｘ＝ａ－ｂｂ＋ｘ＋１．该函数为增函数，递增区间为（０，＋ɕ）．又因为ａ，ｂ，ｃ均为正实数，因此ａｂ＜ａ＋ｃｂ＋ｃ．例４㊀已知关于ｘ的方程ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２＝０存在唯一的实数解，求实数ａ的值．解析㊀该题目为二次方程问题．因为题目中含有参数，所以学生在解题时常常毫无头绪．鉴于此，可结合已知条件和未知参数，通过构造函数的方式，形成解题思路：构造函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓｘ）＋１－４ａ２．因为ｆ（－ｘ）＝ｆ（ｘ），所以该函数为偶函数．假设ｘ０为ｆ（ｘ）＝０的解，则－ｘ０也为函数ｆ（ｘ）＝０的解，即－ｘ０＝ｘ０，因此，ｘ０＝０．所以ｆ（０）＝０２－（２ａ＋１）ｓｉｎ（ｃｏｓ０）＋１－４ａ２，即（２ａ＋１）（１－２ａ－ｓｉｎ１）＝０，解得ａ＝－１２或ａ＝１＋ｓｉｎ１２．由此可见，在遇到这一类型的问题时，学生可通过对已知条件㊁所求结论的分析，构造一个新的函数关系，将所求的问题转化为函数问题，进而运用函数的相关性质进行解答．（四）构造几何图形，解答数学问题在解答数学问题时，由于部分题目难度非常大，并且已知条件复杂，因此学生在分析题目时，常常难以理清思路，导致解题陷入困境．鉴于此，可运用构造法，结合题目中已知条件，构造出直观的几何图形，进而打开解题思路．例５㊀求函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６的最小值．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１８㊀解析㊀这一题目已知条件简单，但如果按照常规思路进行解题，学生则难以形成清晰的解题思路．鉴于此，可通过构造图形的方式，将题目中的已知条件直观地呈现出来．㊀ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋１３＋ｘ２－１０ｘ＋２６＝（ｘ－２）２＋（０－３）２＋（ｘ－５）２＋［０－（－１）］２．㊀图１构造平面几何图形（如图１所示），假设平面上有一点Ｐ（ｘ，０），定点Ｍ（２，３），Ｎ（５，－１）．如此，所求问题转化为求Ｐ到Ｍ，Ｎ距离的最小值．结合所学知识可知，当三点共线时，ｆ（ｘ）存在最小值，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ＭＮ＝（２－５）２＋（３＋１）２＝５．由此可见，借助构造平面图形的方式，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生通过观察，构建已知条件和所求结论之间的关系，并运用所学知识灵活解答问题．（五）构造向量，解答数学问题在高中阶段，构造向量是一种非常重要的解题方式．在具体的高中数学解题中，可运用构造法，将不等式问题㊁函数问题等构造成向量问题，进而运用向量的相关知识进行解答．例６㊀假设函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ，求该函数的最大值．解析㊀这是一道经典的函数问题，如果按照传统的解题思路解答问题，则会产生大量的计算步骤，极易出现计算错误．鉴于此，可借助构造法，运用向量的相关知识㊁性质进行解答．假设向量ｍ＝（２，１），向量ｎ＝（ｘ＋１，４－ｘ）．由于ｍ㊃ｎɤｍ㊃ｎ，因此ｙ＝ｍ㊃ｎɤ５．故当ｘ＝３时，函数ｙ＝２ｘ＋１＋４－ｘ存在最大值，为５．例７㊀在әＡＢＣ中，øＢＣＡ＝θ，ＣＢ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃ，试对әＡＢＣ的余弦定理进行证明．解析㊀可结合题目中的已知条件，构造向量：向量ＣＢң＝ａ，向量ＣＡң＝ｂ，向量ＡＢң＝ｃ．已知ｃ＝ａ－ｂ，则ｃ２＝ｃ㊃ｃ＝（ａ－ｂ）㊃（ａ－ｂ）＝ａ㊃ａ＋ｂ㊃ｂ－２ａ㊃ｂ＝ａ２＋ｂ２－２｜ａ｜｜ｂ｜ｃｏｓθ．即ｃ２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂｃｏｓθ．由此可见，借助构造向量的方法，可将原本繁杂的数学问题简单化．学生从新的视角出发，根据新的思维模式，运用所学的知识思考问题㊁分析问题㊁解答问题．三㊁基于构造法解答数学问题的教学启示课堂教学实践证明，通过构造法在高中数学解题中的应用，真正实现了 化繁为简㊁由难到易 的目的．学生结合题目中的已知条件和所求问题，构造新的关系，促进所求问题的转化．可以这样说，构造法在解题中的应用不仅提升了学生的数学解题能力，也发展了学生的思维能力，更加强了学生的数学综合素养．鉴于此，教师在日常教学中，应有意识地渗透构造法，加深学生对构造法的理解，使其能掌握构造法．一方面，学生的构造意识并不是在短时间内形成的，唯有通过潜移默化地渗透，才能达到预期的目标；另一方面，虽然构造法在解题中占据一定的优势，但并不意味着构造法适用于每一道题目，因此教师在日常解题中要带领学生积极开展一题多解训练，帮助学生掌握多种解题方法，便于学生在对比中了解构造法的解题优势和具体应用，使其在日后解题中能够合理利用这一方法．结㊀语构造法在高中数学解题中尤为常见，通过构造函数㊁构造方程㊁构造数列㊁构造平面图形等手段，可将原本复杂的数学问题简单化，便于学生形成新的解题思路，从新的视角分析问题㊁解答问题．鉴于此，教师在日常教学中，应结合实际情况，有意识地渗透构造法，不断提升学生的解题能力．ʌ参考文献ɔ［１］庄素慧．基于 构造法 的高中数学解题思路探索［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３１）：５５－５７．［２］张宏敏．应用构造法在高中数学中的解题策略［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（１８）：４９－５１．［３］刘海杰．构造法在高中数学解题中的运用措施分析［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（１２）：１４－１６．［４］丁爱年．高中数学解题教学中构造法运用分析［Ｊ］．数学之友，２０２２（０４）：２５－２７．［５］张焕生．解析构造法在高中数学解题中的运用［Ｊ］．数理天地（高中版），２０２２（０２）：１４－１５．［６］刘晓妮．高中数学解题中应用构造法的总结［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３１）：６５－６６．。
构造法在解题中的应用
构造法在解题中的应用
构造法是一种常见的解题技巧，它通过构造出满足特定条件的对象，来证明某个结论的存在性或者非存在性。
在解题中，构造法通常可以应用在以下几类问题中：
1.存在性证明问题。
比如，证明一个数列中存在质数，可以通过构造出一个满足条件的数列来证明。
2.反证法证明问题。
比如，证明某个命题不成立时，可以通过构造一个反例来证明。
3.计数问题。
比如，计算某个集合中元素的个数，可以通过构造一一对应的映射来计算。
4.结构问题。
比如，证明某个结构的存在性或者非存在性，可以通过构造出满足条件的结构来证明。
总之，构造法在解题中的应用非常广泛，可以帮助我们更好地理解问题，并且提供了解决问题的有效手段。
- 1 -。
构造法在数列解题中的应用
构造法在数列解题中的应用所谓构造法，就是根据题设条件或结论所具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助于该数学模型解决数学问题的方法。
解题中的构造法是指依据题设的特点，假借已知条件中的元素为“元件”，依托已知数学关系为“支架”，构造数学模型。
本文通过构造法解题训练学生的发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新，因为，构造法是数学中最富有活力和创造性的化归方法之一，它很好地体现了数学中发现、类比、化归的思想，同时它也渗透了思维的广泛性、深刻性和敏捷性。
就构造法的本质是什么，如何构造，进行了分析与研究，通过运用构造法进行解题的阐释，揭示了构造法的思维模式，教会学生如何去构造。
从而使学生思维和解题能力得到培养，培养学生多元化思维和创新精神，丰富学生的想象力，提高学生分析问题和解决问题的能力，并为培养学生创新思维提供了有效途径。
一、构造辅助数列在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式，但实际上有些数列并不是等差、等比数列，给出数列的首项和递推公式，要求出数列的通项公式。
而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。
对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同类型的新数列。
下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：1.利用倒数关系构造数列例1:在数列{an}中，a1=2,an+1=，（n∈N），求{an}的通项公式。
解：由已知条件，将an+1=，（n∈N）两边取倒，得到=，=+3，设bn=，则bn+1=bn+3，即bn+1-bn=3，∴{bn}是以首项，3为公差的等差数列。
通过等差数列的通项公式求出bn=+3（n-1)=3n-=，∴数列{an}的通项公式an=。
2.构造形如bn=an+m，bn=lgan的数列例2：已知数列{an}中，若a1=1;an+1＝3an+1（n∈N）,求数列{an}的通项公式。
浅谈“构造法”在解题中的妙用
浅谈“构造法”在解题中的妙用作者：游庆灯黄华敏来源：《新教育时代·教师版》2018年第34期摘要：在化未知为已知的众多思维方法中，“构造法”是一种富有创造性的化归手段，它的实质就是通过深入分析问题的结构特征和内在规律，发现需解决的问题与已有知识的内在联系，将问题转化为另一个比较熟悉的问题，再予以解决.本文通过几个具体的案例谈谈对构造法的初步认识.关键词：构造法转化数形结合创新意识及思维构造法是运用数学的基本思想经过认真的观察，深入的思考、分析，迁移联想，正确思维，巧妙地、合理地构造出某些元素、某种模式，使问题转化为新元素的问题，或转化为新元素之间的一种新的组织形式，从而使问题得以解决，这种方法称之为“构造法” .怎样构造呢？构造法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取的相应的解决方法，基本的方法是：借用一类问题的性质，来研究另一类问题的思维方法，在解题过程中，若按习惯定式思维去探求解题途径比较困难时，我们可以根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己的思维，运用构造法解题也是培养我们创新意识和创新思维的手段之一，同时对提高我们的解题能力也有所帮助。
[1]案例：人教版八（上）教材第130页第11题：一次越野赛跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人分别以米/秒和米/秒匀速跑，又过100秒时小刚追上小明，200秒时小刚到达终点，这次越野赛跑的全程为多少？[2]思考：本题从表面上似乎与函数没有关联，但却可以构造函数关系并运用函数的相关知识予以解决，由于小明和小刚两人是匀速跑，我们可以将路程看成是时间的一次函数，依题意可画出如下函数图象（图1）：根据函数图象，可设，，当=100时，；当=200时对应的与=300时对应的相等，及，，联立解得，，故此次越野跑的全程为：200×3+1450=2050.回顾本题的解答过程，通过巧妙地构造一次函数并通过函数图象形象、直观地使问题得以解决，思维活跃，解法新颖，令人回味！同类变式：方程的解的个数是.思考：尽管本道题超出了课程标准要求（可化为一元二次方程的分式方程问题），但我们仍能打破常规，从中体会到构造法的妙用！可以将方程两边分别视为反比例函数和一次函数，在同一直角坐标系中画出它们的图象（图2），观察两个图象交点的个数，即知原方程解的个数.反思：本道题的初衷是将分式方程转化为一元二次方程，再通过判断一元二次方程解的个数得到原分式方程解的个数，可在上述解决问题过程中，通过构造两个函数，将判断方程解的个数问题转化为判断两个函数图象交点个数问题，既体现了方程与函数的本质联系，又发散了思维，培养了创新意识，数学课程标准（2011版）明确指出，创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终，而创新意识正是学生所缺乏的.我们不能错失这样的好机会！可以看到，构造法虽然算不上是解决数学问题的一般方法，其技巧性较强，但是在数学很多领域都有它的身影，只要我们发散思维，丰富联想，合理构造，勇于创新，它就在你身边！对“构造法” 的理解和运用有助于我们打破思维定势，完善思维品质，达到解题境界上的升华！参考文献[1][美]波利亚.怎样解题.涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2007.[2]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版）.北京：北京师范大学出版社，2012.。
构造法在高考数学解题中的应用探究
构造法在高考数学解题中的应用探究1. 引言1.1 构造法在高考数学解题中的应用探究构造法是一种在数学问题中常用的解题方法，它利用构造新对象或者研究已有对象的性质来解决问题。
在高考数学中，构造法被广泛运用于各种类型的题目中，包括代数、几何、概率、数学建模以及解答题等。
通过构造法，可以更加灵活地解决问题，提高解题效率。
在代数题中，构造法常常用于证明方程的解法是否正确或者求解特定的解。
通过构造新的代数式或者等式，可以更加直观地理解问题，简化解题过程。
构造法可以用于证明一元二次方程有两个不同实数根的情况。
在几何题中，构造法可以用来构造特殊的图形或者角度，从而推导出问题的解。
通过构造各种几何图形，可以更清晰地看到几何关系，简化证明过程。
构造法可以用来证明三角形的角平分线相交于内心。
在概率题中，构造法可以用来构造特定的概率空间或者事件，帮助求解概率问题。
通过构造不同的概率模型，可以更好地理解问题，找到解题思路。
构造法可以用来计算抛硬币的概率问题。
在数学建模中，构造法可以用来构造数学模型，帮助分析实际问题。
通过构造各种数学模型，可以更准确地描述实际情况，指导解决问题的方法。
构造法可以用来建立人口增长的数学模型。
2. 正文2.1 构造法在代数题中的应用构造法在代数题中的应用是高考数学解题中的重要部分。
代数题通常涉及方程、不等式的求解以及函数的性质等内容，而构造法的运用可以帮助我们简洁而有效地解决这些问题。
在代数题中，构造法可以被应用于方程组的解法。
通过构造合适的方程组，我们可以很快地得到未知数的取值。
在解二元一次方程组时，我们可以通过构造一个新的方程来消去其中一个未知数，从而简化求解过程。
构造法还可以被用于不等式的证明。
通过构造一个或多个具体的数值来验证给定的不等式是否成立，我们可以快速判断不等式的真假。
构造法也可以帮助我们找到不等式的最优解。
在函数的性质证明中，构造法同样可以发挥重要作用。
通过构造一个特殊的函数形式，我们可以验证函数的性质，并推断出一些重要结论。
构造法在中学数学问题中的解题应用
构造法在中学数学问题中的解题应用摘要：本文主要是在前人研究的基础上通过收集大量资料，对用构造法解题的形式进行分类，介绍在中学数学中用构造思想方法解题的典型例子，并归纳整理出构造法在代数和几何中的应用,使得构造法在解题的应用有一个比较系统、清晰且全面的结论。
关键词：构造法中学数学问题思想方法应用一、构造法在代数问题中的应用1.构造函数解代数问题。
如何构造一个函数，构造一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想。
(1)构造函数证明不等式。
根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，是一种常用的构造方法。
构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法，它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等式关系，从而合理选择恰当的函数模型。
利用构造函数证明不等式，不仅能使解题过程简捷、明快，而且使解题方法新颖、精致，使数学解题思路突破常规，具有很强的创造性，体现独特的数学价值。
(2)构造函数证明等式。
例2 已知 a，b，c互不相等，求证：分析：如果把式子左边展开来证，是非常繁琐的,注意到a，b，c互不相等这一特性，巧构函数f(x)能富有创造性地证明本题.证明：构造函数f(x)=由于a，b，c互不相等，可知-a，-b，-c也互不相等。
因为f(x)是二次函数，而f(-a)=f(-b)=f(-c)=0，故f(x)=0恒成立，即原式成立。
2.构造方程解代数问题。
在应用方程思想解题时，主要是运用方程的两个性质，即韦达定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式。
根据韦达定理及其逆定理构造一元二次方程解代数题。
有些数学问题未必是方程问题，但我们可以构造辅助的方程进行求解。
用方程思想构造方程解题非方程问题有一定的规律性：已知两个或多个数之和、之积的对称式，利用韦达定理的逆定理构造两次或高次方程；当问题中出现形如“b2-4ac”的式子时，可构造出以“b2-4ac”为判别式的二次方程ax2+bx+c=0的形式。
浅议构造法在初中数学解题中的有效运用
一、重视题意分析
分析题意 是 大 多 初 中 学 生 所 必 须 要 掌 握 的 一 项 内 容ꎬ也只有弄 清 题 目 的 具 体 意 思ꎬ 并 据 此 找 到 已 知 条 件、 未知条件、隐 含 条 件 等ꎬ 才 能 理 清 条 件 与 问 题 之 间 的 关 系ꎬ并尽快找到问题的切入点以及解题的具体思路. 在采
— ３３ —
了一道题目ꎬ已经知道三角形 ＡＢＣ 为锐角三角形ꎬ那么 ｓｉｎＡ
＋ ｓｉｎＢ ＋ ｓｉｎＣ > ｃｏｓＡ ＋ ｃｏｓＢ ＋ ｃｏｓＣ 是否成立? 学生刚开始看
到这道题目的时候ꎬ可以根据所学内容对题意的条件进行整
理分析ꎬ并找到隐含条件“ Ａ
＋Ｂ
>
π ２
ꎬ则
Ａ
>
π ２
－ Ｂ”、“ｙ
＝
ｓｉｎｘ
在(０ꎬ
π ２
)
上为增函数”.
但由于学生对三角函数这部分
内容的理解与掌握程度仍然不够ꎬ教师可以先重点讲解三角
函数的内容ꎬ帮助学生及时进行查漏补缺ꎬ并找到具体的
解题思路. 由此可见ꎬ在初中数学解题教学中采用构造法
帮助学生进行解题ꎬ可提高学生的题意分析能力ꎬ从而让
其在今后的解题过程中能有针对性地采用题目中给出的
３. 注重正面引导的激励措施 在学生学习的过程中每取得一个小的成功ꎬ就让学 生进行自我奖赏ꎬ达到学生预想目标ꎬ就给自己什么样的 奖励. 每一次小进步ꎬ每一次小目标的实现ꎬ都是对自我 的一个肯定. 这样通过目标的设定ꎬ奖励的激励来巩固自 己的行为ꎬ增强学生自信心ꎬ让学生在不知不觉中对学习 感兴趣ꎬ甚至爱上这么功课ꎬ让学生在学习过程中有获得 感ꎬ存在感、成功感. ４. 注重分层分类的教学策略 加强对尖子生的培养和对后进生的辅导ꎬ采取“ 抓两 头ꎬ促中间” 的教学策略. 对优生不仅要布置提高题ꎬ还要 利用课后对提高题进行评讲ꎬ让他们拓展知识面ꎬ提高分 析问题和解决问题的能力. 对于后进生ꎬ采取以鼓励为 主ꎬ从基础抓 起ꎬ 从 学 习 兴 趣 入 手ꎬ 利 用 课 余 时 间 进 行 辅 导ꎬ通过同学 之 间 的 互 助 学 习 小 组 等 方 式 来 提 高 他 们 的 学习成绩.
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法在高中数学解题中的应用方法
构造法是一种常用的数学解题方法，特别适用于几何问题的解决。
下面我们将介绍在
高中数学解题中构造法的应用方法。
一、构造辅助线：
1. 构造线段、角的等分线：通过构造等分线可以将原先复杂的形状简化为几个简单
的相等的部分，便于解题。
2. 构造三角形的高线、中线、角平分线：通过利用三角形的性质，可以确定三角形
的一些特殊线段，从而解题。
3. 构造平行线、垂直线：通过构造平行线和垂直线，可以得到一些等角关系、相似
三角形等，从而解题。
二、构造形状：
1. 构造圆、三角形、四边形：通过构造几何形状，可以利用其性质来解题。
2. 构造相似形：通过构造相似形状，可以利用相似三角形等性质来解题。
三、构造特殊点：
1. 构造重心、垂心、外心、内心：通过构造特殊点，可以利用它们的性质来解题。
2. 构造交点、中点：通过构造交点和中点，可以得到一些等分线段、等角关系等，
从而解题。
四、构造长度关系：
1. 构造比例关系：通过构造长度的比例，可以利用这些比例关系来解题。
2. 构造勾股定理：通过构造特殊的长度关系，可以利用勾股定理来解题。
构造法是一种灵活但有效的解题方法，在高中数学解题中应用广泛。
通过构造辅助线、形状、特殊点和长度关系等，可以利用它们的性质来解决各种几何问题。
在解题过程中要
善于观察和发现，合理运用构造法，提高解题的效率和准确性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅谈构造法在解题中的运用
摘要：新课改明确要求教师必须在教学中逐步培养学生创新的意识和精神，因此构造和创新是数学教育始终培养的综合目标，构造能力也是学生必须具备的数学素养。
这就要求学生掌握渗透于数学知识中的数学思想方法，使他们能用数学知识和方法解决问题。
构造法是属于非常规思维，其本质特征是“构造”。
“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。
从“构造函数”“构造方程”等常见构造多个角度举例说明应用构造法解题的基本构思途径。
关键词：构造法；函数；方程；解题
一、构造函数
例1.设x，y为实数，且满足关系式：
（x-1）3+1997（x-1）=-1（y-1）3+1997（y-1）=1
则x+y= 。
分析：此题若用常规解方程方法，分别求出x和y的值后再求x+y 则非常困难，因为三次方程解法我们并不熟悉。
如果我们注意到方程组中两个方程的结构非常相似，即（x-1）3+1997（x-1）= （1-y）3+1997（1-y）=1，我们应该能够想到构造函数f（t）=t3+1997t，所以f′（t）=3t2+1997>0。
解：构造函数f′（t）=3t2+1997，所以f′（t）=3t2+1997>0恒成立，
因此，函数f（t）=t3+1997t在r上为增函数，所以f（x-1）=f
（1-y）=1，所以x-1=1-y，即x+y=2。
指出：此题利用函数的单调性与函数值的关系巧妙地得到两个未知量的等量关系，从而使问题迎刃而解。
二、构造方程
例2.已知p3+q3=2，求证：p+q≤2。
分析：此题条件是等式，结论是不等式，若直接从等式过渡到不等式比较困难，若我们把p+q看作一个整体变量，则pq就可以用这个变量表示，由韦达定理可以构造一个一元二次方程，这个一元二次方程的两个根分别为p和q，再根据判别式可求出p+q的范围。
解：设p+q=k，因为p3+q3=（p+q）（p2-pq+q2）=2>0，
而p2-pq+q2>0恒成立，
则p+q=k>0，根据条件易求得：pq=■
构造方程x2-kx+■=0，易知方程的两个根就是p和q，
所以判别式δ=k2-■≥0，解得：k≤2，即p+q≤2。
指出：此题通过构造方程设法构造一个一元二次方程，使p和q 以其系数或常数项的面目出现，再由δ≥0得到不等式。
三、构造图形
例3.已知x，y，z∈（0，1），求证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1。
分析：初看此题，不等式中含有三个变量，直接证明，比较棘手。
我们仔细观察发现不等式的左边是三个两项积的和，两项的乘积联系几何中的知识就很容易联想到三角形的面积。
证明：构造等边三角形abc，且边长为1，设p、q、r分别为ab、bc、ac上的动点（不包括端点），设ap=x，bq=z，cr=y，如图所示：根据三角形面积公式可得：
■
则s△apr=■ap·arsin60°=■x（1-y）
s△cqr=■cr·cqsin60°=■y（1-z）
s△bpq=■bq·bpsin60°=■z（1-x）
又因为s△apr+s△cqr+s△bpq<s△abc，且s△abc=■
所以■x（1-y）+■y（1-z）+■z（1-x）<■
即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1
总之，构造法是一种富有创造性的思维活动，一种数学方法形式的构造决不是单一的思维方式，而是多种思维方式交叉融汇在一起共同作用的结果。
构造的形式多种多样，还有构造向量、构造数列等，这里我们不再一一列举了。
通过对以上例题的分析，不难看出，构造法对增强解题能力、培养思维品质有着不可低估的作用。
数学的魅力在于追求简单，而解题中的巧妙构造，往往有化繁琐为简洁之功效，是对数学美最好不过的一次注释。
参考文献：
[1]管宏斌.构造对偶式的八种途径.数学教学，2005（07）.
[2]邵光华.数学思想方法与中学数学.北京：北京师范大学出版社，1999.
[3]宋玉连.构造法在解题中的应用刍议.连云港教育学院学报，
1999（2）.
（作者单位浙江省苍南县钱库高级中学）。