全国中学生物理竞赛课件：曲线运动曲直谈

一、曲线运动的发生条件 F 合外力方向与速度方向不在一直线

二、曲线运动的特点 速度方向一定变化

切向力改变速度大小 法向力改变速度方向 v

Fn Ft

三、求解曲线运动问题的运动学基本方法 矢量的合成与分解 微元法 曲线运动的加速度 ♠质点的瞬时加速度定义为

0limtvat



A vB vnv

tv

0limnntvat

0limtttvat



为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度an与切向加速度at．

O A点曲率圆



nA

vvAB

nA

vvABtt

0limAnta



0limAtvABt

2

nv

a

A点曲率圆半径 0limtttvata

B

在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳

的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度与加速度的大小各为多少？

专题7-例1

依据实际运动效果分解船的运动： v0

A v

vn h

s vt

船及与船相系的绳端A的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之A端一方面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度v分解成沿绳方向“收短”的分速度vn和垂直于绳方向的转动分速度vt;

注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率v0也就是绳端A点沿绳方向移动速率vn:

由图示v、vt、vn矢量关系及位置的几何关系易得：

0nvv

00cotthvvvs

0sin

vv则

22

0hsvs

求船的速度 续解 求船的加速度 在一小段时间Δt内,船头位置从A移A′，绳绕滑轮转过一小角度Δθ→0:

A v

v0 vt

A



vv0 tv



0sinvv



读题 011sinsinvv

由加速度定义得：

0limtvat0

costancosthhtvv

由几何关系得：

cosh



00011sinsinlimtancosvahv







则



2

0

0sinsincoslimtansinsinvh





20

0cossincos22limtansinsin2vh









230

cotvh

2203

vh

s32

0vh

hs



 质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动．每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度at与法向加速度an，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢．

如图所示，质点从O点由静止开始沿半径为R的圆周做速率

均匀增大的运动，到达A点时质点的加速度与速度方向夹角为α，质点通过的弧s所对的圆心角为β，试确定α与β间的关系．

专题7-例2

vA a A O β s

at

an 由题给条件

22tn

at

aR则

222,Antaasv

Rt



而 22

,AtvatsR

2nt

t

aat

aR

2

22st

tR2

tanntaa又 tan2 如图所示，质点沿一圆周运动，过M点时速度大小为v，作加速度矢量与圆相交成弦MA=l，试求此加速度的大小．

将M点加速度沿切向与法向进行分解! v

a M

A l O

at

an 法向加速度 2

sinnvaaR



22av

l

sin=2而lR

2sinvaR 如图所示，曲柄OA长40 cm,以等角速度ω=0.5rad/s绕O轴反时针方向转动．由于曲柄的A端推动水平板B而使滑杆C沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角θ=30°时，滑杆C的加速度．

杆A与B板接触点有相同沿竖直方向的加速度 ! 杆上A点加速度 2Aal

O A B C

ω θ aA

aAy aC

20.05m/sBa

21sin2AyAaalθ

此即滑杆C的加速度 CAyaa

代入数据得滑杆C的加速度 有一只狐狸以不变的速度v1沿着直线AB逃跑，一猎犬以不变的速率v2追击，其运动方向始终对准狐狸．某时刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD＝L，如图．试求此时猎犬的加速度的大小．

设Δt时间内，v2方向变化Δθ, Δθ→0时: F

L A B

D AB



v1

v2 v2

v

1vtv2 1tanvtL





由加速度定义，猎犬 加速度

0limtvat2

0limtvt



12avvL

赛车在公路的平直段上以尽可能大的加速度行驶，在0.1 s内

速度由10.0m／s加大到10.5 m／s，那么该赛车在半径为30 m的环形公路段行驶中，要达到同样大的速度需要多少时间？当环形公路段的半径为多少时，赛车的速度就不可能增大到超过10 m/s？（公路的路面是水平的）

直线加速时车的加速度 : 20005m/st

vvat



在环形公路上，法向加速度 2tn

vaR

0tt

vvat切向加速度

2220ntaaa

代入数据 4210.50.25

25900t0.15t

200m

vaR当轨道半径令法向加速度大小等于a0:

无切向加速度，赛车速率不会增加

m20mR 质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0

．在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经

时间T质点的速度v．

设速率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间Δt，由题意有 本题用微元法

210limiiiitivvvtR





1201limliminiiitniivvTtRv

则1111limnniiiRvv01121111111nRvvvvvv111limniiniiivvRvv

011Rvv



0

0

Rv

RvvT

若速率从v0减小, 有

00

Rv

RvvT