第二章 物体几何要素的投影

X
ax a
●
ay
ay
YH
5.特殊位置点的投影
（1）投影面上的点有一个坐标为零，其在该投影面上的投影与 该点重合，另两个投影在相应的投影轴上（如点B、C）。
（2）投影轴上的点有两个坐标为零，其在包含这条轴的两个投 影面上的投影都与该点重合，另一个投影在原点O（如点D）。 （3）处于原点的点，三个投影都与原点重合，坐标为（0,0,0）
可知：a 由XA、YA确定
a由XA、ZA确定 a由YA、ZA确定
4.点的三面投影特性
a● ax
Z
az
Z
●
a
V
a
●
az
●
X
O ayW
Y
X
ax
A O
●
a
W
a
●
ay
H Y
a
●
Y
ayH
（1）点的投影连线垂直于投影轴
1. aa⊥OX 轴
2. aa⊥OZ 轴
3. aayH ⊥OYH , aayW ⊥OYW
例
过点C 作水平线CD 与AB 相交。
b c● a k d
先作正面投影
O
X
a c k
●
d b
（3） 两直线交叉
1(2 ) 3 4
●
d
两直线相交吗？ b
O
a c
X
●
●
投影特性：
c
●
2
●
同面投影可能相交，但 “交点” b 不符合空间一个点的投影规律。
a
●
1 3(4 )
d
Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
画透视图 画斜轴测图
画工程图样及 正轴测图
中心投影法
投影特性:
投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影 的大小有影响。度量性较差。不适于绘制机械图样。 优点：直观性好、立体感强，适于绘制建筑物的透视图
平行投影法
直角（正）投影法
斜角投影法
投影特性：
投影大小与物体和投影面之间的距离无关; 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
投影特性：
① 在所平行的投影面上的投影反映实长，该投影与投影轴 的夹角分别反映直线对另两投影面的真实倾角。 ② 另两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且长 度小于实长。
一投影反映实长,另两投影平行投影轴
3.投影面垂直线
铅垂线 a b
X Z
a b
YW
正垂线 Z c(d) d
●
侧垂线
投影。
二、两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的上下、 前后、左右位置关系。
判断方法： x 坐标大的在左；y 坐标大的在前；z 坐标大的在上。
点A在点B的左前上方。
例：如图，已知点A的三投影，另一点B在点A上方8mm，左方 12mm，前方10mm处，求点B的三个投影。
作图步骤：
1)在a′左方12mm，上方8mm处 确定b′；
H
3.点的投影与直角坐标的关系
将三投影面体系看直角坐标系，空间点 A 的位置用三 个坐标（XA、YA、ZA）表示。
Z
V
a
●
az
●
a (XA,ZA)
●
Z
az
O
●
a (YA,ZA)
Y
X
ax
A(XA,YA,ZA)
z a
●
x
a
●
O
W
ຫໍສະໝຸດ Baidu
X
ax
y
Y
aYW
aY
●
H
a(XA,YA)
Y
aYH
Aa= oax = aay = aaz = XA Aa= oax = aax = aaz = YA Aa = oaz = aax = aay = ZA
二、三投影面体系中各种位置直线的投影特性
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面） 平行于某一投影面而
水平线（平行于Ｈ面） 统称特殊位置直线 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
定比定理
例1
判断点C是否在线段AB上。
① a
X
c
b
O
②
a
c
●
b
b
X
a
c
a
O
c
b
点C在直线AB上
点C不在直线AB上
例2
判断点K是否在线段AB上。
a k ● b
Z
a
●
k
b
YW
X
O
a k● b
YH
因k不在ab上， 故点K 不在AB上。
方法二：应用定比定理
例2－1（P30）
练习：
习题集P13 2. 习题集P14 6.
2.3
直线的投影
a●
●
两点确定一条直线，将两点的同面投 影用直线连接，就得到直线的同面投影。
Z
●
a
●
一、直线及直线上点的投影特性
A● M● B● a≡b≡m
● ●
b
O
b
YW
X
B
a● b
●
YH A● α
●
B
A●
●
b
●
a●
a●
b
直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性
线段平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
反映实形
线段倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=Abcosα
类似性
由正投影的基本特性可知：
（1）直线的投影一般仍为直线： （2）直线上点的投影，必在直线的同名投影上； C∈AB ， 则有c ∈ab ， c′∈a′b′， c″∈a″b″。 即，如果点的各个投影 均在直线的同面投影上， 则点在直线上。在图中， C点在直线AB上，而D、 E两点均不满足上述条件， 所以都不在AB直线上。
小 结：
Z
1、点的投影连 线垂直于相应的 投影轴。
Z
V
a●
●
az
A O
●
X
ax
a
W
a
●
az
O
●
a
a●
H
YW
ay
Y
X
ax
a
●
ay
ay
YH
2、点的投影到投影 轴的距离等于空间点 到投影面的距离。
例1 已知点C的两个投影c和c，求作 其水平投影c。
Z
c● cx
cz
●
c cy
w
X
o
cy
H
Yw
通过作45°转 宽线使 ccz=ccx
c
●
YH
例2
已知点的两个投影，求第三投影。 解法二
Z Z
●
解法一
a●
X
az
o
a
a●
Yw X
az
o
●
a
ax
ax
Yw
a● a●
YH
YH
练习：
1.已知点A 的两面投影（H 面、W 面）求点A 的第三 面投影；
2.已知点B 的坐标为（25，20，30），求点B 的三面
O
b
d
YW
c
对于特殊位置直线，只有 两个同面投影互相平行，空间 直线不一定平行。
d
a
YH
求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
（2） 两直线相交
V a
X
c
k C
b d K D d k B
O X
交点是两直 线的共有点
c a b
k
d
O
A a
c
b
H
a
c k
d b
判别方法：
若空间两直线相交，则其同面投影必相交， 且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
（3）直线上点分割直线段之比等于其投影之比。
判别方法：
V c
C
b
B
a ◆ 若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同面投影上。 X 并将线段的同面投影分割成与 空间相同的比例。即：
O A
b a c
AC/CB=ac/cb= ac / cb
◆若点的投影有一个不在直线 的同面投影上， 则该点必不在此直 线上。
c
YW X
e
f
Z
e(f)
●
O
●
X
O
O
d
YW
a(b)
YH
c
YH
e
f
YH
投影特性:
① 在所垂直的投影面上，投影积聚为一点。 ② 另两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且 长度反映空间线段的实长。
一投影具有积聚性,另两投影垂直投影轴且为实长
练习1：判断下列立体中的AB、BC、AC、SA、SB、 SC线段属于那类线段。
第二章 物体几何要素的投影
2.1 投影法的基本知识 2.2 点的投影
2.3 直线的投影
2.4 平面的投影 2.5 直线与平面、两平面的相对位置
2.1
一、投影法
投影法的基本知识
投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该平
面上得到图形的方法叫投影法。所得图形叫投影，选
定的平面叫投影面。 二、投影法分类 中心投影法 投影方法 平行投影法 斜角投影法 直角投影法（正投影法）
1.一般位置直线
投影特性：
①三个投影都缩短，且都倾斜于投影轴。 ②都不反映空间线段的实长及与三个投影面的真实倾角。
2.投影面平行线 水平线
a
X
b
Z
a b
YW
实长
正平线
a
γ
侧平线
a b
YW X Z
Z
b
X
α
a b
a 实长
β
α
O
O
O
b
YW
a
β
a
b
YH
γ
实长
b YH
b
a
YH
与H面的夹角:α；与V面的角:β; 与W面的夹角: γ。
练习：习题集P17 ， 2
“交点”是两直线上的一 对重 影点的投影，用其可帮助判断 两直线的空间位置。
四、一边平行于投影面的直角的投影
直角投影定理：
1. 空间两直线成直角（相交或交叉），若两边都与某投影面
平行，则在该投影面的投影成直角； 2. 若两边都与某投影面倾斜，则在该投影面上的投影不是直角； 3. 若其中一边平行于某一投影面，则在该投影面上的投影仍是 直角。 反之，若相交（包括交叉）两直线在某一投影面上的投影互相 垂直，若其中一条为该投影面的平行线，则这两直线是空间互
2)作b′b⊥OX，且在a前10mm处 确定b；
3)按投影关系求得b″
重影点
空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在 该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。
V面重影点，前者可见（前遮后） H面重影点，上者可见（上遮下） W面重影点，左者可见（左遮右）
A、C为V面的重 影点（被挡的 加括号）
AB、BC为水平线；AC为侧垂线； SB为侧平线；SA、SC为一般位置直线
练习2：判断线段AB、AC和AD属于那类线段
AB为正平线； AC为正垂线； AD为铅垂线
三、两直线的相对位置
平行
空间两直线的相对 位置分为三种： （1） 两直线平行
b a A X a b B c C d V
同面直线 异面直线
●
ay
YW
X
ax
A O
●
a W ay
Y
ay
YH
a 向下翻
●
H
画图时，不必画出投影面的边框线和投影轴上的ax、
ay 、ay 、az； 其中W面上的一段垂直OYW，H面上
H W
的一段垂直OYH，中间可用折线、45。斜线或以O为
圆心的圆弧联系起来。
V Z W
a
●
az
O
●
a
ay
YW
X
ax a
●
ay
YH
相交
交叉
投影特性：
D O
空间两直线平行， 则其各同面投影必相互 平行，反之亦然。
H
c
d
例1
判断图中两条直线是否平行。
①
a
X
b
d
c c b d
对于一般位置直线， 只要有两个同面投影互相 平行，空间两直线就平行。 O AB//CD
a
例2
判断图中两条直线是否平行
② c
a
Z
c
a
d
X
b b
—投影
面—物体”的位置关系。假想投 影面是透明的，是一种透视效果。
2. 点的三面投影
a a a
Z
点A的正面投影 点A的水平投影
V
a●
●
A
O
点A的侧面投影
X
●
a
W
a●
H
Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
投影面展开
不动
●
V
Z
Z
向右翻
a
●
az
O
a
W
V
a
●
az
●
X
ax a H
交线为OZ投影轴，H与W面的交线为
OY投影轴，如图所示。
两种投影体系的比较
第三角画法也是以正投影法为主，与第一角的区别在 于观察者、投影面和物体三者之间的相对位置关系不同。 第一角画法是将物体置于第一
角内，物体在人与投影面之间，
保持“人
—物体—投影面”的相
互位置关系。而第三角画法是将 物体置于第三分角内，投影面在 人与物体之间，保持“人
三种投影法的比较：
三、正投影的基本特性
（1）平行性。 空间平行两直线，在其同 一投影面上的投影一定相互平行。 （2）从属性。 点在直线（或平面）上，则 该点投影一定在直线（或平面） 的同面投影上 （3）定比性。 点分割线段之比投影后该比 例不变；空间平等的两线段之比 投影后该比例不变
（4）不变性。 当平面或直线与投影面平行时， 其投影反映实形(或实长)，这种投影 特性称为不变性。如:P、AB （5）积聚性。 当平面或直线与投影面垂直时， 则在投影面上的投影积聚为一条线或 一个点，这种投影特性称为积聚性。 如：面B、线CD
（6）类似性（形）。 当平面或直线与投影面倾斜时,其投影的面积变小或长度变短， 但投影的形状仍与原来形状类似,这种投影特性称为类似性。如：面R
注意：
（1)投影不等于影子
（2)仅有一个投影 不能准确、真实地 表达物体的形状。
2.2 点的投影
一、 点在三投影面体系中的投影 点的投影仍为点
过空间点A的投射线与投影面P 的交点即为点A在P 面上的投影。 点在一个投影面上的投影不能 确定点的空间位置。 B3 B2
（2）点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也等于 该点到相邻投影面的距离:
aay = aaz= XA＝ A 到W 面的距离 aax= aaz= YA = A 到V 面的距离 aax= aay= ZA＝ A 到H 面的距离
a
●
Z
az
O
●
a
YW
根据点的投影特性，由点的任
意两个投影，即可确定点的3 个坐标，并求出第3个投影； 或由空间坐标确定点的三面投 影
● ●
P
A
●
●
a
P
B1
● ●
b
解决方法：采用三面投影。
1.三投影面体系
以三个相互垂直的平面作为投影面，
便组成了三投影面的体系。 正平面V：正立放置，即正立投影面 水平面H：水平放置，即水平投影面 X 侧平面W：侧立放置，即侧立投影面 三个面的交点为投影原点O，V 与H面的交线为OX投影轴，V与W面的 H Y O W V Z