分式要点和典型例习题

分式要点和典型例习题

【知识网络】

【思想方法】 1．转化思想

转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想

本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法

本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程．

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第一讲 分式的运算

【知识要点】1.分式的概念以及基本性质;

2.与分式运算有关的运算法则

3.分式的化简求值(通分与约分)

4.幂的运算法则

【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:

()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac •=,b c b d bd

a d a c ac

÷=•=

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －

n

（

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m )

n

= a mn

7.负指数幂: a -p =

1p

a a 0=1

8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y

x y

x y x y x b a b a y x x -++-+--1,

,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

（5）x

x 11-

?

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）3

1

+-x x

（2）

4

2

||2--x x （3）653

222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正；

（2）当x 为何值时，分式2

)

1(35-+-x x 为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2

+-x x 为非负数. 练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x （3）

x

111+

-

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

3．解下列不等式 （1）

01

2

||≤+-x x （2）

03

252>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：

b a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. ￥

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y

x y

x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+y x ，求y

xy x y

xy x +++-2232的值.

提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x 11+. 【例4】已知：21=-

x x ，求221

x

x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y

x 241

-的值.

练习： '

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1

242

++x x x 的值.

3．已知：

311=-b a ，求a

ab b b ab a ---+232的值. 4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值.

5．如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； —

②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.