基于矩阵论的电路网络拓扑分析

基于矩阵论的电路网络拓扑分析

【摘 要】电路分析是电子专业领域人员必需的一项能力。该知识具有概念性强、电路分析繁杂、求解计算量大的特点。为了缓解此问题，因此引入了矩阵理论，并结合 MATLAB 软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。 本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予 MATLAB 求解。

【关键词】电路分析；矩阵法；网络拓扑

0 前言

矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答，当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。

电子领域基础知识电路分析中， 经过理论分析后形成线性方程组，求未知解是电路分析的一项基本技能。而求解线性方程组使用矩阵理论，优势十分明显。 例如某电路网孔法求网孔电流 a i 、b i 、c i ，其中电阻、供电电压为已知。

网孔方程为：

()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=-+++-=++0i 0i u i -i c 765555433b 3a 321R R R i R i R R R R i R R R R R b

c b a s （1）

上述方程（1）在求解过程中相对简单，但如果未知量继续增多，则利用初等代数方法求解线性方程组就比较困难，相当繁杂。借助矩阵理论，可将方程式

（1）变换为如下矩阵形式：

s c b a u i i R R R R R R R R R R R R ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++--++--++001R 1i 00

765555433332 矩阵形式方程（2）可表述为 s u B AI =。（A 表示方程组系数矩阵；I 表示网孔电流列向量 ；s Bu 表示网孔电源列向量。)

1 网络拓扑性质的矩阵表示

当电路结构比较简单时，直接利用 KCL 、KVL 或网络的各种方法列出必要的方程并不十分困难，但当电路结构比较复杂时，前述方法就显得很不适应，特别是如何在计算机上把输入的数据自动地转换为所需要的方程，就需要利用网络拓扑和矩阵代数的概念去完成这一任务。

网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论，对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。

在网络分析中，列写网络方程的主要问题是如何正确地选择其独立变量，“网络图论 ” 的基本概念为选取这种独立变量提供了理论依据。

网络图论的基本概念包括：支路(Branch)、节点(Node)、图（Graph)、树（Tree)、回路（Loop)、割集（Cut)等。

在网络图论中， 图所涉及的仅表明网络中各支路的联接情况，而不涉及元件的性质。 即它只是用以表示网络的几何结构（或拓扑结构）的图形。

1．1 关联矩阵

关联矩阵：描述支路与节点的关联

图 1 所示有向连通拓扑图有如下特征： 节点数 n=4，支路数 b=5。

图 1 关联矩阵有向连通拓扑图 图 2 回路有向连通拓扑图

关联矩阵 A 中行对应于节点，列对应于支路。 取值 1、-1 表示支路与节点关联，并体现出流出或流入节点，取值 0 表示不关联。

其中 KCL 方程：AI=0；KVL 方程：U=ATV 。 其中 A 为关联矩阵；I 为支路电流列向量；U 为支路电压列向量；V 为 n-1 个独立节点电压列向量。

1．2 回路矩阵

回路矩阵：描述支路与回路的关联性质

具有独立回路如图 2 所示有向连通拓扑图有如下特征：

节点数 n=4、支路数 b=6；树支数 n-1=3，连支数 b-(n-1)=3。

若选定支路 b1、b2、b3 为树支，则 b4、b5、b6 为连支。

行对应一回路，列对应一支路。

1．3 割集矩阵

割集矩阵：描述支路与割集的关联性质。

具有割集状态如图 3 所示有向连通拓扑图有如下特征：

节点数 n=4、支路数 b=6;树支数 n-1=3，连支数 b-(n-1)=3。

若选定支路 b1、b2、b3 为树支，则 b4、b5、b6 为连支。

基本割集为单树支割集如3所示321C C C 。

割集矩阵 C 中行对应于基本割集， 列对应于支路。 KCL ：CI=0；

KVL ：X T U C U =。X U 为割集电压列向量。

图 3割集矩阵有向拓扑图 图 4 基本电路结构

1．4 A 、B 、C 与节点法、回路法的关系

根据关联矩阵 A 、回路矩阵 B 、割集矩阵 C 基本知识，分析图 4 所示电路结构可得如下关系：

（1）标准支路伏安关系：sk sk k k k U I Z I Z U ...k .-+=

（2）矩阵支路伏安关系：s ....I U Y U Y I s b b b b -+=（其中b Y 为支路导纳矩阵，等于阻抗的倒数）

（3）支路电压与节点电压关系：m T U A U .b .=

（4）支路电流关系：b I A U .b .=

（5）节点电压关系：n n I Y Y ..n =（其中T b A AY Y =n ；s b s n U AY AI I .

.-=） 2 利用节点法求解电路具体实例

图5 电路结构图

2.1节点法求电路各支路电流、支路电压

（1）图 5 所示左图为电路结构，右图为其拓扑图。 选定地点作为参考点，对其余节点分别编号为①、②、③；

（2）拓扑图支路分别编号为 1、2、3、4、5 并按图中所示选定支路方向。

（3）列出相关矩阵。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101-1001-1A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100000000000000000000b 2311Y ； ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=01000s U ；⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1-0000s I （4）求解矩阵参数n .

I 、n Y 。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----==210151013T b n A AY Y ；⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-=102s ...U AY I A I b s n ； （5）计算结果。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⇒=-48.004.068.0.

1.n ..n n n n n I Y U I U Y 由此可知：①点电压为 0.68V ；②点电压为 0.04V ；③点电压为-0.48V 。

2．2 利用 MATLAB 实现计算机程序求解

A=［1 0 0 1 0；-1 1 1 0 0；0 -1 0 0 1］；

b Y =［1 0 0 0 0；0 1 0 0 0；0 0 3 0 0；0 0 0 2 0；0 0 0 0 1］

； s U =［0 0 0 -1 0］

； s I =［0 0 0 0 -1］

； ，

A Yb A Y **=n ； s s U Yb A I A I **-*=n ；

n n n I Y inv U *=)(；

3 结束语

通过对电路的矩阵论分析，充分体现了数学优势所在。 实际使用中，网络拓扑理论既达到了优化电路求解的目的，又实现了数学的学科转移，真正做到了学以致用。 实践证明，基于矩阵的网络拓扑分析和电路求解的完美结合，使电路分析趋于简单。