矩阵论在机械工程中的应用

西安理工大学

研究生课程论文/研究报告

课程名称：矩阵论

任课教师：XXX

论文/研究报告题目:

矩阵论在机械工程中的应用

完成日期：2013 年10 月22 日

学科：矩阵轮

学号：

姓名：袁XX

成绩：

矩阵论在机械工程中的应用

摘要：矩阵论在机械工程中无论是在设计、制造、运行、试验、测试过程中都有广泛应用。矩阵论使得机械工程的许多计算变得简便。

关键词：矩阵论；机械设计；机械制造、机、电、液复合系统；数控机床；机器人； 引言：机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测璧等过程巾,经常要处理许多变量和变量之间的关系,这些变量间常存在着线性关系,而某些非线性关系的问题,在一定条件下也可以用线性关系近似表示,因而许多问题就涉及求解线性方程组。例如描述液压或机械系统运动微分方程组的求解,各种机械部件强度设计或应力求解,汽轮机、柴油机气缸等部件用有限元素法求解温度场等等.又例如,从一组测量数据

y x i i ,,(i=0,1,2…)去求出表示变量y 与二函数关系的近似公式x a a a n n x x f y +++==....)(10解的问题,可归结为求解以多项式系数

a a a a n ......,,210为未知量的线性方程组;再如,用有限元素法求构件应力分布,就要建立并

求解以节点位移为未知量的线性方程组,这类方程组中也常有几百个未知量,构成大型线性方程组;另外在推导一复杂控制系统的数学模型时,由于其输入和输出的数量可达数百个,使描述系统运动的微分方程组非常复杂综上所述,如果我们利用“矩阵运算”来表达这些大型线性方程组,可以具有符号简单、运算简易、分析方便、求解迅速等优点,因而它已得到了广泛

的应用.本文拟对矩阵论在机械工程中的应用作一简要介。【1】

矩阵论在机械设计过程中的应用

在机械设计过程中矩阵的应用，十分广泛。在机械结构的校核阶段需要对机械结构的强度、刚度、柔度进行设计、校核计算，在运用弹性力学，理论力学等复杂力学知识进行校验时存在许多变量之间的关系，用普通数学方程来表示会显得十分冗杂，并且求解过程也不是很方便，往往通过矩阵来表示他们之间的关系，通过矩阵来求解未知变量。例如：摩擦接触在工程中很普遍,如齿轮传动、摩擦传动等。摩擦的影响给原本就很复杂的接触分析带来了巨大困难,所以,摩擦接触行为的分析,被认为是固体力学中最具挑战性的问题之一，国内外许多学者致力于摩擦接触问题的研究，有人采用增量解法，理论阐述严谨，算例解答合理，具有一定的权威性,许多学者都引用它的算例和分析结果，不足之处是占内存大,迭代求解过程繁琐，计算量大。这也是摩擦接触分析面临的普遍困难，在一定程度上限制了它的工程应用。有人提出三维弹性接触分析的边界元柔度矩阵法来解决这个问题，这种方法计算也是矩阵在机械工程中应用的一大体现，矩阵的应用大大减少了边界元处理的数据量、建模简便、求解精度高而且由于柔度矩阵的使用使得在用计算机进行运算时占用内存少，迭代速度明显提升

【2】。在机械动力学设计过程中，由于要计算各点在每一时刻的位姿，必须引入矩阵来描述各个构建的位姿、速度、加速度。虽然可以通过各种仿真软件来进行仿真，但其内部计算都是通过一系列的矩阵运算、变换来完成的。例如：凸轮一连杆组合机构是纺织、轻工等多种工作机械中应用非常广泛的一种组合机构。它除可以保持原来凸轮机构和连杆机构的基本功能外,还能在运动学、动力学和传动性能等方面获得优良的性能,它能分别或同时准确地实现

给定的运动规律或运动轨迹。研究凸轮一连杆组合机构综合方法的文献甚多，综述之，所用方法有图解法和解析法。在图解法中，若采用手工绘图，其结果十分粗略，无法达到应用的水平，若采用计算机仿真其原理，多为矩阵的变换。在解析法中,主要采用环路矢量法【3】，若不采用矩阵，现有的解析法由于在分析中引入的中间变量较多，所列的非线性方程组较为繁杂，方程维数多，求解较难。采用矩阵来描述和求解凸轮轨迹以及连杆的运动，就可以简化计算。

矩阵在机械制造过程的应用

在机械制造过程中，由于刀具和工件之间存在着及时的位姿关系，为了定位到工件的特定位置就需要，通过矩阵来计算工件的装卡位姿以及刀具轨迹。

矩阵在机、电、液等复合系统中的应用

在干、复合系统中为建立了机、电、液元(部)件传递矩阵模型的统一表示形式,列出了典型元(部)件的传递矩阵模型。将网络节点及扰动边界条件表示成标准矩阵形式，建立了适合于分布参数机电耦合系统频域建模的通用传递矩阵法，为大规模机、电、液网络的频率特性计算及仿真提供了一种新的手段。研究结果表明:复杂网络拓扑结构可用规范的系数矩阵描述。通过常规矩阵运算可有效地对网络的固有特性进行频域仿真[4]。

矩阵论在机器人和数控机床中的应用

机器人的求解空间大多在坐标系的环境下进行的，这样，在机器人创新设计阶段，描述其在直角坐标系下的运动特征，以避免方案组合爆炸减少筛选盲目性就成为必要，而目前的拓扑机构学研究尚未能满足这一要求。为解决这一问题，在拓扑机构学机构方位特征矩阵基础上，结合齐次坐标知识，特提出齐次方位输出特征矩阵的概念，简称齐次特征阵。通过各关节之间的位置关系建立几何其次坐标矩阵，描述各关节相对位置；各关节之间相对运动建立运动其次坐标矩阵，描述个坐标之间的相对运动。并通过这些矩阵的变换可以得到加机器人的腕关节相对于基座的运动功能矩阵，通过运动功能矩阵与作业空间矩阵可以得到机器人的运动学方程，以实现机器人位移速度，加速度的正解和反解。为设计机器人的设计及计算提供了简洁明了的工具。

数控机床的求解空间和机器人类似，区别在于，机器人多在关节空间下求解，而数控机床多在直角坐标下求解，所以数控机床的作业空间解析和机器人作业空间解析完全相同。所以数控机床也是通过矩阵运算来求解刀具轨迹，作业空间，各关节进给量等变量。

由以上可以看出，矩阵在机械工程中应用的广泛性。机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测验等过程中都有起着十分重要的作用。

参考文献：

【1】程州河.矩阵在机械工程中的应用.上海柴油厂

【2】巩云鹏,张伟华,鲍劲松,王丹. 三维弹性摩擦接触分析的边界元柔度矩阵法.东北大学，2000