【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-2双基限时练2
【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修2双基限时练26]
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双基限时练(二十六)1．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上D ．不确定解析 把P (m,5)代入x 2＋y 2＝24，得m 2＋25>24. ∴点P 在圆外． 答案 A2．点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t，1－t 21＋t 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆外 C ．在圆上D ．与t 的值有关解析 |OP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22 ＝(t 2＋1)2(1＋t 2)2＝1. ∴|OP |＝1，∴点P 在圆上． 答案 C3．若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2＝3，则此圆的圆心和半径分别是( )A ．(－1,5)， 3B ．(1，－5)， 3C ．(－1,5)，3D ．(1，－5)，3答案 B4．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线D ．半个圆 解析 由y ＝9－x 2，得x 2＋y 2＝9(y ≥0)．∴方程y ＝9－x 2表示半个圆． 答案 D5．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0解析 已知圆的圆心为C (1,0)，易知PC ⊥AB ，k PC ＝－1－02－1＝－1，∴k AB ＝1.依点斜式知AB 的方程为x －y －3＝0. 答案 A6．圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)的圆心C 到直线4x ＋3y －12＝0的距离是________．解析 圆心C (2，－1)，代入点到直线的距离公式，得 d ＝|4×2＋3×(－1)－12|42＋32＝75. 答案 757．圆x 2＋y 2＝4上的点到点A (3,4)的距离的最大值是________，最小值是________．解析 设圆心为C ，则C (0,0)，半径r ＝2， |AC |＝32＋42＝5.∴圆x 2＋y 2＝4上的点到点A 的最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3.答案 7 38．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d＝________.解析∵圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，∴圆心坐标为C(1,2)．∴圆心到直线的距离d＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝3.答案 39．已知圆M的圆心M(3,4)和三个点A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)，求圆M的方程使A，B，C三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外．解∵|MA|＝(－1－3)2＋(1－4)2＝5，|MB|＝(1－3)2＋(0－4)2＝25，|MC|＝(－2－3)2＋(3－4)2＝26，∴|MB|<|MA|<|MC|.∴点B在圆内，点A在圆上，点C在圆外，则圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.10．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．(1)若点M(6,9)在圆上，求半径a；(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．解(1)∵点M(6,9)在圆上，∴(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10，又a>0，∴a＝10.(2)∵|PN|＝(3－5)2＋(3－6)2＝13，|QN|＝(5－5)2＋(3－6)2＝3，∴|PN|>|QN|.∴点P在圆外，点Q在圆内，∴3<a<13.11．一圆在x ，y 轴上分别截得弦长为14和4，且圆心在直线2x ＋3y ＝0上，求此圆方程．解 设圆的圆心为(a ，b )，圆的半径为r ，则圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.∵圆在x 轴，y 轴上截得的弦长分别为14和4，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋22＝r 2，b 2＋72＝r 2.①②又∵圆心在直线2x ＋3y ＝0上， ∴2a ＋3b ＝0.③ 由①②③可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9b ＝－6r 2＝85或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－9，b ＝6，r 2＝85.∴圆的方程为(x －9)2＋(y ＋6)2＝85， 或(x ＋9)2＋(y －6)2＝85.12．若点P (x ，y )在圆(x －2)2＋y 2＝3上． (1)求x 2＋(y －2)2的最小值；(2)求yx 的最大值．解 (1)式子x 2＋(y －2)2的几何意义是圆上的点P (x ，y )与定点(0,2)的距离．因为圆心(2,0)到定点(0,2)的距离是22＋22＝22，又圆半径为 3. 所以x 2＋(y －2)2的最小值为22－ 3.(2)利用yx 的几何意义．因为yx 的几何意义是圆(x －2)2＋y 2＝3上的点与原点连线的斜率，如图所示，易求得yx 的最大值为 3.。
【名师一号】高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入双基限时练8(含解析)新人教A版选修1-2
"【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入双基限时练8（含解析）新人教A 版选修1-2 "1．设C ＝{复数}、A ＝{实数}、B ＝{纯虚数}，全集U ＝C ，那么下列结论正确的是( ) A ．A ∪B ＝C B ．∁U A ＝B C ．A ∩∁U B ＝∅ D ．B ∪∁U B ＝C答案 D2．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ∈R 的充要条件是( ) A ．a ＋b ＝a －b i B ．a ＋b i ＝－a ＋b i C ．ab ＝0 D ．a ＝b ＝0答案 A3．若(x 2－x )＋(x －1)i 是纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．1或0 B ．1C ．0D ．以上都不对答案 C4．如果(x ＋y )i ＝x －1，那么实数x ，y 的值为( ) A ．x ＝1，y ＝－1 B ．x ＝0，y ＝－1 C ．x ＝1，y ＝0 D ．x ＝0，y ＝0答案 A5．(3－1)i 的实部是( ) A. 3 B ．1 C ．－1 D ．0答案 D6．若x ，y ∈R ，且z ＝x ＋y i 是虚数，则有( ) A ．x ＝0，y ∈R B ．x ≠0，y ∈R C ．x ∈R ，y ＝0 D ．x ∈R ，y ≠0答案 D7．已知复数z ＝m 2－3m ＋(m 2－5m ＋6)i(m ∈R )，若z <0，则m ＝________. 解析 ∵m ∈R ，且z <0，∴z ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋6＝0，m 2－3m <0，解得m ＝2.答案 28．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为__________． 解析 由4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －49．已知实数a ，x ，y 满足a 2＋2a ＋2xy ＋(a ＋x －y )i ＝0，则点(x ，y )的轨迹方程是________．解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＋2xy ＝0，a ＋x －y ＝0，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)＋(y ＋1)2＝2. 答案 (x －1)2＋(y ＋1)2＝210．写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数． －3,0,2＋3i ，i ，－4i ，sinπ2＋isin π4. 解 －3,0,2＋3i ，i ，－4i ，sin π2＋isin π4的实部分别为－3,0,2,0,0,1；虚部分别是0,0，3，1，－4，22. －3,0是实数；2＋3i ，i ，－4i ，sin π2＋isin π4是虚数；其中i ，－4i 是纯虚数．11．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 2m 2－3m －＝0，log 2m －，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0，m －2≠1.解得m ＝4.12．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，求实数m 的值． 解 设x ＝a 为方程的一个实数根． 则有a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0 即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0 ∵a ，m ∈R ，由复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，a ＝－12.故实数m 的值为112.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 计数原理双基限时练8(含解析)新人教A版选修2-3
双基限时练(八)1．设(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝( )A．1 B．2C．3 D．4 解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(－1)4＝1.答案 A2．设n为自然数，则C0n2n－C1n2n－1＋…＋(－1)k C k n2n－k＋…＋(－1)n C n n＝( )A．－1 B．0C．1 D．2n解析由二项式定理知(2－1)n＝C0n2n－C1n2n－1＋C2n2n－2＋…＋C k n(－1)k2n－k＋…＋(－1)n C n n ＝1n＝1.答案 C3．若(1＋a)＋(1＋a)2＋(1＋a)3＋…＋(1＋a)n＝b0＋b1a＋b2a2＋…＋b n a n，且b0＋b1＋b2＋…b n＝30，则自然数n的值为( )A．6 B．5C．4 D．3解析令a＝1，得b 0＋b1＋b2＋…＋b n＝2＋22＋…＋2n＝n－2－1＝2n＋1－2，又b0＋b1＋b2＋…＋b n＝30，∴2n＋1－2＝30，解得n＝4.答案 C4．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和是1024B．展开式的第6项的二项式系数最大C．展开式的第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小解析由二项式系数的性质知，C010＋C110＋C210＋…＋C1010＝210＝1024.∴A正确．又二项式系数最大的项为C510，是展开式的第6项．∴B正确．又由通项T r＋1＝C r10a10－r(－b)r＝(－1)r C r10a10－r b r知，第6项的系数－C510最小．∴D正确．答案 C5．若n∈N*，(2＋1)n＝2a n＋b n(a n，b n∈Z)，则b n的值( )A．一定是奇数B．一定是偶数C．与n的奇偶性相反D．与n的奇偶性相同解析取n＝1，n＝2，验证知A正确．答案 A6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝( )A．5 B．6C．7 D．8解析(x＋y)2m的展开式共有2m＋1项，其中最大的二项式系数为C m2m，(x＋y)2m＋1的展开式中共2m＋2项，其中二项式系数最大的项为中间两项C m＋12m＋1＝C m2m＋1，依题意得a＝C m2m，b＝C m2m＋1，由13a＝7b，得13C m2m＝7C m2m＋1＝7(C m2m＋C m－12m)，∴6C m2m＝7C m－12m，即6C m2m＝7mm＋1·C m2m，解得m＝6.答案 B7．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．13 35 6 57 11 11 79 18 22 18 9………………解析由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以a n＝2n－1.答案2n－18．(x2－2x＋1)4的展开式中x7的系数是________．解析(x2－2x＋1)4＝[(x－1)2]4＝(x－1)8.由T r＋1＝C r8x8－r·(－1)r，当r＝1时，x7的系数为－C18＝－8.答案－89．若(x2＋1x3)n展开式的各项系数之和为32，则n＝________，其展开式中的常数项为________．(用数字作答)解析依题意得2n＝32，∴n＝5，∵T r＋1＝C r5(x2)5－r·(1x3)r＝C r5x10－5r.令10－5r＝0，得r＝2，∴常数项为T3＝C25＝10. 答案 5 1010．已知⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6(k 是正整数)的展开式中，常数项小于120，则k ＝________.解析 ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 6展开式的通项T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫k x r ＝k r C r 6x 12－3r ，由12－3r ＝0，得r ＝4，∴常数项为k 4C 46.依题意，得C 46k 4<120，即k 4<8.又k 为正整数，∴k ＝1. 答案 111．已知(1＋2x )n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的56，试求展开式中二项式系数最大的项．解 设第k ＋1项的系数是第k 项系数的2倍，是第k ＋2项系数的56，即⎩⎪⎨⎪⎧C k n 2k＝2·C k －1n ·2k －1，C k n 2k ＝56C k ＋1n ·2k ＋1，解得n ＝7.故二项式系数最大的项为T 4＝C 37·(2x )3＝280x32 ，或T 5＝C 47(2x )4＝560x 2. 12．已知(x 2－2x －3)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 20(x －1)20. (1)求a 2的值；(2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19的值及a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 20的值．解 ∵(x 2－2x －3)10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 20(x －1)20， 令x －1＝t ，则展开式化为(t 2－4)10＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋…＋a 20t 20. (1)a 2＝C 910(－4)9＝－49×10. (2)令t ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝310，令t ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 20＝310，∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 19＝0a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 20＝310.。
【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学选修2-1双基限时练16]
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双基限时练(十六)1．下列命题中正确的有( )(1)分别在两个平面内的两个向量不能转化为共面向量． (2)空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.(3)因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 在空间任何两个向量都是共面的，所以(1)不正确．在(2)中它们的和应为0，而不是0，所以(2)不正确，(3)是正确的．答案 B2．两个非零向量的模相等是两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B3．如图在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AD →＋CB →＝0D.AB →－AD →＝BD → 答案 D4．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0 D.MN →答案 C5.如图所示，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1，在下列选项中，与CD →相等的向量是( )A.AB →B.A 1C 1→C.B 1A 1→D.AA 1→答案 C6．已知向量a ，b 是两个非零向量，a 0，b 0是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( )A ．a 0＝b 0B ．a 0＝b 0，或a 0＝－b 0C ．a 0＝1D ．|a 0|＝|b 0|答案 D7．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析 如右图①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝A 1D 1→＋AA 1→＋BA →＝AD 1→＋BA →＝BD 1→.②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝(BC →＋CC 1→)＋C 1D 1→ ＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→. 答案 A8．在空间四边形中，AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝________________________________________________________________________.答案 09．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请写出化简的结果．(1)AB →＋BC →＋CD →＝________； (2)AB →＋GD →＋EC →＝________. 答案 (1)AD → (2)AF →10．如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点，化简下列向量表达式．(1)AA 1→＋A 1B 1→； (2)12A 1B 1→＋12A 1D 1→； (3)AA 1→＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→；(4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →； (5)AB →＋BB 1→＋D 1D →－D 1A →－BC →； (6)AC 1→＋AD →－AC →－AA 1→. 解 (1)AA 1→＋A 1B 1→＝AB 1→. (2)12A 1B 1→＋12A 1D 1→＝12(A 1B 1→＋A 1D 1→) ＝12A 1C 1→＝A 1M →.(3)AA 1＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→＝AA 1→＋A 1M →＝AM →. (4)AB →＋BC →＋CC 1→＋C 1A 1→＋A 1A →＝0. (5)AB →＋BB 1→＋D 1D →－D 1A →－BC → ＝AB 1→＋D 1D →＋AD 1→＋CB → ＝AB 1→＋AD →＋DA → ＝AB 1→.(6)AC 1→＋AD →－AC →－AA 1→ ＝AC 1→＋A 1A →＋AD →＋CA → ＝A 1C 1→＋CD → ＝AC →＋CD →＝AD →. 11.如图，O 为▱ABCD 所在平面外一点，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量OD →.解 ∵OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， ∴BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BC →＝OC →－OB →＝c －b . 又∵ABCD 是平行四边形， ∴BD →＝BA →＋BC →＝a ＋c －2b ，∴OD →＝OB →＋BD →＝b ＋(a －2b ＋c )＝a －b ＋c . 12.如图所示，在长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1且以八个顶点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA 1→，A 1A →，BB 1→，B 1B →，CC 1→，C 1C →，DD 1→，D 1D →这8个向量都是单位向量，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→，D 1A →，A 1D →，DA 1→，BC 1→，C 1B →，B 1C →，CB 1→共8个．(3)与向量AB →相等的有A 1B →，D 1C 1→，DC →共3个．(4)与向量AA 1→相反的向量有A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →共4个．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练13(含解析)新人教A版选修2-1
双基限时练(十三)1．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 解析 依题意a ＋b ＝2c ，a ＝2，又a 2＋b 2＝c 2，解得b ＝2，又焦点在y 轴上，∴双曲线方程为y 24－x 24＝1.答案 B2．双曲线x 2b 2－y 2a2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.32解析 依题意知，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，∴a ＝b ，∴c 2＝2a 2，∴c 2a2＝2，∴e ＝ 2.答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析 记e 1＝a 2＋b 2a ，e 2＝m 2－b 2m ，又e 1·e 2＝1，∴a 2＋b 2·m 2－b 2am＝1，化简得b 2(m 2－a 2－b 2)＝0，∵b 2>0，∴m 2－a 2－b 2＝0，即m 2＝a 2＋b 2， ∴以a ，b ，m 为边长的三角形一定是直角三角形． 答案 B4．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝－x ，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝100C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24解析 由题意知，c ＝64－16＝43，a ＝b ，∴2a 2＝c 2＝48，∴a 2＝24，故所求双曲线方程为y 2－x 2＝24.答案 D5．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值是( ) A.12 B.32 C.72D ．5解析 由双曲线的定义及性质知，动点P 的轨迹是双曲线的一支，且A ，B 为焦点，c ＝2，a ＝32，∴|PA |的最小值为a ＋c ＝72.答案 C6．已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________.解析 依题意知a 2＝n ，b 2＝12－n ，又e ＝3，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝n ＋12－nn＝3，∴n＝4.答案 47．过双曲线x 24－y 23＝1左焦点F 1的直线交双曲线的左支于M ，N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝________.解析 由双曲线的定义知|MF 2|－|MF 1|＝4，|NF 2|－|NF 1|＝4，∴|MF 2|＋|NF 2|－|MF 1|－|NF 1|＝|MF 2|＋|NF 2|－|MN |＝8.答案 8 8．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为__________． 解析 依题意知k ＋4<0，∴k <－4，又e ＝c a＝2，∴e 2＝c 2a 2＝－k ＋＋99＝4，∴k ＝－31.答案 －319．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (23，－3)的双曲线方程．解 设与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．∵A (23，－3)在双曲线上， ∴λ＝3216－－29＝－14.∴所求双曲线方程为x 216－y 29＝－14即4y 29－x24＝1.10．求中心在原点，焦点在坐标轴上，过点M (3,4)且虚轴长是实轴长的2倍的双曲线方程．解 当焦点在x 轴上时，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴9a 2－16b2＝1，又b ＝2a ，∴4a 2＝9×4－16＝20，a 2＝5. ∴b 2＝20.∴双曲线方程为x 24－y 220＝1.当焦点在y 轴上时，可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1，∵点(3,4)在双曲线上，∴16a 2－9b2＝1.又∵b ＝2a ，∴4a 2＝16×4－9＝55，a 2＝554，∴b 2＝55.∴双曲线方程为4y 255－x255＝1.综上，所求双曲线方程为x 25－y 220＝1或4y 255－x255＝1.11．已知双曲线的中心在原点，顶点在y 轴上，两顶点间的距离是16，且离心率e ＝54，试求双曲线方程及顶点到渐近线的距离．解 设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，由2a ＝16，得a ＝8，又e ＝c a ＝54，∴c ＝10，b 2＝c 2－a 2＝36.故所求的双曲线的方程为y 264－x 236＝1.由上可得双曲线的焦点为(0，±10)， 渐近线方程为y ＝±86x ，即4x ±3y ＝0.∴焦点到渐近线的距离为d ＝|4×0±3×10|42＋32＝6. 12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0；(3)求△F 1MF 2的面积． 解 (1)∵e ＝ 2.∴可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵过点(4，－10)， ∴λ＝16－10＝6.∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6， ∴c ＝2 3.∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)． ∴MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵M 在双曲线上，∴9－m 2＝6，∴－3＋m 2＝0. ∴MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝12×43×3＝6.。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程双基限时练14(含解析)新人教A版选修2-1
双基限时练(十四)1．到定点(3,5)与定直线2x ＋3y －21＝0的距离相等的点的轨迹是( ) A ．圆 B ．抛物线 C ．线段D ．直线解析 因为定点(3,5)在直线上，所以点的轨迹是直线． 答案 D2．抛物线y 2＝8x 的准线方程是( ) A ．x ＝－2 B ．x ＝－4 C ．y ＝－2D ．y ＝－4解析 ∵y 2＝8x ＝2·4x ，∴p ＝4，准线方程为x ＝－p2＝－2.答案 A3．抛物线x 2＝ay 的准线方程是y ＝2，则实数a 的值为( ) A ．8 B ．－8 C.18D ．－18解析 ∵x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4＝2，∴a ＝－8.答案 B4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是( ) A ．(1,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 由y ＝2x 2得，x 2＝12y .∴焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18. 答案 C5．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是( ) A ．x 2＝－92y ，或y 2＝43xB ．y 2＝－92x ，或x 2＝43yC ．x 2＝43yD ．y 2＝－92x解析 ∵点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线的标准方程为x 2＝2py (p >0)，或y 2＝－2p 1x (p 1>0)，把(－2,3)代入，得(－2)2＝2p ·3，或9＝－2p 1(－2)，∴2p ＝43，或－2p ＝－92，故所求的抛物线方程为x 2＝43y ，或y 2＝－92x .答案 B6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程为__________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax ，又抛物线过点P (2,4)，则16＝2a ，∴a ＝8， ∴y 2＝8x . 答案 y 2＝8x7．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝__________. 解析 由y 2＝4x 得焦点F (1,0)，代入直线方程得a ＋1＝0.∴a ＝－1. 答案 －18．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析 设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝ax ，得交点坐标为A (0,0)，B (a ，a )，而点P (2,2)为AB 的中点，从而a ＝4. 故所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案 y 2＝4x9．已知抛物线的焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值，抛物线标准方程和准线方程．解 设所求的抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则焦点为F (0，－p2)．∵M (m ，－3)在抛物线上，且|MF |＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴m ＝±26，抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.10．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且与y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，求抛物线的方程．解 抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a4，它与y 轴的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫0，－a 2，∴△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝4，解得a ＝±8.∴抛物线方程为y 2＝±8x .11．探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60 cm ，灯深为40 cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．解 如下图在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是y 2＝2px (p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40,30)，代入方程，得302＝2p ×40，即p ＝454，所求的抛物线标准方程为y 2＝452x ，焦点(458，0)．12．若抛物线通过直线y ＝12x 与圆x 2＋y 2＋6x ＝0的两个交点，且以坐标轴为对称轴，求该抛物线的方程．解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 2＋y 2＋6x ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－245，y ＝－125.根据题意可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)或y 2＝－2mx (m >0)．∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫－245，－125在抛物线上，∴p ＝245，m ＝35.∴所求抛物线方程为x 2＝－485y 或y 2＝－65x .。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量双基限时练20(含解析)新人教A版必修4
双基限时练(二十)1．已知|a |＝6，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a ²b 等于( ) A ．6＋ 3 B ．6－ 3 C ．6D ．7解析 a ²b ＝|a ||b |cos60°＝6³2³cos60°＝6. 答案 C2．已知|a |＝2，|b |＝4，a ²b ＝－4，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析 cos θ＝a ²b |a ||b |＝－42³4＝－12，∵θ∈[0°，180°]， ∴θ＝120°，故选D. 答案 D3．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为32，则a ²b ＝( )A ．3 B.92 C ．2D.12解析 由题意，得|a |cos 〈a ，b 〉＝32，∴a ²b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝3³32＝92.答案 B4．已知向量a ，b 满足a²b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝( ) A ．0 B ．2 2 C ．4D ．8解析 |2a －b |2＝4a 2－4a ²b ＋b 2＝8， ∴|2a －b |＝2 2. 答案 B5．若非零向量a 与b 的夹角为2π3，|b |＝4，(a ＋2b )²(a －b )＝－32，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12解析 (a ＋2b )²(a －b )＝a 2＋2a ²b －a ²b －2b 2＝a 2＋a ²b －2b 2＝－32，又a ²b ＝|a ||b |cos 2π3＝|a |³4³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2|a |， ∴|a |2－2|a |－2³42＝－32. ∴|a |＝2，或|a |＝0(舍去)． 答案 A6．在△ABC 中，若AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形解析 因为AB →2＝AB →²AC →＋BA →²BC →＋CA →²CB →＝AB →²(AC →－BC →)＋CA →²CB →＝AB →²AB →＋CA →²CB →，所以CA →²CB →＝0，即CA →⊥CB →，所以三角形为直角三角形，选D.答案 D7．若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________.解析 设b ＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ，x 2＋y 2＝45.∴x 2＝9.∴x ＝±3，又a ＝(－1,2)与b 方向相反． ∴b ＝(3，－6)． 答案 (3，－6)8．设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且|k a ＋b |＝3|a －k b|(k >0)．若a 与b 的夹角为60°，则k ＝________.解析 由|k a ＋b |＝3|a －k b|，得k 2a 2＋2k a ²b ＋b 2＝3a 2－6k a ²b ＋3k 2b 2， 即(k 2－3)a 2＋8k a ²b ＋(1－3k 2)b 2＝0. ∵|a |＝1，|b |＝1，a ²b ＝1³1cos60°＝12，∴k 2－2k ＋1＝0，∴k ＝1. 答案 19．若向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a ²(a ＋b )＝1，则向量a ，b 的夹角的大小为________．解析 ∵|a |＝2，a ²(a ＋b )＝1， ∴a 2＋a ²b ＝2＋a ²b ＝1.∴a ²b ＝－1.设a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝－12³1＝－22， 又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π410．在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →²BE →＝1，则AB 的长为________．解析 因为BE →＝BA →＋AD →＋DE →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝AD →－12AB →，所以AC →²BE →＝(AB →＋AD →)²⎝⎛⎭⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AD →²AB →－12AB →2＝1＋12³1³|AB →|cos60°－12|AB →|2＝1，所以14|AB →|－12|AB →|2＝0，解得|AB →|＝12.答案 1211．在△ABC 中，|BC →|＝4，|CA →|＝9，∠ACB ＝30°，求BC →²CA →. 解 如图所示，BC →与CA →所成的角为∠ACB 的补角即150°，又因为|BC →|＝4，|CA →|＝9，所以BC →²CA →＝|BC →|²|CA →|cos150°＝4³9³⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－18 3. 12．已知|a |＝1，a ²b ＝12，(a －b )²(a ＋b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 解 (1)∵(a －b )²(a ＋b )＝12，∴|a |2－|b |2＝12.∵|a |＝1，∴|b |＝|a |2－12＝22.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ²b |a ||b |＝121²22＝22，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝45°.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ²b ＋b 2＝12，∴|a －b |＝22. ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ²b ＋b 2＝52，∴|a ＋b |＝102. 设a －b 与a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b a ＋b|a －b ||a ＋b |＝1222³102＝55. 13．已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取得最小值时． (1)求t 的值(用a ，b 表示)； (2)求证：b 与a ＋t b 垂直．(1)解 |a ＋t b |2＝a 2＋t 2b 2＋2t a ²b ＝b 2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋a ²b b 22＋a 2－a ²b 2b 2.当t ＝－a ²bb 2时，|a ＋t b |取最小值．(2)证明 (a ＋t b )²b ＝a ²b ＋t b 2＝a ²b －a ²b b 2³b 2＝0，所以a ＋t b 与b 垂直．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 统计案例双基限时练18(含解析)新人教A版选修2-3
双基限时练(十八)1．与表格相比，更能直观地反映出相关数据总体情况的是( )A．列联表B．散点图C．残差图D．二维条形图答案 D2．下列关于K2的说法正确的是( )A．K2在任何相互独立问题中都可以用来检验有关还是无关B．K2的值越大，两个事件的相关性越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合D．K2的观测值的计算公式为K2＝n ad－bca ＋b c＋d a＋c b＋d解析A中K2的使用范围是四个数据中每个数据都必须大于5，故A错；B中过于确定，不正确；C正确；D中公式有错．答案 C3．下面是一个2×2列联表A．94,96 B．52,50C．52,54 D．54,52答案 C4．有4500人按有无吸烟史和是否患高血压分类得到列联表如下：A．无关B．有关C．吸烟决定是否患高血压D．以上都不对解析计算ad＝167994，bc＝60294，ad与bc的值相差很大．由K2公式知，K2的值也大，所以有关．答案 B5．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：A．99% B．95%C．90% D．无充分依据解析由表中数据计算K2＝－226×24×27×23≈5.059而K2＝5.059>3.841，所以约有95%的把握认为两变量之间有关．答案 B6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：k＝－220×30×23×27≈4.844，因为k>3.841，所以确定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为__________．解析∵k>3.841时有95%的把握认为确定主修专业与性别有关，而出错的可能为5%.而已知k≈4.844>3.841.所以上述结论成立．答案5%7．某大学在研究性别与职称(分正教授，副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是__________．答案男正教授人数，男副教授人数，女正教授人数，女副教授人数8．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查对临界值表知P(K2≥3.918)≈0.05，对此，四名同学作出了以下的判断：p：有95%的把握认为“能起到预防感冒的作用”；q：若某人未使用该血清，则他在一年中有95%的可能性得感冒：r：这种血清预防感冒的有效率为95%；s：这种血清预防感冒的有效率为5%.则下列结论中，正确结论的序号是__________．(把你认为正确的都填上)(1)p∧綈q；(2)綈p∧q；(3)(綈p∧綈q)∧(r∨s)；(4)(p∨綈r)∧(綈q∨s)．解析由题意，K2≈3.918，P(K2≥3.918)≈0.05，所以只有第一位同学判断正确．即有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”由真值表知(1)，(4)为真命题．答案(1)(4)9．利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言“X和Y有关系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握认为“X和Y有关系”的百分比为__________.10．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，试问：文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？K2＝－2490×423×877×36≈6.233>5.024，因此有97.5%的把握认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．11．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动，你能否判断性别与休闲方式是否有关系？解首先建立列联表如下a＋b＋c＋d＝124，a＋c＝64，b＋d＝60，∴k＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d＝124×852214 515 200≈6.201>5.024，因此有97.5%的把握认为休闲方式与性别有关．12．某同学对其亲属30人的饮食习惯进行一次调查，饮食指数如下：(说明：饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)50岁以下：21,43,45,58,74,78,77,76,82,83,85,90；50岁以上：20,21,25,26,27,26,32,33,37,39,36,44,45,42,58,61,75,78.(1)根据以上数据完成下面的2×2列联表：解(1)2×2列联表如下：K2＝×2－212×18×20×10＝10>7.879，所以有99.5%以上的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明双基限时练3(含解析)新人教A版选修1-2
"【名师一号】2014-2015学年高中数学第二章推理与证明双基限时练3（含解析）新人教A版选修1-2 "1．下列关于归纳推理的说法中错误的是( )A．归纳推理是由一般到一般的一种推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论具有偶然性，不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能答案A2．下图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排列起来，那么第36颗珠子的颜色是( )○○○●●○○○●●○○○●●○○……A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大答案A3．由数列1,10,100,1000，…猜测该数列的第n项可能是( )A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n答案B4．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2010到2012，箭头的方向依次是( )A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析观察特例的规律知：位置相同的数字是以4为公差的等差数列，由11↑1012可知从2010到2012为↑→.答案C5．已知数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝2a n－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的一个表达式为( )A．n2－1 B．n2－2n＋2C ．2n －1D ．2n －1＋1解析 ∵a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，∴a 2＝2×1＋1＝3，a 3＝2×3＋1＝7，a 4＝2×7＋1＝15，归纳猜想知a n ＝2n－1.答案 C6．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A .n n －4＋8－n8－n －4＝2 B .n ＋1 n＋1 －4＋ n＋1 ＋5n＋1 －4＝2C .n n －4＋n ＋4 n＋4 －4＝2 D .n ＋1 n＋1 －4＋n ＋5n＋5 －4＝2解析 观察等式知，左边分子之和等于8，分母之和等于0，右边都是2，只有选项A 适合．答案 A7．顺次计算数列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，……的前4项的值，由此猜测：a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1的结果为________． 解析 a 1＝1＝12，a 2＝1＋2＋1＝4＝22， a 3＝1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， a 4＝1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …，由此可以猜想a n ＝n 2. 答案 n 28．由三角形的内角和是180°，凸四边形的内角和是360°＝2×180°，凸五边形的内角和是540°＝3×180°，归纳出结论：______________________________________________________. 答案 凸n 边形的内角和是(n －2)×180°(n≥3) 9．观察以下各等式：sin 230°＋cos 260°＋sin 30°cos 60°＝34， sin 220°＋cos 250°＋sin 20°cos 50°＝34，sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34.分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，为_________________________________________________________．答案 sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos (α＋30°)＝3410．(1)如图所示为四个平面图形，数一数，每个平面图形各有多少个顶点？多少条边？它们将平面分成了多少个区域？(2)(3)现已知某个平面图形有1006个顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形有多少条边？解 (1)各平面图形的顶点数、边数、区域数分别为：(2)3＋2－3＝2； 8＋6－12＝2； 6＋5－9＝2； 10＋7－15＝2.通过观察发现，它们的顶点数V ，边数E ，区域数F 之间的关系为V ＋F －E ＝2.(3)由已知V ＝1006，F ＝1006，代入(2)中关系式，得E ＝2010. 故这个平面图形有2010条边．11．设a n 是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n≥1，n ↔N )，试归纳出这个数列的一个通项公式．解 当n ＝1时，a 1＝1，且2a 22－a 21＋a 2·a 1＝0， 即2a 22＋a 2－1＝0解得a 2＝12；当n ＝2时，由 3a 23－2(12)2＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0， 解得a 3＝13，…由此猜想：a n ＝1n.12．已知：sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝32，通过观察上述等式的规律，请写出一般性的命题：________________＝32(*)，并给出(*)式的证明．解 一般式为：sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32.证明如下：左边＝1－cos2α2＋1－cos 2α＋120° 2＋1－cos 2α＋240°2＝32－12[cos2α＋cos(2α＋120°)＋cos(2α＋240°)] ＝32－12(cos2α＋cos2αcos120°－sin2αsin120°＋cos2αcos240°－sin2αsin240°)＝32－12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos2α－12cos2α－32sin2α－12cos2α＋32sin2α ＝32＝右边， 所以sin 2α＋sin 2(α＋60°)＋sin 2(α＋120°)＝32成立．(注：将一般式写成sin 2(α－60°)＋sin 2α＋sin 2(α＋60°)＝32等均正确．)。
【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 平面向量双基限时练22(含解析)新人教A版必修4
1 双基限时练(二十二) 1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )
A.BD→＝CE→ B.BD→与CE→共线 C.BE→＝BC→ D.DE→与BC→共线 解析 由题意知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥BC，∴DE→与BC→共线． 答案 D
2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
解析 DB→＋DC→－2DA→＝(DB→＋AD→)＋(DC→＋AD→)＝AB→＋AC→， ∴(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝(AB→＋AC→)·(AB→－AC→)＝AB→2－AC→2＝0.即AB→2＝AC→2，∴|AB→|＝|AC→|.故选B. 答案 B 3．(2009·福建高考)设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，a⊥c，|a|＝|c|，则|b·c|的值一定等于( ) A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B．以b，c为邻边的平行四边形的面积 C．以a，b为两边的三角形的面积 D．以b，c为两边的三角形的面积 解析 2
如右图，设b与c的夹角为θ，a与b的夹角为α， ∵a⊥c，∴|cosθ|＝|sinα|. 又|a|＝|c|， ∴|b·c|＝|b||c||cosθ| ＝|b||a||sinα|，即|b·c|的值一定等于以a，b为邻边的平行四边形的面积． 答案 A
4．已知点A，B的坐标分别为A(4,6)，B－3，32，则与直线AB平行的向量的坐标可以是( ) ①143，3；②7，92；③－143，－3；④(－7,9)． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
解析 ∵A(4,6)，B－3，32，
∴AB→＝－7，－92，易知①、②、③与AB→平行，故选C. 答案 C
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双基限时练(二)
1．当自变量x由x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量
的比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x1处的导数
C．在区间[x0，x1]上的导数
D．在x处的平均变化率
解析 由平均变化率的定义知选A.
答案 A
2．对于函数f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)为( )
A．0 B．1
C．c D．不存在
解析 f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx＝limΔx→0 c－cΔx＝0.
答案 A
3．y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2－12＝2Δx＋(Δx)2，
∴ΔyΔx＝2＋Δx.∴f′(1)＝limΔx→0 (2＋Δx)＝2.
答案 B
4．在导数的定义中，自变量的增量Δx满足( )
A．Δx<0 B．Δx>0
C．Δx＝0 D．Δx≠0
解析 Δx可正、可负，就是不能为0，因此选D.
答案 D
5．一物体运动满足曲线方程s＝4t2＋2t－3，且s′(5)＝42(m/s)，
其实际意义是( )
A．物体5秒内共走过42米
B．物体每5秒钟运动42米
C．物体从开始运动到第5秒运动的平均速度是42米/秒
D．物体以t＝5秒时的瞬时速度运动的话，每经过一秒，物体运
动的路程为42米
解析 由导数的物理意义知，s′(5)＝42(m/s)表示物体在t＝5秒
时的瞬时速度．故选D.
答案 D
6．如果质点A按规律s＝3t2运动，那么在t＝3时的瞬时速度为
________．
解析 ∵Δy＝3(3＋Δt)2－3×32＝18Δt＋3(Δt)2，
∴s′(3)＝limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (18＋3Δt)＝18.
答案 18
7．设函数f(x)满足limx→0 f1－f1－xx＝－1，则f′(1)＝________.
解析 ∵limx→0 f1－f1－xx＝limx→0 f1－x－f1－x＝f′(1)＝－1.
答案 －1
8．函数f(x)＝x2＋1在x＝1处可导，在求f′(1)的过程中，设自变
量的增量为Δx，则函数的增量Δy＝________.
解析 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[(1＋Δx)2＋1]－(12＋1)
＝2Δx＋(Δx)2.
答案 2Δx＋(Δx)2
9．已知f(x)＝ax2＋2，若f′(1)＝4，求a的值．
解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋2－(a×12＋2)
＝2a·Δx＋a(Δx)2，
∴f′(1)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (2a＋a·Δx)＝2a＝4.
∴a＝2.
10．已知函数f(x)＝13－8x＋2x2，且f′(x0)＝4，求x0的值．
解 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝[13－8(x0＋Δx)＋2(x0＋Δx)2]－(13－
8x0＋2x20)＝－8Δx＋22x0Δx＋2(Δx)2.
f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 (－8＋22x0＋2Δx)＝－8＋22x0，
又∵f′(x0)＝4，∴－8＋22x0＝4，∴x0＝32.
11．在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t存在关系s(t)＝
10t＋5t2(s的单位是m，t的单位是s)．
(1)求t＝20，Δt＝0.1时的Δs与ΔsΔt；
(2)求t＝20时的速度．
解 (1)当t＝20，Δt＝0.1时，
Δs＝s(20＋Δt)－s(20)
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－(10×20＋5×202)
＝1＋20＋5×0.01＝21.05.
∴ΔsΔt＝21.050.1＝210.5.
(2)由导数的定义知，t＝20时的速度即为
v＝lim
Δt
→
0
Δs
Δt
＝limΔt→0 10t＋Δt＋5t＋Δt2－10t－5t2Δt
＝limΔt→0 5Δt2＋10Δt＋10tΔtΔt
＝limΔt→0 (5Δt＋10＋10t)
＝10＋10t
＝10＋10×20
＝210(m/s)．
12．若一物体运动方程如下(位移：m，时间：s)．
s＝ 3t2＋2，t≥3，29＋3t－32，0≤t<3.
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解 (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，物体在
t∈[3,5]内的位移变化量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝
48，
∴物体在t∈[3,5]上的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度为v0，即求物体在t＝0时瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均速度为ΔsΔt＝f0＋Δt－f0Δt＝
29＋30＋Δt－32－29－30－3
2
Δt
＝3Δt－18，
∴物体在t＝0处的瞬时速度为limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (3Δt－18)＝－
18(m/s)．
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均速度变化为
Δs
Δt＝29＋31＋Δt－32－29－31－32Δt
＝3Δt－12，
∴物体在t＝1处的瞬时变化率为limΔt→0 ΔsΔt＝limΔt→0 (3Δt－12)＝－
12(m/s)．
即物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.