2011年—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——6.函数与导数.docx
2018版大一轮全国人教数学-历年高考真题与模拟题分类
课标文数13.B1函数y＝16－x－x2的定义域是________．课标文数13.B1【答案】 (－3，2)【解析】由函数解析式可知6－x－x2>0，即x2＋x－6<0，故－3<x<2.课标理数15.B1，M1设V是全体平面向量构成的集合，若映射f：V→R满足：对任意向量a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，以及任意λ∈R，均有f(λa＋(1－λ)b)＝λf(a)＋(1－λ)f(b)．则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①f1：V→R，f1(m)＝x－y，m＝(x，y)∈V；②f2：V→R，f2(m)＝x2＋y，m＝(x，y)∈V；③f3：V→R，f3(m)＝x＋y＋1，m＝(x，y)∈V.其中，具有性质P的映射的序号为________．(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1，M1【答案】①③【解析】设a＝(x1，y1)∈V，b＝(x2，y2)∈V，则λa＋(1－λ)b＝λ(x1，y1)＋(1－λ)(x2，y2)＝(λx1＋(1－λ)x2，λy1＋(1－λ)y2)，①f1(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2－＝λ(x1－y1)＋(1－λ)(x2－y2)＝λf1(a)＋(1－λ)f1(b)，∴映射f1具有性质P；②f2(λa＋(1－λ)b)＝2＋，λf2(a)＋(1－λ)f2(b)＝λ(x21 ＋y1 ) ＋ (1－λ)(x22 ＋y2 )，∴f2(λa＋(1－λ)b)≠λf2(a)＋(1－λ)f2(b)，∴映射f2不具有性质P；③f3(λa＋(1－λ)b)＝λx1＋(1－λ)x2＋(λy1＋(1－λ)y2)＋1＝λ(x1＋y1＋1)＋(1－λ)(x2＋y2＋1)＝λf3(a)＋(1－λ)f3(b)，∴映射f3具有性质P.故具有性质P的映射的序号为①③.课标文数8.B1 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标文数8.B1 A 【解析】 由已知，得f (1)＝2； 又当x >0时，f (x )＝2x>1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.课标文数4.B1 函数f (x )＝11－x＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)课标文数4.B1 C 【解析】 要使函数有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，1＋x >0，所以所求定义域为{x |x >－1且x ≠1}，故选C.课标文数16.B1 给定k ∈N *，设函数f ：N *→N *满足：对于任意大于k 的正整数n ，f (n )＝n －k .(1)设k ＝1，则其中一个函数f 在n ＝1处的函数值为________________； (2)设k ＝4，且当n ≤4时，2≤f (n )≤3，则不同的函数f 的个数为________． 课标文数16.B1 (1)a (a 为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f 是正整数到正整数的映射，因为k ＝1，所以从2开始都是一一对应的，而1可以和任何一个正整数对应，故f 在n ＝1处的函数值为任意的a (a 为正整数)；(2)因为2≤f (n )≤3，所以根据映射的概念可得到：1，2，3，4只能是和2或者3对应，1可以和2对应，也可以和3对应，有2种对应方法，同理，2，3，4都有两种对应方法，由乘法原理，得不同函数f 的个数等于16.课标文数11.B1 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))＝________．课标文数11.B1 －2 【解析】 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x ，x ≤0，－2<0，f (－2)＝10－2，10－2>0，f (10－2)＝lg10－2＝－2.大纲文数16.B1 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数，例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)大纲文数16.B1 ②③④ 【解析】 本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解．对于①，如－2，2∈A ，f (－2)＝f (2)，则①错误；对于②，当2x 1＝2x 2时，总有x 1＝x 2，故为单函数；对于③根据单函数的定义，函数即为一一映射确定的函数关系，所以当函数自变量不相等时，则函数值不相等，即③正确；对于④，函数f (x )在定义域上具有单调性，则函数为一一映射确定的函数关系，所以④正确．课标理数1.B1 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2课标理数1.B1 B 【解析】 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4； 当α＞0，f (α)＝α2＝4，α＝2.课标文数11.B1 设函数f (x )＝41－x ，若f (α)＝2，则实数α＝________.课标文数11.B1 －1 【解析】 ∵f (α)＝41－α＝2，∴α＝－1.大纲理数2.B2 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( ) A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲理数2.B 2 B 【解析】 由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y ＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲文数2.B2 函数y ＝2x (x ≥0)的反函数为( ) A ．y ＝x 24(x ∈R ) B ．y ＝x 24(x ≥0)C ．y ＝4x 2(x ∈R ) D ．y ＝4x 2(x ≥0)大纲文数2.B2 B 【解析】 由y ＝2x 得x ＝y 24，∵x ≥0，∴y ≥0，则函数的反函数为y ＝x 24(x ≥0)．故选B.大纲理数7.B2 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1，则f (x )的反函数的图象大致是( )图1－2大纲理数7.B2 A 【解析】 当x >0时，由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(1<x <2)，根据图象可判断选择答案A ，另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数8.B3 设A (0，0)，B (4，0)，C (t ＋4，4)，D (t ，4)(t ∈R )．记N (t )为平行四边形ABCD 内部(不含边界)的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N (t )的值域为( )A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}课标理数8.B3 C 【解析】 显然四边形ABCD 内部(不包括边界)的整点都在直线y ＝k (k ＝1，2，3)落在四边形ABCD 内部的线段上，由于这样的线段长等于4，所以每条线段上的整点有3个或4个，所以9＝3×3≤N (t )≤3×4＝12.图1－4如图1－4(1)，图(2)，当四边形ABCD 的边AD 上有5个整点时，N (t )＝9； 如图(3)，当四边形ABCD 的边AD 上有2个整点时，N (t )＝11； 如图(4)，当四边形ABCD 的边AD 上有1个整点时，N (t )＝12. 故应选C.课标理数2.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数3.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标数学2.B3 函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．课标数学2.B3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 【解析】 因为y ＝log 5x 为增函数，故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课标文数12.B3，B7 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________． 课标文数12.B3，B7 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab＝18.大纲理数5.B3 下列区间中，函数f (x )＝||ln （2－x ）在其上为增函数的是( ) A ．(－∞，1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，43C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32 D ． D 【解析】 化f (x )为分段函数，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln （2－x ），x <1，－ln （2－x ），1≤x <2，作出函数的图象，如图1－1所示，根据图象可知f (x )在 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________．课标文数11.B4，B5 【答案】 －3【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.大纲理数9.B4 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12大纲理数9.B 4 A 【解析】 因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.大纲文数10.B4 设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )A ．－12B ．－14C.14D.12大纲文数10.B4 A 【解析】 因为函数的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，又函数是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－12，故选A.课标理数9.B4 对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中，a ，b ∈R ，c ∈Z )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)和f (－1)，所得出的正确结果一定不可能是．．．．．．( ) A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2课标理数9.B4 D 【解析】 由已知，有f (1)＝a sin1＋b ＋c ，f (－1)＝－a sin1－b ＋c ， ∴ f (1)＋f (－1)＝2c ，∵ c ∈Z ，∴ f (1)＋f (－1)为偶数，而D 选项给出的两个数，一个是奇数，一个是偶数，两个数的和为奇数，故选D.课标理数4.B4 设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数课标理数4.B4 A 【解析】 因为g (x )在R 上为奇函数，所以|g (x )|为偶函数，则f (x )＋|g (x )|一定为偶函数．课标文数12.B4 设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________． 课标文数12.B4 －9 【解析】 由f (a )＝a 3cos a ＋1＝11得a 3cos a ＝10， 所以f (－a )＝(－a )3cos(－a )＋1＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.课标理数6.B4 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝( )A ．2 B.154 C.174D ．a 2课标理数6.B4 B 【解析】 因为函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以由f (x )＋g (x )＝a x－a －x＋2①，得－f (x )＋g (x )＝a －x－a x＋2②， ①＋②，得g (x )＝2，①－②，得f (x )＝a x －a －x .又g (2)＝a ，所以a ＝2，所以f (x )＝2x －2－x，所以f (2)＝154.课标文数3.B4 若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 课标文数3.B4 D 【解析】 因为函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f ()－x ＋g ()－x ＝f (x )－g ()x ＝e －x.又因为f (x )＋g ()x ＝e x，所以g ()x ＝e x －e －x2.课标文数12.B4 已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________． 课标文数12.B4 6 【解析】 由g (x )＝f (x )＋9，得当x ＝－2时，有g (－2)＝f (－2)＋9⇒f (－2)＝－6.因为f (x )为奇函数，所以有f (2)＝f (－2)＝6.课标理数2.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标理数2.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数6.B4 若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D ．1 课标文数6.B4 A 【解析】 法一：由已知得f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）定义域关于原点对称，由于该函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12且x ≠a ，知a ＝12，故选A.法二：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 又f (x )＝x2x 2＋（1－2a ）x －a，则－x 2x 2－（1－2a ）x －a ＝－x 2x 2＋（1－2a ）x －a 在函数的定义域内恒成立，可得a ＝12.课标文数3.B3，B4 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |课标文数3.B3，B4 B 【解析】 A 选项中，函数y ＝x 3是奇函数；B 选项中，y ＝||x ＋1是偶函数，且在()0，＋∞上是增函数；C 选项中，y ＝－x 2＋1是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数；D 选项中，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |是偶函数，但在()0，＋∞上是减函数．故选B.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数10.B4 已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9课标理数10.B4 B 【解析】 当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x 2－1)＝0，所以当0≤x <2时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1.当2≤x <4时，0≤x －2<2，则f (x －2)＝(x －2)3－(x －2)，又周期为2，所以f (x －2)＝f (x )，所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，所以当2≤x <4时，f (x )与x 轴交点的横坐标为x 3＝2，x 4＝3；同理当4≤x ≤6时，f (x )与x 轴交点的横坐标分别为x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，所以共有7个交点．课标理数3.B4 设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x ＋2)＝f (x )，则y ＝f (x )的图像可能是( )图1－1课标理数3.B4 B 【解析】 由f (－x )＝f (x )可知函数为偶函数，其图像关于y 轴对称，可以结合选项排除A 、C ，再利用f (x ＋2)＝f (x )，可知函数为周期函数，且T ＝2，必满足f (4)＝f (2)，排除D ，故只能选B.课标理数11.B4 若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________． 课标理数11.B4 0 【解析】 ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即x 2－|x ＋a |＝(－x )2－|－x ＋a |⇒||x ＋a ＝||x －a ，∴a ＝0.课标文数11.B4，B5 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝________．课标文数11.B4，B5 【答案】 －3【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1) ＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3.课标理数3.B4，B5 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3课标理数3.B4，B5 A 【解析】 法一：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (1)＝－f (－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3，故选A.法二：设x >0，则－x <0，∵f (x )是定义在R 上的奇函数，且x ≤0时，f (x ) ＝ 2x 2－x ，∴f (－x )＝2(－x )2－(－x )＝2x 2＋x ，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x 2－x ，∴f (1)＝－2×12－1＝－3，故选A.课标文数8.B5，H2 已知点A (0，2)，B (2，0)．若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1课标文数8.B5，H2 A 【解析】 由已知可得|AB |＝22，要使S △ABC ＝2，则点C 到直线AB 的距离必须为2，设C (x ，x 2)，而l AB ：x ＋y －2＝0，所以有|x ＋x 2－2|2＝2，所以x 2＋x －2＝±2，当x 2＋x －2＝2时，有两个不同的C 点； 当x 2＋x －2＝－2时，亦有两个不同的C 点． 因此满足条件的C 点有4个，故应选A.课标理数12.B5 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标理数12.B5 3或4 【解析】 由x 2－4x ＋n 得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，故当n ＝3，4时方程有整数根．课标文数14.B5 设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________．课标文数14.B5 3或4 【解析】 由x 2－4x ＋n ＝0得(x －2)2＝4－n ，即x ＝2±4－n ，∵n ∈N ＋，方程要有整数根，满足n ＝3，4，当n ＝3，4时方程有整数根．课标理数8.B5 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 课标理数8.B5 B 【解析】 f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图1－4.图1－4∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点， 由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.课标文数8.B5 对实数a 和b ，定义运算“⊗”；a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1，1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1，2]C ．(－∞，－2)∪(1，2]D ．课标文数8.B5 B 【解析】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x 2－2－（x －1）≤1x －1，x 2－2－（x －1）>1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1，或x >2 则f (x )的图象如图，∵函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，∴函数y ＝f (x )与y ＝c 的图象有两个交点，由图象可得－2<c ≤－1，或1<c ≤2.图1－3课标理数3.B6 若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 课标理数3.B6D 【解析】 因为点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，所以9＝3a，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标文数3.B6 若点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3 课标文数3.B6D 【解析】 因为点(a ，9)在函数y ＝3x的图象上，所以9＝3a，所以a ＝2，即tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝3，故选D.课标数学12.B6 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是函数f (x )＝e x(x >0)的图象上的动点，该图象在点P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是________．课标数学12.B6 12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e【解析】 设P (x 0，y 0)，则直线l ：y －e x 0＝e x 0(x －x 0)．令x ＝0，则y ＝－x 0e x 0＋e x 0，与l 垂直的直线l ′的方程为y －e x 0＝－1e x 0(x －x 0)， 令x ＝0得，y ＝x 0e x 0＋e x 0，所以t ＝－x 0e x 0＋2e x 0＋x 0e x 02.令y ＝－x e x ＋2e x ＋x e x 2，则y ′＝－e x （x －1）＋（x －1）ex2，令y ′＝0得x ＝1，当x ∈(0，1)时，y ′>0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′<0，故当x ＝1时该函数的最大值为12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋1e .课标理数7.B6，B7 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】 令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7 若点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，a ≠1，则下列点也在此图像上的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b B ．(10a ，1－b ) C.⎝⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1 D ．(a 2，2b )课标文数5.B7 D 【解析】 由点(a ，b )在y ＝lg x 图像上，得b ＝lg a .当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，所以点(a 2，2b )在函数y ＝lg x 图像上．课标文数3.B7 如果log 12x ＜log 12y ＜0，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x课标文数3.B7 D 【解析】 因为log 12x <log 12y <0＝log 121，所以x >y >1，故选D.课标文数15.B7 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．课标文数15.B7 6 10000 【解析】 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1，5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．课标理数3.B7 若f (x )＝1log 12（2x ＋1），则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 课标理数3.B7 A 【解析】 根据题意得log 12(2x ＋1)>0，即0<2x ＋1<1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.故选A.课标文数3.B7 若f ()x ＝1log 12()2x ＋1，则f ()x 的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪()0，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 课标文数3.B7 C 【解析】 方法一：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，2x ＋1≠1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)．故选C.方法二：取特值法，取x ＝0，则可排除B 、D ；取x ＝1，则排除A.故选C.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数7.B6，B7 已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b课标理数7.B6，B7 C 【解析】 令m ＝log 23.4，n ＝log 43.6，l ＝log 3103，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得m >l >n ，图1－3又∵y ＝5x为单调递增函数， ∴a >c >b .课标文数5.B7 已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．c >a >b课标文数5.B7 B 【解析】 ∵a ＝log 23.6>log 22＝1.又∵y ＝log 4x ，x ∈(0，＋∞)为单调递增函数，∴log 43.2<log 43.6<log 44＝1， ∴b <c <a .课标文数12.B3，B7 已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b的最小值为________． 课标文数12.B3，B7 18 【解析】 ∵log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≥1， ∴ab ≥2，∴3a＋9b＝3a＋32b≥23a ·32b ＝23a ＋2b≥2322ab＝18.大纲文数6.B7 设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a大纲文数6.B7 B 【解析】 a ＝log 1312＝log 32，b ＝log 1323＝log 332，则由log 343＜log 332＜log 32，得c ＜b ＜a .故选B.课标文数10.B8 函数f (x )＝ax n (1－x )2在区间上的图像如图1－2所示，则n 可能是( )图1－2A ．1B ．2C ．3D ．4课标文数10.B8 A 【解析】 由函数图像可知a >0.当n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x －1)(x －1)，所以函数的极大值点为x ＝13<0.5，故A 可能；当n ＝2时，函数f (x )＝ax 2(1－x )2＝a (x 2－2x 3＋x 4)，f ′(x )＝a (2x －6x 2＋4x 3)＝ 2ax (2x －1)(x －1)，函数的极大值点为x ＝12，故B 错误；当n ＝3时，f (x )＝ax 3(1－x )2＝a (x 5－2x 4＋x 3)，f ′(x )＝ax 2(5x 2－8x ＋3)＝ax 2(5x －3)(x －1)，函数的极大值点为x ＝35>0.5，故C 错误；当n ＝4时，f (x )＝ax 4(1－x )2＝a (x 6－2x 5＋x 4)，f ′(x )＝a (6x 5－10x 4＋4x 3)＝2ax 3(3x －2)(x －1)，函数的极大值点为x ＝23>0.5，故D 错误．课标理数10.B8 函数f (x )＝ax m(1－x )n在区间上的图像如图1－2所示，则m ，n 的值可能是( )图1－2A ．m ＝1，n ＝1B ．m ＝1，n ＝2C ．m ＝2，n ＝1D ．m ＝3，n ＝1课标理数10.B8 B 【解析】 由图可知a ＞0.当m ＝1，n ＝1时，f (x )＝ax (1－x )的图像关于直线x ＝12对称，所以A 不可能；当m ＝1，n ＝2时，f (x )＝ax (1－x )2＝a (x 3－2x 2＋x )，f ′(x )＝a (3x 2－4x ＋1)＝a (3x －1)(x －1)，所以f (x )的极大值点应为x ＝13＜0.5，由图可知B 可能．当m ＝2，n ＝1时，f (x )＝ax 2(1－x )＝a (x 2－x 3)，f ′(x )＝a (2x －3x 2)＝－ax (3x －2)，所以f (x )的极大值点为x ＝23＞0.5，所以C 不可能；当m ＝3，n ＝1时，f (x )＝ax 3(1－x )＝a (x 3－x 4)，f ′(x )＝a (3x 2－4x 3)＝－ax 2(4x －3)，所以f (x )的极大值点为x ＝34＞0.5，所以D 不可能，故选B.课标理数13.B8 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标理数13.B8 (0，1) 【解析】 函数f (x )的图象如图1－5所示：图1－5由上图可知0<k <1.课标文数13.B8 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．课标文数13.B8 (0，1) 【解析】 函数f (x )的图象如图1－3所示：图1－3由上图可知0<k <1.课标文数12.B4，B7，B8 已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图像与函数y ＝|lg x |的图像的交点共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个课标文数12.B4，B7，B8 A 【解析】 由题意做出函数图像如图，由图像知共有10个交点．图1－5课标理数9.B8 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )图1－1课标理数9.B8 C 【解析】 由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32<0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数10.B8 函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是( )图1－2课标文数10.B8 C 【解析】 由f (－x )＝－f (x )知函数f (x )为奇函数，所以排除A ；又f ′(x )＝12－2cos x ，当x 在x 轴右侧，趋向0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在x 轴右边接近原点处为减函数，当x ＝2π时，f ′(2π)＝12－2cos2π＝－32＜0，所以x ＝2π应在函数的减区间上，所以选C.课标文数4.B8 函数y ＝x 13的图象是( )图1－1课标文数4.B8 B 【解析】 因为y ＝x 13，由幂函数的性质，过点(0，0)，(1，1)，则只剩B ，C.因为y ＝x α中α＝13，图象靠近x 轴，故答案为B.课标数学8.B8 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．课标数学8.B8 4 【解析】 设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k ，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP ＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.大纲文数4.B8 函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )图1－1大纲文数4.B8 A 【解析】 由y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1可得其反函数为y ＝log 12(x －1)(x >1)，根据图象可判断选择答案A.另外对于本题可采用特殊点排除法．课标理数21.B9，H8 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2； (2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．课标理数21.B9，H8 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1⇒0<p 1＋p 2<2p 1⇒|p 1|>|p 2|； 当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0⇒2p 1<p 1＋p 2<0⇒|p 1|>|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－1<p 2p 1<1⇒0<p 1＋p 2p 1<2. 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0，注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X . ②次证：M (a ，b )∈X ⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇒)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇐)设φ(a ，b )＝|p 1|2，断言必有|p 1|>|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin＝1，φmax＝54.课标理数21.B9，H8 在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L ：y ＝14x 2，实数p ，q 满足p 2－4q ≥0，x 1，x 2是方程x 2－px ＋q ＝0的两根，记φ(p ，q )＝max{|x 1|，|x 2|}．(1)过点A ⎝⎛⎭⎪⎫p 0，14p 20(p 0≠0)作L 的切线交y 轴于点B .证明：对线段AB 上的任一点Q (p ，q )，有φ(p ，q )＝|p 0|2； (2)设M (a ，b )是定点，其中a ，b 满足a 2－4b >0，a ≠0.过M (a ，b )作L 的两条切线l 1，l 2，切点分别为E ⎝⎛⎭⎪⎫p 1，14p 21，E ′⎝⎛⎭⎪⎫p 2，14p 22，l 1，l 2与y 轴分别交于F 、F ′.线段EF 上异于两端点的点集记为X .证明：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2；(3)设D ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪y ≤x －1，y ≥14（x ＋1）2－54.当点(p ，q )取遍D 时，求φ(p ，q )的最小值(记为φmin)和最大值(记为φmax)．课标理数21.B9，H8 【解答】 (1)证明：切线l 的方程为y ＝12p 0x －14p 20.∀Q (p ，q )∈AB 有φ(p ，q )＝|p |＋p 2－4q 2＝|p |＋（p －p 0）22.当p 0>0时，0≤p ≤p 0，于是φ(p ，q )＝p ＋p 0－p 2＝p 02＝||p 02；当p 0<0时，p 0≤p ≤0，于是φ(p ，q )＝－p ＋p －p 02＝－p 02＝|p 0|2.(2)l 1，l 2的方程分别为y ＝12p 1x －14p 21，y ＝12p 2x －14p 22.求得l 1，l 2交点M (a ，b )的坐标⎝⎛⎭⎪⎫p 1＋p 22，p 1p 24.由于a 2－4b >0，a ≠0，故有|p 1|≠|p 2| . ①先证：M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|. (⇒)设M (a ，b )∈X . 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1⇒0<p 1＋p 2<2p 1⇒|p 1|>|p 2|； 当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0⇒2p 1<p 1＋p 2<0⇒|p 1|>|p 2|.(⇐)设|p 1|>|p 2|，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2p 1<1⇒－1<p 2p 1<1⇒0<p 1＋p 2p 1<2. 当p 1>0时，0<p 1＋p 22<p 1；当p 1<0时，p 1<p 1＋p 22<0，注意到M (a ，b )在l 1上，故M (a ，b )∈X . ②次证：M (a ，b )∈X ⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇒)已知M (a ，b )∈X ，利用(1)有φ(a ，b )＝|p 1|2.(⇐)设φ(a ，b )＝|p 1|2，断言必有|p 1|>|p 2|.若不然，|p 1|<|p 2|.令Y 是l 2上线段E ′F ′上异于两端点的点的集合，由已证的等价式①M (a ，b )∈Y .再由(1)得φ(a ，b )＝|p 2|2≠|p 1|2，矛盾．故必有|p 1|>|p 2|.再由等价式①，M (a ，b )∈X .综上，M (a ，b )∈X ⇔|p 1|>|p 2|⇔φ(a ，b )＝|p 1|2.(3)求得y ＝x －1和y ＝14(x ＋1)2－54的交点Q 1(0，－1)，Q 2(2，1)．而y ＝x －1是L 的切点为Q 2(2，1)的切线，且与y 轴交于Q 1(0，－1)，由(1)∀Q (p ，q )∈线段Q 1Q 2，有φ(p ，q )＝1.当Q (p ，q )∈L 1：y ＝14(x ＋1)2－54(0≤x ≤2)时，q ＝14(p ＋1)2－54，∴h (p )＝φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2＝p ＋4－2p2(0≤p ≤2)，在(0，2)上，令h ′(p )＝4－2p －124－2p＝0得p ＝32，由于h (0)＝h (2)＝1，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝54，∴h (p )＝φ(p ，q )在上取得最大值h max ＝54.∀(p ，q )∈D ，有0≤p ≤2，14(p ＋1)2－54≤q ≤p －1，故φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q2≤p ＋p 2－4⎣⎢⎡⎦⎥⎤14（p ＋1）2－542＝p ＋4－2p2≤h max ＝54，φ(p ，q )＝p ＋p 2－4q 2≥p ＋p 2－4（p －1）2＝p ＋（p －2）22＝p ＋2－p2＝1，故φmin＝1，φmax＝54.课标文数21.H10，B9在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：x ＝－2交x 轴于点A .设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足∠MPO ＝∠AOP .(1)当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知T (1，－1)．设H 是E 上动点，求|HO |＋|HT |的最小值，并给出此时点H 的坐标； (3)过点T (1，－1)且不平行于y 轴的直线l 1与轨迹E 有且只有两个不同的交点．求直线l 1的斜率k 的取值范围．课标文数21.H10，B9 【解答】 (1)如图1－2(1)．设MQ 为线段OP 的垂直平分线，交OP 于点Q .∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴MP ⊥l ，且|MO |＝|MP |. 因此，x 2＋y 2＝|x ＋2|，即y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)． ①另一种情况，见图1－2(2)(即点M 和A 位于直线OP 的同侧)．图1－2∵MQ 为线段OP 的垂直平分线， ∴∠MPQ ＝∠MOQ .又∵∠MPQ ＝∠AOP ，∴∠MOQ ＝∠AOP .因此M 在x 轴上，此时，记M 的坐标为(x ，0)．为分析M (x ，0)中x 的变化范围，设P (－2，a )为l 上任意点(a ∈R )． 由|MO |＝|MP |，即|x |＝（x ＋2）2＋a 2得，x ＝－1－14a 2≤－1.故M (x ，0)的轨迹方程为y ＝0，x ≤－1. ②综合①和②得，点M 轨迹E 的方程为y2＝⎩⎪⎨⎪⎧4（x ＋1），x ≥－1，0， x <－1. (2)由(1)知，轨迹E 的方程由下面E 1和E 2两部分组成(如图1－3)：图1－3E 1：y 2＝4(x ＋1)(x ≥－1)； E 2：y ＝0，x <－1.当H ∈E 1时，过T 作垂直于l 的直线，垂足为T ′，交E 1于D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1.再过H 作垂直于l 的直线，交l 于H ′.因此，|HO |＝|HH ′|(抛物线的性质)．∴|HO |＋|HT |＝|HH ′|＋|HT |≥|TT ′|＝3(该等号仅当H ′与T ′重合(或H 与D 重合)时取得)．当H ∈E 2时，则|HO |＋|HT |>|BO |＋|BT |＝1＋5>3.综合可得，|HO |＋|HT |的最小值为3，且此时点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，－1. (3)由图1－3知，直线l 1的斜率k 不可能为零． 设l 1：y ＋1＝k (x －1)(k ≠0)．故x ＝1k (y ＋1)＋1，代入E 1的方程得：y 2－4ky －⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋8＝0.因判别式Δ＝16k2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋22＋28>0，所以l 1与E 中的E 1有且仅有两个不同的交点． 又由E 2和l 1的方程可知，若l 1与E 2有交点， 则此交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，且k ＋1k <－1.即当－12<k <0时，l 1与E 2有唯一交点⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ，0，从而l 1与E 有三个不同的交点． 因此，直线l 1斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(0，＋∞)．课标理数22.B9，M3 已知函数f (x )＝x 3，g (x )＝x ＋x . (1)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，并说明理由；(2)设数列{a n }(n ∈N *)满足a 1＝a (a >0)，f (a n ＋1)＝g (a n )，证明：存在常数M ，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数22.B9，M3 【解答】 (1)由h (x )＝x 3－x －x 知，x ∈内无零点；当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )单调递增，则h (x )在(x 1，＋∞)内至多只有一个零点，从而h (x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点．解法二：由h (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1－x －12，记φ(x )＝x 2－1－x －12，则φ′(x )＝2x ＋12x －32.当x ∈(0，＋∞)时，φ′(x )>0，从而φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，则φ(x )在(0，＋∞)内至多只有一个零点．因此h (x )在(0，＋∞)内也至多只有一个零点．综上所述，h (x )有且只有两个零点． (2)记h (x )的正零点为x 0，即x 30＝x 0＋x 0. (i)当a <x 0时，由a 1＝a ，即a 1<x 0.而a 32＝a 1＋a 1<x 0＋x 0＝x 30，因此a 2<x 0.由此猜测：a n <x 0.下面用数学归纳法证明． ①当n ＝1时，a 1<x 0显然成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k <x 0成立， 则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k <x 0＋x 0＝x 30知，a k ＋1<x 0.因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1<x 0成立． 故对任意的n ∈N *，a n <x 0成立．(ii)当a ≥x 0时，由(1)知，h (x )在(x 0，＋∞)上单调递增，则h (a )≥h (x 0)＝0， 即a 3≥a ＋a .从而a 32＝a 1＋a 1＝a ＋a ≤a 3，即a 2≤a .由此猜测：a n ≤a .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，a 1≤a 显然成立．②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ≤a 成立，则当n ＝k ＋1时，由a 3k ＋1＝a k ＋a k ≤a ＋a ≤a 3知，a k ＋1≤a .因此，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≤a 成立． 故对任意的n ∈N *，a n ≤a 成立．综上所述，存在常数M ＝max{x 0，a }，使得对于任意的n ∈N *，都有a n ≤M .课标理数12.B9 函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8课标理数12.B9 D 【解析】 当x ＝12时，y ＝11－12＝2；当x ＝32时，y ＝11－32＝－2.所以函数图象如图所示，所以有8个根，且关于点(1，0)对称，所以所有根的总和为8.图1－5课标文数10.B9 在下列区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 课标文数10.B9 C 【解析】 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝e 14－2<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12－1>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，又因为函数y ＝e x是单调增函数，y ＝4x －3也是单调增函数， 所以函数f (x )＝e x ＋4x －3是单调增函数，所以函数f (x )＝e x＋4x －3的零点在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12内．课标理数16.B9已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．课标理数16.B92 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2<a<3，所以log a2<1＝log a a<log a3，因为3<b<4，所以b－2>1>log a2，b－3<1<log a3，所以f(2)·f(3)＝(log a2＋2－b)(log a3＋3－b)<0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n＝2.课标文数16.B9已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________．课标文数16.B92 【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为2＜a＜3，所以log a2＜1＝log a a＜log a3，因为3＜b＜4，所以b－2>1>log a2，b－3＜1＜log a3，所以f(2)·f(3)＝ (log a2＋2－b)·(log a3＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2，3)上，所以n＝2.课标理数6.B9函数f(x)＝x－cos x在 B 【解析】在同一个坐标系中作出y＝x与y＝cos x的图象如图，图1－2由图象可得函数f(x)＝x－cos x在方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内( )A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根课标文数6.B9C 【解析】如图1－3所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为C.图1－3。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——13.概率、统计
2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析）13．排列组合、概率统计一、选择题(2018·新课标Ⅰ，理3)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下列选项中不正确的是：A ．新农村建设后，种植收入减少。
B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。
C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍。
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。
(2018·新课标Ⅰ，理10)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（ ）A ．12p p =B ．13p p =C ．23p p =D ．123p p p =+（2018·新课标Ⅱ，理8）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112B ．114C ．115D ．118（2018·新课标Ⅲ，理8）某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =（ ）A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3（2017·新课标Ⅰ，2）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π4（2017·新课标Ⅱ，6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12种B ．18种C ．24种D ．36种 （2017·新课标Ⅲ，3）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图，根据该折线图，下列结论错误的是（ ）.A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳（2016·新课标Ⅰ，4）某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31（B ）21 （C ）32 （D ）43 （2016·新课标Ⅱ，5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）A ．24B ．18C ．12D ．9（2016·新课标Ⅱ，10）从区间[0，1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）A．4nm B．2nmC．4mnD．2mn（2016·新课标Ⅲ，4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是（）A. 各月的平均最低气温都在0C以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于20C的月份有5个（2015·新课标Ⅰ，4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（2015·新课标Ⅱ，3）根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著.B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效.C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势.D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关.（2014·新课标Ⅰ，5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）A.18B.38C.58D.78（2014·新课标Ⅱ，5）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45（2013·新课标Ⅰ，3）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()．A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样（2012·新课标Ⅰ，2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种（2011·新课标Ⅰ，4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）（A）13（B）12（C）23（D）34二、填空题(2018·新课标Ⅰ，理15)从2名女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有种（用数字填写答案）.（2017·新课标Ⅱ，13）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D X=．（2013·新课标Ⅱ，14）从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n=______.（2012·新课标Ⅰ，15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为.三、解答题(2018·新课标Ⅰ，理20) 某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为()01p p<<，且各件产品是否为不合格品相互独立．⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p，求()f p的最大值点p；⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？（2018·新课标Ⅱ，理18）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．为了预测改地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型①：30.413.5y t =-+：根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127⋅⋅⋅，，，）建立模型②：9917.5y t =+． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．（2018·新课标Ⅲ，理18）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：⑴根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；⑵求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：⑶根据⑵中的列表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()20.0500.0100.0013.8416.63510.828P K kk≥．（2017·新课标Ⅰ，19）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ,σ2)．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求 P (X ≥1)及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0．01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0．9974，0．997416≈0．95920.09≈．（2017·新课标Ⅱ，18）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2017·新课标Ⅲ，18）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？（2016·新课标Ⅰ，19）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求5.0)(≥≤n X P ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19=n 与20=n 之中选其一，应选用哪个？（2016·新课标Ⅱ，18）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.（2016·新课标Ⅲ，18）下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：719.32i i y ==∑，7140.17i i i t y ==∑0.55=≈2.646.参考公式：()()nii tt y y r --=∑ 回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：121()()()nii i nii tt y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-（2015·新课标Ⅰ，19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y （1,2,,8i =）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中i w =8118i i w w ==∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =-，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： （i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()()nii i nii uu v v uu β==-=--∑∑，v u αβ=-.（2015·新课标Ⅱ，18）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C ：“A 地区用户的满意度等级高于B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C 的概率．（2014·新课标Ⅰ，18）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.（2014·新课标Ⅱ，19）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.（2013·新课标Ⅰ，19）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
2011年—2019年高考全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——6.不等式与线性规划
2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编6．不等式与线性规划一、选择题（2017·新课标Ⅱ，5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 （2014·新课标Ⅰ，9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是（ ）A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P（2014·新课标Ⅱ，9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2（2013·新课标Ⅱ，9）已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A .14B .12C .1D .2二、填空题(2018·新课标Ⅰ，理13) .若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．（2018·新课标Ⅱ，理14）若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．（2017·新课标Ⅰ，14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．（2017·新课标Ⅲ，13）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．（2016·新课标Ⅰ，16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． （2016·新课标Ⅲ，13）设x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为________.（2015·新课标Ⅰ，15）若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .（2015·新课标Ⅱ，14）若x ，y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．（2014·新课标Ⅱ，14）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . （2012·新课标Ⅰ，14）设x ，y 满足约束条件1300x y x y x y -≥-⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =-的取值范围为___________．（2011·新课标Ⅰ，13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 ．（2011·新课标Ⅱ，13）若变量x ， y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .2011年—2019年全国卷（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷）理科数学试题分类汇编6．不等式与线性规划（解析版）一、选择题（2017·新课标Ⅱ，5）设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9【答案】A 解析：根据约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩画出可行域（图中阴影部分）, 作直线:20l x y +=，平移直线l ，将直线平移到点A 处Z 最小，点A 的坐标为()6,3--，将点A 的坐标代到目标函数2Z x y =+，可得15Z =-，即min 15Z =-.解法二：直接求法对于封闭的可行域，我们可以直接求三条直线的交点，代入目标函数中，三个数种选其最小的 为最小值即可，点A 的坐标为()6,3--，点B 的坐标为()6,3-，点C 的坐标为()0,1，所求值分 别为15-﹑9﹑1，故min 15Z =-，max 9Z =. （2014·新课标Ⅰ，9）不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是（ ）A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】C 解析：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.（2014·新课标Ⅱ，9）设x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．3D ．2【答案】B 解析：作出x ，y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪--≥⎩所表示的平面区域为如图阴影部分，做出目标函数l 0：y =2x ，∵y =2x -z ，∴当y =2x -z 的截距最小时，z 取最大值.当y =2x -z 经过C 点时，z 取最大值.由31070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得C (5,2)，此时z 取最大值为2×5-2=8.（2013·新课标Ⅱ，9）已知0a >，x ，y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值为1，则a =（ ）A .14B .12C .1D .2【答案】B 解析：由题意作出13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩所表示的区域如图阴影部分所示，当目标函数表示的直线经过点A 时，取得最小值，而点A 的坐标为（1, -2a ），所以2-2a =1，解得12a =. 故选B.二、填空题(2018·新课标Ⅰ，理13) .若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．【答案】6 解析：约束条件可行域如下图：l 0 l 13x-y-5=0yxo 12x-3y+1=0l 2x+y-7=052CA BA (1, -2a )2x +y +1=0可行域如上图阴影部分：目标函数32z x y =+可化为322z y x =-+ 将32y x =-进行平移，可得在(2,0)B 处距最大，即z 最大，将2,0x y ==，代入得max 6z = 【基本解法2】（交点法）将方程22022010,,1000x y x y x y x y y y --=--=-+⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+===⎩⎩⎩≥两两求解得交点坐标为(4,3),(2,0),(1,0)---，代入一一检验即可，max 6z =．（2018·新课标Ⅱ，理14）若x y ，满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤，则z x y =+的最大值为_________．【解析】9 解法一：求点法：2505,050x y x y x +-=⎧⇒==⎨-=⎩，2305,450x y x y x -+=⎧⇒==⎨-=⎩， 2301,2250x y x y x y -+=⎧⇒==⎨+-=⎩，将上述点的坐标代入目标函数中可知：max 9z =． （2017·新课标Ⅰ，14）设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y =-的最小值为 ．【答案】5-解析：（解析）不等式组21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩由32z x y =-得322z y x =-，求z 的最小值，即求直线322zy x =-的纵截距的最大值，当直线322zy x =-过图中点A 时，纵截距最大， 由2121x y x y +=-⎧⎨+=⎩解得A 点坐标为(1,1)-，此时3(1)215z =⨯--⨯=-；（法二）由线性规划知，32z x y =-在可行域的端点取到，即211(1,1)211x y x A x y y +==-⎧⎧⇒⇒-⎨⎨+=-=⎩⎩，325A z x y =-=-，10113(,)211333x x y B x y y ⎧=⎪-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩，1323B z x y =-=， 21111(,)0133x y x C x y y +=-=-⎧⎧⇒⇒--⎨⎨-==⎩⎩，1323C z x y =-=-，{}min min ,,5A B C z z z z ==-； （2017·新课标Ⅲ，13）若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩………，则34z x y =-的最小值为__________．【答案】1- 解析：由题意，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小．由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．（2016·新课标Ⅰ，16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000解析：设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为**1.50.51500.3905360000x y x y x y x y x N y N⎧+⎪+⎪⎪+⎪⎪⎨⎪⎪⎪∈⎪∈⎪⎩≤≤≤≥≥目标函数2100900z x y =+； 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)(0,200)(0,0)(90,0)，在(60,100)处取得最大值，210060900100216000z =⨯+⨯=（2016·新课标Ⅲ，13）设x ，y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为________.【答案】32解析：三条直线的交点分别为()()12,1,1,,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭，代入目标函数可得33,,12-，故最小值为32.（2015·新课标Ⅰ，15）若x ,y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则y x 的最大值为 .【答案】3解析：根据约束条件画出可行域，如图所示；yx的几何意义可以看做可行域内一点与坐标原点连线的斜率，因此可知在点(1,3)A 处取到最大值，且求得最大值为3.（2015·新课标Ⅱ，14）若x ，y 满足约束条件1020+220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最大值为_______．【答案】32解析：画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y =-x +z ，当z 取到最大时，直线y = -x + z 的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到1(1,)2D ，则z =x +y 的最大值为32.（2014·新课标Ⅱ，14）设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则2z x y =-的取值范围为 . 【答案】[3,3]-解析：画出可行域，易知当直线2Z x y =-经过点(1,2)时，Z 取最小值-3；当直线2Z x y =-经过点(3,0)时，Z 取最大值3. 故2Z x y =-的取值范围为[3,3]-.（2011·新课标Ⅱ，13）若变量x ， y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值为 .【答案】6- 解析：画出可行域如图，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5)时，min 6z =-.。
2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——4.三角函数、解三角形
4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z 错误！未找到引用源。
B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z 错误！未找到引用源。
C ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．BC ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 二、填空题【2018,16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ．【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________．【2011，16】在ABC V 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ．三、解答题【2018,17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2．（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°．(1)若PB＝12，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．【2012，17】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cos sin0a C Cb c--=．（1）求A；（2）若2a=，△ABC，求b，c．4．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ．注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为 )(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()s i n 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫ ⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z 错误！未找到引用源。
2010-2018全国卷分类汇编(函数解答题)
2010-2018新课标全国卷分类汇编（函数解答题）（2018课标全国Ⅰ 21）（12分）已知函数()1ln f x x a x x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()12122f x f x a x x -<--．解：（1）由已知，得2'2211()1(0)a x ax f x x x x x-+=--+=-> 令2()1(0)g x x ax x =-+>，24a ∆=-① 当0∆≤，即22a -≤≤时，()0g x ≥，则'()0f x ≤⇒函数()f x 在(0,)+∞上单调递增.② 当0∆>，即22a a <->或时，令1x =，2x =（i ）当2a <-时，则120x x <<∴当0x >时，()0g x >，则'()0f x <⇒函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）当2a >时，则210x x >>∴当120x x x x <<>或时，()0g x >，则'()0f x <，()f x 单调递减；当12x x x <<时，()0g x <，则'()0f x >，()f x 单调递增.综上所述，当2a ≤时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2a >时，函数()f x在(0,2a，()2a +∞上单调递减，在(22a a +上单调递增.（2）法一：由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=∴121x x =，不妨设120x x <<，则21x >11221212121211ln (ln )()()x a x x a x f x f x x x x x x x -+--+-=-- 121212ln ln 11x x a x x x x -=--+- 1221222ln ln 2ln 22x x x aa x x x x --=-+=-+-- ∴1222122()()122ln 0f x f x a x x x x x -<-⇔-+<-令1()2ln (1)g x x x x x=-+>由（1）知，()g x 在(1,)+∞上单调递减()(1)0g x g ∴<=，即22212ln x x x -+<0∴原命题得证，即1212()()2f x f x a x x -<--.法二：由（1）知，()f x 存在两个极值点当且仅当2a >()f x 的两个极值点1x ，2x 满足210x ax -+=∴121x x =，不妨设120x x <<，则21x >11221212121211ln (ln )()()x a x x a x f x f x x x x x x x -+--+-=-- 121212ln ln 11x x a x x x x -=--+- 1212ln ln 2x x ax x -=-+-∴12221121()()2ln 0f x f x xa x x x x x -<-⇔-+<-令21(1)x t t x =>，则2111221x t x x x x x ⎧⎧==⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==⎩⎩令()ln 1)g t t t =>则2'1()0t tt g t t -==< ()g t ∴在(1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g <=.∴原命题得证，即1212()()2f x f x a x x -<--.（2018课标全国Ⅱ理21）（12分）已知函数2()e x f x ax =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．21．解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于2(1)e 10x x -+-≤．设函数2()(1)e 1x g x x -=+-，则22()(21)e (1)e x x g'x x x x --=--+=--． 当1x ≠时，()0g'x <，所以()g x 在(0,)+∞单调递减．而(0)0g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数2()1e x h x ax -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点当且仅当()h x 在(0,)+∞只有一个零点． （i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；（ii ）当0a >时，()(2)e x h'x ax x -=-．当(0,2)x ∈时，()0h'x <；当(2,)x ∈+∞时，()0h'x >．所以()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．故24(2)1eah =-是()h x 在[0,)+∞的最小值． ①若(2)0h >，即2e4a <，()h x 在(0,)+∞没有零点；②若(2)0h =，即2e4a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点；③若(2)0h <，即2e4a >，由于(0)1h =，所以()h x 在(0,2)有一个零点，由（1）知，当0x >时，2e x x >，所以33342241616161(4)11110e (e )(2)a a a a a h a a a=-=->-=->． 故()h x 在(2,4)a 有一个零点，因此()h x 在(0,)+∞有两个零点．综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，2e4a =．（2018课标全国Ⅲ理21）（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+． 设函数()()ln(1)1x g x f x x x '==+-+，则2()(1)x g x x '=+． 当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>．故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=．所以()f x 在(1,)-+∞单调递增．又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >． （2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾．（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++．由于当||min{x <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同．又(0)(0)0h f ==，故0=是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点．2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++．如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且||m in{1,x <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点．如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且||min{x <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点． 如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--．则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<．所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-．（2017课标全国Ⅰ21）（12分）已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由于()()2e 2e x xf x a a x =+--故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立． ()f x 在R 上单调递减②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a=-=-+． 令()11ln g a a a =-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件．若01a <<，则m i n 11l n 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e 2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．（2017课标全国Ⅱ理21）（12分）已知函数2()ln f ax a x x x x =--，且()0f x ≥． （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220e ()2f x --<<． 【答案】（1）1a =；（2）证明见解析．（2）由（1）知 ()2ln f x x x x x =--，()22ln f 'x x x =--．设()22ln h x x x =--，则1()2'x h x=-．当1(0,)2x ∈ 时，()0h'x < ；当1(,)2x ∈+∞ 时，()0h'x >， 所以()h x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增．又()2e0h ->，1()02h <，()10h =，所以()h x 在1(0,)2有唯一零点0x ，在1[,)2+∞有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >． 因为()()f 'x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点． 由0()0f 'x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-． 由()00,1x ∈得()014f x <． 因为0x x =是()f x 在（0，1）的最大值点， 由()1e 0,1-∈，1(e )0f '-≠得120()(e )e f x f -->=．所以()220e2f x --<<．【考点】利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．（2017课标全国Ⅲ理21）（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k +<，*k ∈N一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为3．（2016课标全国Ⅰ，理21）（本小题满分12分） 已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t =，21t =， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+-->因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()()()'120x f xx ea =-+<，()f x 单调递减； 当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()l n 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()l n 20fx f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解 而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a e a -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增即：0<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．（2016课标全国Ⅱ，理21）（本小题满分12分）(Ⅰ)讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20xx e x -++>；(Ⅱ)证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x-->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域． 【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以（II ）由（I ）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减； 当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增所以，由得因为单调递增，对任意存在唯一的使得所以的值域是综上，当时，有，的值域是考点： 函数的单调性、极值与最值.（2016课标全国Ⅲ，理21)（本小题满分12分）设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 错误！未找到引用源。
2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编试题及参考答案
D.A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数
(2011·3)执行右面的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是()
A.120 B.720 C.1440 D.5040
2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
3.程序框图
A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}
(2013·1)已知集合M={x|(x-1)2< 4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()
A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}
(2012·1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()
A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}
(2015·1)已知集合A={-2,-1,0,2},B={x|(x-1)(x+2)<0},则A∩B=()
A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}
(2014·1)设集合M={0,1,2},N= ,则 =()
P1:|z|=2,P2:z2=2i,P3:z的共轭复数为1+i,P4:z的虚部为-1.
A.P2,P3B.P1,P2C.P2,P4D.P3,P4
(2011·1)复数 的共轭复数是()
A. B. C. D.
2011年—2018年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编
2.复数
(2018·1) ()
A. B. C. D.
(2013·6 )(2012·6)(2011·3)
(2013·6)执行右面的程序框图,如果输入的 ,那么输出的 ()
2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题 (理科)(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题(1)复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ) （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i 【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】1zz z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -.(2)函数0)y x =≥的反函数为( )（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( )（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =( ) （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 【解析】由题意得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足．若2,1ABAC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3(B)3 (C)3【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--是直二面角AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D到平面ABC 的距离.在Rt BCD∆中,由等面积法得3BD CD DE BC ⨯===.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.(8)曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】'22,xy e-=-∴曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23,23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=.(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5(2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()(2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-.(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45(B)35 (C)35- (D)45-【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4),(1,2-),又(1,0)F ,可求得5,2AB AF BF ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M的距离OM =在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==故圆N的半径r =∴圆N 的面积为213S r ππ==.(12)设向量a r ，b r ，c r 满足||||1a b ==r r ，12a b =-r r g，,60a c b c ︒<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于(A)21 【答案】A圆的条件及数形结合的思想.【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=，180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r最大，最大值为2.绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年—2018年新课标全国卷(1卷、2卷、3卷)理科数学试题分类汇编——12.解析几何
2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编（逐题解析）12．解析几何一、选择题(2018·新课标Ⅰ，理8) 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8(2018·新课标Ⅰ，理11) 已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ）A ．32B ．3C ．D ．4（2018·新课标Ⅱ，理5）双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞ ）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y = （2018·新课标Ⅱ，理12）已知1F ，2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的左、右焦点交点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 （ ）A ．23B ．12C ．13D ．14（2018·新课标Ⅲ，理6）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣（2018·新课标Ⅲ，理11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左，右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D（2017·新课标Ⅰ，10）已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．10（2017·新课标Ⅱ，9）若双曲线C :22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．3（2017·新课标Ⅲ，5）已知双曲线C ：()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ）.A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=（2017·新课标Ⅲ，10）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）.A ．3B ．3C ．3D ．13（2016·新课标Ⅰ，5）已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ ）（A ）)3,1(-（B ）)3,1(-（C ）)3,0(（D ）)3,0(（2016·新课标Ⅰ，10）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（A ）2（B ）4（C ）6（D ）8（2016·新课标Ⅱ，4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a =（ ）A ．43-B ．34-C D ．2（2016·新课标Ⅱ，11）已知F 1，F 2是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）AB ．32CD ．2（2016·新课标Ⅲ，11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E . 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A.13B. 12C. 23D. 34（2015·新课标Ⅰ，5）已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是（ ）（A ）( （B ）( （C ）( （D ）( （2015·新课标Ⅱ，7）过三点A (1, 3)，B (4, 2)，C (1, -7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则MN =（ ）A ．B ．8C ．D ．10（2015·新课标Ⅱ，11）已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）AB ．2CD （2014·新课标Ⅰ，4）已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为（ ）A B .3 C D .3m（2014·新课标Ⅰ，10）已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 （2014·新课标Ⅱ，10）设F 为抛物线C :23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30º的直线交C 于A , B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A BC ．6332D ．94（2013·新课标Ⅰ，4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x（2013·新课标Ⅰ，10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + （2013·新课标Ⅱ，11）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在C 上，||5MF =，若以MF 为直径的园过点(0,2)，则C 的方程为（ ）A.24y x =或28y x =B.22y x =或28y x =C.24y x =或216y x =D.22y x =或216y x = （2013·新课标Ⅱ，12）已知点(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（ ）A.(0,1)B.1(1)2-C.1(1]3D.11[,)32（2012·新课标Ⅰ，4）设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12 B ．23 C ．34D ．45（2012·新课标Ⅰ，8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||AB =C 的实轴长为（ ）AB ．C ．4D ．8（2011·新课标Ⅰ，7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（ ）（A （B （C ）2 （D ）3 二、填空题（2018·新课标Ⅲ，理16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．（2017·新课标Ⅰ，15）已知双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________．（2017·新课标Ⅱ，16）已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为F N 的中点，则F N = ．（2016·新课标Ⅲ，16）已知直线l ：30mx y m ++与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________.（2015·新课标Ⅰ，14）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 .（2014·新课标Ⅱ，6）设点M (0x ,1)，若在圆O :221x y +=上存在点N ，使得∠OMN =45º，则0x 的取值范围是________.（2011·新课标Ⅰ，14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率．过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF V 的周长为16，那么C 的方程为 ． 三、解答题（2018·新课标Ⅰ，理19）设椭圆2212x C y +=：的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为()20，．⑴当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； ⑵设O 为坐标原点，证明：OMA OMB =∠∠．（2018·新课标Ⅱ，理19）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为()0k k ＞的直线l 与C 交于A B ，两点，8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A B ，且与C 的准线相切的圆的方程．（2018·新课标Ⅲ，理20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为()()10M m m >，．⑴证明：12k <-；⑵设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且0FP FA FB ++=．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．（2017·新课标Ⅰ，20）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2），P 4（1C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．（2017·新课标Ⅱ，20）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .（2016·新课标Ⅰ，20）设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ． （Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．（2016·新课标Ⅱ，20）已知椭圆E:2213x yt+=的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k>0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围.（2016·新课标Ⅲ，20）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B 两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.（2015·新课标Ⅰ，20）在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N两点.（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.（2015·新课标Ⅱ，20）已知椭圆C ：2229x y m +=(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．（2014·新课标Ⅰ，20）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.（2014·新课标Ⅱ，20）设F 1，F 2分别是椭圆()222210y x a b +=>>的左右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N . （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a, b . .（2013·新课标Ⅰ，20）已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.（2013·新课标Ⅱ，20）平面直角坐标系xOy中，过椭圆2222:1(0)x yM a ba b+=>>右焦点F的直线x y+交M于,A B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为1 2 .（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）,C D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD AB⊥，求四边形ACBD面积的最大值.（2012·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．（1）若∠BFD =90°，△ABD 的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．（2011·新课标Ⅰ、Ⅱ，20）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA uuu r uu r， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．2011年—2018年新课标全国卷理科数学试题分类汇编12．解析几何一、选择题(2018·新课标Ⅰ，理8) 设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过点()20-，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=（ ） A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 解析：焦点F (1,0)， 直线l , 2224(2)(2)3333y x x x =+=+=+，242433y xy x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得2540x x -+=，解得121214,24x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，所以M (1，2),N (4，4). (0,2)(3,4).8FM FN FM FN ===，故选D.(2018·新课标Ⅰ，理11)已知双曲线2213x C y -=：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN =（ ） A ．32B ．3 C． D ．4【答案】B 解析：因为双曲线221,(2,0)3x y F -=，所以渐近线方程为3y x =±，倾斜角分别为30,150， 所以60MON ∠=， 不妨设90MNO ∠=，所以30,30OMN FON ∠=∠=，因为2OF =，所以在Rt FON ∆中，cos302ON OF =⋅== 所以在Rt MON ∆中，tan6033MN ON =⋅==． 【基本解法2】由题意可得渐近线方程为3y x=±，可分别求出M 和点N 的坐标；2)y y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，可得32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3(,2M ．2)y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，可得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩M ．所以在MN=3=，故选B（2018·新课标Ⅱ，理5）双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞）A．y =B．y =C．y x = D．y = 【答案】A 解析：由于()2222100x y a b a b-=>>，可知：该双曲线的渐近线方程为b y x a =±.已知离心率e =（ce a=），设a t =，则c =，由222c a b =+可知：b =，故双曲线的渐近线方程为y =。
2011—2018年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编——7.函数与导数.docx
2011—2018 年新课标全国卷 2 文科数学试题分类汇编7．函数与数一、(2018 新· Ⅱ，文e x e x的象大致（）3)函数 f xx2(2018 新· Ⅱ，文10)若f (x)cos x sin x 在 [0, a] 是减函数， a 的最大是（）A．πB．πC．3πD．π424(2018 新· Ⅱ，文12)已知 f ( x)是定域( ,) 的奇函数，足 f (1 x) f (1x) ．若 f (1) 2 ，f (1) f (2) f(3) f (50)（）A． 50B． 0C． 2D． 50（ 2017·8）函数f (x)ln( x22x8) 的增区是（）A. (-， - 2)B. (- ， - 1)C. (1， +)D. (4， +)（ 2016·10）下列函数中，其定域和域分与函数y=10lgx的定域和域相同的是（）A． y=x B ．y=lg x C．y=2x D ．y1x（ 2016·12）已知函数f( x)（ x∈R）足 f(x)=f(2- x)，若函数 y=|x2- 2x- 3|与 y=f(x) 像的交点(x , y )，11m( x2 , y2 ) ，⋯， ( x m , y m ) ，x i（）i1A． 0B．m C． 2m D． 4m（2015·11）如，方形 ABCD 的 AB=2， BC=1，O 是 AB ∠ BOP=x.将点 P 到 A， B 两点距离之和表示x 的函数的中点，点P 沿着 BC， CD 与 DA 运，f（ x）， f（ x）的像大致（）A． B ．C． D ．（ 2015·12）函数f ( x) ln(1 | x |)1，使得 f ( x) f (2x 1)成立的x的取范是（）x21A. (1,1)B. (, 1) (1, ) C. ( 1 , 1)D.( , 1) ( 1,)333 33 3（ 2014·11）若函数 f (x) = kx- lnx 在区间 (1， +)单调递增，则 k 的取值范围是（）A ．, 2B ．, 1C ． 2,D ． 1, （ 2013·8）设 a log 3 2 ， blog 5 2 ， c log 2 3，则（）A ． a c bB ． b c aC ． c b aD ． c a b（ 2013·11）已知函数 f ( x) x 3 ax 2 bx c ，下列结论中错误的是（）A ． x 0 R ， f ( x 0 ) 0B ．函数 yf ( x) 的图象是中心对称图形C ．若 x 0 是 f (x) 的极小值点，则 f ( x) 在区间 ( , x 0 ) 单调递减D ．若 x 0 是 f (x) 的极值点，则f (x 0 ) 0（ 2013·12）若存在正数 x 使 2x ( xa) 1成立，则 a 的取值范围是（ ）A ． (, )B ． (2, ) C ． (0, )D ． ( 1, )（ 2012·11）当 0< x ≤1时， 4xlog a x ，则 a 的取值范围是（）2A ．(0，2 )B ．( 2， 1)C ．(1， 2 )D ．( 2 ， 2)22（ 2011·3）下列函数中，既是偶函数又在 （0，+ ））单调递增的函数是（3B ． y | x | 1C ． y2|x|A ． y xx 1D ． y 2（ 2011·10）在下列区间中，函数 f (x) = e x+ 4x - 3 的零点所在的区间为（）A ． ( 1 ,0)B ． (0, 1)C ． ( 1 , 1)D ． ( 1 , 3)444 22 4（ 2011·12）已知函数 y = f (x)的周期为 2，当 x ∈ [-1,1] 时 f (x) = x 2，那么函数 y = f (x)的图像与函数 y = |lgx|的图像的交点共有（ ）A ．10 个B ．9 个C ．8 个D ．1 个二、填空题(2018 ·课标Ⅱ，文新 13)曲线 y 2ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为 __________．（ 2017·14）已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x (，0) 时， f ( x)=2 x 3 x 2 ，则 f (2) =（ 2015·13）已知函数 f (x) = ax 3- 2x 的图象过点 (- 1, 4)，则 a =.（ 2015·16）已知曲线 y x ln x 在点 (1, 1)处的切线与曲线y ax 2 (a2) x 1相切，则 a.（ 2014·15）偶函数 y = f (x)的图象关于直线 x = 2 对称， f (3) = 3 ，则 f (- 1) = _______.（ 2012·13）曲线 yx(3ln x 1) 在点 (1, 1)处的切线方程为.（ 2012·16）设函数 f ( x) ( x 1)2sin x的最大值为 M ，最小值为 m ，则 M+m =.x 2 1三、解答题(2018 ·21)已知函数f x 1 x3 a x2x 1 ．3（ 1）若 a 3 ，求 f ( x) 的单调区间；（ 2）证明： f ( x) 只有一个零点．（2017·21）设函数 f (x) = (1- x2)e x.（1）讨论 f (x)的单调性；（ 2）当 x 0 时， f (x) ax+1，求 a 的取值范围 .（ 2016·20）已知函数f ( x) ( x 1)ln x a(x1) .（Ⅰ）当a=4 时，求曲线y=f(x)在(1， f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈(1,+∞)时， f(x)>0，求a的取值范围 .（2015·21）已知函数 f (x) = ln x +a(1- x).（Ⅰ）讨论 f (x)的单调性；（Ⅱ）当 f (x)有最大值，且最大值大于2a - 2 时，求 a 的取值范围 .（ 2014·21）已知函数 f (x) = x3- 3x2+ax+2 ，曲线 y = f (x)在点 (0， 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为- 2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k<1 时，曲线y = f (x)与直线 y = kx- 2 只有一个交点．（2013·21）已知函数f ( x) x2e x .（Ⅰ）求 f ( x) 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线y f ( x) 的切线l的斜率为负数时，求l 在x轴上截距的取值范围。
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2011 年—2018 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数一、选择题【 2018，5】设函数f x x3a 1 x ax ，若 f x 为奇函数，则曲线y f x 在点 0 ,0 处的切线方程为（）A ．y2x B. y x C. y 2x D. y x【 2018， 9】已知函数 f xx ，≤0， g x fx x a ，若 g x存在 2个零点，则 a 的取值范围e xln x ，x 0是（）A． 1 ，0B． 0，C．1，D． 1，【，】函数 f ( x) 在 (,)单调递减，且为奇函数．若 f (1)1，则满足 1 f (x 2) 1的x 的20175取值范围是（）A ．[2,2]B ．[1,1]C．[0, 4] D ．[1,3]【 2017， 11】设x, y, z为正数，且2x3y5z，则（）A ．2x<3y<5z B． 5z<2x<3y C． 3y<5 z<2x D ．3y<2x<5z【 2016， 7】函数y2x 2e x2,2] 的图像大致为（）在 [A ．B．C．D．【 2016， 8】若a b 1， 0c 1 ，则（）A ． a c b cB． ab c ba c．D．log a c log b cC a log b c b log a c【 2015，12】设函数f ( x) = e x(2 x1)ax a ,其中a 1 ，若存在唯一的整数x0，使得 f (x0 ) 0 ，则a 的取值范围是（）A ．3,1B． 3 , 3C． 3 , 3 D ．3,1 2e2e42e42e【 2014， 3】设函数 f (x) ， g (x) 的定义域都为R，且f (x)是奇函数，g( x)是偶函数，则下列结论正确的是（）A ． f ( x) g( x) 是偶函数B ．| f ( x) | g( x) 是奇函数C ． f ( x) |g (x) | 是奇函数D ． | f ( x) g( x) 是奇函数|【 2014， 11】已知函数 f ( x) = ax 3 3x 2 1，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 0 ＞ 0，则 a 的取值范围为A ．（ 2，+∞）B ．（-∞， -2）C ．（ 1， +∞）D ．（ -∞，-1）【 2013， 11】已知函数 f(x)＝x 2， x ， )2x 0 若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 (ln( x ， x 0.1)A ．(－ ∞， 0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ － 2,1]D ． [－ 2,0]【 2012， 10】已知函数 f ( x)1 ，则 yf ( x) 的图像大致为（）ln( x 1)xyyyy11O1x1O1x1O 1xO1xA ．B ．C ．D ．【 2012， 12】设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为（）2A ． 1 ln 2B ． 2(1 ln 2)C ． 1 ln 2D ． 2(1 ln 2)【 2011， 2】下列函数中，既是偶函数又在 （ 0，+ ）单调递增的函数是（）A ． y x 3B ． y x 1C ． yx 2 1 D ． y 2 x【 2011， 9】由曲线 yx ，直线 yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）10B ． 416D ． 6A ．C ．33【 2011，12】函数 y1 的图像与函数 y 2sin x(2 x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（）x 1A ．2B ． 4C ． 6D ． 8二、填空题【 2017，16】如图，圆形纸片的圆心为 O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点， △DBC ， △ECA ，△FAB 分别是以 BC ，CA ，AB为底边的等腰三角形． 沿虚线剪开后， 分别以 BC ， CA ，AB 为折痕折起 △DBC ，△ECA ，△FAB ，使得 D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积3【 2015， 13】若函数 f(x)= xln（ x+ a x2）为偶函数，则a=【 2013，16】若函数 f(x)＝ (1－ x2)( x2＋ ax＋b) 的图像关于直线x＝－ 2 对称，则 f(x)的最大值为 __________ ．三、解答题1x a ln x .【 2018，理 21 】已知函数f xx（ 1）讨论 f x 的单调性；（ 2）若f x 存在两个极值点x1， x2f x1 f x2a 2 .，证明：x2x1【 2017， 21 】已知函数f xae2 x a 2 e x x ．（1）讨论f ( x)的单调性；（ 2）若f ( x)有两个零点，求 a 的取值范围．【 2016， 21】已知函数f ( x) ( x 2)e x a(x 1) 2有两个零点．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明： x1 x2 2 ．【 2015， 21】已知函数 f ( x) x3ax1， g( x)ln x ．4（Ⅰ）当 a 为何值时， x轴为曲线y f ( x) 的切线；（Ⅱ）用 min{ m, n} 表示m,n中的最小值，设函数h( x) min{ f (x), g( x)} （ x0 ），讨论 h(x) 零点的个数．【 2014，21】设函数x be x 1f (x0 ae ln x，曲线 y f ( x) 在点（，f (1)处的切线为 y e( x 1) 2 ．Ⅰ)x1(求a, b ；（Ⅱ）证明： f (x) 1 ．【2013， 21】设函数 f(x)＝ x2＋ ax＋b， g(x)＝ e x(cx＋ d)．若曲线 y＝ f(x)和曲线 y＝g( x)都过点 P(0,2)，且在点P 处有相同的切线 y＝ 4x＋2．(1)求 a， b，c， d 的值； (2)若 x≥－ 2 时， f(x) ≤kg(x)，求 k 的取值范围．【 2012， 21】已知函数 f ( x)满足f (x) f ' (1)e x 1 f (0) x1x2．1 x22（ 1）求f (x)的解析式及单调区间；（ 2）若f (x)ax b ，求 (a1)b 的最大值．2【 2011， 21】已知函数 f ( x) a ln x b，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x 2 y 3 0 ．x 1x（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）如果当x 0 ，且 x1时， f ( x)ln x k，求 k 的取值范围．x 1x2011 年—2018 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）6．函数与导数（解析版）一、选择题【 2018，5】设函数f x x3a 1 x ax ，若 f x为奇函数，则曲线y f x 在点0 ,0 处的切线方程为（）A ．y2x B. y x C. y 2x D. y x【答案】 D解析：解法 1：由基本函数y x3， y a 1 x2，y ax 的奇偶性，结合f x 为奇函数，易知 a 1 .则 f x x3x ，求导数，得f x 3 21f0 1 ，由点斜式得xy 0 1 x0即 y x .解法 2： f x x3a 1 x ax 为奇函数，f x f x ，即x3a 1 x2ax x3a 1 x2ax ， 2a 2 x20 得 a1，则 f x x3x ，求导数，得f x3x21，f0 1 ，由点斜式得 y0 1 x 0，即 y x .(2018 新·课标Ⅰ，理9)已知函数f x e x ，≤0， g xf x x a ，若g x 存在 2 个零点，则a的xln x ，x0取值范围是（）A． 1 ，0B． 0，C．1，D． 1，【答案】 C解析：g( x) f ( x)x 存a在两个零点，g ( x)0 即 f (x)x a =0有两个根，f ( x)x a 有两个根，即函数 y f ( x) 与 h(x)x a 有两个交点，h( x)x a 在y轴上的截距为 a ，使a1即可，a1【 2017，5】函数f ( x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f (1) 1，则满足1 f (x2) 1的x的取值范围是（）A ．[2,2]B ．[ 1,1]C．[0, 4] D ．[1,3]【解析】因为 f x为奇函数，所以 f1 f 1 1 ，于是1≤ f x 2 ≤1，等价于 f 1 ≤ f x 2 ≤ f 1 ，又 f x在，单调递减，1≤x 2≤1 ，1≤ x≤ 3 ，故选 D ．【 2017， 11】设x, y, z为正数，且2x3y5z，则（）A ． 2x<3y<5zB ．5z<2x<3y C． 3y<5z<2x D ． 3y<2x<5z【解析】取对数：xln 2y ln3ln5 ．x ln 33zln 5 ，则xln55，y ln 2，∴ 2 x 3 y ，x ln 22z ln 22∴ 2 x5z ∴3 y2x 5 z ，故选D．【法二】取对数：x ln 2y ln 3zln 5，x ln 2y ln 32x 2 ln 3 ln 3212x3y ，3 y3ln 2ln 23x ln 2z ln 52x 2 ln 5ln 5212x5z ，3y 2 x5z ，故选D；5z 5 ln 2ln 25【 2016， 7】函数y2x 2e x在 [2,2] 的图像大致为（）y y112O2x2O2xA ．B．y y112O2x2O2xC． D ．【解析】 f28e282.820 ，排除 A ； f28e28 2.72 1 ，排除 B ；x 0 时， f x2x2e x，f x4x e x，当 x0,1时，f x 1 4 e0044因此 f x在 0, 1单调递减，排除C；故选 D．4【 2016， 8】若a b1， 0c 1 ，则（）A ．a c b cB ．ab c ba c C．a log b c b log a c D ．log a c log b c 【解析】由于0c1，∴函数 y x c在R上单调递增，因此a b1a c b c， A 错误；由于1c10，∴函数 yc1上单调递减，∴a b1ac 1bc 1bac c错误；x在 1,ab ，B要比较 a log b c 和 b log a c ，只需比较aln c和b ln c，只需比较ln c 和ln c，只需 bln b 和 a ln a ，ln b ln a b ln b a ln a构造函数 f x x ln x x1，则 f ' x ln x1 1 0 ， f x在 1,上单调递增，因此f a f b0 a ln a b ln b 011又由0 c 1 得 ln c0 ，a ln a bln b ，∴ ln c ln c b log a c alog b c ，C正确；a ln ab ln b要 比 较 l o gc 和log b c ， 只 需 比 较ln c和ln c而 函 数 yln x 在 1,上 单 调 递 增 ， 故aln aln b ，a b1ln a ln b 011 又由 0c 1 得 ln c 0 ，∴ln cln clog a c log b c ， D 错误；ln aln b ，ln aln b故选 C ．【 2015，12】设函数 f ( x) = e x (2 x 1) ax a ,其中 a 1 ，若存在唯一的整数x 0 ，使得 f (x 0 ) 0 ，则 a的取值范围是（）A ．3,1B ．3 , 3C ．3 , 3 D ．3,12e2e 42e 42e解析：设 g( x) = e x (2 x1) ， y ax a ，由题知存在唯一的整数 x 0 ，使得 g (x ) 在直线 y axa 的下方 .因为 g (x)e x (2 x 1) ，所以当 x1 时， g (x) ＜ 0，当 x 1 时， g (x) ＞0，所以当 x1 时，2221[ g ( x)] min = 2e 2 ，当 x0 时， g(0)1， g(1) 3e 0 ，直线 yaxa 恒过（ 1,0）斜率且 a ，故ag(0)1，且g( 1)3e 1a a ，解得3≤ ＜ 1，故选 D ． .2e a作为选择题，该题也可先找到满足f ( x 0 ) 0 的整数 x 0 ，由 x 0 的唯一性列不等式组求解.由f (0)1 a 0 得 x0 .又 x 是唯一使 f ( x)0 的整数，所以f ( 1) 0，解得 a31，，又 af (1)2e且 a3时符合题意 .故选 D ． .4【 2014， 3】设函数 f (x) ， g (x) 的定义域都为 R ，且 f (x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是（）A . f (x) g (x) 是偶函数B .| f (x) | g (x) 是奇函数C . f (x) | g (x) |是奇函数D .| f (x) g (x) |是奇函数【解析】设 F (x)f ( x) g( x) ，则 F ( x)f ( x) g( x) ，∵ f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，∴ F ( x)f ( x)g ( x) F ( x) ， F ( x) 为奇函数，选 C.【 2014， 11】已知函数 f ( x) = ax 3 3x 2 1，若 f ( x) 存在唯一的零点x 0 ，且 x 0 ＞ 0，则 a 的取值范围为A .（ 2，+∞）B .（-∞， -2）C .（ 1，+∞）D .（ -∞， -1）【解析 1】：由已知 a0 ， f ( x) 3ax 2 6x ，令 f ( x)0 ，得 x0 或 x 2 ，a 当 a0 时， x,0 , f ( x) 0; x0, 2, f (x) 0; x2 , , f ( x) 0 ；aa且 f (0) 1 0， f (x) 有小于零的零点，不符合题意．当 a0 时， x, 2 , f ( x) 0; x 2,0 , f ( x) 0; x0, , f ( x) 0aa要使 f ( x) 有唯一的零点x 0 且 x 0 ＞ 0，只需 f ( 2)0 ，即 a 24 ， a2 ．选 Ba【解析 2】：由已知 a 0 ， f ( x) =321有唯一的正零点，等价于a3111ax 3xxx 3有唯一的正零根， 令 t，则问题又等价于 at 33t 有唯一的正零根， 即 ya 与 yt 33t 有唯一x的交点且交点在在 y 轴右侧记f (t )t 3 3t ， f (t )3t 2 3 ，由 f (t)0 ， t1 ，t , 1 , f (t ) 0;t1,1 , f (t) 0; ，t 1,, f (t )0 ，要使 at 3 3t 有唯一的正零根，只需a f ( 1) 2 ，选 B【 2013， 11】已知函数 f(x)＝x 2，，2xx若|f(x)| ≥ax ，则 a 的取值范围是 ()．ln( x ，x0.1)A ．(－ ∞， 0]B ． (－ ∞， 1]C ．[ － 2,1]D ． [－ 2,0]解析：选 D ，由 y ＝ |f(x)|的图象知：① 当 x ＞ 0 时， y ＝ax 只有 a ≤0 时，才能满足 |f(x)|≥ax ，可排除 B ，C.22② 当 x ≤0 时， y ＝|f(x)|＝ |－ x ＋ 2x|＝ x － 2x. 故由 |f(x)|≥ax 得 x 2－ 2x ≥ax.当 x ＝0 时，不等式为 0≥0 成立．当 x ＜0 时，不等式等价于 x － 2≤a ， ∵ x － 2＜－ 2， ∴a ≥－ 2.综上可知： a ∈ [ －2,0] ．【 2012， 10】已知函数 1，则 y f ( x) 的图像大致为（）f ( x)ln( x 1)xyyyy11O1x1O1x1O 1xO1xA ．B ．C ．D ．【解析】 y f ( x) 的定义域为 { x | x 1 且 x 0} ，排除 D ；( 1 1) x因为 f '( x)x 1 2x]2 ，[ln( x 1) x] ( x 1)[ln( x1)所以当 x ( 1,0) 时， f '(x)0 ， yf ( x) 在（－ 1， 0）上是减函数；当 x(0, ) 时， f '(x) 0 ， y f (x) 在 (0,) 上是增函数．排除 A 、 C ，故选择 B ．【 2012， 12】设点 P 在曲线 y1e x 上，点 Q 在曲线 y ln(2 x) 上，则 | PQ |的最小值为（）2A ． 1 ln 2B ．2(1 ln 2)C ． 1 ln 2D ．2(1 ln 2)【解析】函数 y1e x 与函数 y ln(2 x) 互为反函数，图象关于直线yx 对称．2问题转化为求曲线y1e x 上点 P 到直线 yx 的距离的最小值 d ，则 | PQ |的最小值为 2d ．2（用切线法）：设直线 yx b 与曲线 y1e x相切于点 P(t, 1e t ) ，22因为 y '1 e x ，所以根据导数的几何意义，得 1 e t 1， t ln2 ，22 所以切点 P(ln 2,1) ，从而 b 1 ln 2，所以 yx 1 ln 2因此曲线 y1e x 上点 P 到直线 yx 的距离的最小值 d 为直线2y x1 ln2 与直线 yx 的距离，从而 d1 ln 22(1 ln2) ，故选择 B ．2，所以 | PQ |min 2d【 2011， 2】下列函数中，既是偶函数又在 （ 0，+ ）单调递增的函数是（）A ． yx 3(B)y x 1C ． yx 2 1(D)y 2 x解析：由图像知选 B【 2011， 9】由曲线 yx ，直线 yx 2 及 y 轴所围成的图形的面积为（）10B ． 4C ．16D ．6A ．3342 x 23116，选 C解析：用定积分求解s ( xx 2) dx ( x 2 2x) |04323【 2011， 12】函数 y1 的图像与函数 y2sin x( 2x 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于x 1A ．2B ． 4C ． 6D ． 8解析：图像法求解．yx 1 的对称中心是（ 1,0）也是 y 2sinx(2 x 4) 的中心， 2x 4 他1们的图像在x=1 的左侧有 4 个交点，则 x=1 右侧必有 4 个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为x 1, x 2, x 3 , x 4 , x 5, x 6 , x 7 , x 8 ，则 x 1x 8 x 2 x 7 x 3 x 6 x 4 x 5 2 ，所以选 D二、填空题【 2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 5 cm ，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O ．D 、E 、F 为圆 O 上的点， △DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以 BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以 BC ， CA ， AB 为折痕折起 △DBC ， △ECA ， △FAB ，使得 D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 _______．【解析】由题，连接OD ，交 BC 与点 G ，由题， ODBC ， OG3 BC ，6即 OG 的长度与 BC 的长度或成正比，设 OGx ，则 BC2 3x ， DG5 x ，三棱锥的高hDG 2 OG 225 10x x 2x25 10x ，S△ABC2 3 3 x 1 3 3 x 2 ，2 则 V 1 S △ ABC h3x 225 10x = 325x 410x 5 ，3令 fx 25x410x 5， x (0, 5) ， fx100x350x4，令fx0 ，2即 x 42 x3 0 ， x 2 ，则 fx ≤ f 2 80 ，则 V ≤ 380 45 ， ∴体积最大值为 4 15cm 3 ．【 2015， 13】若函数 f(x)= xln （ x+ ax 2 ）为偶函数，则a=解析：由函数 f(x)=xln （ x+a x 2 ）为偶函数，则g( x) ln( xa x 2 ) 为奇函数（ g(0)ln a 0 ）；由 ln( xa x 2 ) ln(xa ( x) 2 ) 0 （ g( x) g( x)0 ），得 ln a 0 ，a 1 ，故填 1.【 2013，16】若函数 f(x)＝ (1－ x 2)( x 2＋ ax ＋b) 的图像关于直线 x ＝－ 2 对称，则 f(x)的最大值为 __________ ． 解 析 ： ∵ 函 数 f(x) 的 图 像 关 于 直 线 x ＝ － 2 对称 ， ∴ f(x) 满 足 f(0) ＝ f( － 4) ， f( － 1) ＝ f( － 3) ， 即b 15 16 4a b , a 8,4 3 28 93a b解得b ∴ f(x)＝－ x－ 8x － 14x ＋ 8x ＋15.,15.由 f ′(x)＝－ 4x 3－24x 2－ 28x ＋ 8＝ 0，得 x 1＝－ 2－ 5 ， x 2＝－ 2， x 3 ＝－ 2＋ 5 .易知， f(x)在 (－ ∞，－ 2－5 )上为增函数，在 (－ 2－ 5 ，－ 2)上为减函数，在 ( －2，－ 2＋ 5 )上为增函数，在 (－2＋5 ，＋ ∞)上为减函数．2＋ － －∴ f( － 2－ 5 )＝ [1－ ( － 2－ 5 )2][( － 2－5 )5 ) ＋15] ＝ ( － － 4 5 )(8 －4 5 ) ＝ 80 － 64＝8( 2816.f( －2) ＝[1－ (－ 2)2 ][( － 2)2＋ 8 ×(－ 2)＋ 15]＝－ 3(4－ 16＋ 15)＝－ 9.f( －2＋ 5 )＝[1－(－2＋5 )2][(－2＋ 5 )2＋8(－2＋5 )＋15]＝(－ 8＋4 5 )(8 ＋4 5 )＝ 80－ 64＝ 16.故f(x)的最大值为 16.三、解答题（ 2018·新课标 I ，理 21）已知函数f x 1x a ln x . x（ 1）讨论f x 的单调性；f x1f x2a 2 .（ 2）若f x存在两个极值点x1，x2，证明：x1x2解析：解法1：(1)函数f x的定义域为0,，且 f x11a x2ax1 x2x x2.当 a0 时，f x0， f x在 0,上单调递减；当 a0 时，a2 4 .①若 0a 2 ，则a240 ，此时f x0 ， f x在 0,上单调递减 .②若 a 2 ，则a240 ，方程 x2ax10 有两根x1, x2，x1x2a0a a24且，故两根 x , x 都为正数，且 x.x1x2 1 0121,22当 xa a24a a24时， f x0 ；0,22,当 x a a2 4 , a a24时， f x0 .22综上可知，当a2时， f x 在 0,上单调递减；当 a 2 时，f x在 0, aa24上单调递减，在a a2 4 , a a24单调递增，在222a a2 4 , 2 上单调递减 .(2) 因为x1, x2是fx1 x2a0 x 的两个极值点，所以1.x1x20f x 1f x 21 x 1 a ln x 11 x2 a ln x 2ln x 1x 1x 22 ax 2a 2 ，所以要证x 1 x 2x 1 x 2x 1x 2lnx1即证x 2 1 ① ，不妨设 x 1 x 2 ，即证 0 ln x1 x 1 x2 ， x 1 x 2 x 22222两边平方得lnx1x 1x 2 x 12x 1 x 2x 2x 1 x 2 2 ，x 2x 1 x 2x 2x 1令 tx 1 1 ，即证 ln 2 t t 12 .x 2t令 h tln 2t t 1 2 ，则 h 1 0 ，且 h t2ln t 1 112ln tt 1 ，ttt 2 tt22121t 2t 1t 1令 m t2ln tt ，则 m t10 ，t 2ttt 2t 2所以 m t 在 1, 上单调递减，m t m 10 ，所以 h t0 ， h t 在 1,上单调递减， h th 10 ，即 ln 2 t t 12 恒成立，tf x 1 f x 2a2 恒成立 .即x 1 x 2ln x 1ln x 1ln1【基本解法 2】 ① 式的证明：不妨设x 1 1 x 2ln x 2x 11 ，0 ，x 21x 1 x 1x 1即 ln x 12 x 11 0，令 g x ln x2 x1 x 1 ，x 1x21x 1 2则 gx10 ，所以 g x 在 1,上单调递减，x 2xx 2所以 g x g 1 0 恒成立，则 ① 得证 .【 2017， 12】已知函数 f xae 2 xa 2 e xx ．（ 1）讨论f ( x) 的单调性；（ 2）若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围．【解析】（ 1）由于 f xae 2 xa 2 e x x ，故 fx 2ae 2x a 2 e x1ae x 1 2e x1 ，① 当 a 0 时， a e x 1 0 ， 2e x 1 0 ．从而 fx0 恒成立．f x 在 R 上单调递减；② 当 a0 时，令 f x0 ，从而 e x 1 0 ，得 x ln a ．ax ， ln a ln a ln a ，f ′x 0f x单调减极小值单调增综上，当 a0 时， f (x) 在 R 上单调递减；当 a 0 时， f (x) 在 (, ln a) 上单调递减，在 ( ln a,) 上单调递增（ 2）由（ 1）知，当 a 0 时， f x 在 R 上单调减，故 f x 在 R 上至多一个零点，不满足条件．当 a0 时， f minfln a 1 1ln a ．令 g a1 1 ln a ．aa令 g a11 ln a a 0，则 g ' a110 ．从而 g a 在 0 ，上单调增，而 g 1 0 ．a a2a故当 0 a 1 时， g a 0 ．当 a1时 g a0 ．当 a 1 时 g a0 ，若 a 1 ，则 f min 11ga 0 ，故 f x0 恒成立，从而f x 无零点，不满足条件．ln aa若 a 1 ，则 f min 110 ，故 f x0 仅有一个实根xln a 0 ，不满足条件．ln aa若 0a 1 ，则 f min 1ln a 0 ，注意到ln a0 ． f1a a 21e 210 ．aee故 f x 在1， ln a 上有一个实根，而又ln3 ln1ln a ．且1aaf ln(31) ln 3 1ln3 1a 2 ln31eaa ea aa3 1 3 a a 2 ln313 1ln3 10 ．a aaa故 f x 在ln a ln1上有一个实根．，3a又 f x 在 ， ln a 上单调减，在 ln a ， 单调增，故 f x 在 R 上至多两个实根．又 f x 在1， ln a 及ln a ，ln3 1上均至少有一个实数根，故f x 在 R 上恰有两个实a根．综上， 0 a 1 ．【法二】令 fx0 ，则a2e xx ．再令t e x0 ，则 a2tln t ，e 2 xe xt 2 t而 f x 有两个零点，则a2t ln t有两解，即直线ya与曲线 y2t ln t有两个交点；t 2t t 2t令 g t2t ln t (t0) ，则gt2t ln t2t11t ln tt 22t22，t 2t t t令 h t1t ln t ，则h t110 ，注意到h10 ，t所以 g t 在 0,1上单调递增，在1,上单调递减，即g tmaxg1 1 ；而 lim g(t ), lim g(t )0，所以当 t0,1时， g(t),1；当 t0,1时， g(t ) 0,1，t 0t所以，当 a2t ln t有两解时， a 的取值范围为0,1．t 2t【 2016， 12】已知函数 f ( x) ( x 2)e x a(x1) 2有两个零点．（Ⅰ）求 a 的取值范围；（Ⅱ）设x1, x2是f ( x)的两个零点，证明：x1x2 2 ．【解析】：⑴ 由已知得： f 'x x 1 e x2a x1x1e x2a①若 a0 ，那么f x0xx0x2， f x只有唯一的零点x 2 ，不合题意；2 e②若 a0 ，那么 e x2a e x0 ，所以当 x 1 时，f 'x0， f x 单调递增;当x 1 时，f 'x0， f x单调递减 ;即：x,111,f' x0f x↓极小值↑故 f x在 1,上至多一个零点，在,1 上至多一个零点由于 f2 a 0 ， f 1e0 ，则 f 2 f 10 ，根据零点存在性定理，f x 在1,2上有且仅有一个零点．而当 x 1 时， e x e ， x 2 1 0 ，故 f x x 2 e x222e x 1 e a x 1 e x 2 a x 1 a x 1则 f x0 的两根 t1e e24ae1 ，t2e e24ae1 ，t1t2，因为a 0，故当 x t12a2a或 x2e x 1 e 0 t2时，a x 1因此，当 x 1 且x t1时， f x0又 f1e0，根据零点存在性定理，f x 在,1 有且只有一个零点．此时， f x在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若e a 0 ，则 ln2aln e 1，2当 xln2a 时， x 1 ln 2a 10 ， e x 2a ln 2 a0 ，e2a 即 f ' x x 1 e x 2a 0 ， f x 单调递增；当 ln2ax 1 时， x 10 ，e xln 2 a2a 0 ，即 f ' x x 1 e x a20 ， f x 单2a e调递减；当 x 1 时， x 10 ， e x 2aln 2 a2a 0 ，即 f ' x0 ， f x 单调递增．e即：x ,ln 2aln 2aln 2 a ,111, f ' x + 0-0 +f x↑极大值↓极小值↑而极大值f ln2a 2a ln 2a 2a ln 2a 12a ln 2a 2 21 0故当 x ≤1 时， f x 在 x ln 2a 处取到最大值 f ln2a ，那么 f x ≤ f ln2a0 恒成立，即 fx0 无解而当 x 1 时， fx 单调递增，至多一个零点此时 f x 在 R 上至多一个零点，不合题意．④ 若 ae，那么 ln2a12当 x 1 ln 2a 时， x 1 0 ， ex2a ln2a2a 0 ，即 f ' x 0 ， f x 单调递增e 当 x 1 ln 2a 时， x 1 0 ， e x2aln 2a2a 0 ，即 f ' x0 ， fx 单调递增e又 f x 在 x 1 处有意义，故 f x 在 R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若 ae，则 ln 2 a12当 x 1 时， x 1 0 ， e x 2a e 12a e ln2a2a 0，即 f ' x 0 ， f x 单调递增当 1 xln 2a 时， x 10 ， ex2ae ln2a2a 0 ，即 f ' x0 ， fx 单调递减当 x ln 2a 时， x 1 ln2 a 1 0 ， e xln 2 a0 ，2a e2a 0 ，即 f ' xf x 单调递增即：x ,1 11,ln2aln 2a ln 2a ,f ' x + 0-+ f x↑极大值 ↓ 极小值↑故当 x ≤ ln 2a 时， f x在 x 1 处取到最大值f 1e ，那么f x ≤e 0 恒成立，即f x 0 无解当 x ln 2a 时， f x 单调递增，至多一个零点,此时 f x 在 R 上至多一个零点，不合题意．综上所述，当且仅当 a 0 时符合题意，即 a 的取值范围为0,．⑵ 由已知得： fx 1 f x 20 ，不难发现 x 1 1， x 21，x 1x x 2 xx 2 e x故可整理得：a 2 e 12 e2，则 g x 1 g x 2x 1 1 2x 22g x 21,x 1x 21 x2，当 x1 时， g ' x 0， g x 单调递减； 当 x 1 时， g ' x 0 ， g x 单调递增．g ' x3 e x 1设 m 0 ，构造代数式：g 1 m g 1 mm 1 1 mm 1 1 m1 m 1 mm 1 2m12e2em 2emem m 1设 h mm 1e 2m 1， m 0 ,则 h ' m 2m 2 2 e 2 m 0 ，故 h m 单调递增，有 h m h 00 ．m 1m 1因此，对于任意的 m 0 ， g 1m g 1 m ．由 g x 1g x 2 可知 x 1 、 x 2 不可能在 g x 的同一个单调区间上，不妨设x 1 x 2 ，则必有 x 1 1 x 2令 m 1 x 1 0 ，则有 g 11 x 1 g 1 1 x 1g 2 x 1 g x 1g x 2而 2 x 1 1， x 21， g x 在 1,上单调递增，因此： g 2 x 1g x 22 x 1 x 2整理得： x 1 x 2 2 ．【 2015， 12】已知函数 f ( x) x 3ax 1 ， g( x)ln x .4（Ⅰ）当 a 为何值时， x 轴为曲线 yf ( x) 的切线；（Ⅱ）用 min{ m, n} 表示 m,n 中的最小值，设函数 h( x) min{ f (x), g( x)} （ x0 ），讨论 h(x) 零点的个数 .解：（Ⅰ） f (x)3x 2 a ，若 x 轴为曲线 y f ( x) 的切线，则切点 (x 0 ,0) 满足 f ( x 0 ) 0, f ( x 0 ) 0 ，也就是 3x 0 2a 0 且 x 03 ax 0 1 0 ，解得 x 01 ，a3 ，因此，当 a 3 时，x 轴为曲线 yf (x)4244的切线；（Ⅱ）当 x 1时， g (x) ln x 0 ，函数 h(x) min{ f ( x), g ( x)}g( x) 没有零点；当 x1 时，若 a5 ，则 f (1)a50 ， h(1) min{f (1), g(1)}g (1) 0 ，故 x1 是 h( x) 的44零点；当 0x 1时， g( x)ln x 0 ，以下讨论 yf (x) 在区间 (0,1) 上的零点的个数 .对于f (x)3x 2 a ，因为 0 3x 23 ，所以令 f (x)0 可得 a3x 2 ，那么（ i ）当 a 3 或 a 0 时， f ( x) 没有零点（ f (x) 0 或 f ( x) 0 ）， y f (x) 在区间 (0,1) 上是单函数， 且 f (0)1 , f (1) a 5 ，所以当 a 3 ， yf ( x) 在区 (0,1) 上有一个零点； 当 a0 ，44y f (x) 在区 (0,1)上没有零点；（ ii ）当3a0 ， f( x)0 （ 0xa ）且 f ( x)0 （a1），所以 xa3 x33最小 点，且f (a 2a a 1)33.34然，若 f (a ) 0 ，即 3 a 0 ， y f ( x) 在区 (0,1) 上没有零点；3 4若 f (a ) 0 ，即 a3 f ( x) 在区 (0,1) 上有 1 个零点；， y34若 f (a ) 0 ，即 3 a3 ，因 f (0)1, f (1) a 5 ，所以若 5a3 ， yf (x)3444 4 4在区 (0,1)上有 2 个零点；若3 a5 ， yf ( x) 在区 (0,1) 上有 1 个零点 .4上，当 a3 5有 1 个零点；当 a3或 a5 个零点；当或 a， h( x)4 ， h( x) 有 24445 3a， h( x) 有 3 个零点 .44【 2014，21】 函数 f ( x0ae x ln x be x 1 ，曲 yf (x) 在点（ 1， f (1) 的切 ye(x 1) 2 .x (Ⅰ )求 a,b ； （Ⅱ） 明：f ( x) 1 .【解析】 (Ⅰ ) 函数 f ( x) 的定 域0,， f ( x)ae x ln x a e xb 2 e x 1 b e x 1x xx由 意可得f (1) 2, f (1) e ，故 a 1,b 2⋯⋯⋯⋯⋯6 分（Ⅱ）由 (Ⅰ )知，f ( x) xln x2e x 1，从而 f (x) 1 等价于 x ln xx2ex xee函数 g ( x)x ln x ， g (x)x nl x，所以当 x0,1，g (x)0，当 x1 , ，g ( x)0，ee故 g (x) 在0, 1减，在 1 ,增，从而g( x) 在 0,的最小 g( 1)1 .eeee函数 h( x)xe x2 ， h ( x) e x 1 x ，所以当 x0,1 ， h ( x)0 ，当 x 1,，eh (x) 0 ，故 h( x) 在0,1 增，在 1,减，从而 h( x) g (x) 在0,1的最小 h(1).e上：当 x 0 ， g(x) h( x) ，即 f (x)1.⋯⋯⋯⋯⋯12分【 2013，理 21】函数2xf(x)＝ x ＋ ax＋ b， g(x)＝e (cx＋ d)．若曲 y＝ f(x)和曲 y＝ g(x)都点 P(0,2)，且在点 P 有相同的切y＝4x＋ 2.(1)求 a， b，c， d 的； (2)若 x≥－ 2 ， f(x) ≤kg(x)，求 k 的取范．解： (1) 由已知得 f(0) ＝ 2，g(0) ＝ 2， f ′(0)＝ 4， g′(0)＝ 4.而f′(x)＝ 2x＋ a， g′(x)＝ e x( cx＋ d＋ c)，故 b＝2， d＝ 2， a＝ 4，d＋ c＝ 4.从而 a＝ 4， b＝2， c＝ 2，d＝ 2.(2)由 (1) 知， f(x)＝ x2＋ 4x＋2， g(x)＝ 2e x(x＋ 1)．函数 F(x)＝ kg(x)－f(x)＝ 2ke x(x＋ 1)－x2－4x－ 2， F′(x)＝ 2ke x(x＋ 2)－ 2x－4＝ 2(x＋ 2)(ke x－ 1)．由可得F(0)≥0，即 k≥1.令F ′(x)＝ 0 得 x1＝－ ln k，x2＝－ 2.2①若 1≤k＜ e ，－ 2＜ x1≤0.从而当 x∈ (－ 2，x1)，F ′(x)＜ 0；当 x∈ (x1，＋∞) ，F ′(x)＞ 0.即 F( x)在 (－而F(x1)＝ 2x1＋ 2－x12－ 4x1－ 2＝－ x1( x1＋2) ≥0.故当 x≥－ 2 ， F(x)≥0，即 f(x)≤kg(x)恒成立．②若 k＝ e2， F′(x)＝ 2e2( x＋ 2)(e x－ e－2)．从而当 x＞－ 2 ， F′(x)＞ 0，即 F(x)在 (－ 2，＋∞) 增．而F(－ 2) ＝0，故当 x≥－ 2 ， F(x)≥0，即 f( x)≤kg(x)恒成立．③若k＞ e2， F(－ 2)＝－ 2ke－2＋ 2＝－ 2e－2(k－ e2)＜ 0.从而当 x≥－ 2 ， f( x)≤kg( x) 不可能恒成立．2上， k 的取范是[1， e ]．已知函数 f ( x) 足 f ( x) f ' (1)e x 1 f (0)x1x2．2（ 1）求f (x)的解析式及区；（ 2）若f (x) 1 x2ax b ，求 (a1)b 的最大．2【解析】（ 1）因所以f (x) f ' (1)e x 1 f (0) x1x2，所以f '(x) f '(1)e x 1 f (0) x ，2f (0)1f '(1)，解得 f (0)1， f'(1) e ．ef '(1) f '(1) f (0) 1所以 f (x) 的解析式 f ( x)e x x1x2，由此得 f '(x)e x 1 x ．2而 f '(x)e x 1x 是R上的增函数，且 f '(0) 0 ，因此，当 x(0,) ， f'(x)f'(0)0 ， f (x) 在 (0,) 上是增函数；当 x ( ,0) ， f '( x) f '(0) 0 ， f ( x) 在 ( ,0) 上是减函数．综上所述，函数 f (x) 的增区间为 (0,) ，减区间为 (,0) ．（ 2）由已知条件得 e x(a 1) x b ．①1 b ，（ i ）若 a 10 ，则对任意常数 b ，当 x0 ，且 xa1 可得 e x( a 1)x b ，因此①式不成立．（ ii ）若 a 10 ，则 ( a 1)b 0 ．（ iii ）若 a 1 0 ，设 g( x)e x (a 1)x ，则 g '(x) e x ( a 1) ．当 x( ,ln( a 1)) ， g '( x) 0 ；当 x (ln( a 1), ) ， g '( x) 0从而 g( x) 在 ( ,ln( a 1)) 单调递减，在 (ln( a 1),) 单调递增．所以 f (x)1x2ax b 等价于 ba 1( a 1)ln( a 1)．②2因此 (a 1)b (a 1)2 (a 1)2 ln( a 1) ．设 h(a)(a 1)2(a 1)2 ln(a 1)，则 h '(a) (a1)(1 2ln( a1)) ．11所以 h( a) 在 (1,e 2 1) 单调递增，在 (e 21, ) 单调递减，1ee故 h(a) 在 ae 2 1 在处取得最大值，从而h(a)，即 (a 1)b2．211e 212当 ae21 ， bf (x)x ax b ．时，②式成立，故22综合得， (a1)b 的最大值为 e．2【 2011， 21】已知函数 f ( x)a ln xb，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x 2 y3 0．x 1 xln xk，求 k 的取值范围．（Ⅰ）求 a 、 b 的值；（Ⅱ）如果当x0 ，且 x1时， f ( x)x 1 xa x 1 ln xb（ 21）解：（ I ） f xxx 1 2x 21f 1 1b1 由于直线 x2 y3 0 的斜率为，且过点 1,1 ，故 11 ，即a b 1 ，解得 a 1 ， b 1 .2f22 2（ II ）由（ I ）知 f xln x 1，所以ln x k12ln x k1x 2 1f x1 x 1 x 2xx 1 xx考虑函数 h x 2ln x k 1 x21x0，则 h xk 1 x2 1 2 x x x2k x21x12（ i）设k0 ，由 h x知，当 x 1 时， h x0 . 而 h 10 ，x 2故当 x0,1时， h x0 ，可得12hx0 ；x1当 x1,时， h x0 ，可得1h x0x21从而当 x0，且 x 1 时， f x ln x k0 ，即 f xln x k. x1x x 1x（ ii ）设0k 1 ，由于当x1,1时， k 1x212x0 ，故 h x0，而 h10，故当 x1,11k1k时， h x0 ，可得12 h x0 ，与题设矛盾 .1 x（ iii ）设k 1 ，此时h x0 ，而 h 10 ，故当 x1,时， h x0 ，得1h x 0，与题设1x2矛盾 .综合得， k 的取值范围为,0 .。