11月30八年级一次函数
八年级下册数学-一次函数与等腰三角形、全等三角形
第20讲 一次函数与等腰三角形、全等三角形知识导航1.等腰三角形底上的高将等腰三角形分成两个全等三角形，腰上的高将等腰三角形分成两个直角三角形；2.在直角坐标系中，构造全等三角形时，常作与坐标轴平行或垂直的边，达到能用坐标差表示这些直角边的目的.【板块一】 一次函数与等腰三角形方法技巧利用等腰三角形的性质，结合勾股定理求出线段的长，从而求出点的坐标，最后求直线的解析式或代入直线解析式，求待定系数. 【例1】如图，直线y=34x-3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ； （1）求点A ，B 的坐标；（2）点C 是y 轴上一点，若AC=BC ，求点C 的坐标；（3）点D 是x 轴上一点，∠BAO=2∠DBO ，求点D 的坐标.图1图2【例2】如图1，直线AB 交x 轴于点A （1，0），交y 轴于点B （0，-3）. （1）求直线AB 的解析式；（2）点C 是x 轴上一点，∠BAO=2∠BCO ，求点C 的坐标；（3）如图2，将△ABO 沿AB 翻折得到△ABD ，求直线AD 的解析式.图1图2针对练习21.如图，直线y=34x+6交坐标轴于A ，B 两点，点C （0.-4），过点C 的直线与直线AB 交于点P ，与x 轴交于点E ，若PB=PC ，求点E 的坐标.2.如图，已知直线y=kx+2与直线y=2x+4交于点P，两直线分别交y轴于B，A两点，若PA=PB，求k的值.【板块二】一次函数与全等三角形方法技巧1.作坐标轴的垂线，构造全等三角形，得到线段的关系，从而求出点的坐标，进而求直线的解析式.2.利用角平分线，作垂线构造全等三角形，结合一次函数的解析式证明线段的关系.题型一作坐标轴的垂线构造全等三角形【例1】如图，直线AB分别交x轴、y轴于点A，B（点A在x轴的负半轴），直线y=-x+4经过点B，交x轴于点C，若S△ABC=10.（1）求直线AB的解析式；（2）若D（1，0），过点D的直线y=mx+n分别交直线AB，BC于M，N两点，是否存在这样实数m，n，使得线段MN被x轴平分？若存在，请求出m，n的值？若不存在，说明理由.【例2】已知C（-4，4），E（0，8），P是x轴正半轴上的动点，Q是y轴正半轴上的动点，点Q在点E上方，OP=EQ，QH是∠OQP的角平分线交直线CO于点H.求证：OH=8.针对练习11.如图，直线AB的解析式为y=13x+1，C（0，2），直线y=kx-1交AB于点M，交AC于点N，交y轴于点G，且GN=GM，求k的值.2.直线y=x+2与x轴，y轴交于A，B两点，C为AB的中点.（1）如图1，M为x轴正半轴上一点，N为OB上一点，若BN+OM=MN，求∠NCM的度数.（2）如图2，P为过点B的直线上一点，PD⊥x轴于点D，PD=PB，E为直线BP上一点，F为y轴负半轴上一点，且DE=DF.求证：BE=BF.图2图1。
八年级初二下一次函数题型分类及答案解析
一次函数题型分类汇编一、考点：函数的定义1.（2021.07·丰台·期末）下列各曲线中，不表示y 是x 的函数的是（ D ）（A） （B） （C） （D）2.（2021.07·燕山·期末）下列曲线中，表示y 是x 的函数的是（ B ）A B C D二、考点：自变量的取值范围1.（2021.07·东城·期末）函数11y x =+的自变量取值范围是（ C ）A. x ≥-1B. x≤-1C. x ≠-1D. x ≠12.（2021.07·顺义·期末）在函数y =中，自变量x 的取值范围是（ A ）A. 1x ≥且3x ≠ B. 1x ≥ C. 3x ≠ D. 1x >且3x ≠三、考点：函数的平移法则1.（2021.07·东城·期末）在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝2x +1向上平移2个单位长度后，所得的直线的解析式为（ C ）A．y ＝2x ﹣1B．y ＝2x +2C．y ＝2x +3D．y ＝2x ﹣22.（2021.07·海淀·期末）将直线向下平移个单位长度后，得到的直线是（ B ）A．3+2y x =B．32y x =-C．3(2)y x =+D．3(2)y x =-3y x =2四、考点：一次函数增减性1.（2021.07·门头沟·期末）如果函数()265y k x =-+是关于x 的一次函数，且y 随x 增大而增大，那么k 取值范围是（ D ）A．k ≠0B．k ＜3C．k ≠3D．k ＞32.（2021.07·燕山·期末）已知),3(11y P -，),2(22y P 是一次函数1+=x y 的图象上的两个点，则21,y y 的大小关系是（ A ）A. 21y y <B. 21y y >C. 21y y =D. 不能确定3.（2021.07·顺义·期末）已知点(2)，-A a ，(3)，B b 在直线23=+y x 上，则a ＜ b ．（填“>”“<”或“=”号）4.（2021.07·海淀·期末）函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象上有两个点111(,)A x y ，222(,)A x y ，当12x x <时，12y y <，写出一个满足条件的函数解析式：__y x =______．5.（2021.07·朝阳·期末）请写出一个y 随x 的增大而减小的正比例函数的表达式： 如：y = -x ．6.（2021.07·石景山·期末）已知一次函数()31y k x =-+中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是3k < .五、考点：k,b--象限1.（2021.07·丰台·期末）如果一次函数y=kx+b （k ≠ 0）的图象经过二、三、四象限，写出一组满足条件的k ，b 的值：k = -1 ，b = -1 ．2.（2021.07·石景山·期末）平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C ，D 的位置如图所示，当0k >且0b <时，A ，B ，C ，D 四点中，一定不在一次函数y kx b =+图象上的点为 D ．3.（2021.07·房山·期末）一次函数y = kx+b （k ≠ 0）的图象不经过第一象限，请你写出一组满足条件的k ，b 的值：=k -1 ，=b -1 ．六、考点：一次函数解析式1.（2021.07·昌平·期末）写出一个图象经过点（0，1）的函数的表达式 y = x+1 ．2.（2021.07·平谷·期末）正比例函数的图象经过点（-1,2），则此函数的表达式为 2y x =- . 七、考点：两函数交点坐标与自变量取值范围1.（2021.07·朝阳·期末）如图，一次函数y kx b =+的图象经过点A （1，2），关于x 的不等式2kx b +>的解集为 x ＞1 ．2.（2021.07·海淀·期末）如图，一次函数1y x =+与y kx b =+的图象交于点P ，则关于x ，y的方程组1,y x y kx b =+⎧⎨=+⎩的解是（ A ）A．12x y =⎧⎨=⎩，B．21x y =⎧⎨=⎩，C．11x y =-⎧⎨=⎩，D．24x y =⎧⎨=⎩，3.（2021.07·顺义·期末） 如图，直线与=+y kx b （0≠k 且k ，b 为常数）的交点坐标为（3，－1），则关于x 的不等式2+≥-+kx b x 的解集为 x ≥3.2y x =-+4.（2021.07·昌平·期末）如图，已知函数y ＝x +b 和y ＝ax +3的图象交点为P ，则关于x 的不等式x +b ＞ax +3的解集为 x>1 ．5.（2021.07·房山·期末）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y kx =和3y x =-+的图象如图所示，则关于x 的一元一次不等式3kx x <-+的解集是 1x < .八、考点：一次函数解析式的确定、与坐标轴交点坐标、面积1.（2021.07·东城·期末）下表是一次函数y =kx +b (k,b 为常数，k ≠0)中x 与y 的两组对应值.x -20y63（1）求这个一次函数的表达式；（2）求这个一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积.+b3【答案】解：（1）将x ＝-2，y ＝6和x ＝0，y ＝3分别代入，得-26,3.x b b +=⎧⎨=⎩，解得3,23.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴所求一次函数的解析式为33.2y x =-+2 分（2）直线与坐标轴交点分别为(2,0),(0,3) …….4分123 3.52S =⨯⨯= 分2.（2021.07·丰台·期末）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=kx+b （k ≠ 0）的图象经过点A （-1，1），B （0，3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若这个一次函数的图象与x 轴的交点为C ，求△BOC 的面积．【答案】解：（1）∵一次函数y kx b =+的图象过点A （-1，1），B （0，3），∴1,3.k b b -+=⎧⎨=⎩解得2,3.k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为23y x =+. ................... 3分（2）令0y =，则32x =-.∴点C 的坐标为（32-，0）.∴1393224BOC S ∆=⨯⨯=. ...................... 5分3.（2021.07·昌平·期末）一次函数y ＝kx +b （k．（1）求一次函数的表达式；（2）若此一次函数图象与x 轴交于点C ，求△BOC 的面积．【答案】4.（2021.07·房山·期末）已知一次函数14y k x =-与正比例函数2y k x=的图象都经过点(2，1).（1）分别求出这两个函数的表达式;（2）求这两个函数的图象与x 轴围成的三角形的面积.【答案】（1）将点(2,1)代入14y k x =-得：152k =……………………..1分将点(2,1)代入2y k x =得：212k = .……………………..2分∴函数的表达式为452y x =-， 12y x = ……………………..4分(2) ∵452y x =-，令为0.则85x =452y x =-，12y x =相交于点(2,1) ……………………..5分∴这两个函数的图象与x 轴围成的三角形的面积:1841255s ⨯⨯==5.（2021.07·燕山·期末）已知，直线y =2x +3与直线y = -2x-1. (1) 求两直线与y 轴交点A ，B 的坐标;(2) 求两直线交点C 的坐标;(3) 求△ABC 的面积.【答案】 解：(1) 令 x=0代入y =2x +3与y = -2x-1中，得y =3与y = -1∴两直线与y 轴交点的坐标是A （0，3），B （0，-1）………………………2′(2) 由 得∴，代入y =2x +3，得1∴两直线交点C 的坐标是（，1）;……………………………3′(3)∵ AB 的长是4，点C 到 AB 的距离是1，∴△ABC 的面积=21421=⨯⨯ …………………………5′6.（2021.07·海淀·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点与．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若点是轴上一点，且的面积是5，求点的坐标．【答案】（1）解：设这个一次函数的解析式为y kx b =+（0k ≠）． (1)分xOy ()4,0A -()0,5B C x ABC △C∵一次函数的图象经过点()4,0A -与()0,5B ，∴40,0 5.-+=⎧⎨⋅+=⎩k b k b ………………………2分∴5,45.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴这个一次函数的解析式为554y x =+． ………………………3分（2）解：设点C 的坐标为(,0)c （4c ≠-）．∵ABC r 的面积是5，∴1|4|552c --⨯=．∴6=-c 或2=-c ．∴点C 的坐标为(6,0)-或(2,0)-． ………………………5分7.（2021.07·顺义·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数22=+y x 的图象经过点A （－2，m ），与y 轴交于点B ．(1)求点A 和点B 的坐标；(2) 若点P 是直线AB 上一点，且AOP ∆的面积为3， 求点P 的坐标．【答案】解：（1）∵一次函数22=+y x 的图象经过点A （－2，m ），与y 轴交于点B ．∴ 令0=x ，则 2=y …………………………………………………………1分2(2)22=⨯-+=-m ∴ A （－2，－2），B （0 ， 2） …………………………………………2分（2） 连结AO ， 则1122222∆=⋅⋅=⨯⨯-=AOB A S OB x ∵点P 是直线AB 上一点，且AOP ∆的面积为3∴点P 不可能在线段AB 上.当点P 在第一象限时，AOP AOB BOP S S S ∆∆∆=+ ，1BOP S ∆= ………………………………………………………………3分∴112122P P P OB x x x ⋅⋅=⨯⨯==∴222124=+=⨯+=P P y x ∴点P 的坐标为(1,4)P …………………………………………………4分当点P 在第三象限时，AOP BOP AOB S S S ∆∆∆=-，5∆=BOP S ………………………………………………………………5分∴112522⋅⋅=⨯⨯==P P P OB x x x ∴ 5=-P x ∴222(5)28=+=⨯-+=-P P y x ∴点P 的坐标为(5,8)--P … …………………………………………6分综上，点P 的坐标为(1,4)P 和(5,8)--P 8.（2021.07·通州·期末）已知一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(20)B -，，与正比例函数2y mx =的图象交于点(1)A a ，．（1）分别求k ，m 的值；（2）点C 为x 轴上一动点．如果△ABC 的面积是6，请求出点C 的坐标．【答案】解：（1）∵一次函数12y kx =+的图象与x 轴交于点(20)B -，，∴220k -+=∴1k = ………………… 1分∴12y x =+∵一次函数12y x =+的图象与正比例函数2y mx =的图象交于点(1)A a ，，∴12a =+，a m =， ………………… 2分∴3m =. ………………… 3分（2）设点C 的坐标为(0)n ，，过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ．∵△ABC 的面积是6，∴162BC AD ⋅=∴()12362n --⨯=∴2n =或6n =-∴点C 的坐标为(20)，或(60)-， ………………… 5分或过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为点D ．∵△ABC 的面积是6，∴162BC AD ⋅=∴1362BC ⨯=∴4BC =，∵点B 的坐标为(20)-，，∴点C 的坐标为(20)，或(60)-，9.（2021.07·平谷·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 与x 轴交于A 点 （2,0）与y 轴交于点B （0,1）.（1）求直线AB 的解析式；（2）点M （-1，y 1），N （3，y 2）在直线AB 上，比较y 1与y 2的大小.（3）若x 轴上有一点C ，且S △ABC =2，求点C 的坐标【答案】 (1).解：设直线AB 的解析式为y kx b =+∵A（2，0）B（0,1）∴201k b b +=⎧⎨=⎩解得：k=12-，b=12∴直线AB 的解析式为112y x =-+112y x =-+3(2).设(),0,=2,1C x x OB -=则A C 112222S AC OB x ==-= 24-2=-4x x -=或126=-2x x =或()()6,0-2,0C 或九、考点：求K 的取值范围（绕定点旋转）1.（2021.07·海淀·期末）在平面直角坐标系中，直线11:1l y x =+与直线22:22l y x =-交于点A ．（1）求点A 的坐标；（2）当12y y >时，直接写出x 的取值范围；（3）已知直线33:1l y kx =+，当3x <时，对于x 的每一个值，都有32y y >，直接写出k 的取值范围．【答案】（1）解：由题可知，1,2 2.y x y x =+⎧⎨=-⎩………………………1分解得3,4.x y =⎧⎨=⎩∴点A 的坐标是(3,4)． ………………………2分（2）3x <； ………………………3分（3）12k ≤≤． ………………………5分2.（2021.07·丰台·期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：22y x =+和直线l 2：y=kx+b （k ≠ 0）相交于点A （0，b ）．（1）求b 的值；（2）直线l 1与x 轴的交点为B ，直线l 2与x 轴的交点为C ，若线段BC 的长度大于2，结合函图象求的取值范围．【答案】解：（1）∵点A （0，b ）在直线l 1： 22y x =+上，xOy k∴b =2. .......................................2分（2）直线1:22l y x =+与x 轴交于点B (-1，0).当BC =2时，点C 的坐标为（-3，0）或（1，0）.①当直线2:2l y kx =+过点（-3，0）时，得-32=0k +，解得2=3k .由图象可知，23k <<0.②当直线2:2l y kx =+过点（1，0）时，得2=0k +，解得k =-2.由图象可知，-20k <<. …...…....…................…6分综上，-2203k k <<<<或0.3.（2021.07·通州·期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx +4（k ≠0）的图象与y 轴交于点C ，已知点A （2，0），B （4，2）.（1）求点C 的坐标；（2）直接判断线段CA 、CB 的大小关系: CA ______CB （填“>”，“=”或“<”）（3）如果点A （2，0），B （4，2）到一次函数y ＝kx +4（k ≠0）图象的距离相等，求k 的值．【答案】解：（1）∵令0x =，∴4y =∴点C 的坐标为（0，4） ………………… 1分（2）“=” ………………… 2分（3）当直线AB 与一次函数y ＝kx +4（k ≠0）图象平行时， …………………3分设直线AB 的表达式为y mx n=+∴2042m n m n +=⎧⎨+=⎩解得：12m n =⎧⎨=-⎩∴1k = ………………… 4分当一次函数y ＝kx +4（k ≠0）图象过线段AB 的中点时，设线段AB 的中点为D ，∴点D 的坐标为（3，1）∵CA=CB∴CD ⊥AB，∴点A （2，0），B （4，2）到一次函数y ＝kx +4（k ≠0）图象的距离相等 ………5分∴341k +=∴1k =-. ………………… 6分∴k 的值为1k =±十、考点：求b 的取值范围（平移）1.（2021.07·通州·期末）在平面直角坐标系xOy 中，将点A （m ，2）向右平移3个单位长度，得到点B ，点B 在直线1y x =+上．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）如果一次函数2y x b =+的图象与线段AB 有公共点，求b 的取值范围．【答案】解：（1）∵将点A （m ，2）向右平移3个单位长度，得到点B ，∴B （+3m ，2） ………………… 1分∵点B 在直线1y x =+上∴312m ++=∴2m =- ………………… 2分∴点B 的坐标为（1，2） ………………… 3分或把2y =代入1y x =+中，∴1x =∴点B 的坐标为（1，2），∵点B 是由点A （m ，2）向右平移3个单位长度得到的，∴点A 的坐标为（2-，2），∴2m =-（2） 把点A （2-，2）代入2y x b =+中，∴6b =， ………………… 4分把点B （1，2）代入2y x b =+中，∴0b =， ………………… 5分∴b 的取值范围是06b ≤≤. ………………… 6分十一、考点：值域与定义域1.（2021.07·燕山·期末）在坐标系中作出函数y=x+2的图象，根据图象回答下列问题：(1)方程x+2=0的解是 ；(2)不等式x+2＞1的解 ；(3)若-2≤y≤2，则x 的取值范围是 .【答案】作出函数y=x+2的图象（略） ………………………2′(1)方程x+2=0的解是 x = -2 -------------------3′ ；(2)不等式x+2＞1的解 x ＞-1 -------------------4′ ；(3)若-2≤y≤2，则x 的取值范围是 -4≤x ≤0 -------------------5′2.（2021.07·石景山·期末）一次函数y kx b =+的图象与正比例函数3y x =-的图象平行，且过点()2,4-．（1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）画出一次函数y kx b =+的图象；（3）结合图象解答下列问题：①当0y <时，x 的取值范围是 ；②当02x <<时，y 的取值范围是 ；【答案】解：（1）根据题意得：3,2 4.k k b =-⎧⎨+=-⎩解得3,2.k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数的表达式为32y x =-+．…………2分（2）图象如图所示：…………3分（3）①23x >；…………4分②42y -<<.…………5分十二、考点：函数比较大小，求自变量取值范围1.（2021.07·延庆·期末）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是由函数x y 2= 的图象平移得到，且经过点（1，3）．（1）求这个一次函数的表达式；（2）当x>1时，对于x 的每一个值，函数)0(≠=m mx y 的值大于一次函数)0(≠+=k b kx y 的值，直接写出m 的取值范围．【答案】（1）∵一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象是由函数x y 2= 的图象平移得到∴k =2 ...................................1分∵)0(2≠+=k b x y 经过点（1，3）∴b =1 ...................................2分∴一次函数的表达式为12+=x y （2）3≥m ....................................4分2.（2021.07·密云·期末）【答案】（1）m=1;k=-1（2）①PC=PD②x p十三、考点：整数点与参数1.（2021.07·门头沟·期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y = kx + b 经过A （4，1）和B （7，2）两点．（1）求直线l 1的表达式；（2）如果横、纵坐标都是整数的点叫作整点．直线l 2和直线l 1关于x 轴对称，过点C （m ，0）作垂直于x 轴的直线l 3，l 3与l 1和l 2围的区域为“W”（不包含边界）．① 当m = 3时，求区域“W”内整点的个数；② 如果区域“W”内恰好有6个整点，直接写出m 的取值范围．【答案】（本小题满分6分）解：（1）∵直线l 1：y = kx + b 经过A （4，1）和B （7，2）两点，∴ 41,7 2.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得 131.3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴直线l 1的表达式为11.33y x =-…………………………………………2分（2）① 依题意画出图形分② 43m --≤＜或5 6.m ＜≤……………………………………………………6分2.（2021.07·燕山·期末）一次函数的图像与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0），B （0，1），以AB 为边在第一象限内做等边△ABC（1）线段AB 的长是 ，∠BAO= °，点C 的坐标是 ；（2）如果在第二象限内有一点P （a ，1），试用含a 的代数式表示四边形ABPO 的面积。
初二数学一次函数试题答案及解析
初二数学一次函数试题答案及解析1.（2013河北）如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x＋b也随之移动，设移动时间为t 秒．（1）当t＝3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．【答案】（1）y＝－x＋4 （2）4＜t＜7 （3）t＝1【解析】解：（1）直线y＝－x＋b交y轴于点P（0，b），由题意，得b＞0，t≥0，b＝1＋t．当t＝3时，b＝4，∴y＝－x＋4．（2）当直线y＝－x＋b过点M（3，2）时，2＝－3＋b，解得b＝5．∵b＝1＋t，∴5＝1＋t，∴t＝4．当直线y＝－x＋b过点N（4，4）时，4＝－4＋b，解得b＝8．∵b＝1＋t，∴8＝1＋t，∴t＝7．∴当点M，N位于l的异侧时，4＜t＜7．（3）t＝1时，落在y轴上；t＝2时，落在x轴上．2. (2012广西桂林)如图，已知函数y＝ax－1的图象过点(1，2)，则不等式ax－1＞2的解集是________．【答案】x＞1【解析】解法一：ax－1＞2的解集就是函数y＝ax－1的图象在直线y＝2上面的部分所对应的x 的取值集合，所以不等式ax－1＞2的解集是x＞1．解法二：根据一次函数y＝ax－1的图象过点(1，2)可得a＝3，不等式ax－1＞2即3x－1＞2，解之得x＞1．3.一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴交点的坐标是________．【答案】(2，0)【解析】当y＝0时，－2x＋4＝0，解得x＝2，所以函数图象与x轴交点的坐标为(2，0)．4.如图，直线y＝kx＋b经过A(3，1)和B(6，0)两点，则的解集为________．【答案】3＜x＜6【解析】将(3，1)，(6，0)代入y＝kx＋b，得解得∴，即解得3＜x＜6．5.一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象如图所示，则方程kx＋b＝0的解是________，方程kx＋b＝1的解是________．【答案】x＝－2；x＝0【解析】观察图象发现：当x＝－2时，y＝0；当x＝0时，y＝1．所以方程kx＋b＝0的解是x＝－2，方程kx＋b＝1的解是x＝0．6.对于一次函数y＝－2x＋4，下列结论错误的是（）A．函数值随自变量的增大而减小B．函数的图象不经过第三象限C．函数的图象向下平移4个单位长度得函数y＝－2x的图象D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）【答案】D【解析】A．∵一次函数y＝－2x＋4中k＝－2＜0，∴函数值y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；B．∵一次函数y＝－2x＋4中k＝－2＜0，b＝4＞0，∴此函数的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故本选项正确，不符合题意；C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y＝－2x的图象，故本选项正确，不符合题意；D．∵令y＝0，得x＝2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误，符合题意．故选D．7.直线y＝3x＋6与x轴的交点的横坐标x是方程2x＋a＝0的解，则a的值是________．【答案】4【解析】y＝3x＋b，令y＝0，则x＝－2．把x＝－2代入2x＋a＝0，得2×（－2）＋a＝0，∴a＝4．8.（2013黔西南州）如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x ＜ax＋4的解集为（）A．B．x＜3C．D．x＞3【答案】A【解析】先根据函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax＋4的解集．∵函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），∴3＝2m，，∴点A的坐标（，3），∴不等式2x＜ax＋4的解集为．故选A9.如图，直线y＝kx＋b经过点A（－1，－2）和点B（－2，0），直线y＝2x过点A，则不等式2x＜kx＋b＜0的解集为________．【答案】－2＜x＜－1【解析】由题意知，当kx＋b＜0时，x＞－2；当kx＋b＞2x时，直线y＝kx＋b在直线y＝2x上方，所以x＜－1．所以不等式2x＜kx＋b＜0的解集为－2＜x＜－1．10.直线y＝kx－1一定经过点（）A．（1，0）B．（1，k）C．（0，k）D．（0，－1）【答案】D【解析】将x＝0代入y＝kx－1中，得y＝－1．故选D．11.点A、B、C、D的坐标如图所示，求直线AB与直线CD的交点坐标．【答案】（－2，2）【解析】解：由已知得，直线AB的解析式为y＝2x＋6，直线CD的解析式为．解方程组得所以直线AB，CD的交点坐标为（－2，2）．12.已知两直线和y＝2x－1，求它们与y轴所围成的三角形的面积．【答案】3【解析】解：直线和y轴的交点坐标为（0，3），直线y＝2x－1和y轴的交点坐标为（0，－1）．联立y＝2x－1，得方程组解得故两直线的交点坐标为（，2）．∴所围成的三角形的面积为．13.（2013四川成都）已知点（3，5）在直线y＝ax＋b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为________．【答案】【解析】将点（3，5）的坐标代入y＝ax＋b得，5＝3a＋b，即b－5＝－3a，∴．14.（2013绥化）某地发生地震，某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小（千米）、y时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程y甲（千米）与时间x（时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象所提供的信息，解决下列问题：乙（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了________小时．（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问：甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？【答案】解：（1）1.9（2）设直线EF的解析式为y乙＝kx＋b．∵点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，∴解得∴直线EF的解析式是y乙＝80x－100．∵点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，∴点C的纵坐标为80×6－100＝380，∴点C的坐标是（6，380）．设直线BD的解析式为y甲＝mx＋n．∵点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，∴解得．∴直线BD的解析式y甲＝100x－220．∵B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，∴点B的纵坐标为100×4.9－220＝270，∴甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米．（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后，在B处，乙超过甲最远，在D处，甲超过乙最远．在点B处，有y乙－y甲＝80×4.9－100－（100×4.9－220）＝22，22千米＜25千米，在点D处，有y甲－y乙＝100×7－220－（80×7－100）＝20，20千米＜25千米．∴按图象所表示的走法符合约定．【解析】（1）由于线段AB与x轴平行，故自3时到4.9时这段时间内甲组停留在途中，所以停留的时间为1.9时；（2）观察图象可知点B的纵坐标就是甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程的千米数，所以求得点B的坐标是解答（2）题的关键，这就需要求得直线EF和直线BD的解析式，而EF过点（1.25，0），（7.25，480），利用这两点的坐标即可求出该直线的解析式，然后令x＝6，即可求出点C的纵坐标，又因点D（7，480），这样就可求出CD即BD的解析式，从而求出B点的坐标；（3）由图象可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远，在点B处时，x＝4.9，求出此时的y乙－y甲，在点D有x＝7，也求出此时的y甲－y乙，分别同25比较即可．15. (2014四川攀枝花)当kb＜0时，一次函数y＝kx＋b的图象一定经过( )A．第一、三象限B．第一、四象限C．第二、三象限D．第二、四象限【答案】B【解析】因为kb＜0，所以k＞0，b＜0或k＜0，b＞0．当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx＋b 的图象经过第一、三、四象限；当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、二、四象限，所以其图象一定经过第一、四象限．16.有下列函数：①y＝－8x，②，③y＝8x2，④y＝8x＋1，⑤．其中是一次函数的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D【解析】题中所给函数是一次函数的有①④⑤，共3个．17.点P（3，－1）、Q（－3，－1）、R（，0）、S（，4）中，在函数y＝－2x＋5的图象上的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】题目中所给的点中在函数y＝－2x＋5的图象上的有点P、R、S，共3个．18.要使函数y＝（m－2）x n－1＋n是一次函数，则m，n应满足（）A．m≠2，n＝0B．m＝2，n＝2C．m≠2，n＝2D．m＝2，n＝0【答案】C【解析】由一次函数的定义知，n－1＝1，m－2≠0，可得n＝2，m≠2．19.（2013眉山）若实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a＜b＜c，则函数y＝cx＋a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题中所给条件可判断c＞0，a＜0．20.如图所示的计算程序中，y与x之间的函数关系的图象应为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意可得y＝－2x＋4，此函数图象呈下降趋势，与y轴交于正半轴，故选D．21.如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A（2，4），AB⊥x轴于点B．（1）求该正比例函数的解析式．（2）将△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，写出点C的坐标，试判断点C是否在直线上，并说明理由．【答案】见解析【解析】解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），∴4＝2k，∴k＝2，∴y＝2x．（2）∵A（2，4），AB⊥x轴于点B，∴OB＝2，AB＝4．∵△ABO绕点A逆时针旋转90°得到△ADC，∴DC＝OB＝2，AD＝AB＝4，∴C（6，2）．∵当x＝6时，．∴点C不在直线上．22.（2013陕西）“五一”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，图是他们离家的距离y（千米）与汽车行驶时间x（时）之间的函数图象．（1）他们出发半小时时，离家多少千米？（2）求出AB段图象的函数表达式．（3）他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？【答案】解：（1）由图象可设OA段图象的函数表达式为y＝kx（k≠0）．当x＝1.5时，y＝90，所以1.5k＝90，解得k＝60，即y＝60x（0≤x≤1.5）．当x＝0.5时，y＝60×0.5＝30．答：他们出发半小时时，离家30千米．（2）由图象可设AB段图象的函数表达式为y＝k′x＋b，将A（1.5，90），B（2.5，170）的坐标代入，得解得所以y＝80x－30（1.5≤x≤2.5）．（3）当x＝2时，y＝80×2－30＝130．170－130＝40（千米）．答：他们出发2小时时，离目的地还有40千米．【解析】此题主要是将实际问题转化为函数的问题来解决，利用待定系数法来确定一次函数的表达式，给出自变量的值来求出相应的函数值．23.已知函数y＝（k－2）x|k|－1是正比例函数，则k的值为________．【答案】－2【解析】由正比例函数的定义知|k|－1＝1，且k－2≠0，所以k＝－2．24.（2013浙江湖州）若正比例函数y＝kx的图象经过点（1，2），则k的值为（）A．B．－2C．D．2【答案】D【解析】已知某点在函数的图象上，则这点的坐标满足函数解析式．本题把点（1，2）的坐标代入已知函数解析式，解方程可以求得k的值．25.（2013广东珠海）已知函数y＝3x的图象经过点A（－1，y1），点B（－2，y2），则y 1________y2（填“＞”“＜”或“＝”）．【答案】＞【解析】分别把点A（－1，y1），点B（－2，y2）的坐标代入函数y＝3x，求出点y1，y2的值，并比较出其大小即可．∵点A（－1，y1），点B（－2，y2）是函数y＝3x的图象上的点，∴y1＝－3，y2＝－6，∵－3＞－6，∴y1＞y2．26.已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x－2成正比例，当x＝1时，y＝0，当x＝－3时，y＝4．求x＝3时，y的值．【答案】10【解析】解：∵y1与x2成正比例，∴y1＝k1x2（k1≠0）．∵y2与x－2成正比例，∴y2＝k2（x－2）（k2≠0）．∵y＝y1＋y2，∴y＝k1x2＋k2（x－2）．由当x＝1时，y＝0，x＝－3时，y＝4，得解得∴y＝x2＋x－2，∴当x＝3时，y＝32＋3－2＝10．27.已知正比例函数y＝kx(k≠0)，当x＝－1时，y＝－3，则它的图象大致是( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】将x＝－1，y＝－3代入正比例函数解析式y＝kx(k≠0)，得－3＝－k，即k＝3＞0，∴函数图象过原点和第一、三象限，故选C．28.对于正比例函数y＝(1－k)x，若y随x的增大而减小，则k的值可以是( )A．－1B．3C．0D．－3【答案】B【解析】∵y随x的增大而减小，∴1－k＜0，∴k＞1．选项中符合条件的数只有3．故选B．29.根据要求，解答下列问题：(1)已知直线l1的函数表达式为y＝x，请直接写出过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；(2)①如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为30°，求直线l3的函数表达式；②若过原点的直线l4向上的方向与y轴的正方向所成的角为30°，求直线l4的函数表达式；(3)分别观察(1)、(2)中的两个函数表达式，请猜想：当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系．请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线l5的函数表达式．【答案】见解析【解析】(1)y＝－x．(2)①如图，在直线l3上任取一点M，作MN⊥x轴，垂足为N．设MN的长为1，∵∠MON＝30°，∴OM＝2，．设直线l3的函数表达式为y＝kx(k≠0)，把(，1)代入y＝kx，得，∴．∴直线l3的两数表达式为．②如图，作出直线l4，且在l4上任取一点P，使OP＝OM，作PQ⊥y轴于Q，由∠POQ＝30°，PO＝2，得PQ＝1，∴，设直线l4的函数表达式为y＝k'x(k'≠0)，把(－1，)代入y＝k'x，得，∴．∴直线l4的函数表达式为．(3)猜想：当两直线互相垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数互为负倒数，即两系数的乘积等于－1．由猜想得过原点且与直线垂直的直线l5的函数表达式为y＝5x．30.下列函数中，哪些是正比例函数？(1)；(2)；(3)y＝8x2＋x(1－8x)；(4)y＝1＋8x．【答案】(1)，即，其中．∴是正比例函数．(2)∵正比例函数都是常数与自变量积的形式，而是商的形式，∴不是正比例函数．(3)y＝8x2＋x(1－8x)经过恒等变形转化为y＝x，其中k＝1．∴y＝8x2＋x(1－8x)是正比例函数．(4)y＝1＋8x，即y＝8x＋1，不符合y＝kx(k≠0)的形式．∴y＝1＋8x不是正比例函数．综上所述，，y＝8x2＋x(1－8x)是正比例函数．【解析】看每个函数解析式能否通过恒等变形转化为y＝kx(k≠0)的形式．。
八年级数学第3讲.一次函数与全等三角形综合.尖子班.学生版
3一次函数与全等三角形综合满分晋级阶梯函数 7 级函数 6 级一次函数与全等三角形综合一次函数的应用春天班春天班第二讲第三讲漫画释义梦游记函数 8 级反比率函数的基天性质春天班第十一讲知识互联网题型切片题型切片（两个）对应题目题一次函数与全等三角形的综合例 1，例 2，例 3，例 4，练习1，练习 2，练习 3；型目例 5，例 6，练习4，练习 5．标一次函数与面积综合题型一：一次函数与全等三角形综合思路导航几种全等模型的回首：A AB AAEAFE EEBCCF CDD C B D C BE BF图 1图 2图 3图 4图 5图 1、图 2 为“两垂直”全等模型，图 1 中将△ABC绕点C逆时针旋转90°获得△DEC，此时可得结论：△ ACD ，△ BCE 均为等腰直角三角形；DE AB .图2中△ABC≌△DBE图 3、图 4 为“三垂直”全等模型，此中△ABC为等腰直角三角形， AE EC ，BF CF ，E ，C ，F 三点共线，则有△ ACE ≌△ CBF ，图3中EF AE BF ，图4中 EF AE BF图 5 中，AB AC ，延伸AB到F使得 BF EC ，则有结论ED DF，若ED DF ，则有BF EC 例题精讲【引例】平面直角坐标系内有两点 A 4，0 和 B 0 ，4 ，点P在直线AB上运动．⑴若 P 点横坐标为x P 2 ，求以直线OP 为图象的函数分析式（直接写出结论）；⑵若点 P 在第四象限，作 BM直线OP于M，AN直线OP于N，求证：MN BM AN ；⑶若点 P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN，尝试究线段MN 、BM、 AN 所知足的数目关系式，直接写出结论，并绘图说明．【分析】⑴设直线 AB 函数分析式为y kx b04k bk1 4b b yx 44当 x为 2 时，y 6 ，∴P的坐标为2，6∵ 直线OP 过原点，∴分析式为y3x⑵如图 1，由题意可证Rt △ BMO ≌ Rt △ ONA∴ BM ON ， AN MO ，∴ MN BM AN⑶如图 2，证明Rt△BMO≌Rt△ONA可得结论 MN BM ANy y yB B B MP PN NM A MO x O A x O A xN P图 1图 2图 2典题精练【例 1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点 A 0，4 ，点 B ，C 在 x 轴y 上，作 BE AC ，垂足为E（点E在线段 AC 上，且点E与点A不A (0,4)重合），直线 BE 与 y 轴交于点 D ，若BD AC．ED⑴求点 B 的坐标；⑵设 OC 长为m，△ BOD 的面积为S ，求 S 与m的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．B OC x 【例 2】已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A、 B 的坐标分别为yA 4 ，0B 0， 4，P 为 y 轴上 B 点下方一点，PB m m 0，，A以 AP 为边作等腰直角三角形APM ，此中 PM PA ，点 M 落在Q O x第四象限．B⑴求直线 AB 的分析式；P⑵用 m 的代数式表示点M 的坐标；⑶若直线 MB 与x轴交于点Q，判断点Q的坐标能否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明原由．【例 3】如图 1，直线 l1 : y3x 3 与 x 轴交于B点，与直线 l2交于y轴上一点A，且 l2与 x 轴的交点为C 1，0 ．⑴ 求证：ABC ACB3，0，作于 E ， DE 交 y 轴于 F 点，交 AB 于点，⑵ 如图，过 x 轴上一点DDE AC G 2求G 点的坐标；⑶如图 3，将△ABC沿 x 轴向左平移，AC边与y轴交于点P（P不一样于A和C两点），过P点作向来线与AB 的延伸线交于Q点，与x轴交于点 M ，且CP=BQ.在△ABC平移的过程中，线段 OM 的长度能否发生变化？若不变，恳求出它的长度．若变化，确立其变化范围．y y yA AAl1l 2E PGB CFOCB x DB OC x M O xQ图 1图 2图 3【例 4】如图，在平面直角坐标系中，A（a， 0）， B（ 0， b），且 a、b 知足2a 2b 4 0 ．yyMBMO A xNO AxP⑴求直线 AB 的分析式；⑵若点 M 为直线 y=mx 上一点，且△ ABM 是以 AB 为底的等腰直角三角形，求 m 值；⑶过 A 点的直线 y=kx-2k 交 y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为1，过 N 点的直线k kyx22交 AP 于点 M ，试证明PMPN的值为定值．AM题型二：一次函数与面积综合思路导航解决平面直角坐标系中的图形面积问题往常可采纳的方法有：yA1. 公式法：三角形、特别四边形等面积公式；2. 割补法：经过 “割补 ”转变为易求图形面积的和或差；1 hC3. 容斥法；PBh 24. 等积变换法： ①平行线法： 结构同底等高； ② 直角三角形： ab=ch ； Ox5. 铅垂线法：如右图所示 S △ ABC 1h 2 称为水平宽．AP h 1 h 2 ， AP 称为铅垂高， h 1 2必需时需分类议论．典题精练【例 5】已知：平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b k 0 与直线 y mx m 0交于点 A 2，4 ．⑴求直线 y mx m0 的分析式；⑵若直线 y kx b k0 与另一条直线y 2 x 交于点B，且点B的横坐标为 4 ，求△ABO的面积．真题赏析【例 6】已知：一次函数13 的图象与正比率函数y=kx 的图象订交于点A（ a，1）．yx2⑴求 a 的值及正比率函数y=kx 的分析式；⑵点 P 在座标轴上（不与点O 重合），若 PA=OA，直接写出P 点的坐标；⑶直线 x=m 与一次函数的图象交于点B，与正比率函数图象交于点C，若△ ABC 的面积记为S，求 S 对于 m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．复习稳固题型一一次函数与全等三角形综合稳固练习【练习 1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点 A 0，4，点 B ，C yP(m,m+4)在 x 轴上，C点坐标为 m，0.作BE AC ，垂足为E（点(0,4)AE 在线段AC上，且点 E 与点 A 不重合），直线 BE 与 y 轴交于点 D ，BD AC ．第一象限内有一点P，坐标为D Em，m 4 ，连结PA，DC，求证：PACBDC .B O Cx【练习 2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A、B的坐标分别为1，0 、4，0 ，点 D 在 y轴上AD ∥ BC ，点E在 CD 上，且知足AE、BE分别均分DAB 、CBA ．⑴ 请你判断此时线段CE 与DE能否相等，并证明你的结论；⑵已知 DAB60 °，直接写出线段BC 的长．y4C 4EE C22D DA O1B5xA 1 D'B 5- 1-1【练习 3】如图，已知直线OA 的分析式为y=x ，直线AC垂直 x 轴于点C，点C的坐标为2，0 ，直线 OA 对于直线 AC 的对称直线为 AB 交 x 轴于点 B ．⑴ 写出点 A 及点 B 的坐标；y⑵ 如图， 直线 AD 交 x 轴于点 D ，且 △ ADB 的面积为 1，求点 D 的坐标； ⑶ 若点 D 为⑵中所求， 作 OE AD 于点 E ，交 AC 于点 H ，作 BF AD 于点 F ，求证： OEAF ，并直接写出点 H的坐标．AHEO题型二一次函数与面积的综合 稳固练习CD B xFy【练习 4】 ⑴如图，点 A 、 B 、 C 在一次函数 y2x m 的图象上，它们的横坐标挨次为1、 1、 2，分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，则图中暗影部分的面积和是（）．ABCA ． 1B ． 3C ． 3(m1)D ． 3(m 2)2⑵ 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC ，CD 运动至点 D 停止．设点 P 运动的行程为x ， △ ABP 的面积为 y ，假如 y 对于 x 的函数图象如图 2 所示，则 △ BCD 的面积是（ ）．A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6-1 O 1 2xD C PABO25 x图 1图 2【练习 5】直线 y 2x3 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 B ．若在 x 轴上有一点 Q ，而且知足S △ BAQ : S △ AOB8:3 ，求 Q 点坐标．37第十六种品行：感恩包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062 年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散医生，死后追赠刑部侍郎。
17.3一次函数(1.一次函数)(共 16张PPT)-2023-2024八年级数学下册华师大版
知识讲解
观察下列函数关系式有哪些共同的特征？ s=60t，h=120+ 3x，y = 0.01x+22，y= -6x+5， s＝570－95t ， y＝ 0.3x＋6． 函数关系式是整式，自变量的次数是一次． 一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数． 特别地，当b=0时，一次函数y=kx（常数k≠0）也叫做正比例函数． 注意：正比例函数是一种特殊的一次函数．
合作探究
汽车距北京的路程随行驶的时间变化而变化，因此这里涉及两个变量： 汽车距北京的路程和汽车行驶的时间， 为此可设汽车距北京的路程为s(千米)，汽车行驶的时间为t(小时)，观察 如图所示的图形：
570
95t
s
通过观察图形可得： s＝570－95t． 温馨提示：分清已知量与未知量之间的相互关系，再用变量(字母) 表示未
课堂小结
y=kx+b（ k， b 是常数， k≠0）
一次函数 当b=0时，y=kx+b(k≠0)是正比例函数 的概念 一次函数的简单应用
其中（1）是正比例函数.
知识讲解
例1 已知函数y=(m-1)x+1-m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数?
一次函数解析式
解：由题意可得 m-1≠0，解得m≠1.
中：（1）k ≠ 0； （2）自变量x的
即m≠1时，这个函数是一次函数.
指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：由题意可得
第17章 函数及其图象
第17章 函数及其图象 17.3 一次函数 1.一次函数
学习目标
1.理解一次函数和正比例函数的概念以及它们之间 的关系．（重点）
八年级数学第3讲.一次函数与全等三角形综合.尖子班.解析版
1函数6级 一次函数的应用函数7级一次函数与全等三角形综合函数8级反比例函数的基本性质春季班 第十一讲春季班 第二讲梦游记满分晋级阶梯漫画释义3一次函数与 全等三角形综合题型切片（两个）对应题目题型目标一次函数与全等三角形的综合例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；一次函数与面积综合例5，例6，练习4，练习5．本讲内容主要分为两个题型，题型一主要是一次函数与全等三角形几个经典模型的综合，在这类题目上，解题方法无外乎以下几种：⑴数形结合，利用三角形的三边关系求解；⑵由函数到图形得全等，边角关系求解；⑶由图形，或函数关系得到所探究题目的隐藏条件，再充分运用所学几何知识得解（一般这种探究题是比较活的，对运用考察较强）；⑷以结论证条件，以条件猜结论．题型二的面积问题重点应落在铅垂线法求解三角形面积，这种方法与平面直角坐标系有天然的联系，在一次函数部分考查方式较灵活，也较多，需熟练掌握．本讲的最后一道例题是2013年西城的期末考试题，考查了一次函数的图象和性知识互联网编写思路题型切片3质，与等腰三角形作法的结合，根据直线位置分类讨论求解图形面积，综合性较强，难度中上，不失为全面考查和总结一次函数部分的一道好题．几种全等模型的回顾：AB CE FAB CDEF AB CEABCDEFEDCBA图1 图2 图3 图4 图5图1、图2为“两垂直”全等模型，图1中将ABC △绕点C 逆时针旋转90°得到DEC △，此时可得结论：ACD BCE △△，均为等腰直角三角形；DE AB ⊥.图2中ABC DBE △≌△图3、图4为“三垂直”全等模型，其中ABC △为等腰直角三角形，AE EC BF CF ⊥⊥，，E C F ，，三点共线，则有ACE CBF △≌△，图3中EF AE BF =+，图4中EF AE BF =-图5中，AB AC =，延长AB 到F 使得BF EC =，则有结论ED DF =，若ED DF =，则有BF EC =【引例】 平面直角坐标系内有两点()40A ，和()04B ，，点P 在直线AB 上运动．⑴ 若P 点横坐标为2P x =-，求以直线OP 为图象的函数解析式（直接写出结论）；⑵ 若点P 在第四象限，作BM ⊥直线OP 于M ，AN ⊥直线OP 于N ，求证：MN BM AN =+；思路导航例题精讲题型一：一次函数与全等三角形综合⑶ 若点P 在第一象限，仍作直线OP 的垂线段BM 、AN ，试探究线段MN 、BM 、AN 所满足的数量关系式，直接写出结论，并画图说明．（实验中学单元测试）【解析】 ⑴ 设直线AB 函数解析式为y kx b =+04144k b k b b =+=-⎧⎧⇒⎨⎨==⎩⎩4y x =-+ 当x 为2-时，6y =，∴P 的坐标为()26-， ∵直线OP 过原点，∴解析式为3y x =-⑵ 如图1，由题意可证Rt Rt BMO ONA △≌△ ∴BM ON =，AN MO =，∴MN BM AN =+⑶ 如图2，证明Rt Rt BMO ONA △≌△ 可得结论MN BM AN =-M NPy x OBA图2xy OABPM NNM P BAOy x图1 图2【例1】 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，作BE AC ⊥，垂足为E （点E 在线段AC 上，且点E 与点A 不典题精练(0,4)Oy xE DC B A5重合），直线BE 与y 轴交于点D ，若BD AC =． ⑴ 求点B 的坐标；⑵ 设OC 长为m ，BOD △的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围．【解析】 ⑴ 如图，由BOD AOC △≌△可知4BO AO ==∴B 点坐标为()40-，⑵ 由⑴可知DO OC m ==，∴142S m =⨯⋅，2S m =，m 的取值范围是04m <<【例2】 已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()40A ，，()04B -，，P 为y 轴上B 点下方一点，()0PB m m =>，以AP 为边作等腰直角三角形APM ，其中PM PA =，点M 落在第四象限．⑴ 求直线AB 的解析式；⑵ 用m 的代数式表示点M 的坐标；⑶ 若直线MB 与x 轴交于点Q ，判断点Q 的坐标是否随m 的变化而变化，写出你的结论并说明理由． （西城期末）【解析】 ⑴ 4y x =-⑵ 作MC y ⊥轴，交y 轴于C ，9090AP PM MPC APO OAP APO PMC PMC MPC APO =⎫⎪∠=︒-∠=∠⇒⎬⎪∠=︒-∠=∠⎭△≌△ 由此可知()48M m m +--， ⑶ 由⑵中的全等可知4MC m =+，4BC m =+，∴MC BC = 45CBM ∠=︒，可得QO OB =()4,0Q - ∴Q 点坐标不随m 的变化而变化.MQPO B Axy【点评】 此题最关键一步是如何利用线段长表示点坐标，学生极易在此犯错！要记住线段长为正，而点坐标要根据其所在象限判断正负.【例3】 如图1，直线1:33l y x =+与x 轴交于B 点，与直线2l 交于y 轴上一点A ，且2l 与x 轴的交点为()10C ，．⑴ 求证：ABC ACB ∠=∠ ⑵ 如图2，过x 轴上一点()30D -，，作DE AC ⊥于E ，DE 交y 轴于F 点，交AB 于G 点，求G 点的坐标； ⑶ 如图3，将ABC △沿x 轴向左平移，AC 边与y 轴交于点P （P 不同于A 和C 两点），过P 点作一直线与AB 的延长线交于Q 点，与x 轴交于点M ，且CP =BQ .在ABC △平移的过程中，线段OM 的长度是否发生变化？若不变，请求出它的长度．若变化，确定其变化范围．图3图2图1M QP DGFEl 2l 1ABCOxy ABCO xyyxOCBA【解析】 ⑴ 由题意得()10B -，，BO OC =，又∵AO BC ⊥ ∴AB AC ABC ACB =∠=∠，⑵ 由题意得ABO DFO △≌△，∴1OF BO ==,∴()01F ，∴DE 解析式为113y x =+由11333y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩ 解得3434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴3344G ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ⑶ 不变，1OM =如图过P 作PN AB ∥交BC 于N ，可知PN PC BQ ==， 从而PNM QBM △≌△， ∴BM NM =，又NO CO =∴112OM BC ==【例4】 如图，在平面直角坐标系中，A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足N Axy B COM PQ7()2240a b --=．⑴求直线AB 的解析式；⑵若点M 为直线y =mx 上一点，且△ABM 是以AB 为底的等腰直角三角形，求m 值；⑶过A 点的直线y =kx -2k 交y 轴于负半轴于P ，N 点的横坐标为1-，过N 点的直线22k k y x =-交AP 于点M ，试证明PM PNAM -的值为定值． 【解析】 ⑴y =24x -+⑵易证阴影部分三角形全等，得到M （3，3） 故而m =1⑶过N 点做直线垂直于y 轴，交PM 于G 点，另直线NM 与坐标轴交点分别为O 、I （如图所示），连接IG 并做MF ⊥x 轴于F ，易知N 、G 两点横坐标分别为1-和1，将其分别代入MN 、MP 的解析式中，求得两点坐标为N （1-，k -）G （1，k -），易证△NHP ≌△GHP ， ∴NP =GP 易求I （1，0）， ∴IG ⊥x 轴易证△IGA ≌△FMA ， ∴MA =AGy MOBAI H GA MN Py xO ABO M y A PMNyx O∴2PM PN MGAM AM-==解决平面直角坐标系中的图形面积问题通常可采用的方法有： 1. 公式法：三角形、特殊四边形等面积公式；2. 割补法：通过“割补”转化为易求图形面积的和或差；3. 容斥法；4. 等积变换法：①平行线法：构造同底等高；②直角三角形：=ab ch ；5. 铅垂线法：如右图所示()1212ABC S AP h h =⋅+△，AP 称为铅垂高， 12h h +称为水平宽． 必要时需分类讨论．【例5】 已知：平面直角坐标系xOy 中，直线()0y kx b k =+≠与直线()0y mx m =≠交于点()24A -，．⑴求直线()0y mx m =≠的解析式；⑵若直线()0y kx b k =+≠与另一条直线2y x =交于点B ，且点B 的横坐标为4-，求ABO △的面积． （西城期末试题）【解析】 ⑴∵点(24)A -，在直线(0)y mx m ==/上，∴42m =-，2m =-∴2y x =-⑵ 解法一：作AM y ⊥轴于M ，BN y ⊥轴于N （如上图）典题精练思路导航题型二：一次函数与面积综合h 2h 1P CB A Oxyy =kx+by x y =mxyO xABMN9∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-． ∴点B 的坐标为B （4-，8-） ∵1()2ABNM S AM BN MN =+⋅梯形1(24)(48)362=⨯+⨯+= 1124422AOM S AM MO =⋅=⨯⨯=△ 11481622BON S BN NO =⋅=⨯⨯=△ ∴ABO AOM BON ABNM S S S S =--△△△梯形3641616=--=解法二：设直线(0)y kx b k =+=/与x 轴交于点C （如下图）． ∵点B 在直线y =2x 上，且点B 的横坐标为4-．∴点B 的坐标为（4-，8-）∵直线()0y kx b k =+≠经过点A （2-，4）和点B （4-，8-），∴4284k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩，616k b =⎧⎨=⎩∴616y x =+令y =0．可得83x =-∴点C 的坐标为803C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴181848162323ABO AOC BOC S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△．【教师备选】如图所示，直线OP 经过点P （4，43，过x 轴上的点1、3、5、7、9、11······分别作x 轴的垂线，与直线OP 相交得到一组梯形，其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为1S 、2S 、3S ······n S ，则n S 关于n 的函数关系式是________．1191357PxyC ABOxyy =mxy =2xy =kx+b【解析】()843n S n =-⨯．【例6】 已知：一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A（a ，1）．⑴求a 的值及正比例函数y =kx 的解析式； ⑵点P 在坐标轴上（不与点O 重合），若P A =OA ，直接写出P 点的坐标； ⑶直线x =m 与一次函数的图象交于点B ，与正比例函数图象交于点C ，若△ABC 的面积记为S ，求S 关于m 的函数关系式（写出自变量的取值范围）．（2013西城期末）【解析】 ⑴∵一次函数132y x =+的图象与正比例函数y =kx 的图象相交于点A （a ，1），∴1312a += ∴a =﹣4，即A （﹣4，1）． ∴﹣4k =1 解得14k =-．∴正比例函数的解析式为14y x =-；⑵如图1，P 1（﹣8，0）或P 2（0，2）；⑶依题意，得点B 的坐标为（m ，132m +），点C 的坐标为（m ，14m -）．作AH ⊥BC 于点H ，H 的坐标为（m ，1）． 以下分两种情况： ①当m ＜﹣4时， 11342BC m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭=334m --．AH =4m --．真题赏析11则S △ABC =12BC ∙AH ()133424m m ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭∴S=23368m m ++；②当m ＞4-时，11333244BC m m m ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭．AH =m +4． 则S △ABC =12BC∙AH =12（334m +）（4+m ） ∴S=23368m m ++；综上所述，()23S 3648m m m =++≠-．【教师备选】已知四条直线3y mx =-，1y =-，y =3，x =1所围成的四边形的面积为12，求m 的值．【解析】 ∵3y mx =-，1y =-，x =1交于ABCDEF∴A （6m ，3），B （2m ,-1），C （1，-1），D （1，3），E （6m ，3），F （2m，-1） ① ()2ABCD CD BC AD S +=2621112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =－2② ()2CFED CD ED CF S +=y =mx -3y =mx -3x =1y =-1y =3xyOABC DEF6221112mm ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭= ∴m =1综上说述，2m =-或m=1．13训练1. 如图，AOB △为正三角形，点B 的坐标为()20，，过点()20C -，作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且ADE △与DCO △的面积相等，求直线l 的解析式.【解析】 由ADE △与DCO △的面积相等可知，AOB BCE S S =△△.∵(20)C -，,设直线l 的解析式为y kx b =+，∴20k b -+=， ∴2b k =∴直线l 的解析式为：2y kx k =+又AB 的解析式为：323y x =-+，故点E 的坐标满足下式： 2433(2)3y kx kk y y x k =+⎧⎪⇒=⎨=--+⎪⎩， 故143134232273BCE AOB k S S k k =⨯⨯==⨯⨯⇒=+△△ 故直线l 的解析式为：3(2)7y x =+. 训练2. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y x m =-+经过点()2,0A ，交y 轴于点B .点D 为x 轴上一点，且1ADB S =△.⑴ 求m 的值；⑵ 求线段OD 的长；⑶ 当点E 在直线AB 上（点E 与点B 不重合），且BDO EDA ∠=∠，求点E的坐标.（备用图）(海淀期末试题) 思维拓展训练(选讲)y xl ED C O BA【解析】 ⑴ ∵直线y x m =-+经过点()2,0A ，∴02m =-+. ∴2m =.⑵ ∵直线2y x =-+交y 轴于点B ， ∴点B 的坐标为()0,2. ∴2OB =. ∵112ADB S AD OB =⋅=△， ∴1AD =.∵点A 的坐标为()2,0， ∴点D 的坐标为()1,0或()3,0. ∴1OD =或3OD =.⑶ ①当点D 的坐标为()1,0时，如图所示.取点()'0,2B -，连接'B D 并延长，交直线BA 于点E .∵'OB OB =，'AO BB ⊥于O ， ∴OD 为'BB 的垂直平分线. ∴'DB DB =. ∴12∠=∠. 又∵23∠=∠， ∴13∠=∠.设直线'B D 的解析式为()20y kx k =-≠.15∵直线'B D 经过点()1,0D ， ∴02k =-. ∴2k =.∴直线'B D 的解析式为22y x =-. 解方程组2,22,y x y x =-+⎧⎨=-⎩得 4,32.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点E 的坐标为42,33⎛⎫⎪⎝⎭.②当点D 的坐标为()3,0时，如图所示. 取点()'0,2B -，连接'B D ，交直线BA 于点E . 同①的方法，可得12∠=∠，直线'B D 的解析式 为223y x =-. 解方程组22,32,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=-+⎩得12,52.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴点E 的坐标为122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.综上所述，点E 的坐标为42,33⎛⎫ ⎪⎝⎭或122,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.训练3. 已知：直线1l ：1y kx k =+-与直线2l ：(1)y k x k =++（k 是正整数）及x轴围成的三角形的面积为k S ．⑴ 求证：无论k 取何值，直线1l 与2l 的交点均为定点； ⑵ 求1232008S S S S ++++的值．（西城期末试题）【解析】 ⑴ 联立12l l ，的解析式，求得交点坐标为()11--，，∴交点为定点.⑵ 设直线12l l ，分别与x 轴交于A ，B 两点，则1001k k A B k k --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，，，，∴()1111k k AB k k k k --=-=++ ∴ ()11121k S k k =+×× 123200*********21223200820092009S S S S ⎛⎫++++=++⋅⋅⋅+=⎪⎝⎭×××训练4. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为()10，，点B 在y 轴正半轴上，且AOB △是等腰直角三角形，点C 与点A 关于y 轴对称，过点C 的一条直线绕点C 旋转，交y 轴于点D ，交直线AB 于点()P x y ，，且点P 在第二象限内.⑴ 求B 点坐标及直线AB 的解析式；⑵ 设BPD △的面积为S ，试用x 表示BPD △的面积S .（朝阳期末试题）【解析】 ⑴ ∵AOB △是等腰直角三角形且()10A ，，∴()01B ，∴过点()10A ，、()01B ，的直线的解析式为1y x =-+ ⑵ ∵点C 与点A 关于y 轴对称，∴()10C -， 又点P 在直线AB 上，则()1P x x -+， 设过P 、C 两点的直线的解析式为y kx b =+ ∵()10C -，在直线y kx b =+上， ∴0k b -+=. ∴k b =,y bx b =+ ∵点()1P x x -+，在直线y bx b =+上， ∴1bx b x +=-+,解得b =11x x -++. ∴点D 的坐标为101x x -+⎛⎫ ⎪+⎝⎭，∵点P 在第二象限内，∴0x <①当10x -<<时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+12()21xx x -=⋅⋅-+21x x =+ ②当1x <-时，如图.12P S BD x =⋅⋅=1(1)()2b x -⋅-11(1)()21x x x -+=-⋅-+21x x =-+ 综上所述， 22(10),1(1).1x x x S x x x ⎧-<<⎪⎪+=⎨⎪-<-⎪+⎩ yxOB Ay xOPDCB AOP DCBAyx17题型一 一次函数与全等三角形综合 巩固练习【练习1】如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，点()04A ，，点B C ，在x 轴上，C 点坐标为()0m ，.作BE AC ⊥，垂足为E （点 E 在线段AC 上，且点E 与点A 不重合），直线BE 与y 轴 交于点D ，BD AC =．第一象限内有一点P ，坐标为()4m m +，，连接PA ，DC ，求证：PAC BDC ∠=∠.【解析】 如图，连接PC ，过A 作AH PC ⊥于H ，可知PH AH m ==45PAH APH ∠=∠=°由BOD AOC △≌△可知BDO ACO ∠=∠又∵AH OC ∥，∴ACO HAC ∠=∠，∴BDO HAC ∠=∠又由OD OC =可得45ODC ∠=°，∴ODC PAH ∠=∠ ∴BDC PAC ∠=∠【练习2】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别为()10-，、()40，，点D 在y轴上 AD BC ∥，点E 在CD 上，且满足AE 、BE 分别平分DAB ∠、CBA ∠．⑴ 请你判断此时线段CE 与DE 是否相等，并证明你的结论；⑵ 已知60DAB ∠=°，直接写出线段BC 的长．-15142O ED CBA y x D'EDCB A542-11【解析】 ⑴ 相等，证明如下如上右图，在AB 上取点D '，使AD AD '=，连接D E '，复习巩固HP (m,m+4)ABC DExy O(0,4)P (m,m+4)(0,4)AO y xE DC B19可证ADE AD E '△≌△，∴DE D E '= 由AD BC ∥，AE 、BE 平分DAB ∠与ABC ∠ 可得90AEB ∠=° 从而可知D EB CEB '∠=∠由此，CEB D EB '△≌△，∴EC ED '= ∴DE EC =⑵ ∵60DAB ∠=°，∴30ADO ∠=°，∴22AD AO ==由⑵可知，2AD AD '==∴523BC BD '==-=．【练习3】如图，已知直线OA 的解析式为y=x ，直线AC 垂直x 轴于点C ，点C 的坐标为()20，，直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB 交x 轴于点B ． ⑴ 写出点A 及点B 的坐标；⑵ 如图，直线AD 交x 轴于点D ，且ADB △的面积为1，求点D 的坐标； ⑶ 若点D 为⑵中所求，作OE AD ⊥于点E ，交AC 于点H ，作BF AD ⊥于点F ，求证：OE AF =，并直接写出点H 的坐标． 【解析】 ⑴ ()22A ，,()40B ，⑵ ∵AC BD ⊥于点C ，2AC =，1ADB S =△，∴112122ADB S BD AC BD =⋅=⨯=△．∴1BD =∴413OD OB BD =-=-= ∴()30D ， ⑶ 由直线OA 的解析式为y x =，可知OC AC =．又90ACO ∠=°， ∴45OAC AOC ∠=∠=°．∵直线OA 关于直线AC 的对称直线为AB ， ∴45BAC OAC ∠=∠=°，OA BA =． ∴90OAB ∠=°． ∴90BAF OAE ∠=-∠°． 在AOE △中，90OEA ∠=°， ∴90AOE OAE ∠=-∠°．∴BAF AOE ∠=∠在AOE △与BAF △中， 90AOE BAF OEA AFB OA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩° ∴AOE BAF △≌△yxOHFED C B A∴OE AF =又由OCH ACD △≌△可求得()21H ，题型二 一次函数与面积的综合 巩固练习【练习4】⑴如图，点A 、B 、C 在一次函数2y x m =-+的图象上，它们的横坐标依次为1-、1、2，分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（ ）．A ．1B ．3C ．3(1)m -D ．3(2)2m -⑵ 如图1，在直角梯形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ， CD 运动至点D 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BCD △的面 积是（ ）． A ．3 B ．4C ．5D ．6【解析】 ⑴ B ⑵ A ， 由图2可知23BC CD ==，.【练习5】直线23y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．若在x 轴上有一点Q ，并且满足:8:3BAQ AOB S S =△△，求Q 点坐标．【解析】 1393224AOB S =⨯⨯=△，∴98643BAQ S =⨯=△∵3BO =，∴4AQ =，又∵32A x =-∴35422Q x =-+=或311422Q x =--=-∴Q 坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1102⎛⎫- ⎪⎝⎭，图12O5 xC PD 图2O C BA21-1yx第十六种品格：感恩包拯辞官侍母包公即包拯（公元999-1062年），字希仁，庐州合肥（今安徽合肥市）人，父亲包仪，曾任朝散大夫，死后追赠刑部侍郎。
安徽省马鞍山东方实验学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题(含答案)
安徽省马鞍山东方实验学校2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题考试时间：100分钟试卷满分：120分一、选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）1.点到轴距离是1，到轴距离是3，目点有第二象限，则点的坐标是（ ）A. B. C. D.2.某一次函数的图象与直线平行，并且经过点，则该一次函数的解析式为（ ）A. B. C. D.3.下列条件：①；②；③；④其中能确定是直角三角形的条件有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.下列函数不能反映是的函数的是（ ）A. B. C. D.5.将直线向上平移2个单位长度相当于（ ）A.向左平移2个单位长度B.向左平移1个单位长度C.向右平移2个单位长度D.向右平移1个单位长度6.一副三角尺按如图所示的方式摆放，BC 与EF 共线，，则的度数为（ ）A. B. C. D.7.下列四个图形中，画出是AB 边高的是（）A x y A A (3,1)(3,1)--(1,3)-(3,1)-162y x =+(2,4)--152y x =-132y x =+132y x =-28y x =--A C B ∠=∠-∠::2:3:5A B C ∠∠∠=90A B ︒∠=-∠90B C ︒∠-∠=ABC y x 21y x =+90,45D ABC C ︒︒∠=∠=∠=60DEF ︒∠=1∠60︒70︒80︒75︒A. B. C. D.8.如图，一次函数与的图象，下列说法正确的是（ ）①；②的图象，随自变量的增大而减少；③不论为何值，一次函数的图象总过定点：④方程组的解是A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④9.若实数和是整数，，将向右平移10个单位，再向下平移2个单位，得到点．若点位于第四象限，则点的可能位置有（ ）A.1处10.2处 C.3处 D.4处10.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，……，根据这个规律探索可得第2024个点的坐标是（ ）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5题，每题4分，共20分）11.命题“如果两个实数都是正实数，那么它们的积是正数.”的逆命题是______.23(0)y kx k k =++≠(0)y ax a =≠0,0k a ><(0)y ax a =≠y x k 23(0)y kx k k =++≠(2,3)A -23y kx k y ax =++⎧⎨=⎩23x y =-⎧⎨=⎩m n 0,2m n <>(24,3)A m n --B B (,)C m n →(1,0),(2,0)(2,1)(3,2)(3,1)(3,0),(4,0)(64,7)(63,7)(64,6)(63,6)12.如图中，AD 是BC 边的中线，是AD 上的一点，E 、F 分别是CG ，BG 的中点，若的面积等于36，则阴影部分的面积是______.13.已知一次函数为常数，且.若当有最大值6，则的值为______.14.已知与成正比例，且当时，.当时，则______.15.对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点的一对“和谐点”．例如，点的一对“和谐点”是点与点（1）若点的一对“和谐点”重合，则的值为______（2）若点的一个“和谐点”坐标为，则点的坐标为______.三、解答题（本大题共7题，共70分）16.（8分）已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，其中a ，b 满足，这个三角形的最长边为．（1）求的取值范围：（2）若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长．17.（10分）已知点在平面直角坐标系中的一点，且.（1）点在轴上，求点的坐标；（2）若点在第二、四象限的角平分线上，求点的坐标：（3）已知点，若轴，求的值.18.（10分）如图，CE 是的外角的平分线，且CE 交BA 的延长线于点.（1）若，求的度数；ABC G ABC 2(y ax a a =-+0)a ≠14,x y -……a y 3x +0x =6y =-1x =y =(,)P x y ,a x b x y =-=-(,)M a b (,)N b a P (1,2)P -(1,3)-(3,1)-(3,)B y y C (2,9)-C 2(5)|8|0a b -+-=c c (,)A m n 26m n =+A x A A A (3,5)B //AB y m ABC ACD ∠E 35,25B E ︒︒∠=∠=BAC ∠（2）求证.19.（10分）如图，已知直线与坐标轴分别交于A ，B 两点，与直线交于点.（1）若点在轴上，且，求点的坐标；（2）若点在直线.上，点横坐标为，且，过点作轴的平行线与交于点，且，求点的坐标.20.（10分）如图，平面直角坐标系中有三个点是的边上一点，平移后得到，点的对应点为.（1）画出平移后的；（2）写出点的坐标；（3）求四边形的面积.21.（10分）为了落实“乡村振兴”政策，A ，B 两城决定向C ，D 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A ，B 两城分别有水泥200吨和300吨，从城往C ，D 两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B 城往C ，D 两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C 乡需要水泥240吨，D 乡需要水泥260吨.（1）设从城运往乡的水泥吨.设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费．2BAC B E ∠=∠+∠28y x =-+2y x =C P y 12OCP OCA S S = P M 2y x =M m 2m >M y 28y x =-+N 1MN =M (3,2)(5,1)(2,0)(,)A B C P a b ---、、、ABC AC ABC 111A B C P 1(6,2)P a b ++111A B C 111A B C 、、11ACC A A A C x y y x（2）为了更好地支援乡村建设，城运往C 乡的运费每吨减少元，这时城运往C 乡的水泥多少吨时总运费最少？22.（12分）如图所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究图1中与之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B ，C ，若，则______；②如图3，的二等分线（即角平分线）BF ，CF 相交于点，若，，求的度数.A (07)a a <<A BDC ∠,,ABC ∠∠∠ABC 60A ︒∠=ABX ACX ∠+∠=,ABE ACE ∠∠F 60BAC ︒∠=130BEC ︒∠=BFC ∠2024-2025年八年级上学期数学期中考试试卷答案一、选择题1-5：DCCCB 6-10：DBDDA二、填空题11.如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正实数．12.913.或-214..当时，15.（1）6；（2）或三、解答题16.（1）（2）或11，周长：22或24.17.（1）；（2）；（3）18.（1）；（2）19.解：（1）由，解得点的坐标为；（2）过点作轴交轴于点.对于当时，或；（3）横坐标为，且在上，.平行于轴，点在上，，，且，解得点的坐标为.20.【详解】解：（1）由的对应点，得到向右平移6个单位，再向上平移2个单位，得到，如图，4326y x =--1x =8y =-(2,7)--(9,7)--8c 13;<…9c =3,0.(3,0)m n A ==(2,2)A -3m =-BAC 85︒∠=22()2BAC ACD B ECD B B E B B E ∠=∠-∠=∠-∠=∠+∠-∠=∠+∠282y x y x =-+⎧⎨=⎩2,4x y =⎧∴⎨=⎩C (2,4)C CD y ⊥y D 2y x =-+8,∴0x =8,(0,8),8,OCA y A OA S =∴∴=∴= 11118284,2222OCP OCA OA CD S S ⨯⨯=⨯⨯===∴ 4,4,(0,4)OP CD OP P ⨯⨯=∴=∴(0,4)-M m 2y x =(,2)M m m ∴MN y N 28y x =-+(N m ∴28).1m MN -+= 2,2(28)1m m m >∴--+=99,2,42m m =∴=∴M 99,42⎛⎫ ⎪⎝⎭(,)P a b 1(6,2)P a b ++ABC 111A B C（2）如图所示，；（3）连接，21.解:（1）设从A 城运往C 乡肥料x 吨，则运往D 乡，从B 城运往C 乡肥料吨，则运往D 乡吨，设总运费为y 元，根据题意，得：，随的增大而增大，当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．答：与的函数关系式为，最少总运费为10040元；（2）设减少运费后，总运费为元，则：，分以下三种情况进行讨论：①当时，，此时随的增大而增大，当时，w 最小；111(3,4)(1,3)(4,2)A B C 、、11AA CC 、11111S 727,S 727,22AC A C CA =⨯⨯==⨯⨯= 111117714.AC A C CA ACC A S S S ∴=+=+= 四边形()200x -()240x -()60x +()2025(200)15(240)2460y x x x x =+-+-++410040(0200)x x =+≤≤40,k y => x ∴0x =y x ()4100400200y x x =+≤≤w ()(20)25(200)1524024(60)w a x x x x =-+-+-++(4)10040(0200)a x x =-+≤≤07a << ∴04a <<40a ->w x ∴0x =10040=②当时，，此时随的增大而减小，当时，；③当时，，不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；综上可得：当时，A 城运往C 乡吨，总运费最少；当时，无论从A 城运往C 乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；当时，A 城运往C 乡200吨，总运费最少．22.解：（1）结论：.理由：如图1中，连接AD 并延长到M.因为，所以，即.（2）①30②如图3中，设.由（1）可知：，，，.47a <<40a -<w x ∴200x =w 10840200a =-最小4a =10040w =∴∴04a <<4a =47a <<BDC A B C ∠=∠+∠+∠,BDM BAD B CDM CAD C ∠=∠+∠∠=∠+∠BDM CDM BAD B CAD C ∠+∠=∠+∠+∠+∠BDC BAC B C ∠=∠+∠+∠,ABF EBF x ACF ECF y ∠=∠=∠=∠=2260130BEC x y ︒︒∠=++=35x y ︒∴+=60BFC x y ︒∠=++ 95BFC ︒∴∠=。
八年级数学(上)第11章一次函数11.1-2专题复习
兴华中学初二数学（上）培优班学习资料——第11章§11.1—§11.2专题练习班级 姓名 座号 专题一：判断两个变量是否有函数关系的方法：①在同一个变化过程中有两个变量。
（多一个不可，少一个不行）②其中一个变量（如x ）在其允许的取值范围内每取一个确定的值，另一个变量（如y ）就有唯一确定的值与其对应。
具备以上两个条件时，就称y 是x 的函数，否则，称y 不是x 的函数。
对应练习：1．在下列各式中，y 不是x 的函数的是（ ） （A）y = （B ）x y =． （C ）2x y =． （D）y =2．下列图象中，表示y 是x 的函数的是（ ）3．x x 2-1-0 1 2 3 4 y31-3815根据函数定义判断y 是x 的函数吗？x 是y 的函数吗？为什么？专题二：自变量取值范围的确定:①用整式表示的函数,其自变量的取值范围是全体实数；②用分式表示的函数,其自变量的取值应使分母不等于0；③用偶次方根表示的函数,其自变量的取值应使被开方式为非负数；用奇次方根表示的函数,其自变量的取值范围是全体实数；④若解析式中同时含有分式、偶次方根式，其自变量的取值应使它们都有意义；⑤若解析式与实际问题有关系，其自变量的取值还应使实际问题有意义。
对应练习：1．求下列函数中自变量x 的取值范围：（1）223y x =-． （2）y =（3）12x y x -=+． （4）．()()121y x x =-+（5）y=（6）y=+专题三：列函数关系式（解析式）①用数学式子表示函数关系的等式称函数关系式，也称函数解析式。
对形如x+2y=3的关系式，我们不称为函数关系式。
因为不知谁是函数，谁是自变量。
②列函数关系式和列二元一次方程解应用题基本相同。
关键找出含自变量的代数式与函数相等关系式，即用含自变量的代数式表示函数就得到函数解析式，但要注意自变量的取值范围。
对应练习：分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量的取值范围．（1）寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.50元，求寄n封这样的信所需邮资y （元）与n之间的函数关系式．（2）长方形的周长为12cm，求它的面积S（cm2）与它的一边长x（cm）间的函数关系式，并求出当一边长为2cm时长方形的面积．（3）某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100度时，按每度0.57元计费；每月用电超过100度时，其中的100度按原标准收费；超过部分按每度0.50元计费．设用电x度时，应交电费y元，当x ≤100和x>100时，分别写出y关于x的函数关系式；专题四：从函数图象中获取有关信息回答问题：首先弄清各线段的实际意义，然后抓住各个关键点的实际意义。
八年级上册数学教学进度安排表
二、实现目标采用的主要方式、策略、措施。
根据学生的情况和我校的实际，本学期拟采用以下措施：
1、加强对教材的学习、理解和研究，不断探求适应新课标的教学方法。
2、正确处理好课堂课外与学生的交流与活动，注重学生的数学能力的培育，精心设计教案和适应学生的作业量。切合学生的实际进行教学活动。
1、通过探究实际问题，认识全等三角形、轴对称、实数、一次函数、整式乘除和因式分解，掌握有关规律、概念、性质和定理，并能进行简单的应用。通过一次函数的学习初步建立数形结合的思维模式。
2、通过探究全等三角形的判定、轴对称性质进一步培养学生的识图能力；通过探究一次函数图象与性质之间的关系，初步建立数形结合的数学模式；通过对整式乘除和因式分解的探究，培养学生发现规律和总结规律的能力，建立数学类比思想。
教学进度安排表年学期
年级班学科任课教师
周次
授课安排
备注
一
11.1全等三角形11.2三角形全等的条件
9月5日-9日
二
11.2三角形全等的条件11.3角平分线
9月12日-16日
三
小结与复习
9月19日-23日
四
12．1轴对称12.1 12.2 12.3
9月26日-30日
五
12.3
10月3日-7日
六
小结与复习
十四
14.4课题学习选择方案小结与复习
12月5日-9日
十五
15.1整式的乘法15.2乘法公式
12月12日-16日
十六
15.2乘法公式15.3整式的除法
12月19日-23日
十七
八年级一次函数试卷【含答案】
八年级一次函数试卷【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 一次函数的图像是一条直线，当斜率k>0时，这条直线是向（）倾斜的。
A. 上B. 下C. 左D. 右2. 如果一次函数的表达式为y=3x+2，那么它的截距是（）。
A. 3B. 2C. -3D. -23. 一次函数y=2x-5与x轴的交点是（）。
A. (2.5, 0)B. (-2.5, 0)C. (0, -2.5)D. (0, 2.5)4. 两个一次函数y=2x+1和y=-0.5x+3的图像（）。
A. 总是相交B. 总是平行C. 在y轴相交D. 在x轴相交5. 如果一次函数y=kx+b的图像经过点(1, 4)和(3, 12)，那么k的值是（）。
A. 3B. 4C. 5D. 6二、判断题（每题1分，共5分）6. 一次函数的图像是一条曲线。
（）7. 当一次函数的斜率为0时，函数图像是一条水平线。
（）8. 一次函数y=5x-10的图像一定经过点(0, -10)。
（）9. 两个一次函数如果斜率相同，那么它们的图像一定平行。
（）10. 一次函数y=kx+b中，b表示函数图像与y轴的交点。
（）三、填空题（每题1分，共5分）11. 一次函数y=3x-7与x轴的交点是______。
12. 如果一次函数的图像经过点(2, 5)和(4, 11)，那么这个函数的斜率是______。
13. 一次函数y=-2x+6的图像是一条______。
14. 一次函数y=kx+b的图像与y轴的交点是______。
15. 如果两个一次函数的斜率相同，那么它们的图像是______。
四、简答题（每题2分，共10分）16. 解释一次函数的斜率代表了什么。
17. 描述一次函数图像与x轴和y轴的交点。
18. 如何确定两个一次函数是否平行。
19. 什么是截距？一次函数有几个截距？20. 解释一次函数图像的斜率和截距是如何决定的。
五、应用题（每题2分，共10分）21. 一次函数y=4x-1的图像与x轴的交点是什么？22. 如果一次函数的图像经过点(3, -2)和(6, 4)，求这个函数的表达式。
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1
题型一、交点问题及直线围成的面积问题
例1．作出函数y=-2x+4的图象，
根据图象回答问题：
（1）图象经过第________象限，
y的值随x值的增大而 。
（2）图象与x轴的交点坐标是________,
图象与y轴的交点坐标是 。
(3)当x 时，y>0; 当x 时，y<0;
(4)函数y=-2x+4的图象与坐标轴所围成的
三角形的面积是________
例2，根据如图所示的条件，求直线的表达式。（C组做左图，A、B组做右图）
例3、已知一次函数y=2x+a与y=-x+b的图象都经过A（-2，0），它们与y轴的交
点分别为B、C两点，求B、C点的坐标
例4、如果直线111:bxkyl与直线222:bxkyl平行，则21kk；已知直线a
过点（1，4）且与直线y=-2x-1平行，
（1） 求直线a的函数表达式
（2）若上述直线a与x轴交于A点，与y轴交于点B，直线m：y=kx+2与直线
a平行，与x轴交于C点，求△ABC的面积
y 0 1 2 2 1 1 2 2 1 0 x x y
2
题型一、交点问题及直线围成的面积问题
1、 直线经过（1,2）、（-3,4）两点，求直线与坐标轴围成的图形的面积。
2、作出函数y=34x－4的图象，并回答下面的问题：
(1)求它的图象与x轴、y轴所围成图形的面积;
(2)求原点到此图象的距离.
3、 已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A（3,4），且OA=OB
（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；
B
A
1
2
3
4
0
4321
3
课堂练习：
1．下列语句，其中正确的有（ ）
①点（3，2）与（2，3）是同一个点 ② 点（0，-2）在x轴上
③点(－2， 3)与(2，－3)关于原点对称 ④点（3，2）到x轴的距离是3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．已知第三象限的点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标
为（ ）
A．（3，2） B．（-3，-2）
C．（-2，3） D．（-2，-3）
3、下列图象中，与关系式1xy表示的是同一个一次函数的图象是（ ）
4、直线bkxy经过A(0,2)和B(3,0)两点,那么这个一次函数关系式是( )
A、32xy B、232xy C、23xy D、1xy
5、下面哪个点不在函数y=－2x+1的图象上（ ）
A.（-5，11） B.（0.5，0） C（3，0） D（1，-1）
6、下列函数中，y的值随x的增大而增大的是 （ ）
A. y＝－2x B. y＝－3x＋6 C. y＝（32 ）x＋5 D. y＝－1＋2x
7、已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb＜0,则在直角坐标系内它的大致图象
是( )
(A) (B) （C） （D）
8、若一次函数y=kx-4的图象经过点（–2，4），则k等于 （ ）
A、–4 B、4 C、–2 D、2
9、已知一次函数kxky)1(，如果y是x的正比例函数,则m的值为( )
A.1 B.-1 C 1,-1 D.0
4
10、直线y=-2x+4与两坐标轴的交点坐标分别为A,B,则三角形AOB的面积为( )
A. 4 B.8 C. 16 D. 6
11、已知一次函数y=－2x－2
（1）画出函数的图象.
（2）求图象与x轴、y轴的交点A、B的坐标.
（3）求A、B两点间的距离.
（4）求△AOB的面积.
（5）利用图象求当x为何值时，y≥0.
12、
已知一次函数y=kx+b的图象经过点（-1，-4），且与正比例函数y=x31的图
象相交于点（3，a），求：
(1) a的值；
(2) k，b的值；
(3) 这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积。
5
13、某水果批发市场香蕉的价格如下表
购买香蕉数(千克) 不超过20千克 20千克以上但不超过40千克 40千克以上
每千克的价格 6元 5元 4元
张强两次共购买香蕉50千克,已知第二次购买的数量多于第一次购买的数量,共付出264元,
请问张强第一次,第二次分别购买香蕉多少千克? （8分）
14、甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品提价40%，乙
商品降价10%，两种商品的单价和比原来提高了20%，甲、乙两种商品原来的单价
各是多少元？
15、某商店从某公司批发部购100件A种商品，80件B种商品，共花去2800 元．在商店
零售时，每件A种商品加价%15，每件B种商品加价%10，这样全部卖出后共收入3140元，
问A、B两种商品买入时的单价各为多少元？