自动控制原理 第七章
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自动控制原理第7章 离散控制系统
2013-7-16 12
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。 采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为
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7.2.3 信号的恢复
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。 信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位臵应处在采样开关之后(图7.8)。
2013-7-16 3
因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为τ(τ<<T)，如图7.3所示。
x(t )
x* (t )
x* (t )
T
x(t )
o
t
o
T
2T
3T
4T
t
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
(b) 图7.6 采样过程
(c)
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11
由图7.6(c)，可写出脉冲序列x*(t)表达式为
x* (t ) x(0) t ) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )] [1( x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
需要指出，具有无穷大幅值和持续时间无穷小 的理想单位脉冲只是数学上的假设，在实际物理系 统中是不存在的。因此，在实际应用中，对理想单 位脉冲(面积为1)来说，只有讨论其面积，或强度才 有意义。式(7-3)就是基于这种观点，从矩形脉冲及 理想脉冲的面积来考虑的。 采样开关对连续信号x(t)进行采样后，其输出 的离散时间信号x*(t)可表示为
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7.2.3 信号的恢复
离散信号还原成连续信号时需使用的理想滤波 器在物理上是无法实现的。实际中广泛应用的滤波 器是保持器(或保持电路)。 信号恢复/保持就是将离散时间信号变成连续 时间信号。实现保持功能的器件称为保持器。保持 器是具有外推功能的元件，其外推作用表现为当前 时刻的输出信号是过去时刻离散信号的外推。保持 器在离散系统中的位臵应处在采样开关之后(图7.8)。
2013-7-16 3
因此在离散系统中，通过控制器对被控对象进 行控制的偏差信号e*(t)仍是离散信号。图7.1是离 散系统的方框图。图中两个采样开关的动作一般是 同步的，因此可等效地简化为图7.2的形式。其中离 散反馈信号b*(t)是由连续型的时间函数b(t)通过采 样而获得的。采样开关经一定时间T后闭合，每次闭 合时间为τ(τ<<T)，如图7.3所示。
x(t )
x* (t )
x* (t )
T
x(t )
o
t
o
T
2T
3T
4T
t
(a)
ห้องสมุดไป่ตู้
(b) 图7.6 采样过程
(c)
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由图7.6(c)，可写出脉冲序列x*(t)表达式为
x* (t ) x(0) t ) 1(t )] x(T )[1(t T ) 1(t T )] [1( x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] x(kT )[1(t kT ) 1(t kT )]
自动控制原理第七章采样控制系统
第三节 信号复现与零阶保持器
一. 信号保持 把离散信号转换为连续信号，称为信号保持，该装置称
保持器。 保持器：用离散时刻信号复现连续时刻信号。
二. 零阶保持器
1. 作用：把采样信号e*(t) 每一个采样瞬时值e(kT)一直保持到下一个采 样瞬间e[(k+1)T], 从而使采样信号 e*(t)变成 阶梯信号eh(t)。
一阶保持器比零阶保持器信号恢复更
0 T 2T 3T 4T 5T 6T t
精确, 但相位滞后增加, 对稳定性不利.
图7-11 一阶保持器输出特性
第四节 Z变换理论
同拉氏变换一样, 是一种数学变换. 离散信号e*(t)的 拉氏变换为:
E*(s) e(nT )enTs n0
各项均含有 esT 因子，为S的超越函数。为便于应用，对 离散系统的分析一般采用Z变换.
G 0 ( s ) 1 s [ 1 e s] T 1 s 1 e 1 s T 1 s 1 1 s 1 T 1 T sT
零阶保持器的频率特性
信号e(t)在t = nT 及t = (n+1)T 之间的数值可以用一个级数来描述
单位脉冲响应
G h(s)L [gh(t) ]S 1S 1e TS 1 Se TS
G 0(j
)1ejT2sin T/(2 )ejT2 j
幅频特性： G 0(j)Tsi( n/ / ( s)s)2 s si( n/ / ( s)s)
上式是 eTs 的有理函数. 但 eTs是含变量S的超越函数，不便进行分析和运算， 因此常用Z变换代替拉氏变换。
三. 采样定理
从理论上指明了从采样信号中不失真的复现原连续信号 所必需的理论上的最小采样周期T.
自动控制原理 第七章 非线性系统
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
1
ωt
y1 (t ) B1 sint
由式（7-15）可得饱和特性的描述函数为
B1 2k a a a 2 N ( A) arcsin 1 ( ) A A A A
M sin td ( t )
yMFra bibliotek0 π2π
ωt
所以基波分量为：
y1 ( t )
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
Y1 4M N ( A) 1 A A
2.饱和特性
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时， 饱和特性的输出波形如图7-10所示。
7.1.3
非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无
法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
r(t)=0 x
N
y
G(s)
c(t)
图7-8 非线性系统典型结构图
（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即 y(x)=-y(-x)，以保证非线性元件在正弦信号作用下的输出不 包含直流分量。 （3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。能较好的滤 除非线性环节在正弦输入下输出中的高次谐波，于是可以认 为在闭环通道中只有基波分量在流通，此时应用描述函数法 所得的分析结果才是比较准确的。实际系统基本都能满足。
自动控制原理 第七章 非线性
x x x 0 , x(t0 ) x0 , x (t0 ) x0
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
dx
x
.
x
dt
容易求出奇点为（0，0）。
图 例7-2的根轨迹
ABCDO对应.初始条件为
x(0) 2, x(0) 7
EFO对应初.始条件为：
x(0) 0, x(0) 10
从相轨迹图可以直观地看到： 所有的相轨迹都最终收敛到 奇点（0，0），这说明系统 是渐近稳定的；可以证明， 每一条相轨迹都是向心螺旋 线，这说明系统的运动过程 是衰减振荡的。
3）相轨迹图形特征
如果微分方程满足解的存在性和唯一性条件， 那么，相轨迹（场）图一定有如下基本特征：
1)任一普通点有且只有一条相轨迹通过（解 的存在性和唯一性）；
2)相轨迹必垂直通过轴； 3)轴上方的相轨迹从左向右运动，轴下方的 相轨迹从右向左运动。
Байду номын сангаас
例7-2 作出下列二阶系统的相轨迹
.. .
..
线性系统如果某系统在某初始条件下的响应 过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条 件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。例：
x& x x2 x(0) x0
（1）当初始条件xo ＜1时,1－xo＞0,上式 x(t) 具有负的特征根,其暂 态过程按指数规律衰 减,该系统稳定。
（ 2 ） 当 xo=1 时 ,1xo=0,上式的特征根为 o 零,其暂态过程为一常 量。
x a xa x a
此处： x 输入 y 输出 k 比例系数
y
ym
a
k
x
0a
ym
饱和非线性对系统的影响：
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
离散系统稳态误差是指系统在稳态时输出与输入之间的误 差。
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
自动控制原理考试试题第七章习题与答案
第七章非线性控制系统分析练习题及答案7-1设一阶非线性系统的微分方程为xx3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系统平衡状态x e0,1,1其中：x0：稳定的平衡状态；ex1,1：不稳定平衡状态。
e计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211图解7-1系统相轨迹可见：当x(0)1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)1时，系统发散；x(0)1 时，x(t);x(0)1时，x(t)。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x~x平面上任意分布。
7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1)xxx0(2) x1x2xx122xx12解（1）系统方程为1:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0，得平衡点：x e0。
系统特征方程及特征根：132:ss10,sj(稳定的焦点)1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍点)1,2xf(x,x)xx, d xdxxxxdx dx 1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)计算列表-∞-3-1-1/301/313∞x0:11-1-2/302-∞-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-4∞20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。
2图解7-2（a）系统相平面图（2）xxx112①x22xx②12由式①：x2x1x1③式③代入②：(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10④令x1x10得平衡点：x e0由式④得特征方程及特征根为2.4142ss2101,2（鞍点）0.414画相轨迹，由④式xx 11 d x1dxx12x1x1x 1 x1 2计算列表322.53∞11.52=1/(-2)∞210-1-2∞用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。
自动控制原理：第七章 离散系统理论
z1
1
z 1
F z
【前提】仅当极限 lim f (存nT在) 时。 n
『例7』 求1t 和T 的(tZ变T换) 。
『解』Z
1t
T
z 1Z
1t
z 1
z
z 1
1 z 1
Z t T z1Z t z1
Z (t) 1
Z (t T ) z1 Z (t 2T ) z2
Z (t 3T ) z3
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』
1
z 1
F z
【前提】仅当极限 lim f (存nT在) 时。 n
『例7』 求1t 和T 的(tZ变T换) 。
『解』Z
1t
T
z 1Z
1t
z 1
z
z 1
1 z 1
Z t T z1Z t z1
Z (t) 1
Z (t T ) z1 Z (t 2T ) z2
Z (t 3T ) z3
f*(t)。 f(t)
T (t)
f (t)
-3T -T T 3T -2T 2T
f(t)
T (t)
脉冲调制器
f (t)
0
t
0
t
f *(t) f (0) (t) f (T ) (t T )
F*(s) f (nT ) enTs n0
f (nt) (t nT )
f (nT ) (t nT) n0
第七章 线性离散系统的分析
7-1 离散系统的基本概念
7-2 信号的采样和保持 7-3 Z 变换理论 7-4 离散系统的数学模型 7-5 离散系统的稳定性与稳态误差
背景：由于脉冲技术、数字式元部件、数字计算机的
发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器。
离散系统与连续系统差别：利用Z变换法研究离散
系统，连续系统中的概念和方法可推广应用于离散系 统。
『例1』设e(t) ,1试(t)求 的e拉* (t氏) 变换。
『解』 E* (s) e(nT )enTs 1 eTs e2Ts ... n0
1
1 eTs
eTs ,| eTs | 1 eTs 1
『例2』设 e(t) eat，, t试求0 的拉e氏* (变t) 换。
『解』
自动控制原理第七章
基本思想 相轨迹的特点 相轨迹的绘制方法 线性系统的相平面图 非线性系统的相平面图
基本思想
ɺ x
x
相平面分析法是分析非线性系统性能的一种图 示方法。 示方法。而相轨迹和相平面图的绘制为该分析方法的前提 条件。 条件。
x 1 (t), 2 (t) x
相平面定义：由两个线性无关的状态变量 作为坐标的平面称 为相平面。通常采用位移和位移的变化率作为状态变量用于描述一、二 阶系统的运动特性。
ɺɺ = -f(x, x ) ɺ x ⇒ ɺ ɺɺ = d x x = − f(x, x ) ɺ ɺ x dx ⇒ ɺ ɺ dx f(x, x ) = − ɺ dx x
ɺ x
x
相轨迹的绘制方法
解析法
消除变量法 直接积分法
等倾线法绘制相轨迹思 ɺɺ + f(x,ɺ ) = 0 x x 令： ⇒ 路： ɺ dx f(x,ɺ ) x =− ɺ x dx
E 0
Im
∞
Re
死区继电器的负倒描述函数曲线
Im
N(E) N(E)
4M = πE = 0
Δ2 1− E 2 (E ≤ Δ )
(E
≥ Δ)
∆ ∞
E Re
−
1 N(E)
= − 4M
πE
Δ2 1− E 2
(E
≥ Δ)
拐点参数：
E = 2 Δ 1 − N(E) E =
Y ϕ 非线性环节的描述函数 ：N = 1 e j 1 = E
2 2 − A 1 + B 1 jtg 1 B 1 B A = 1+j 1 e E E E
A1
描述函数的自变量为输入正弦信号的幅值
求取描述函数应用举例
基本思想
ɺ x
x
相平面分析法是分析非线性系统性能的一种图 示方法。 示方法。而相轨迹和相平面图的绘制为该分析方法的前提 条件。 条件。
x 1 (t), 2 (t) x
相平面定义：由两个线性无关的状态变量 作为坐标的平面称 为相平面。通常采用位移和位移的变化率作为状态变量用于描述一、二 阶系统的运动特性。
ɺɺ = -f(x, x ) ɺ x ⇒ ɺ ɺɺ = d x x = − f(x, x ) ɺ ɺ x dx ⇒ ɺ ɺ dx f(x, x ) = − ɺ dx x
ɺ x
x
相轨迹的绘制方法
解析法
消除变量法 直接积分法
等倾线法绘制相轨迹思 ɺɺ + f(x,ɺ ) = 0 x x 令： ⇒ 路： ɺ dx f(x,ɺ ) x =− ɺ x dx
E 0
Im
∞
Re
死区继电器的负倒描述函数曲线
Im
N(E) N(E)
4M = πE = 0
Δ2 1− E 2 (E ≤ Δ )
(E
≥ Δ)
∆ ∞
E Re
−
1 N(E)
= − 4M
πE
Δ2 1− E 2
(E
≥ Δ)
拐点参数：
E = 2 Δ 1 − N(E) E =
Y ϕ 非线性环节的描述函数 ：N = 1 e j 1 = E
2 2 − A 1 + B 1 jtg 1 B 1 B A = 1+j 1 e E E E
A1
描述函数的自变量为输入正弦信号的幅值
求取描述函数应用举例
西南交大汪晓宁版《自动控制原理》 自控第七章
1 X j X j ns T n 1 故采样信号的频谱为 X j X j ns T k
采样角频率 的周期函数
8
第七章 采样控制系统
当 s 2max 时，上式中和的模等于模的和，此时
1 X j T
对上式取拉氏变换，并应用复数位移定理
1 X s Lx t L x t e jn st T n 1 1 X s jn s X s jn s T n T n
若X*(s)的极点都位于s左半平面，则
Digital Computer
D/A Converter
Hold Circuit
Actuator
Plant
Clock
Transductor
4
第七章 采样控制系统
• 数控铣床
Input data Reader Digital Computer D/A Sequential control signal Hold Amp Motor Milling machine
k 0
t kT
k 0
n
Cn e jnst
t 0
其中
1 1 jn t 2 jn t s , Cn 2T T t e s e s T 2 T T
T
1 T
7
第七章 采样控制系统
所以
1 x t xt T t xt e jnst T k
Y z G z X z
故脉冲传递函数定义为： 在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号 z变换与离散输入信号z变换之比
采样角频率 的周期函数
8
第七章 采样控制系统
当 s 2max 时，上式中和的模等于模的和，此时
1 X j T
对上式取拉氏变换，并应用复数位移定理
1 X s Lx t L x t e jn st T n 1 1 X s jn s X s jn s T n T n
若X*(s)的极点都位于s左半平面，则
Digital Computer
D/A Converter
Hold Circuit
Actuator
Plant
Clock
Transductor
4
第七章 采样控制系统
• 数控铣床
Input data Reader Digital Computer D/A Sequential control signal Hold Amp Motor Milling machine
k 0
t kT
k 0
n
Cn e jnst
t 0
其中
1 1 jn t 2 jn t s , Cn 2T T t e s e s T 2 T T
T
1 T
7
第七章 采样控制系统
所以
1 x t xt T t xt e jnst T k
Y z G z X z
故脉冲传递函数定义为： 在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号 z变换与离散输入信号z变换之比