离散数学chapter1

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否定词 ¬
P
•设P表示命题，则‘P P 不真’ 是另一命题， 不真 记为 ¬ P，读为 ‘非 非 P’ •否定词可用右表定义， 此表称为 ¬ P的真值 真值 表
¬P
1 0
0 1
2
合取词 ∧
Q 0 1 0 1 P∧Q 0 0 0 1
•若 P,Q 表示命题，则 ‘P P P 并且Q 并且Q’ 也是命题，记为 P∧Q ,读为 ‘P合取Q’. P合取Q . 0 •P∧Q 的真值表如右表所示。 0 1 由真值表可知 P∧Q 真,当且 1 俱真. 仅当 P,Q 俱真.
P∨Q
0 0 1 1 0 0 1 1
(P∨Q)∧R
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
逻辑等价命题: 逻辑等价命题 具有相同真值的命题
证明: P↔Q与P∧Q∨¬P∧¬ Q是逻辑等价命题。 证 用真值表
因后两列的真假值完全一致, 所以它们是逻 辑等价命题。
称为逻 若A↔B是重言式, 则记为 A⇔B, 称为逻 B是重言式, 辑恒等式, 恒等于B . 辑恒等式, 读为 ‘A恒等于B’. 易见: A⇔B,当且仅当A,B真值表相同 当且仅当A,B真值表相同, 易见: A⇔B,当且仅当A,B真值表相同, 逻辑恒等式常用真值表来证明 常用真值表来证明. 故逻辑恒等式常用真值表来证明. •最重要的逻辑恒等式已列入表1.2-1中. 最重要的逻辑恒等式已列入表1.2最重要的逻辑恒等式已列入表1.2 •建议大家记住并使用它们的称谓, 例如: 建议大家记住并使用它们的称谓 建议大家记住并使用它们的称谓, 例如: 双否定律, 等幂律, 交换律, 结合律, 双否定律, 等幂律, 交换律, 结合律, 分 配律, 摩根律, 吸收律, 蕴涵表达式, 配律, 摩根律, 吸收律, 蕴涵表达式, 等 值表达式, 零律(E 值表达式, 零律(E16,E17), 同一律 排中律, 矛盾律, 输出律, (E18,E19), 排中律, 矛盾律, 输出律, 归 谬律, 逆反律, 等等. 谬律, 逆反律, 等等.
n元命题公式A=(P1,…,Pn)可视为 具有布尔变元的布尔函数 布尔函数
P1,…,Pn 真值的一种组合 1,…,P’n), P’i 取 真值的一种组合(P’ 称为一种指派 值0或1,称为一种指派 A(P’1,…,P’n)的真值称 或 称为一种指派. 的真值称 为命题A在指派 在指派(P’ )下的值 下的值. 为命题A在指派(P’1,…,P’n)下的值. 例1 若 A(P1,P2) = P1∧(P1∨P2),则 则 A(0,1) ⇔ 0∧(0∨1) ⇔ 0; ∧ ∨ A(1,0) ⇔ 1∧(1∨0) ⇔ 1. ∧ ∨ 例2 若 A(P,Q,R) = (P→Q∨R)↔Q，则 ∨ ， A(1,1,0) ⇔ (1→1∨0)↔1 ⇔ 1. ∨
逻辑恒等符⇔与永真蕴涵符⇒的 两个性质
P Q R 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A = (P∧Q)→ R 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 B = P → (Q→R) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1
A→B是永真式,则记为A B,称为永 A→B是永真式,则记为A⇒B,称为永 是永真式 称为 真蕴涵式, 读为‘ 永真蕴涵B 。 真蕴涵式, 读为‘A永真蕴涵B’。 易见: A⇒B,当且仅当 为真时B 当且仅当A 易见: A⇒B,当且仅当A为真时B必 为真. 为真. 逻辑蕴涵式也常用真值表来证明 常用真值表来证明. 逻辑蕴涵式也常用真值表来证明.
命题符号化其他例子
• ‘除非你努力，否则你将失败’ 可以符号 化为：¬P→Q P→Q, P→Q 其中 P:你努力，Q:你将失败. Q • ‘只有睡好觉才能恢复疲劳’可以符号化 Q→P, 为：Q→P Q→P 其中 P:睡好觉，Q:恢复疲劳 Q
命题变元和命题公式
• 以‘真’、‘假’为变域的变元称为命题变 命题变 命题常元. 元；T 和 F 称为命题常元 命题常元 • 单个命题变元和命题常元称为原子公式 原子公式；由 原子公式 下列递归规则 递归规则生成的公式称为命题公式 命题公式: 递归规则 命题公式 (1)单个原子公式是命题公式. (2)若A和B是命题公式，则 ¬A,A∧B,A∨B,A→B,A↔B 是命题公式. (3)只有有限步应用(1)和(2)生成的公式(称为 合式公式)才是命题公式. （见P6 例1.1-9）
五个逻辑运算符强弱顺序
•运算符结合力的强弱顺序约定为： ¬,∧,∨,→, ,→,↔ , •没有括号时按上述先后顺序执行. •相同运算符按从左至右顺序执行括号可省去. •最外层的括号总可以省去. • 例如 ¬P∨¬P∨Q∧¬S∨¬Q∧R 与 (((¬(P)∨¬(P))∨(Q∧¬(S))∨(¬(Q)∧R)) 运算顺序完全一样,前者不加一个括号 前者不加一个括号. 运算顺序完全一样 前者不加一个括号 • 请大家特别注意先∧后∨的习惯.
m(<n)元命题公式A=(P1,…,Pm)也可视为 元命题公式 也可视为n 也可视为 命题公式A=(P1,…,Pn). 例如 ∨Q,与 例如P∨ 与 元命题公式 (P∨Q)∧R的真值表可在同一张表上列出 的真值表可在同一张表上列出. ∨ ∧ 的真值表可在同一张表上列出
P Q R
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
关于命题的注记
• 某些命题可能无法查明其真值 无法查明其真值。如例1(d), (e). 无法查明其真值 • 命题真假会因时因地而异 因时因地而异。例如： 因时因地而异 a) 人一只手有五指 b) 现在是上午 • 那些‘自称谓 自称谓’的陈述句可能产生自相矛盾的结论， 自称谓 故不在我们讨论之列。例如：某人说: ‘我正在说 谎’(见P.1例3)—悖论 悖论 • 请注意: 数理逻辑的任务不在于 不在于研究某个具体命题 不在于 的真假问题，而在于它可以赋予真或假的可能性 它可以赋予真或假的可能性， 它可以赋予真或假的可能性 特别是研究各命题规定其真值后它们之间的联系。
用真值表证明逻辑恒等式 E8
P Q R
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
A=P∧(Q ∨R) 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
B=(P∧Q)∨(P∧R) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1
原子命题,复合命题与命题联结词
• 不能再细分的命题称为原子命题 原子命题。例如，“明 原子命题 天下雪”、“明天下雨”都是原子命题。 • 原子命题常可通过一些命题联结词 命题联结词构成新命 命题联结词 题，这种命题称为复合命题 复合命题。例如，“明天下 复合命题 雪或明天下雨”是复合命题。 • 命题联结词又称为逻辑运算符 逻辑运算符，常用的有五 逻辑运算符 词 合取词、析取词、 等价词。 涵词和等价词 涵词 等价词
关于 P→Q 真值表的说明
•在日常生活中当P=0时，P→Q 没有实际意义。 故人们只考虑 P=1 的情形。但在P→Q 真值表 中规定：当 P=0 时，不管Q如何 P→Q 的真值 都为1. 有没有道理呢？ •例如，张三对李四说：‘我去图书馆一定帮你 借那本书’。可以将这句话表为命题 P→Q(P表 示:张三去图书馆,Q表示:张三借那本书)。后来 张三因有事未去图书馆，即 P=0，此时按规定 P→Q 为真。我们应理解为张三讲了真话，即他 要是去图书馆我们相信他一定会为李四借书。 这种理解也称为‘善意推定’。
高等学校工科电子类规划教材
西安电子科技大学出版社
主讲：李立平
第一章 数理逻辑 前言
• 研究人的思维形式和规律的科学称为逻辑学 逻辑学， 逻辑学 由于研究的对象和方法各有侧重而又分为形 形 式逻辑、辨证逻辑 数理逻辑。 辨证逻辑和 式逻辑 辨证逻辑和数理逻辑 • 数理逻辑是利用数学方法研究推理的科学。 数理逻辑又叫符号逻辑，因为它的主要工具 是符号体系。数理逻辑的核心是把逻辑推理 符号化，即变成象数学演算一样完全形式化 的逻辑演算 逻辑演算。 逻辑演算 命题演算(1.1---1.5)和谓词演 • 本章主要介绍命题演算 命题演算 谓词演 算(1.6---1.8)。
第一章
•1 •2 •3 •4 •5 •6 •7 •8
数理逻辑
命题 重言式 范式 联结词扩充与归约 推理规则证明方法 谓词与量词 谓词演算永真公式 谓词演算推理规则
命题的概念
• 所谓命题，是具有真假意义的陈述句，也 就是能够确定或分辨其真假的陈述句，且 真与假必居其一。简言之，命题是非真即 命题是 假的陈述句。 • 命题是真就说其真值为真，命题是假就说 其真值为假。
命题符号化—自然语言翻译为逻辑式
(见P4 例1.1-8)
符号化应注意以下几点： 符号化应注意以下几点： 应注意以下几点 确定句中连接词是否能对应于并且对应于哪 一个命题连接词. 确定句子是否为命题.不是就不必翻译. 正确表示原子命题和选择命题连接词. 要按逻辑关系翻译而不能凭字面翻译.例如 令：P:林芬做作业 Q:林芳做作业. 则‘林芬和林芳同在做作业’可译为P∧Q; 但‘林芬和林芳是姐妹’不能译为P∧Q，因为 这是一个原子命题.
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蕴涵词 →
P Q 0 0 1 1 0 1 0 1 P→Q 1 1 0 1
•若 P,Q 表示命题，则 ‘P蕴涵Q’ 也是命题， P蕴涵Q 记为 P→Q,读为 ‘P蕴 P 涵Q’. •P→Q 的真值表如右表 所示。 P→Q为假 由真值表可知P→Q为假, P→Q为假, 当且仅当P为假而Q为真. 当且仅当P为假而Q为真.
•最重要的逻辑蕴涵式已列入表 最重要的逻辑蕴涵式已列入表1.2-2中. 最重要的逻辑蕴涵式已列入表 中 建议大家也记住并使用它们通常的称谓 使用它们通常的称谓: 建议大家也记住并使用它们通常的称谓 例如I 分别叫做加法式 简化式, 加法式, 例如 1,I2,…,I6 分别叫做加法式 简化式 假言推理, 拒取式, 析取三段, 前提三段. 假言推理 拒取式 析取三段 前提三段 I6, I9 也叫做 蕴涵 等值 传递律 也叫做(蕴涵 等值)传递律 蕴涵,等值 传递律.