2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算训练含解析新人教B版必修第二册

第六章 6.2 6.2.3
请同学们认真完成 [练案30]
A级 基础巩固
一、选择题

1．已知点A(0,1)、B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝( A )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
[解析] 本题主要考查平面向量的线性运算．

BC→＝BA→＋AC
→
＝(－3，－1)＋(－4，－3)

＝(－7，－4)．故选A．
2．若向量a＝(1,1)、b＝(1，－1)、c＝(－1,2)，则向量c等于( C )

A．－12a＋32b B．32a－12b

C．12a－32b D．－32a＋12b
[解析] 12a－32b＝(12－32，12＋32)＝(－1,2)，故选C．
3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与AB→相等，已知A(1,2)、B(3，2)，则x的值为( A )
A．－1 B．－1或4
C．4 D．1或4
[解析] ∵A(1,2)、B(3,2)，

∴AB→＝(2,0)，又∵AB→＝a，∴ x＋3＝2x2－3x－4＝0，
∴x＝－1．
4．(多选题)若向量a＝(3，1)、b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( CD )
A．(3，－1) B．(－1，－3)
C．(1，－3) D．(－1，3)
[解析] ∵a＋2b＝(3，1)＋2(0，－2)＝(3，－3)，
因为3×3－(－1)×(－3)＝0，
所以向量(－1，3)与a＋2b是共线向量．
又因为1×(－3)－(－3)×3＝0，
所以向量(1，－3)与a＋2b也是共线向量．
5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B )
A．－6 B．6
C．2 D．－2
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6．
二、填空题

6．设i、j分别为x、y轴正方向的单位向量，已知OA→＝2i，OB→＝4i＋2j，AB→＝－2AC→，
则点C的坐标为__(1，－1)__．

[解析] 由已知OA→＝(2,0)、OB→＝(4,2)，
∴AB→＝(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则AC→＝(x－2，y)，
∵AB→＝－2AC→，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，

∴ －2x－2＝2－2y＝2，解得 x＝1y＝－1．
∴点C的坐标为(1，－1)．
7．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝__－6__．
[解析] 由题意得，－2m－12＝0，所以m＝－6．
8．已知平行四边形ABCD的顶点A(4,3)，B(1，－1)，C(2,1)，D点的坐标为__(5,5)__．

[解析] ∵ABCD为平行四边形，∴AD→＝BC→．
设D(x，y)，则(x－4，y－3)＝(1,2)，
∴x＝5，y＝5，
∴D(5,5)．
三、解答题
9．如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点
D

的坐标和AB→与AD→的坐标．
[解析] 设点B的坐标为(x，y)，则x＝cos30°＝32，y＝sin30°＝12．
∴B(32，12)，AB→＝(32，12)．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∴∠xOD＝120°．
设点D的坐标为(x′，y′)，

则x′＝cos120°＝－12，y′＝sin120°＝32，

∴D＝(－12，32)，AD→＝(－12，32)．
10．如图，已知点A(4,0)、B(4,4)、C(2,6)，求AC、OB交点P的坐标．

[解析] 解法一：设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)．
AP→＝(4λ－4,4λ)，AC
→
＝(－2,6)．

因为A、P、C三点共线，所以6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0，解得λ＝34．
所以OP→＝(3,3)，即P点坐标为(3,3)．
解法二：设P(x，y)，OP→＝(x，y)，OB→＝(4,4)，
因为O、P、B三点共线，所以4x－4y＝0①

又因为AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且A、P、C三点共线，所以6×(x－4)－(－2)×
y
＝0，即3x＋y＝12②
由①、②得：x＝3，y＝3，所以P(3,3)．
B级 素养提升
一、选择题

1．已知AB→＝(5，－3)、C(－1,3)、CD→＝2AB→，则点D的坐标是( D )
A．(11,9) B．(4,0)
C．(9,3) D．(9，－3)

[解析] ∵AB→＝(5，－3)，∴CD→＝2AB→＝(10，－6)，
设D(x，y)，又C(－1,3)，
∴CD→＝(x＋1，y－3)，
∴ x＋1＝10y－3＝－6，∴ x＝9y＝－3．
2．已知两点A(4,1)、B(7，－3)，则与向量AB→同向的单位向量是( A )
A．15AB→ B．－15AB→

C．125AB→ D．－125AB→
[解析] AB→＝(3，－4)，∴|AB→|＝32＋－42＝5，故与向量AB→同向的单位向量是
AB
→
|AB→|
＝15AB→．

3．已知向量a＝(32，sinα)，b＝(sinα，16)，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30° B．60°
C．45° D．75°

[解析] ∵a∥b，∴sin2α＝32×16＝14，∴sinα＝±12．
∵α为锐角，∴α＝30°．
4．(多选题)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列
四个结论，其中错误的是( BCD )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
[解析] 由平面向量基本定理，知A正确；举反例，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错
误；向量可以平移，a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，
y)时，a＝(x，y)是以a
的始点是原点为前提的，故D错误．

二、填空题
5．已知向量a＝(2,1)、b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m、n∈R)，则m－n的值为
__－3__．
[解析] 由题意得，2m＋n＝9，m－2n＝－8⇒m＝2，n＝5，m－n＝－3．

6．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且OA′→＝2OA→，OB′→＝3OB→，则点A′的坐标为__(2,4)__.
点B′的坐标为__(－3,9)__，向量A′B′→的坐标为__(－5,5)__．
[解析] ∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴OA→＝(1,2)，OB→＝(－1,3)，
OA′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB
′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)．

∴A′(2,4)，B′(－3,9)，A′B′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
三、解答题

7．已知直线上三点P1、P、P2满足|P1P→|＝23|PP2→|，且P1(2，－1)、P2(－1,3)，求点P的
坐标．
[解析] ∵|P1P→|＝23|PP2→|，

∴P1P→＝23PP2→或P1P→＝－23PP2→，
设P(x，y)，则(x－2，y＋1)＝±23(－1－x,3－y)，

即 x－2＝23－1－xy＋1＝233－y，或 x－2＝－23－1－xy＋1＝－233－y．

解得 x＝45y＝35，或 x＝8y＝－9．
故点P的坐标为(45，35)或(8，－9)．
8．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为
CE
的中点，用向量的方法证明：

(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线．
[解析] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，

令|AD→|＝1，则|DC→|＝1，|AB→|＝2．
∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．

(1)∵ED→＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC→＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴ED→＝BC→，∴ED→∥BC→，即DE∥
BC．
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，12)，

∴MD→＝(－1,1)－(0，12)＝(－1，12)，
MB
→
＝(1,0)－(0，12)＝(1，－12)．

∴MD→＝－MB→，∴MD→∥MB→．
又 MD与MB共点于M，
∴D，M，B三点共线．