2017-2018学年高中数学人教A版选修1-2阶段质量检测(2)推理与证明

阶段质量检测（二） 推理与证明 (时间： 120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．根据偶函数定义可推得“函数f(x)＝x2在R上是偶函数”的推理过程是( ) A．归纳推理 B．类比推理 C．演绎推理 D．非以上答案 解析：选C 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( ) A．正确 B．推理形式不正确 C．两个“自然数”概念不一致 D．“两个整数”概念不一致 解析：选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 3．设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，－b四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数． 则说法中正确的个数有( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选B 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确． 4．下列推理正确的是( ) A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sin x＋sin y C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz) 解析：选D (xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确． 5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，„，则第70个“整数对”为( ) A．(3,9) B．(4,8) C．(3,10) D．(4,9) 解析：选D 因为1＋2＋„＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D. 6．求证：2＋3>5. 证明：因为2＋3和5都是正数， 所以为了证明2＋3>5， 只需证明(2＋3)2>(5)2，展开得5＋26>5， 即26>0，此式显然成立，所以不等式2＋3>5成立． 上述证明过程应用了( ) A．综合法 B．分析法 C．综合法、分析法配合使用 D．间接证法 解析：选B 证明过程中的“为了证明„„”，“只需证明„„”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式． 7．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3„b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为( ) A．a1a2a3„a9＝29 B．a1＋a2＋„＋a9＝29 C．a1a2„a9＝2×9 D．a1＋a2＋„＋a9＝2×9 解析：选D 由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝„＝2a5.易知D成立． 8．若数列{an}是等比数列，则数列{an＋an＋1}( ) A．一定是等比数列 B．一定是等差数列 C．可能是等比数列也可能是等差数列 D．一定不是等比数列 解析：选C 设等比数列{an}的公比为q，则an＋an＋1＝an(1＋q)．∴当q≠－1时，{an

＋an＋1}一定是等比数列；

当q＝－1时，an＋an＋1＝0，此时为等差数列． 9．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( ) A．大于0 B．小于0 C．不小于0 D．不大于0 解析：选D 法一：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc

＝－a2＋b2＋c22≤0. 法二：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a，b异号，∴ab＋bc＋ac＝ab<0，排除A、B、C，选D. 10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋„＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a，b，c的值为( )

A．a＝12，b＝c＝14 B．a＝b＝c＝14 C．a＝0，b＝c＝14 D．不存在这样的a，b，c 解析：选A 令n＝1,2,3，

得 3a－b＋c＝1，92a－b＋c＝7，273a－b＋c＝34. 所以a＝12，b＝c＝14. 11．已知数列{an}的前n项和Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，可归纳猜想出Sn的表达式为( )

A．Sn＝2nn＋1 B．Sn＝3n－1n＋1

C．Sn＝2n＋1n＋2 D．Sn＝2nn＋2 解析：选A 由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝13，S2＝43；又1＋13＋a3＝32a3，∴a3＝16，S3＝32＝64； 又1＋13＋16＋a4＝16a4，得a4＝110，S4＝85. 由S1＝22，S2＝43，S3＝64，S4＝85可以猜想Sn＝2nn＋1. 12．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2 016＝( )

x 1 2 3 4 5

f(x) 4 1 3 5 2

A.1 B．2 C．4 D．5 解析：选D x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，„，数列{xn}是周期为4的数列，所以x2 016＝x4＝5，故应选D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x，y∈R，且x＋y<2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________． 解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”． 答案：x，y都大于1 14．已知a>0，b>0，m＝lga＋b2，n＝lga＋b2，则m，n的大小关系是________． 解析：ab>0⇒ab>0⇒a＋b＋2ab>a＋b⇒ (a＋b)2>(a＋b)2⇒a＋b>a＋b⇒

a＋b2>a＋b2⇒lga＋b2>lg a＋b2.

答案：m>n 15．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝ 4415，„， 6＋ab＝6ab，a，b均为正实数，由以上规律可推测出a，b的值，则a＋b＝________. 解析：由题意归纳推理得 6＋ab＝6ab，b＝62－1 ＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41. 答案：41 16．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠

部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． 解析：解法的类比(特殊化)，易得两个正方体重叠部分的体积为a38.

答案：a38 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：

(1)如果a，b>0，则lg a＋b2≥lg a＋lg b2； (2)6＋10>23＋2. 证明：(1)当a，b>0时，有a＋b2≥ab，

∴lga＋b2≥lgab， ∴lga＋b2≥12lg ab＝lg a＋lg b2. (2)要证 6＋10>23＋2， 只要证(6＋10)2>(23＋2)2， 即260>248，这是显然成立的， 所以，原不等式成立．

18．(本小题满分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝2an1＋an(n＝1,2，„)． (1)求证：an＋1≠an； (2)令a1＝12，写出a2，a3，a4，a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an(不要求证明)． 解：(1)证明：若an＋1＝an，即2an1＋an＝an， 解得an＝0或1. 从而an＝an－1＝„＝a2＝a1＝0或1， 这与题设a1>0，a1≠1相矛盾， 所以an＋1＝an不成立． 故an＋1≠an成立．

(2)由题意得a1＝12，a2＝23，a3＝45，a4＝89，a5＝1617，由此猜想：an＝2n－12n－1＋1. 19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处． (1)求证：四边形的内角和等于360°. 证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°. (2)已知 2 和 3 都是无理数，试证：2＋3也是无理数． 证明：依题设2和3都是无理数，而无理数与无理数之和是无理数，所以2＋3必是无理数． (3)已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0无实根． 证明：假设方程x2＋2x＋5－m2＝0有实根．由已知实数m满足不等式(2m＋1)(m＋2)

＜0，解得－2＜m＜－12，而关于x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判别式Δ＝4(m2－4)，∵－

2解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形． (2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定． (3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．