2019年八年级数学下册第五章分式与分式方程知识点归纳新版北师大
八年级下册第5章分式与分式方程5、2分式的乘除法5、2、1分式的乘除法授课课件新版北师大版
3ab2 · 2x3 y
8 xy 9a2b
3x ； 4b
2x 6
x2 2x
(2) x2 2x
x3
. 2x
知2－讲
导引：先将分式乘除混合运算统一成乘法运算，能分解 因式的分解因式，再约分化简．
解： (1)原式＝
3ab2 2x3 y
8xy 4b 9a2b 3 x
3ab2 8xy 4b 2 x3 y 9a2b 3x
知1－讲
例1 计算： 3a 2 y2
(1) 4 y 3a2 ;
a (2) a
2 2
a2
1
. 2a
解：(1) 3a 2 y2 4 y 3a2
3a 2 y2 4 y 3a2
y; 2a
(2) a 2 1
a2
a 2 a2 2a a 2 a a 2
1
a2
. 2a
分式与分式相乘：
如果分子、分母 是单项式，可先将分 子、分母分别相乘， 然后约去公因式化为 最简分式或整式；如 果分子、分母都是多 项式，则应先分解因 式，看能否约分，然 后再相乘．
x
x 2－y 2 ·
＝___x_＋__y__；
xy x
(2)【2017·沈阳】
x＋1 x
x
· x
2＋2
x＋1
1 ＝___x_＋__1__．
知1－练
5 【中考·宁德】计算： x x
2· 3x
2
x
2
4
9 x
. 4
解：原式＝
x－2 ( x＋3)( x－3) x＋3· ( x－2)2
＝
x－3 x－2
.
知识点 2 分式的除法
＝x.
1 知识小结
北师大版数学八年级下册《第五章-分式与分式方程-1-认识分式-第1课时-分式的概念》PPT课件
A. ±2
B.2 C. -2
D.4
分析 分式的值为零，即分子为零且分母不为零. 根据题意，得x2-4=0且x-2≠0， 解得x=-2.
3.有下列式子：①x； ②y2； ③5； ④x2 .
3 y x2
其中是分式的有（ B ）
A. 1个
B.2个 C. 3个
D.4个
课后小结
一般地，用A，B表示两个整式，A÷B
可以表示成 A
B
的形式.如果B中含有字
母，那么称 A 为分式，其中A称为分式
B
的分子，B称为分式的分母.对于任意一
个分式，分母都不能为零.
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
（1）分式是否有意义，与分子无关.只要分母不 等于零，分式就有意义；
（2）有关求分式有意义、无意义的条件的问题， 常转化为不等式的问题.
分式的值为零的条件
分式的值为零的条件：分子为零，分母不为零. 用式子表示：B A=0A=0且B0 例 当x为何值时，分式 x 2 9 的值为零.
x3
[分析] 分式的值为零 分 分子 母= 00xx239 解出x的值.
解 依题意，得
x 2 9 = 0 ①
x 3 0
②
由①得x=±3，
由②得x≠3.
所以当x=-3时，分式
x2 9 x3
的值为零.
随堂练习
1.无论x取什么值，下列分式中总有意义的
是（ A ）
2x
A. x 2 1
3x
C. x 3 1
x
B. 2 x 1
x5
D. x 2
2.若分式 x 2 4 的值为零，则x的值为（ C ）
八年级数学北师大版初二下册--第五单元5.4《分式方程：第二课时--解分式方程》课件
知1－讲
解分式方程的一般步骤：
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程. 3、检验 . 4、写出原方程的根.
例1 解方程
1 = 3. x- 2 x
解：方程两边都乘x(x－2)，得x＝3(x－2).
解这个方程，得x＝3.
解得x＝2.
检验：当x＝2时，( x＋2)( x－2)＝0，
所以x＝2是原方程的增根，即原方程无解．
易错总结：
分式方程转化为整式方程后，由于去分母使未 知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根， 因此在解分式方程时一定要验根，如果不验根， 有可能误将x＝2当成原分式方程的根．
2 易错小结
2．当k为何值时，关于x的方程
综上可知，当k＜3且k≠－12时，原分式方程的
解为负数．
易错总结：
在解分式方程时，要注意出现未知数的取值使 原分式方程中的分式的分母为零，即产生增根 的情况．因此本题中要使方程的解为负数，除 了k＜3外，还必须考虑原分式方程的分母不等 于0.
请完成《典中点》 Ⅱ 、 Ⅲ板块 对应习题！
2＋ x－1
a 1－x
＝4
的解为正数，且使关于y的不等式组
ìïïïíïïïî
y＋2－ y 32
2( y－a) £
> 0
1，
的解集为y<－2，则符合条件的所有整数a的和为
( A) A．10
B．12
C．14
D．16
知识点 3 分式方程的增根
议一议
在解方程
1x-
x= 2
12- x
2 时，小亮的解法如下:
方程两边都乘 x－2,得 1－x＝－1－2(x－2 ).
北师大版八年级下册第五章分式和分式方程重难点概要和易错题型分析(答案不全)
分式与分式方程【分享主题】一、基础知识概要二、重点难点问题概要三、易错点分析四、巩固练习【基础知识概要】一、分式①、分式定义及有意义的条件；②、分式的值；③、分式的基本性质；④、最简分式与约分；⑤、最简公分母与通分；⑥、分式的加减乘除四则运算法则、乘法运算、负指数幂二、分式方程①、分式方程的定义；②、分式方程的解与检验；③、分式方程的无解与增根；④、分式方程的应用题常见类型【重点难点问题概要】一、分式重点内容：①、最简分式的化简；②、最简公分母的寻找；③、分式的混合计算；④、分式的化简求值；⑤、分式的基本性质；难点知识：①、计算中的最简公分母的寻找；②、含参分析易错点分析：①、判别分式或求分式的值时，忽略分母不为0；②、互为相反数的因式在化简（约分）过程中没有注意符号； ③、计算方面：运算顺序不恰当，负号问题，去括号与添括号； ④、分式基本性质方面使用不恰当； ⑤、把分式计算当作解分式方程。
二、分式方程重点：①、解分式方程的常用方法；②、分式方程解的情况判断（非负数解，正整数解，增根与无解）；③、由实际问题抽象出分式方程。
难点：①、换元法解分式方程； ②、分式方程的增根与无解的情况理解与讨论； ③、含参方程的解的讨论；易错点分析：①、去分母时常数漏乘公分母； ②、去分母时，分子是多项式不加括号； ③、方程两边同除可能为零的整式；④、解分式方程后，忽略根的检验，未舍去增根。
【易错点分析】易错点1：识别分式不需要化简（对分式的定义理解不透）【例题】下列各式2b a -，x x 3+，πy +5，b a b a -+，)(1y x m -，xxy中，属于分式的有（ ）个A 、2B 、3C 、4D 、5【答案】C【变式练习】式子：a 32-，b a a +，2yx ，πa 1+，11--x x 中，是分式的有（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4【答案】C易错点2 ：忽略分式有意义的条件而出错【例题】若分式242+-x x 的值为0，则x 的值为( )A ．－2B ．0C ．2D ．2±【答案】C【变式练习】若0)2(611---a a 有意义，则a 的取值范围是（ ） A 、2>a B 、1<a C 、12≠≠a a 或 D 、12≠≠a a 且【答案】D易错点3：忽略除式不能为0而致错【例题】使式子4233++÷-+x x x x 有意义的x 的取值范围是________________ 【答案】3≠x 、2-≠x 且4-≠x【变式练习】若式子0)4(3-+-x x x有意义，则实数x 的取值范围是____________。
2019版八年级数学下册第五章分式与分式方程1认识分式第3课时教学课件新版北师大版
第3课时
1.理解约分的概念和理论根据. 2.会用分式的基本性质将分式约分.
分数的约分 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数.
观察下列化简过程，你能发现什么？
a2bc a2bc ab ac
ab ab ab
这一过程实际上是将分式中分子与分母的公因式约去.
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公 因式约去. 分式约分的依据是什么？ 分式的基本性质.
【例题】
例1 约分:（1）2106xxy2 y4 3 .解：原式来自4xy3 4xy3
4x 5y
4x 5y
.
（2） x
2
x2 4 4x
4
.
解：原式
(x
2)(x (x 2)2
2)
x x
2 2
.
分子与分母没有公因式的分式称为最简分式.
【跟踪训练】
化简下列分式:
2x 6 2(x 3) 2
2.（盐城·中考）化简： =
【解析】x2 9 (x 3)(x 3) x 3.
x3
x3
答案：x+3
．
x2 9
x3
3.（中山·中考）化简：x2 2xy y2 1 __________.
x y 1
【解析】原式 (x y)2 1 (x y 1)(x y 1)
x y 1
x y 1
=x-y+1.
答案：x-y+1
通过本课时的学习，需要我们掌握 1.分式的基本性质； 2.约分是根据分式的基本性质的“等值”变形； 3.约分的最后的结果必须是最简分式.
北师大版八年级下册第五章：分式与分式方程专题一【认识分式】知识点+经典例题+变式训练(无答案)
第五章 分式与分式方程专题一：认识分式知识点一：概念例1：在下列式子中哪些是整式，哪些是分式？x 3-，y x ，π3y x +，y x 232，x 81-，y +53，5y x -，a a 1-，5-，xx 2，）（1232+x ，x y 1+，ba ab •。
挑战自我，勇攀高分1.下列代数式：3a ，x x 12+，）b a y -(1，πx ，2y x +中分式有（ ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个知识点二：分式有意义和无意义的条件例1：当x 取什么值时，分式235+-x x 有意义？例2：分式)3)(2(1---x x x 有意义，则x 应满足条件是（ ） A 、x ≠1 B 、x ≠2 C 、x ≠2且x ≠3 D 、x ≠2或x ≠3.例3：若分式2312++-x x x 的值等于零，则=x _________。
例4：对于分式13-+x a x ，当x=-a 时，下列结论正确的是（ ） A 、分式无意义 B 、分式的值为0C 、当a ≠-31时，分式的值为0 D 、当a ≠31时，分式的值为0.挑战自我，勇攀高分1.若分式12-x 有意义，则x 的取值范围是（ )A 1≠xB 1>xC 1=xD 1<x2.若分式1122+-a a 有意义，则（ ） Ａ、ａ≠１ Ｂ、ａ≠－１ Ｃ、ａ≠±１ Ｄ、ａ为任何数3.若分式1-x x 无意义,则x 的值是( ) A. 0 B. 1 C. -1 D.1±4.分式112+-x x 的值为0.则（ ） A 1-=x B 1=x C 1±=x D 0=x5.对于分式xb a b a x 32+-++，已知当1=x 时，分式的值为0；当2-=x ，分式无意义，试求a ，b 的值。
知识点三：分式的基本性质例1：填空（1）22322+=+x x x x ；（2）2)(y x y x y x +=+-；（3）b a ab ab a -=-2知识点四：约分与最简分式例1：化简下列各式：（1）xyy x 2；（2）2205b ab ；（3）12122+--x x x 。
初中数学八年级下册第五章分式与分式方程5.2分式的乘除法课件新版北师大版
其中a=2
019.
解:原式=
aa aa
3 a 1 g
1a
a 3
1 ga
a
1 1
=(a-1)·a 1=a+1,
a 1
当a=2 019时,原式=2 020.
【我要做学霸】 分式的乘除运算应注意的四类问题 (1)理解法则,若进行除法运算,先转化成_乘__法__运算. (2)分子、分母能因式分解的先因式分解,然后再_约__ _分__.
A. a c ac b d bd
C. x y y x xy yx
B.( 2a ab
)2
4a 2 a2 b2
D.
m4 n5
gmn 43
m n
1
★2.化简: a b ÷(a2-b2)=___a__b__3 _. a b2
★★3.先化简,再求值:
a2 3a a2 a
aa231gaa
1， 1
【新知预习】 阅读教材P114-115,归纳结论: 1.分式的乘、除法运算法则
你发现的规律是: (1)分式乘分式,把_分__子__乘__分__子__,_分__母__乘__分__母__分别作为
积的分子、分母. (2)分式除以分式,把除式的分子、分母_颠__倒__位__置__后与 被除式_相__乘__. (3)分式乘除运算的结果要化成_最__简__分__式__或整式.
2xxyy2（g x
y）＝2x y xy
2g 3y
3y
y
y
5 4
.?
【变式二】课堂上,老师给大家出了这样一道题,“当x
分别取3,-
2 ,7+
3 时,求分式
x
2
2x x2 1
1
2x 2 x 1
北师大版数学八年级下册 第五章分式与分式方程总复习课件.ppt
x－1
x2－x
x2－4x＋4＝x（x－2）2.
复习要点
要点三：分式的化简求值 例3： 先化简再求值：(a＋1－4aa－－15)÷(a1－a21－a)，其中 a＝2＋ 3.
a2－1－4a＋5 a－1－1 解：原式＝ a－1 ÷a（a－1）
a2－4a＋4 a（a－1） ＝ a－1 · a－2
（a－2）2 a（a－1） ＝ a－1 · a－2
复习要点
要点一：分式的有关概念
x2 1
例1：当x取何值时，分式 (x 1)(x 2)
无意义？
x2 1
有意义？当x取何值时，分式 (x 1)(x 2)
解：由分母（x-1）（x-2）=0
x=1或2
∴x=1或2时，原分式无意义；
x≠1且x≠2时，原分式有意义.
易错提示:
(x
x2 1 1)(x
A．0
B．1
C．－1
D．±1
2．下列分式中是最简分式的是( A )
2x A.x2＋1
B.42x
x－1 C.x2－1
D.1x－ －x1
3.已知关于 x 的分式方程x－m 1＋1－3 x＝1 的解是非负数，则 m 的取值范围是( C )
A．m＞2
B．m≥2
C．m≥2 且 m≠3
D．m＞2 且 m≠3
课后作业
随堂检测
6. 五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某 爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共2 000件送 往灾区，已知每件甲 种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买 乙种物品的件数相同．求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
北师大版八年级数学下册第五章 分式与分式方程1 第1课时 分式的有关概念
解：(1)当 a = 1时，
2a 1 2 1 1
a 1
当 a = 2 时，
2a 1
a 1
当 a = -1 时，
2a 1
2 1
2 2 1
1；
1 1
0；
2 ( 1) 1
（2）当分母的值等于零时，分式没有意义，
除此之外，分式都有意义.
由分母 2a -1 = 0，得 a
所以，当 a
1
.
2
a 1
1
时，分式 2a 1 有意义.
=
造林的面积
2400
实际完成造林任务
=
所需的时间(月)
x 30
1
分式的概念
合作探究
(1) 2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一
时段内的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，
后 b 天日均参观人数 45 万人 . 这 ( a + b ) 天日均参观
人数为多少万人?
35a 45b
新知一览
认识分式
分式的乘除法
分
式
分式的加减法
分式方程
分式的有关概念
分式的基本性质
同分母分式的加减
异分母分式的加减
分式的混合运算
分式方程的概念及列分式方程
分式方程的解法
分式方程的应用
第五章
5.1
分 式
认识分式
第1课时 分式的有关概念
面对日益严重的土地沙化问题，某县决定在一定期
内固沙造林 2400 hm2 ，实际每月固沙造林的面积比原
计划多 30 hm2 ，结果提前完成任务.
如果设原计划每月固沙造林 x hm²，
(1) 那么原计划完成造林任务需要多少
八年级数学下册第五章分式与分式方程1认识分式教学课件新版北师大版
教学课件
数学 八年级下册 BS
第五章 分式与分式方程
5.1认识分式
第1课时
1.知道分式的概念,明确分式和整式的区别. 2.掌握分式有意义、无意义的条件及分式的值为0的
条件.
小明在做练习题时遇到这样一道题目:下列式子中哪些是整式?
① 3x+4y,② 4a,③ ������+������,④ 8m2,⑤ ������ ,⑥ x-2,⑦ ������+������.
A.都正确
B.小强正确,小亮不正确
C.都不正确
D.小亮正确,小强不正确
2.请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式,并化简. x2-4xy+4y2 ; x2-4y2 ; x-2y.
解:如������2-4������������+4������2= (������-2������)2 =������-2������ .
小强:原式=(2������+������)(2������-������)=2a-b;
2������+������
小亮:原式=(4������2-������2)(2������-������)=2a-b.
(2������+������)(2������-������)
对于他俩的解法,你的看法是( B )
������+���;1=2或x+1=3或x+1=6,
即x=0或x=1或x=2或x=5.
2.已知分式 ������������ ,问 a 取何值时,
������-������������
(1)分式的值为 0;
(2)分式的值是正数;
(3)分式的值是负数; (4)分式无意义.
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1
第五章 分式与分式方程
1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式。
1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可
不含字母。
2) 分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零。
3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零
2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示 或 其中A、B、C为整式（0C）
注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变
形式。
（2）应用基本性质时，要注意C≠0，以及隐含的B≠0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部
分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式
1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变
分式的值。
2) 最简分式：分子与分母没有公因式的分式
3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变
分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4) 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最
简公分母。
4. 分式的符号法则
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变。用式子表示为
注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的
部分项的符号。
5.分式的运算：
1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
3）分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
4）分式乘方、乘除混合运算：先算乘方，再算乘除，遇到括号，先算括号内的，不含括
号的，按从左到右的顺序运算
5）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减
,ababacadbcadbccccbdbdbdbd
7. 整数指数幂.
1） 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10aa；
bcadcdbadcbabdacdcb
a
;
n
n
n
b
aba
)(
CBCABA
CBCABA
2
2） 任何一个不等于零的数的-n次幂（n为正整数），等于这个数的n次幂的倒数，即
n
naa1
（)0a
注：分数的负指数幂等于这个分数的倒数的正整数指数幂。即
3） 科学计数法：把一个数表示为a×10n (1≤∣a∣＜10,n为整数)的形式，称为科学计
数法。
注：（1）绝对值大于1的数可以表示为a×10n 的形式，n为正整数；
（2）绝对值小于1的数可以表示为a×10-n的形式，n为正整数.
（3）表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是1n
（4）表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包
括小数点前面的一个0)
4) 正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数)
（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa)(;（3）积的
乘方：nnnbaab)(；
（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa( a≠0)；（5）商的乘方：nnnbaba)(；(b
≠0)
8. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
1) 增根：分式方程的增根必须满足两个条件：
（1）增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。
2）分式方程的解法：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；
(4)验根．
注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就
产生了增根，因此分式方程一定要验根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
3）烈分式方程解实际问题
（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本
身和实际问题两个方面进行检验。
（2）应用题基本类型；
a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
e．相遇问题 f.追及问题
相遇路程＝速度和×相遇时间 追及距离＝速度差×追及时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和 追及时间＝追及距离÷速度差
速度和＝相遇路程÷相遇时间 速度差＝追及距离÷追及时间
g流水问题 h浓度问题
顺流速度＝静水速度＋水流速
溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
逆流速度＝静水速度－水流速度
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3
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
m利润与折扣问题 利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)