人教版八年级数学分式知识点与典型例题
人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析

人教版八年级数学上册《分式》知识点复习及典例解析《分式》知识点复习及典例解析一、复习目标1.理解并记住分式的乘法法则、除法法则,会进行简单的分式乘除法计算.能解决一些与分式的乘除运算有关的简单的实际问题.2.了解同分母分式的加减法法则,会进行同分母分式的加减运算,理解通分的意义,会通过通分把异分母的分式加减转化为同分母的分式加减.3.能熟练地进行分式的加减乘除混合运算,提高类比的能力和代数化归的能力.4.了解分式方程的概念,掌握解一元一次方程的分式方程的方法,了解产生增根的原因,会检捡一个数是不是分式方程的增根.5.能够列出可化为一元一次方程的分式方程解简单实际问题.二、重点难点重点:分式乘除法、加减法法则的应用. 分式方程的概念,分式方程的解法难点:异分母分式加减法. 解分式方程时,去分母可能会出现增根。
三、知识概要1. 分式的乘除乘法法则:分式乘分式时,分子的积作积的分子,分母的积作积的分母. 除法法则:分式除以分式,把除式的分子和分母颠倒位置后与被除式相乘. 式子表示:.;bcad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? 2. 分式的加减(1)分式的通分:把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫通分.(2)法则:同分母分式相加减,分母不变,分子相加减.异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.式子表示:;c b a c b c a ±=±.bdbc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=± 3.分式方程的概念分式是一种表示具体情境中数量的模型,分式方程则是表示这些数量关系之间相等关系的模型,分式方程是分母中含有未知数的方程.4.分式方程的解法分式方程是转化为一元一次方程来求解,它是通过去分母实现转化的.主要步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为1,检验.因为分式方程可能产生增根,所以解分式方程最后一步“检验”,检查所解整式方程的根到底是不是分式方程的根.5.去分母的技巧解分式方程的基本思路是“转化”,即把分式方程化为我们熟悉的整式方程,转化的途径是“去分母”,即方程两边都乘以最简公分母.去分母是解分式方程的第一步,也是关键的一步,当分式方程中分式的分母是一次式时,可直接确定最简公分母,方程两边同乘以最简公分母后实现去分母,当各分式的分母中有二次式时,要先进行因式分解,再确定最简公分母,然后再去分母.6.验根的方法因为解分式方程可能出现增根,所以验根是必要的,验根的方法有两种,一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验,这种方法道理简单,而且可以检查解方程时有无计算错误,另一种是把求得的末知数的值代入最简公分母,看分母的值是否为零,这种方法比较简便,但不能检查解方程过程中出现的计算错误.7.列分式方程解决实际问题的方法步骤(1)、审:分析问题,寻找已知、未知及相相等关系,(2)、设:设恰当的未知数(3)、列:根据相等关系列出分式方程(4)、解:求出所列方程的解(5)、验:首先检验所求的解是不是分式方程的解,然后检验所求的解是否与实际符合(6)、答:写出答案.四、典例解析考点一、分式概念的运用例1.若分式||33x x --的值为零,则x 的值等于。
第1讲 分式的概念及性质 讲义 (知识精讲+典题精练)2023-2024学年人教八年级数学上册

第1讲分式的概念及性质【中考考纲】【知识框架】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用分式的概念分式的概念√分式有意义的条件√分式值为零的条件√分式值的符号讨论√分式的基本性质分式的基本性质√分式的概念分式的基本性质分式有意义的条件分式值为零的条件分式值的符号讨论分式分式的概念1【知识精讲】一、分式的概念1.一般地,用A ,B 表示两个整式,A B 就可以表示成BA的形式.如果B 中含有字母,式子AB就叫做分式.2.分式有意义的条件:分式的分母不为零;3.分式的值为零的条件:分式的分子为零且分母不为零;4.分式值为正的条件:分式的分子分母符号相同(两种情况);5.分式值为负的条件:分式的分子分母符号不同(两种情况).【经典例题】【例1】下列各代数式:1x ,2x ,5xy ,()12a b +,x π,211x -,22a b a b --,13a-,1x y -中,整式有_____________,分式有_____________.【例2】若分式21x -有意义,则x 的取值范围是_____________.【例3】要使式子3234x x x x ++÷--有意义,则x 的取值是_____________.【例4】使分式2211a a -+有意义的a 的取值是__________.【例5】当3x =-时,下列分式中有意义的是().A.33x x +- B.33x x -+ C.()()()()3232x x x x +++- D.()()()()3232x x x x -++-【例6】x ,y 满足关系_____________时,分式x yx y-+ 无意义.【例7】当x =_________时,分式33x x -+的值是零.【例8】当x =_________时,分式293x x --的值为零.【例9】若分式223-1244x x x ++的值为0,则x 的值为_________.【例10】x 为何值时,分式2||656x x x ---:(1)值为零;(2)分式无意义?【例11】若分式21-2x x a+无论x 取何值时,分式的值恒为正,则a 的取值范围是_________.【例12】若使分式1-1m 的值为整数,这样的m 有几个?若使分式1-1m m +的值为整数,这样的m 有几个?【例13】若分式1||x a+对任何数x 的都有意义,求a 的取值范围.【例14】要使分式11x x-有意义,则x 的取值范围是_________.【例15】当x 取何值时,分式226x x -+的值恒为负?【例16】当x 取什么值时,分式25xx -值为正?2【知识精讲】一、分式的基本性质1.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式,分式的值不变,用式子表示A A CB B C⋅=⋅,A A CB B C÷=÷(0C≠),其中A,B,C为整式.2.注意:(1)利用分式的基本性质进行分式变形是恒等变形,不改变分式值的大小,只改变形式;(2)应用基本性质时要注意0C≠,以及隐含的0B≠;(3)注意“都”,分子分母要同时乘以或除以.3.分式的通分和约分:关键是先分解因式.【经典例题】【例17】把分式yx中的x 和y 都扩大3倍,则分式的值______.【例18】如果把分式10xyx y+中的x ,y 都扩大十倍,则分式的值().A .扩大100倍B .扩大10倍C .不变D .缩小到原来的110【例19】对于分式11x -,恒成立的是().A.1212x x =--B .21111x x x +=--C .()21111x x x -=--D .1111x x -=-+【例20】下列各式中,正确的是().A .a m ab m b+=+B .0a ba b+=+C .1111ab b ac c +-=--D .221x y x y x y+=--【例21】与分式a ba b-+--相等的是().A .a b a b+-B .a b a b-+C .a b a b+--D .a b a b--+【例22】将分式253x yx y -+的分子和分母中的各项系数都化为整数,得().A .235x y x y -+B .1515610x y x y -+C .1530610x y x y -+D .253x y x y-+【例23】已知23a b =,求a bb+的值?【例24】化简:2323812a b cab c =________________.【例25】化简:22442y xy x x y-+=-________________.【例26】已知一列数1a ,2a ,3a ,4a ,5a ,6a ,7a ,且18a =,75832a =,356124234567a a a a a a a a a a a a =====,则5a 为().A .648B .832C .1168D .1944【例27】如果115x y +=,则2522x xy y x xy y-+=++____________.【例28】已知a b c d b c d a ===,则a b c da b c d-+-+-+的值是__________.【例29】化简:43211x x x x -+++.【例30】已知2215x x =+,求241x x +的值.【随堂练习】【习题1】若分式42121x x x --+的值为0,则x 的值是___________.【习题2】求证:无论x 取什么数,分式223458x x x x ---+一定有意义.【习题3】已知()1xf x x=+,求下列式子的值.111()()()(1)(0)(1)(2)(2011)(2012)201220112f f f f f f f f f ++++++++++ 【习题4】x 取______________值时,112122x +++有意义.【习题5】已知34y x =,求代数式2222352235x xy y x xy y -++-的值.【课后作业】【作业1】已知,,0a b c ≠,且0a b c ++=,则111111a b c b c c a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是__________.【作业2】已知20y x -=,求代数式()()()()22222222xy x xy y xxy yxy+-+++-的值.【作业3】若实数x ,y 满足0xy ≠,则y xm x y=-的最大值是多少?【作业4】已知a ,b 为实数,且1ab =,设11a b P a b =---,1111Q a b =---,试比较P 和Q 的大小.【作业5】如果整数a (1a ≠)使得关于x 的一元一次方程:232ax a a x -=++的解是整数,则该方程所有整数解的和为__________.【作业6】已知分式()()811x x x -+-的值为零,则x 的值是__________.【作业7】要使分式241312a a a-++有意义,则a 的值满足__________.【作业8】已知210a a --=,且4232232932112a xa a xa a -+=-+-,求x 的值.。
八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)

八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数,则a的取值正确的是()A.a<6且a≠2B.a>6且a≠1C.a<6D.a>6答案:A分析:表示出分式方程的解,由解为正数确定出a的范围即可.解:分式方程整理得:2x−1−ax−1=4,去分母得:2−a=4x−4,解得:x=6−a4,由分式方程的解为正数,得到6−a4>0,且6−a4≠1,解得:a<6且a≠2.故选:A.小提示:此题考查了分式方程的解,始终注意分母不为0这个条件.2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根,则m的值为()A.2B.3C.4D.5答案:D分析:根据分式方程有增根可求出x=3,方程去分母后将x=3代入求解即可.解:∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根,∴x=3,去分母,得m+4=3x+2(x−3),将x=3代入,得m+4=9,解得m=5.故选:D.小提示:本题考查了分式方程的无解问题,掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键.3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍,则分式的值( )A .扩大到原来的3倍B .扩大到原来的6倍C .缩小为原来的13D .不变 答案:D分析:根据分式的基本性质即可求出答案.解:∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ,∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍,则分式的值不变,故选:D .小提示:本题考查分式的基本性质,解题的关键是熟练运用分式的基本性质,本题属于基础题型.4、计算x x+1+1x+1的结果是( )A .x x+1B .1x+1C .1D .−1答案:C分析:根据同分母分式的加法法则,即可求解.解:原式=x+1x+1=1, 故选C .小提示:本题主要考查同分母分式的加法法则,掌握”同分母分式相加,分母不变,分子相加“是解题的关键.5、若a +b =5,则代数式(b 2a ﹣a )÷(a−b a )的值为( )A .5B .﹣5C .﹣15D .15 答案:B分析:原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,约分得到最简结果,把已知等式代入计算即可求出值.∵a +b =5,∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5, 故选:B .小提示:考查分式的化简求值,掌握减法法则以及除法法师是解题的关键,注意整体代入法在解题中的应用.6、某工厂新引进一批电子产品,甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品,已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品,可列方程为()A.300x =200x+30B.300x−30=200xC.300x+30=200xD.300x=200x−30答案:C分析:乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品,根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效,列出方程即可.乙工人每小时搬运x件电子产品,则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品,依题意得:300x+30=200x,故选C.小提示:本题考查了分式方程的应用,弄清题意,根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键..7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3,则常数a的值为()A.a=2B.a=−2C.a=−1D.a=1答案:D分析:根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可.解:∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3,∴23−a−1=0,∴2=3−a,∴a=1,经检验,a=1是方程23−a−1=0的解,故选:D.小提示:本题主要考查了利用分式方程的解求参数,熟练掌握相关方法是解题关键.8、解方程2x−13=x+a2−1时,小刚在去分母的过程中,右边的“-1”漏乘了公分母6,因而求得方程的解为x=2,则方程正确的解是( )A .x =−3B .x =−2C .x =13D .x =−13答案:A分析:先按此方法去分母,再将x=-2代入方程,求得a 的值,然后把a 的值代入原方程并解方程.解:把x =2代入方程2(2x -1)=3(x +a )-1中得:6=6+3a -1,解得:a =13,正确去分母结果为2(2x -1)=3(x +13)-6, 去括号得:4x -2=3x +1-6,解得:x =-3.故选:A小提示:本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程.使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解.把方程的解代入原方程,等式左右两边相等.9、下列运算正确的是( )A .2a +3b =5abB .(−ab)2=a 2bC .a 2⋅a 4=a 8D .2a 6a 3=2a 3答案:D分析:根据合并同类项法则,同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答. 解:A 、2a 与3b 不是同类项,不能合并,故本选项错误;B 、原式=a 2b 2,故本选项错误;C 、原式=a 6,故本选项错误;D 、原式=2a 3,故本选项正确.故选D .小提示:本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则,熟练掌握性质和法则是解题的关键.10、下列分式中是最简分式的是( )A .2x 2B .42xC .x−1x 2−1D .x−1(x−1)2答案:A分析:一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式,四个选项逐个分析排除,只有选项A是最简分式,选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1,都不是最简分式.选项A不能约分,是最简分式;选项B中分子分母有公因数2,可约分,不是最简分式;选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1),分子分母有公因式x−1,可约分,不是最简分式;选项D中分子分母有公因式x−1,可约分,不是最简分式;故选:A.小提示:本题主要考查了最简分式的概念,最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式,有时需要将分子分母进行因式分解再判断.填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____.答案:−1分析:根据分式的减法法则即可得.解:原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1,所以答案是:−1.小提示:本题考查了分式的减法,熟练掌握运算法则是解题关键.12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解,则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________.答案:2分析:先求出每个不等式的解集,然后根据不等式组无解求出m的取值范围,再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案.解:解不等式2x>2得:x>1,解不等式3x <m +1得:x <m+13, ∵不等式组无解,∴m+13≤1,∴m ≤2;y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ,解得y =4−m 2,∵m ≤2,∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1,又∵y −1≠0,∴y >1,∴y 的最小整数解为2,所以答案是:2小提示:本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数,解分式方程,熟知相关计算法则是解题的关键.13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________.答案:x =1分析:原方程去分母得到整式方程,求解整式方程,最后检验即可.解:22x−1+x 1−2x =1, 22x−1﹣x 2x−1=1, 方程两边都乘2x ﹣1,得2﹣x =2x ﹣1,解得:x =1,检验:当x =1时,2x ﹣1≠0,所以x =1是原方程的解,即原方程的解是x=1,所以答案是:x=1.小提示:本题考查了解分式方程,把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键,注意解分式方程不一定要检验.14、若|a|=2,且(a−2)0=1,则2a的值为_______.##0.25答案:14分析:根据绝对值的意义得出a=±2,根据(a−2)0=1,得出a−2≠0,求出a的值,即可得出答案.解:∵|a|=2,∴a=±2,∵(a−2)0=1,∴a−2≠0,即a≠2,∴a=−2,∴2a=2−2=1.4所以答案是:1.4小提示:本题主要考查了绝对值的意义,零指数幂有意义的条件,根据题意求出a=−2,是解题的关键.15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____.答案:﹣3.9×10﹣2分析:先根据科学记数法表示该数,再保留两个有效数字即可.解:﹣0.03896=﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2,所以答案是:﹣3.9×10﹣2.小提示:此题考查了科学记数法的表示方法,有效数字的概念,正确理解各知识点是解题的关键.解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展,某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校.实际购买时,每个篮球的价格比原价降低了20元,结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球,每个篮球的原价是多少元?答案:每个篮球的原价是120元.分析:设每个篮球的原价是x 元,则每个篮球的实际价格是(x ﹣20)元,根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答.解:设每个篮球的原价是x 元,则每个篮球的实际价格是(x ﹣20)元,根据题意,得12000x =10000x−20.解得x =120.经检验x =120是原方程的解.答:每个篮球的原价是120元.小提示:本题考查了分式方程的应用,根据题意列出方程是解题的关键.17、若a ,b 为实数,且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0,求3a ﹣b 的值. 答案:2分析:根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0,解方程组可得a,b,再代入求值.解:∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0,∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0,解得{a =2b =4, ∴3a ﹣b=6﹣4=2.故3a ﹣b 的值是2.小提示:本题考核知识点:分式性质,非负数性质.解题关键点:理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料:对于非零实数a ,b ,若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零,则解得x 1=a ,x 2=b .又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣(a +b ),所以关于x 的方程x +ab x =a +b 的解为x 1=a ,x 2=b . (1)理解应用:方程x 2+2x =3+23的解为:x 1= ,x 2= ;(2)知识迁移:若关于x 的方程x +3x =5的解为x 1=a ,x 2=b ,求a 2+b 2的值;(3)拓展提升:若关于x 的方程4x−1=k ﹣x 的解为x 1=t +1,x 2=t 2+2,求k 2﹣4k +2t 3的值. 答案:(1)3,23;(2)19;(3)12. 分析:(1)根据题意可得x =3或x =23;(2)由题意可得a +b =5,ab =3,再由完全平方公式可得a 2+b 2=(a +b )2-2ab =19;(3)方程变形为x -1+4x−1=k -1,则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1,则有t (t 2+1)=4,t +t 2+1=k -1,整理得k =t +t 2+2,t 3+t =4,再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t (t 3+t )+4t 3-4=4(t 3+t )-4=12.(1)解:∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ,x 2=b ,∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23,所以答案是:3,23;(2)解:∵x +3x =5,∴a +b =5,ab =3,∴a 2+b 2=(a +b )2-2ab =25-6=19; (3)解:4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1,∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1,x 2=t 2+2,则有x -1=t 或x -1=t 2+1,∴t (t 2+1)=4,t +t 2+1=k -1, ∴k =t +t 2+2,t 3+t =4, k 2-4k +2t 3=k (k -4)+2t 3=(t+t2+2)(t+t2-2)+2t3=t4+4t3+t2-4=t(t3+t)+4t3-4=4t+4t3-4=4(t3+t)-4=4×4-4=12.小提示:本题考查了分式方程的解,理解题意,灵活求分式方程的解,并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键.。
人教版八年级数学上册分式(含知识点)

⑴边边边( ):三边对应相等的两个三角形全等.
⑵边角边( ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑶角边角( ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
⑷角角边( ):两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
⑸斜边、直角边( ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形
⑷多边形的外角和:多边形的外角和为360°.
⑸多边形对角线的条数:①从 边形的一个顶点出发可以引 条对角
线,把多边形分成 个三角形.② 边形共有 条对角线.
第十二章 全等三角形
一、知识框架:
二、知识概念:
1.基本定义:
⑴全等形:能够完全重合的两个图形叫做全等形.
⑵全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
⑶对应顶点:全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.
⑷对应边:全等三角形中互相重合的边叫做对应边.
⑸对应角:全等三角形中互相重合的角叫做对应角.
2.基本性质:
⑴三角形的稳定性:三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就全确定,这个性质叫做三角形的稳定性.
⑵全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.
⑶经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程.
第十三章 轴对称
一、知识框架:
二、知识概念:
1.基本概念:
⑴轴对称图形:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相
重合,这个图形就叫做轴对称图形.
⑵两个图形成轴对称:把一个图形沿某一条直线折叠,如果它能够与另一
个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.
一、知识框架 :
二、知识概念:
1.分式:形如 , 是整式, 中含有字母且 不等于0的整式叫做分式.其中 叫做分式的分子, 叫做分式的分母.
八年级上册数学15.3第2课时列分式方程解决实际问题

课堂练习
7.为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作,某中学以 体育为突破口,准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球 ,用于学校球类比赛活动.每个足球的价格都相同,每个篮球的价 格也相同.已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元,用1200元购买 足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍. (1)足球和篮球的单价各是多少元?
.
甲队 乙队
工作时间(月) 工作效率
1 1
1
2
3
1
1
2
x
工作总量(1)
(1 1 ) 1 23
11 2x
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
等量关系: 甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
(1 1 ) 1
11
23
2x
列得分式方程:1 1 1 1 1 1.
2 3 2 x
探索新知
解得 x sv
.
50
检验:由v,s都是正数,得 x sv
时,x(x+v)≠0.
50
所以,原分式方程的解为 x sv
.
50
答:提速前列车的平均速度为 sv
50
km/h.
探索新知
知识点 列分式方程解决实际问题
列分式方程解决实际问题的一般步骤 1.审:审清题意,分清题中的已知量、未知量; 2.找:找出题中的相等关系, 3.设:设出恰当的未知数,注意单位和语言的完整性; 4.列:根据题中的相等关系,正确列出分式方程; 5.解:解所列分式方程;
.
﹣
=30
课堂练习
6.某网店开展促销活动,其商品一律按8折销售,促销期间用400元 在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件.问:该商品打折前每 件多少元?
初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二分式所有知识点总结和常考题知识点:1.分式:形如AB,A B 、是整式,B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 2.分式有意义的条件:分母不等于0. 3.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变.4.约分:把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数)约去,这种变形称为约分.5.通分:异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式,约分时,一般将一个分式化为最简分式.7.分式的四则运算:⑴同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为:a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为: a c ad cb b d bd±±= ⑶分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为:a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则:两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为:a c a d adb d bc bc÷=⨯=⑸分式的乘方法则:分子、分母分别乘方.用字母表示为:nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂:⑴m n m n a a a +⨯=(m n 、是正整数) ⑵()nm mn aa =(m n 、是正整数)⑶()nn n ab a b =(n 是正整数)⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠,m n 、是正整数,m n >)⑸nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭(n 是正整数)⑹1nnaa-=(0a≠,n是正整数)9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).常考题:一.选择题(共14小题)1.在式子、、、、、中,分式的个数有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个2.化简的结果是()A.x+1 B.x﹣1 C.﹣x D.x3.如果把分式中的x和y都扩大2倍,则分式的值()A.扩大4倍B.扩大2倍C.不变D.缩小2倍4.把分式方程的两边同时乘以(x﹣2),约去分母,得()A.1﹣(1﹣x)=1 B.1+(1﹣x)=1 C.1﹣(1﹣x)=x﹣2 D.1+(1﹣x)=x﹣25.化简÷(1+)的结果是()A.B. C.D.6.计算的结果为()A.B. C. D.7.已知关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是()A.m>2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠38.下列运算正确的是()A.a2•a3=a6 B.()﹣1=﹣2 C.=±4 D.|﹣6|=69.某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为()A.B.C.D.10.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是()A.B.C.D.11.如图,设k=(a>b>0),则有()A.k>2 B.1<k<2 C.D.12.A,B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B地,又立即从B地逆流返回A地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程()A.B.C.+4=9 D.13.计算的结果为()A.1 B.x+1 C. D.14.若分式(A,B为常数),则A,B的值为()A.B.C.D.二.填空题(共13小题)15.计算:=.16.若分式有意义,则实数x的取值范围是.17.分式方程的解x=.18.若代数式的值为零,则x=.19.化简的结果是.20.化简:=.21.计算÷(1﹣)的结果是.22.若关于x的方程=+1无解,则a的值是.23.已知关于x的方程的解是正数,则m的取值范围是.24.a、b为实数,且ab=1,设P=,Q=,则P Q(填“>”、“<”或“=”).25.如果实数x满足x2+2x﹣3=0,那么代数式的值为.26.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产台机器.27.杭州到北京的铁路长1487千米.火车的原平均速度为x千米/时,提速后平均速度增加了70千米/时,由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时,则可列方程为.三.解答题(共13小题)28.先化简,再求值:,其中.29.先化简代数式,然后选取一个使原式有意义的a值代入求值.30.已知x﹣3y=0,求•(x﹣y)的值.31.解方程:.32.先化简,再求值:,其中x是不等式3x+7>1的负整数解.33.先化简÷(a+1)+,然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值.34.解分式方程:+=1.35.已知A=﹣(1)化简A;(2)当x满足不等式组,且x为整数时,求A的值.36.甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队继续施工,为了不影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的2倍,要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍,那么甲队至少再单独施工多少天?37.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?38.从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.(1)求普通列车的行驶路程;(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.39.学校计划选购甲、乙两种图书作为“校园读书节”的奖品.已知甲图书的单价是乙图书单价的1.5倍;用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元?(2)若学校计划购买这两种图书共40本,且投入的经费不超过1050元,要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量,则共有几种购买方案?40.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车,随着汽车的普及,其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元,如果卖出相同数量的A款汽车,去年销售额为100万元,今年销售额只有90万元.(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元?(2)为了增加收入,汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车,已知A款汽车每辆进价为7.5万元,B款汽车每辆进价为6万元,公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆,有几种进货方案?(3)如果B款汽车每辆售价为8万元,为打开B款汽车的销路,公司决定每售出一辆B款汽车,返还顾客现金a万元,要使(2)中所有的方案获利相同,a 值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?初二分式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一.选择题(共14小题)1.(2012春•潜江期末)在式子、、、、、中,分式的个数有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母,如果含有字母则是分式,如果不含有字母则不是分式.【解答】解:、、9x+这3个式子的分母中含有字母,因此是分式.其它式子分母中均不含有字母,是整式,而不是分式.故选:B.【点评】本题考查的是分式的定义,在解答此题时要注意分式是形式定义,只要是分母中含有未知数的式子即为分式.2.(2014•南通)化简的结果是()A.x+1 B.x﹣1 C.﹣x D.x【分析】将分母化为同分母,通分,再将分子因式分解,约分.【解答】解:=﹣===x,故选:D.【点评】本题考查了分式的加减运算.分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可;如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.3.(2012•岳麓区校级自主招生)如果把分式中的x和y都扩大2倍,则分式的值()A.扩大4倍B.扩大2倍C.不变D.缩小2倍【分析】把分式中的x和y都扩大2倍,分别用2x和2y去代换原分式中的x和y,利用分式的基本性质化简即可.【解答】解:把分式中的x和y都扩大2倍后得:==2•,即分式的值扩大2倍.故选:B.【点评】根据分式的基本性质,无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数,都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项.4.(2005•扬州)把分式方程的两边同时乘以(x﹣2),约去分母,得()A.1﹣(1﹣x)=1 B.1+(1﹣x)=1 C.1﹣(1﹣x)=x﹣2 D.1+(1﹣x)=x﹣2【分析】分母中x﹣2与2﹣x互为相反数,那么最简公分母为(x﹣2),乘以最简公分母,可以把分式方程转化成整式方程.【解答】解:方程两边都乘(x﹣2),得:1+(1﹣x)=x﹣2.故选:D.【点评】找到最简公分母是解答分式方程的最重要一步;注意单独的一个数也要乘最简公分母;互为相反数的两个数为分母,最简公分母为其中的一个,另一个乘以最简公分母后,结果为﹣1.5.(2013•临沂)化简÷(1+)的结果是()A.B. C.D.【分析】首先对括号内的式子通分相加,然后把除法转化成乘法,进行约分即可.【解答】解:原式=÷=•=.故选A.【点评】本题主要考查分式的混合运算,通分、因式分解和约分是解答的关键.6.(2008•黄冈)计算的结果为()A.B. C. D.【分析】先算小括号里的,再把除法统一成乘法,约分化为最简.【解答】解:==,故选A.【点评】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展,在计算时,首先要弄清楚运算顺序,先去括号,再进行分式的乘除.7.(2014•黑龙江)已知关于x的分式方程+=1的解是非负数,则m的取值范围是()A.m>2 B.m≥2 C.m≥2且m≠3 D.m>2且m≠3【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解表示出x,根据方程的解为非负数求出m的范围即可.【解答】解:分式方程去分母得:m﹣3=x﹣1,解得:x=m﹣2,由方程的解为非负数,得到m﹣2≥0,且m﹣2≠1,解得:m≥2且m≠3.故选:C【点评】此题考查了分式方程的解,时刻注意分母不为0这个条件.8.(2009•潍坊)下列运算正确的是()A.a2•a3=a6 B.()﹣1=﹣2 C.=±4 D.|﹣6|=6【分析】幂运算的性质:①同底数的幂相乘,底数不变,指数相加;②一个数的负指数次幂等于这个数的正指数次幂的倒数,算术平方根的概念:一个正数的正的平方根叫它的算术平方根,0的算术平方根是0.绝对值的性质:正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值是0.【解答】解:A、a2•a3=a5,故A错误;B、()﹣1=2,故B错误;C、=4,故C错误;D、根据负数的绝对值等于它的相反数,故D正确.故选D.【点评】本题涉及知识:负指数为正指数的倒数;任何非0数的0次幂等于1;绝对值的化简;二次根式的化简.9.(2013•本溪)某服装加工厂计划加工400套运动服,在加工完160套后,采用了新技术,工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成全部任务.设原计划每天加工x套运动服,根据题意可列方程为()A.B.C.D.【分析】关键描述语为:“共用了18天完成任务”;等量关系为:采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18.【解答】解:采用新技术前用的时间可表示为:天,采用新技术后所用的时间可表示为:天.方程可表示为:.故选:B.【点评】列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.本题要注意采用新技术前后工作量和工作效率的变化.10.(2014•黔南州)货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是()A.B.C.D.【分析】题中等量关系:货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,列出关系式.【解答】解:根据题意,得.故选:C.【点评】理解题意是解答应用题的关键,找出题中的等量关系,列出关系式.11.(2013•杭州)如图,设k=(a>b>0),则有()A.k>2 B.1<k<2 C.D.【分析】分别计算出甲图中阴影部分面积及乙图中阴影部分面积,然后计算比值即可.【解答】解:甲图中阴影部分面积为a2﹣b2,乙图中阴影部分面积为a(a﹣b),则k====1+,∵a>b>0,∴0<<1,∴1<+1<2,∴1<k<2故选B.【点评】本题考查了分式的乘除法,会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键.12.(2016•本溪一模)A,B两地相距48千米,一艘轮船从A地顺流航行至B 地,又立即从B地逆流返回A地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水中的速度为x千米/时,则可列方程()A.B.C.+4=9 D.【分析】本题的等量关系为:顺流时间+逆流时间=9小时.【解答】解:顺流时间为:;逆流时间为:.所列方程为:+=9.故选A.【点评】未知量是速度,有速度,一定是根据时间来列等量关系的.找到关键描述语,找到等量关系是解决问题的关键.13.(2005•武汉)计算的结果为()A.1 B.x+1 C. D.【分析】先算括号里的通分,再进行因式分解,将除号换为乘号,最后再进行分式间的约分化简.【解答】解:===,故选C.【点评】注意:当整式与分式相加减时,一般可以把整式看作分母为1的分式,与其它分式进行通分运算.14.(2004•十堰)若分式(A,B为常数),则A,B的值为()A.B.C.D.【分析】对等式右边通分加减运算和,再根据对应项系数相等列方程组求解即可.【解答】解:.所以,解得.故选B.【点评】此题考查了分式的减法,比较灵活,需要熟练掌握分式的加减运算.二.填空题(共13小题)15.(2014•陕西)计算:=9.【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可.【解答】解:原式===9.故答案为:9.【点评】本题考查的是负整数指数幂,即负整数指数幂等于该数对应的正整数指数幂的倒数.16.(2014•衢州)若分式有意义,则实数x的取值范围是x≠5.【分析】由于分式的分母不能为0,x﹣5为分母,因此x﹣5≠0,解得x.【解答】解:∵分式有意义,∴x﹣5≠0,即x≠5.故答案为:x≠5.【点评】本题主要考查分式有意义的条件:分式有意义,分母不能为0.17.(2013•梅州)分式方程的解x=1.【分析】本题的最简公分母是x+1,方程两边都乘最简公分母,可把分式方程转换为整式方程求解.结果要检验.【解答】解:方程两边都乘x+1,得2x=x+1,解得x=1.检验:当x=1时,x+1≠0.∴x=1是原方程的解.【点评】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,方程两边都乘最简公分母,把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式方程一定注意要代入最简公分母验根.18.(2013•临夏州)若代数式的值为零,则x=3.【分析】由题意得=0,解分式方程即可得出答案.【解答】解:由题意得,=0,解得:x=3,经检验的x=3是原方程的根.故答案为:3.【点评】此题考查了分式值为0的条件,属于基础题,注意分式方程需要检验.19.(2013•凉山州)化简的结果是m.【分析】本题需先把(m+1)与括号里的每一项分别进行相乘,再把所得结果相加即可求出答案.【解答】解:=(m+1)﹣1=m故答案为:m.【点评】本题主要考查了分式的混合运算,在解题时要把(m+1)分别进行相乘是解题的关键.20.(2013•衢州)化简:=.【分析】先将x2﹣4分解为(x+2)(x﹣2),然后通分,再进行计算.【解答】解:===.【点评】本题考查了分式的计算和化简.解决这类题关键是把握好通分与约分.分式加减的本质是通分,乘除的本质是约分.21.(2015•黄冈)计算÷(1﹣)的结果是.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.【解答】解:原式=÷=•=,故答案为:.【点评】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.22.(2013•绥化)若关于x的方程=+1无解,则a的值是2或1.【分析】把方程去分母得到一个整式方程,把方程的增根x=2代入即可求得a的值.【解答】解:x﹣2=0,解得:x=2.方程去分母,得:ax=4+x﹣2,即(a﹣1)x=2当a﹣1≠0时,把x=2代入方程得:2a=4+2﹣2,解得:a=2.当a﹣1=0,即a=1时,原方程无解.故答案是:2或1.【点评】首先根据题意写出a的新方程,然后解出a的值.23.(2013•德阳)已知关于x的方程的解是正数,则m的取值范围是m .>﹣6且m≠﹣4【分析】首先求出关于x的方程的解,然后根据解是正数,再解不等式求出m的取值范围.【解答】解:解关于x的方程得x=m+6,∵方程的解是正数,∴m+6>0且m+6≠2,解这个不等式得m>﹣6且m≠﹣4.故答案为:m>﹣6且m≠﹣4.【点评】本题考查了分式方程的解,是一个方程与不等式的综合题目,解关于x 的方程是关键,解关于x的不等式是本题的一个难点.24.(2009•枣庄)a、b为实数,且ab=1,设P=,Q=,则P =Q(填“>”、“<”或“=”).【分析】将两式分别化简,然后将ab=1代入其中,再进行比较,即可得出结论.【解答】解:∵P==,把ab=1代入得:=1;Q==,把ab=1代入得:=1;∴P=Q.【点评】解答此题关键是先把所求代数式化简再把已知代入即可.25.(2013•达州)如果实数x满足x2+2x﹣3=0,那么代数式的值为5.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再根据实数x满足x2+2x ﹣3=0求出x2+2x的值,代入原式进行计算即可.【解答】解:原式=×(x+1)=x2+2x+2,∵实数x满足x2+2x﹣3=0,∴x2+2x=3,∴原式=3+2=5.故答案为:5.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.26.(2013•呼和浩特)某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器,现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同,现在平均每天生产200台机器.【分析】根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同.所以可得等量关系为:现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间.【解答】解:设:现在平均每天生产x台机器,则原计划可生产(x﹣50)台.依题意得:=.解得:x=200.检验:当x=200时,x(x﹣50)≠0.∴x=200是原分式方程的解.∴现在平均每天生产200台机器.故答案为:200.【点评】此题主要考查了分式方程的应用,重点在于准确地找出相等关系,这是列方程的依据.而难点则在于对题目已知条件的分析,也就是审题,一般来说应用题中的条件有两种,一种是显性的,直接在题目中明确给出,而另一种是隐性的,是以题目的隐含条件给出.本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”就是一个隐含条件,注意挖掘.27.(2013•舟山)杭州到北京的铁路长1487千米.火车的原平均速度为x千米/时,提速后平均速度增加了70千米/时,由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时,则可列方程为﹣=3.【分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间,再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时,即可列出方程.【解答】解:根据题意得:﹣=3;故答案为:﹣=3.【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程,关键是读懂题意,找出题目中的等量关系并列出方程.三.解答题(共13小题)28.(2013•眉山)先化简,再求值:,其中.【分析】这道求代数式值的题目,不应考虑把x的值直接代入,通常做法是先把代数式去括号,把除法转换为乘法化简,然后再代入求值.【解答】解:原式=+(x﹣2)(3分)=x(x﹣1)+(x﹣2)=x2﹣2;(2分)当x=时,则原式的值为﹣2=4.(2分)【点评】分式混合运算要注意先去括号;分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要统一为乘法运算.29.(2005•徐州)先化简代数式,然后选取一个使原式有意义的a值代入求值.【分析】本题考查的化简与计算的综合运算,关键是正确进行分式的通分、约分,并准确代值计算.此题要注意的是a≠1.【解答】解:原式===,∵a﹣1≠0,∴a≠1,当a=2时,原式=2.【点评】此题考查了分式的化简求值,取合适的值代入原式求值时,要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义.30.(2015•甘南州)已知x﹣3y=0,求•(x﹣y)的值.【分析】首先将分式的分母分解因式,然后再约分、化简,最后将x、y的关系式代入化简后的式子中进行计算即可.【解答】解:=(2分)=;(4分)当x﹣3y=0时,x=3y;(6分)原式=.(8分)【点评】分式混合运算要注意先去括号;分子、分母能因式分解的先因式分解;除法要统一为乘法运算.31.(2013•普洱)解方程:.【分析】观察可得2﹣x=﹣(x﹣2),所以可确定方程最简公分母为:(x﹣2),然后去分母将分式方程化成整式方程求解.注意检验.【解答】解:方程两边同乘以(x﹣2),得:x﹣3+(x﹣2)=﹣3,解得x=1,检验:x=1时,x﹣2≠0,∴x=1是原分式方程的解.【点评】(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.(2)解分式方程一定注意要验根.(3)去分母时有常数项的不要漏乘常数项.32.(2013•重庆)先化简,再求值:,其中x是不等式3x+7>1的负整数解.【分析】首先把分式进行化简,再解出不等式,确定出x的值,然后再代入化简后的分式即可.【解答】解:原式=[﹣]×,=×,=×,=,3x+7>1,3x>﹣6,x>﹣2,∵x是不等式3x+7>1的负整数解,∴x=﹣1,把x=﹣1代入中得:=3.【点评】此题主要考查了分式的化简求值,以及不等式的整数解,关键是正确把分式进行化简.33.(2013•巴中)先化简÷(a+1)+,然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选取合适的a的值代入进行计算即可.【解答】解:原式=•+=+=,当a=2(a≠﹣1,a≠1)时,原式==5.【点评】本题考查的是分式的化简求值,熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.34.(2013•陕西)解分式方程:+=1.【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:2+x(x+2)=x2﹣4,解得:x=﹣3,经检验x=﹣3是分式方程的解.【点评】此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.35.(2015•广州)已知A=﹣(1)化简A;(2)当x满足不等式组,且x为整数时,求A的值.【分析】(1)根据分式四则混合运算的运算法则,把A式进行化简即可.(2)首先求出不等式组的解集,然后根据x为整数求出x的值,再把求出的x 的值代入化简后的A式进行计算即可.【解答】解:(1)A=﹣=﹣=﹣=(2)∵∴∴1≤x<3,∵x为整数,∴x=1或x=2,①当x=1时,∵x﹣1≠0,∴A=中x≠1,∴当x=1时,A=无意义.②当x=2时,A==.【点评】(1)此题主要考查了分式的化简求值,注意化简时不能跨度太大,而缺少必要的步骤.(2)此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题,要熟练掌握,解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集,然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件,再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可.36.(2013•哈尔滨)甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务,甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用10天,且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同.(1)甲、乙两队单独完成此项任务需要多少天?(2)若甲、乙两队共同工作了3天后,乙队因设备检修停止施工,由甲队继续施工,为了不影响工程进度,甲队的工作效率提高到原来的2倍,要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍,那么甲队至少再单独施工多少天?【分析】(1)设乙队单独完成此项任务需要x天,则甲队单独完成此项任务需要(x+10)天,根据甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同建立方程求出其解即可;(2)设甲队再单独施工a天,根据甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍建立不等式求出其解即可.【解答】解:(1)设乙队单独完成此项任务需要x天,则甲队单独完成此项任务需要(x+10)天,由题意,得,解得:x=20.经检验,x=20是原方程的解,∴x+10=30(天)答:甲队单独完成此项任务需要30天,乙队单独完成此项任务需要20天;(2)设甲队再单独施工a天,由题意,得,解得:a≥3.答:甲队至少再单独施工3天.【点评】本题是一道工程问题的运用,考查了工作时间×工作效率=工作总量的运用,列分式方程解实际问题的运用,分式方程的解法的运用,解答时验根是学生容易忽略的地方.37.(2015•成都)某商家预测一种应季衬衫能畅销市场,就用13200元购进了一批这种衬衫,面市后果然供不应求,商家又用28800元购进了第二批这种衬衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但单价贵了10元.(1)该商家购进的第一批衬衫是多少件?(2)若两批衬衫按相同的标价销售,最后剩下50件按八折优惠卖出,如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%(不考虑其他因素),那么每件衬衫的标价至少是多少元?【分析】(1)可设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,根据第二批这种衬衫单价贵了10元,列出方程求解即可;(2)设每件衬衫的标价y元,求出利润表达式,然后列不等式解答.【解答】解:(1)设该商家购进的第一批衬衫是x件,则购进第二批这种衬衫是2x件,依题意有+10=,解得x=120,经检验,x=120是原方程的解,且符合题意.答:该商家购进的第一批衬衫是120件.(2)3x=3×120=360,设每件衬衫的标价y元,依题意有(360﹣50)y+50×0.8y≥(13200+28800)×(1+25%),解得y≥150.答:每件衬衫的标价至少是150元.【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用,弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键.38.(2014•广州)从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是400千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍.(1)求普通列车的行驶路程;(2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍,且乘坐高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,求高铁的平均速度.【分析】(1)根据高铁的行驶路程是400千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍,两数相乘即可得出答案;(2)设普通列车平均速度是x千米/时,根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时,列出分式方程,然后求解即可;【解答】解:(1)根据题意得:400×1.3=520(千米),答:普通列车的行驶路程是520千米;(2)设普通列车平均速度是x千米/时,则高铁平均速度是2.5x千米/时,根据题意得:﹣=3,解得:x=120,。
最新人教版八年级上册数学第十五章分式第59课时分式方程的应用(1)——工程问题

典型例题
知识点1
“t1=t2”型
【例1】甲、乙两人加工同一种玩具,甲加工90个玩具所用
的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等,已知甲、乙两
人每天共加工35个玩具,求甲每天加工的玩具数.
解:设甲每天加工x个玩具,则乙每天加工
(35-x)个玩具.
由题意,得
解得x=15.经检验,x=15是原分式方程的解,且符合题意.
作10天完成了剩余的工程,乙工程队单独完成这项工程需
要几天?
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解:甲工程队单独完成这项工程需要10÷ =40(天),设乙
工程队单独完成这项工程需要x天.
依题意,得
×10=1- .
解得x=20.
经检验,x=20是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙工程队单独完成这项工程需要20天.
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A组
4. 已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同,
两人每天共做140个零件,设甲每天做x个零件,根据题意,
可列方程为
( A )
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5. 甲、乙两位同学做中国结,已知甲每小时比乙少做6个,
甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相同,求甲每
小时做中国结的个数.如果设甲每小时做x个,那么可列方
原来提高了50%,这样加工同样多的零件就少用1 h,求采用
新工艺前每小时加工的零件数.
解:设采用新工艺前每小时加工x个零件.
根据题意,可得
解得x=4.经检验,x=4是原分式方程的解.答:采用新工艺前
每小时加工4个零件.
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变式训练
2. 某车间有甲、乙两个小组,甲组的工作效率比乙组的工作效
分式典型知识点与例题总结

人教版八年级下册分式全章 知识点和典型例习题 知识点回顾知识点一:分式形如 的式子叫做分式 。
知识点二:分式B A 的值1.当 时,分式有意义;2.当 时,分式无意义;3.当 时,分式的值为0;4.当 时,分式的值为1;5.当 时, 分式的值为正;6.当 时,分式的值为负; 知识点三:分式的基本性质用式子表示 知识点四:分式中的符号法则用式子表示 知识点五: 分式的约分 约去分子、分母的最大公因式,使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时, 知识点六:分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。
1.最简公分母= 。
2.当分式的分子和分母为多项式时,知识点七:分式的乘除法法则(用式子表示)乘法法则:用式子表示 除法法则: 用式子表示 知识点八:回顾因式分解总步骤:一提二套三分组1. 提公因式: 套 平方差公式: 2 . 公 完全平方和:式 完全平方差:知识点九:分式的加减法法则 加法法则:减法法则:知识点十:分式的混合运算先 再 最后再 。
知识点十一:整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂 知识点十二:科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成 其中101<≤a 。
知识点十三:分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四:分式方程解应用题的步骤 、 、 、 、【例题】下列有理式中是分式的有(1)-3x ;(2)yx ;(3)22732xy y x -;(4)x 81-;(5)35+y ; (6)112--x x ;(7)π12--m ; (8)5.023+m ;【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中,是分式的有 个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)-3x ;(2)yx ;(3)22732xyy x -;(4)-x 81;(5) 35+y ; (6)112--x x ;(7) π-12m ; (8)5.023+m .二.分式的值 【例题】 1.当a 时,分式321+-a a 有意义;2.当_____时,分式4312-+x x 无意义;3.若分式33x x --的值为零,则x = ;4.当_______时,分式534-+x x 的值为1;5.当______时,分式51+-x 的值为正;6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1.①分式36122--x x 有意义,则x ;②当x_____时,分式1x x x-- 有意义;③当x ____时分式x x 2121-+有意义;④当x_____时,分式11x x +-有意义;⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ; 2.当x = 3时,分式bx a x +-无意义,则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零,则x 的值为 ;②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-,则x 的值为_________________; ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0;④当x= _时,分式22943x x x --+的值为0;⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零;4.当x __ 时,分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数,则x 的取值范围是__________。
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最新分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义:例:下列式子中,15 2、 9a 、 5a b、 3a 2b 2 、2- 2 、 1、 5xy1 、 1、 x 2 1、、8abx y- 23 2x y4a m6x223xy 、 3、1中分式的个数为()(A ) 2(B ) 3(C ) 4(D)xaym5练习题:( 1)下列式子中,是分式的有.⑴ 2x 7 ; ⑵ x 1 ;⑶ 5a2;⑷ x2x 2;⑸ 2 b 2 ;⑹ xy y 2 .x 52 3ab2x 2 (2)下列式子,哪些是分式?a3 ; y37x;x xy;1 b;x 2;x 2 y .54y 84 52、分式有,无意义,总有意义:(1)使分式有意义:令分母≠ 0 按解方程的方法去求解;(2)使分式无意义:令分母 =0 按解方程的方法去求解;注意:( x 2 1≠0)例 1:当 x时,分式15 有意义;例 2:分式2x1中,当 x____ 时,分式没x2 x有意义例 3:当 x时,分式1有意义。
例 4:当 x时,分式x有x 2x 211意义例 5: x , y 满足关系时,分式xy无意义;x y例 6:无论 x 取什么数时,总是有意义的分式是( )A .22xB.xC. 33x1D.x 25x12x 1xx例 7:使分式 x有意义的 x 的取值范围为()A .x2 B .x2 C .x 2D .x2x2例 8:要是分式x2没有意义,则 x 的值为()A. 2B.-1 或 -3C. -1D.3同步练习题:3、分式的值为零:使分式值为零:令分子 =0 且分母≠ 0,注意:当分子等于0 使,看看是否使分母 =0 了,如果使分母 =0 了,那么要舍去。
例 1:当 x时,分式12a的值为 0例 2:当 x时,分式x2 1 的a1x1值为 0a2的值为为零 ,则 a 的值为 () A.2 B.2C.2 D.以例 3:如果分式2a上全不对例 4:能使分式x2x的值为零的所有 x 的值是()x21A x 0B x 1C x 0 或 x 1D x0 或 x1例 5:要使分式x 29的值为 0,则 x 的值为()A.3 或-3 B.3 C.-3 5xx 26D 2例 6:若a1 0则a是()A.正数负数C.零D.任意有理数a, B.4、分式的基本性质的应用:分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0 的整式,分式的值不变。
A A CC0A A CB BC B B C例 1:xy;6x( y z)y z;如果 5(3a1)5成立 ,则 a 的取值范围是 ________;a aby3( y z) 27(3a1)7例2: ab2(1)b c(b ca3 b3a)例 3:如果把分式a2b中的 a 和 b 都扩大 10 倍,那么分式的值()a bA、扩大 10 倍B、缩小 10 倍 C 、是原来的 20 倍 D、不变例 4:如果把分式10 x中的 x,y 都扩大 10 倍,则分式的值()x yA .扩大 100 倍B .扩大 10 倍C .不变 D.缩小到原来的110例 5:如果把分式xy 中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值( )x yA 、扩大 2 倍;B 、扩大 4 倍;C 、不变;D 缩小 2倍例 6:如果把分式xy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值()xyA 、扩大 2 倍;B 、扩大 4 倍;C 、不变;D 缩小 2倍例 7:如果把分式xy中的 x 和 y 都扩大 2 倍,即分式的值()xyA 、扩大 2 倍;B 、扩大 4 倍;C 、不变;D 缩小1倍例 8:若把分式x 3y的 x 、y 同时缩小 12 倍,则分式的值(2)2xA .扩大 12 倍B .缩小 12 倍C .不变D .缩小 6 倍例 9:若 x 、y 的值均扩大为原来的 2 倍,则下列分式的值保持不变的是()A 、3xB、 3xC、 3x 2D 、 3x 32y2y 22 y2 y 2例 10:根据分式的基本性质,分式a 可变形为( )aa a baa ABCa bbDa baa b例 11:不改变分式的值, 使分式的分子、 分母中各项系数都为整数,0.2 x0.012x 0.05例 12:不改变分式的值, 使分子、分母最高次项的系数为正数,1 x=x x 215、分式的约分及最简分式:①约分的概念:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分 ②分式约分的依据:分式的基本性质.③分式约分的方法:把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式. ④约分的结果:最简分式(分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式)约分主要分为两类:第一类:分子分母是单项式的,主要分数字,同字母进行约分。
第二类:分子分母是多项式的,把分子分母能因式分解的都要进行因式分解,再去找共同的因式约去。
;。
例 1:下列式子(1)x2y 2 1 ;(2)b aa b ;(3) b a 1;(4)x y x yxyx y c a a c a bx y x y中正确的是()A 、1 个 B 、2个 C 、3个D 、4个例 2:下列约分正确的是( )A 、 x6x 3;B 、xy 0 ;C 、 x y1 ;D 、2xy 2 1x 2x yx 2 xy x4x 2 y 2例 3:下列式子正确的是 ()A 2x yB. a y1C. y z y zD. c d c d c d c d2x ya yx xx aaa例 4:下列运算正确的是()A 、 aa B 、2 41C 、 a2a D 、11 1a ba bx x 2b 2b2m m m例 5:下列式子正确的是()A . b b 2B .abC .a b 1D . 0.1a0.3ba 3ba a 2a ba b0.2a b2a b例 6:化简 m23m 的结果是( )A 、mB 、m C 、mD 、m9 m 2m 3m 3m 33 m11y4x 2 y3x1x3 3x5y;3xy 25例7:约分:6xy 2; x29 =xy;0.6x y。
例 8:约分:a 2 a 2 4=; 4xy; a(a b); x y4a 416x 2 yb(a b)(x y)2ax ay;x 2 16;x 2914a 2bc 3___________2y 22162x 63xx 8x21a bc9m 2__________5ab__________x 29__________。
m 3 20a 2 b26x 9x例 9:分式a2 , a b , 4a , 1 中,最简分式有 ( )a 2 3 a 2b 2 12(a b) x 2A .1个B .2个C. 3 个D .4个6、分式的乘,除,乘方:分式的乘法:乘法法测: a · c = ac .bd bd分式的除法:除法法则: a ÷ c = a · d = adbdbcbca) n. 分式的乘分式的乘方:求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方,用式子表示就是(b. 用式子表示为: ( a) n=a n方,是把分子、分母各自乘方n(n为正整数 )b b例题:计算:(1) 26x 225x 4(2) 16x 3 y 456 x 4(3) a a1 15x 639y 7125a10100a13a计算:(4)a b a 2b 2 a 4(5)x 2 x225(6)a21 a 1 a2ab ab a2x 5 x2424a 4 a 2a计算:(7)6x2y24x()6ab3b 2()xy2xy 3 y382a9x x y计算:(10)2x 2 5 y 10 y( 11)x21(1x)x 3( 12)3y 26x21x 2x26x 9x2xa2a21a1a2 4a 4a1计算:(13)a1 a 2411(14)2a6a33a a 2 a 22a 1 a 2 4 4a a 2a2 a 6求值题:( 1)已知:x 3,求x 2x2y 2xy y 2的值。
y42xy y 2x2xy(2)已知:x9 y y3x,求x 2y 2的值。
x 2y 2(3)已知:11 3 ,求2x3xy2 y的值。
x y x2xy y例题:2 y22a 53y 33计算:(1))3()=(3)=(3x2b2x2b 23a2b23计算:(4)=( 5)ab 4 2a 2b a(6)aa 222aa a1 a211a1求值题:( 1)已知:x y z求xy yz xz的值。
234x2y2z2( 2)已知:x210x25y 3 0 求x 2x 的值。
2xy 2 y例题:计算 ( x2y)x2y x的结果是()Ax2B x2y C1x x2y2Dx y y1 1 y例题:化简 x x 1的结果是()A.1 B. xy C.y D .y x x xy计算:(1)2x 38x x 2;(2)x22x 1 2 2x2·2a 2÷a 1 x24x 42x 4x 21x 1( 3) (a-1)2a2a 1 2a 27、分式的通分及最简公分母:通分:主要分为两类:第一类:分母是单项式;第二类:分母是多项式(要先把分母因式分解)分为三种类型:“二、三”型;“二、四”型;“四、六”型等三种类型。
“二、三”型:指几个分母之间没有关系,最简公分母就是它们的乘积。
例如:2x最简公分母就是x 2 x 2。
x 2x 2“二、四”型:指其一个分母完全包括另一个分母,最简公分母就是其一的那个分母。
例如:2x最简公分母就是 x2 4 x 2 x 2x2x24“四、六”型:指几个分母之间有相同的因式,同时也有独特的因式,最简公分母要有独特的;相同的都要有。
例如:x2最简公分母是: 2x x 22 x 2x x 2这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用,仔细的去发现之间的区别与联系。
例 1:分式1,1n 2,2的最简公分母是()m n m 2m n例 2:对分式y,x2 ,1通分时, 最简公分母是()2x 3y 4xyA .24 x 2 y 3B .12 x2 y 2C.24 xy 2D.12 xy 2例 3:下面各分式:x 21 , x y,x 1 , x 2y 2,其中最简分式有()个。
x 2x x 2y 2x 1x 2 y 2A. 4B. 3C. 2D. 1例 4:分式1, a的最简公分母是.24a 2a 4例 5:分式 a 与 1的最简公分母为 ________________;b例 6:分式1,1 的最简公分母为。
2y 2 x 2xyx8、分式的加减:分式加减主体分为:同分母和异分母分式加减。
1、同分母分式不用通分,分母不变,分子相加减。
2、异分母分式要先通分,在变成同分母分式就可以了。