【南方新中考】(南粤专用)2016中考数学+第二部分+专题七+函数与图象复习课件

点解题．解答此题的难点是利用反比例函数的几何意义，把 B
的坐标转化成对应线段求解．
代数几何综合题 例 2：(2014 年贵州黔西南州)如图 Z7-2，在平面直角坐标 系中，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3)三点， 其顶点为 D，连接 AD，点 P 是线段 AD 上一个动点(不与 A，D 重合)，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 E，连接 AE. (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点 D 的坐标； (2)如果点 P 的坐标为(x，y)，△PAE 的面积为 S，求 S 与 x 之间的函数关系式，直接写出自变量 x 的取值范围，并求出 S 的最大值；
(3)如图 Z73，设 P′F 与 y 轴交于点 N，过 P′作 P′M⊥
y 轴于点 M.
图 Z7-3
∵△PEF 沿 EF 翻折得△ P′EF，且
3 P－2，3，
∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝3，
3 PE＝P′E＝2.
∵PF∥y 轴，∴∠PFE＝∠FEN. ∵∠PFE＝∠P′FE，∴∠FEN＝∠P′FE. ∴EN＝FN. 设 ห้องสมุดไป่ตู้N＝m，则 FN＝m，P′N＝3－m. 在 Rt△P′EN 中，
②若探究①中的点 M 位于第四象限，连接点 M 与抛物线
顶点 F，试判断直线 MF 与⊙E 的位置关系，并说明理由．
图 Z7-4
解：(1)∵以E(3,0)为圆心，以5 为半径的⊙E 与x 轴交于A，
B 两点，∴A(－2,0)，B(8,0)．
如图 Z7-5，连接 CE. 在 Rt△OCE 中，OE＝3，CE＝5，
图 Z7-1
解析：设点 B 的坐标为 B(x0，y0)，
则 x0＝OC＋DB，y0＝AC－AD＝OC－DB. 于是，k＝x0· y0＝(OC＋DB)· (OC－DB)
1 2 1 2 ＝OC －DB ＝2OA －2AB ＝6.
2 2
答案：6
名师点评：本题是反比例函数与等腰直角三角形综合题．
解题时，利用了函数图象上点的坐标特征，结合等腰直角三角 形的性质，勾股定理，反比例函数的几何含义，平方差等知识
函数探索开放题
例 3：(2013 年湖南岳阳)如图 Z7-4，已知以 E(3,0)为圆心，
以 5 为半径的⊙E 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，抛 物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A，B，C 三点，顶点为 F. (1)求 A，B，C 三点的坐标； (2)求抛物线的解析式及顶点 F 的坐标； (3)已知 M 为抛物线上一动点(不与 C 点重合)，试探究： ①使得以 A，B，M 为顶点的三角形面积与△ABC 的面积 相等，求所有符合条件的点 M 的坐标；
－3k＋b＝0， －k＋b＝4. k＝2， 解得 b＝6.
∴AD 解析式为 y＝2x＋6.
∵P 在 AD 上，∴P(x,2x＋6)．
1 1 ∴S△APE＝2· PE· yP＝2· (－x)· (2x＋6) ＝－x2－3x(－3＜x＜－1)． －3 3 9 当 x＝－ ＝－2时，S 取最大值，为4. 2· －1
专题七 函数与图象
函数及其图象是初中数学的重要内容．函数关联着丰富的
几何知识，且与许多知识有深刻的内在联系，又是进一步学习 的基础，所以，以函数为背景的问题，题型多变，可谓函数综
合题长盛不衰，实际应用题异彩纷呈，图表分析题形式多样，
开放、探索题方兴未艾，函数在中考中占有重要的地位． 函数与图象常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思 想、函数与方程思想等．中考时常见的题型有图象信息题、代 数几何综合题、函数探索开放题、函数创新应用题等．应用以
由勾股定理，得 OC＝ CE2－OE2＝ 52－32＝4.
∴C(0，－4)．
(2)∵点 A(－2,0)，B(8,0)在抛物线上， ∴可设抛物线的解析式为 y＝a(x＋2)(x－8)． ∵点 C(0，－4)在抛物线上，
1 ∴－4＝a×2×(－8)．解得 a＝4. ∴抛物线的解析式为： 1 1 25 2 y＝4(x＋2)(x－8)＝4(x－3) － 4 . ∴顶点 F
9a－3b＋c＝0， ∴a＋b＋c＝0， c＝3.
a＝－1， 解得b＝－2， c＝3.
∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3.
∵－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， ∴抛物线顶点 D 的坐标为(－1,4)．
(2)∵A(－3,0)，D(－1,4)， ∴设 AD 为解析式为 y＝kx＋b，有
∵(3－m)
2
3 15 2 2 ＋2 ＝m ，∴m＝ 8 .
1 1 ∵S△ P′EN＝2· P′N· P′E＝2· EN· P′M， 9 ∴P′M＝10. 在 Rt△ EMP′中， ∵EM＝
3 9 6 2 2 － ＝ ， 5 2 10
9 ∴OM＝EO－EM＝5.
(3)在(2)的条件下，当 S 取到最大值时，过点 P 作 x 轴的垂 线，垂足为 F，连接 EF，把△PEF 沿直线 EF 折叠，点 P 的对 应点为点 P′，求出 P′的坐标，并判断 P′是否在该抛物线上．
图 Z7-2
解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3,0)，B(1,0)，C(0,3) 三点，
9 9 ∴P′10，5. 9 9 9 39 9 2 当 x＝10时，y＝－ 10 －2· 10＋3＝100≠5.
∴点 P′不在该抛物线上．
名师点评：本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式，
二次函数的图象、性质及设边长利用勾股定理解直角三角形等 常规考点，题目考点难度适中．第(3)小问综合性强，考法新颖， 适合学生练习巩固．
上数学思想解决函数问题的题目是中考压轴题的首选．
图象信息题
例 1：(2014 年山东济南)如图 Z7-1，△OAC 和△BAD 都是 k 等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝ 在 x 第一象限的图象经过点 B，若 OA2 － AB2 ＝ 12 ， 则 k 的 值 为 ________．