苏教版高一数学两角和与差的正切4

第三课时
两角和与差的正切

教学目标：
掌握T（α＋β），T（α－β)的推导及特征，能用它们进行有关求值、化简；提高学生简单的推理
能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
两角和与差的正切公式的推导及特征.
教学难点：
灵活应用公式进行化简、求值.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ（S（α＋β））
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ（S（α－β））
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ（C（α＋β））
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ（C（α－β））
要准确把握上述各公式的结构特征.
Ⅱ.讲授新课一、推导公式
上述公式结合同角三角函数的基本关系式，我们不难得出：
当cos（α＋β）≠0时

tan（α＋β）＝sin（α＋β）cos（α＋β） ＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ
如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0，我们可以
将分子、分母都除以cosαcosβ，从而得到：

tan（α＋β）＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ
不难发现，这一式子描述了两角α与β的和的正切与这两角的正切的关系.
同理可得：tan（α－β）＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ
或将上式中的β用－β代替，也可得到此式.
这一式子又描述了两角α与β的差的正切与这两角的正切的关系.
所以，我们将这两式分别称为两角和的正切公式、两角差的正切公式，
简记为T（α＋β），T（α－β）.

但要注意：运用公式T（α±β）时必须限定α、β、α±β都不等于π2 ＋kπ（k∈Z），因为tan（π2
＋kπ）不存在.
下面我们看一下它们的应用
二、例题讲解
［例1］不查表求tan75°，tan15°的值.
解：tan75°＝tan（45°＋30°）
＝tan450＋tan3001－tan450tan300 ＝33＋11－33 ＝2＋3
tan15°＝tan（45°－30°）
＝tan450－tan3001＋tan450tan300 ＝1－331＋33 ＝2－3
［例2］求下列各式的值
（1）tan710－tan2601＋tan710tan260 （2）1－tan2750tan750
(1)分析：观察题目结构，联想学过的公式，不难看出可用两角差的正切公式.
解：tan710－tan2601＋tan710tan260 ＝tan（71°－26°）＝tan45°＝1
(2)分析：虽不可直接使用两角和的正切公式，但经过变形可使用之求解.
解：由tan150°＝tan（75°＋75°）＝2tan7501－tan2750

得：1－tan2750tan750 ＝2·1－tan27502tan750
＝2·1tan1500 ＝2cot150°＝2cot（180°－30°）＝－2cot30°＝－23
说明：要熟练掌握公式的结构特征，以灵活应用.
［例3］利用和角公式计算1＋tan1501－tan150 的值.

分析：因为tan45°＝1，所以原式可看成tan450＋tan1501－tan450tan150
这样,我们可以运用正切的和角公式，把原式化为tan（45°＋15°）,从而求得原式的值.
解：∵tan45°＝1

∴1＋tan1501－tan150 ＝tan450＋tan1501－tan450tan150 ＝tan（45°＋15°)＝tan60°＝3
说明：在解三角函数题目时，要注意“1”的妙用.
［例4］若tan（α＋β）＝25 ，tan（β－π4 ）＝14 ，求tan（α＋π4 ）的值.

分析：注意已知角与所求角的关系，则可发现（α＋π4 ）＋（β－π4 ）＝α＋β，所以可将
α＋
π4 化为（α＋β）－（β－π4 ），从而求得tan（α＋π
4
）的值.

解：tan（α＋π4 ）＝tan［（α＋β）－（β－π4 )］
＝tan（α＋β）－tan（β－π4 ）1＋tan（α＋β）tan（β－π4 ）
将tan（α＋β）＝25 ，tan（β－π4 )＝14 代入上式，则，原式＝25 －14 1＋25 ×14 ＝322
［例5］已知tanα＝12 ，tan（α－β）＝－25 ，求tan（β－2α).
解：∵α＋（α－β）＝2α－β
∴tan（β－2α）＝tan［－（2α－β）］
＝－tan（2α－β）＝－tan［α＋（α－β)］

＝tanα＋tan（α－β）tanαtan（α－β）－1 ＝12 ＋（－25 ）12 ×（－25 ）－1 ＝－112
4.证明tan3x2 －tanx2 ＝2sinxcosx＋cos2x
分析：细心观察已知等式中的角，发现它们有隐含关系：3x2 ＋x2 ＝2x，3x2 －x2 ＝x
∴sinx＝sin3x2 cosx2 －cos3x2 sinx2 ①
cosx＋cos2x＝2cos3x2 cosx2 ②
①÷②即得：

2sinxcosx＋cos2x ＝sin3x2 cos3x2 －sinx2 cosx2 ＝tan3x2 －tanx
2
.

Ⅲ.课堂练习
1.化简下列各式

(1)tan（α＋β）·（1－tanαtanβ） (2) tanα－tanβtan（α－β） －1

(3) tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ
解：（1）tan（α＋β）（1－tanαtanβ）
＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ （1－tanαtanβ）＝tanα＋tanβ
(2) tanα－tanβtan（α－β） －1＝tanα－tanβ tanα－tanβ1＋tanαtanβ －1 ＝1＋tanαtanβ－1＝tanαtanβ
(3) tan（α－β）＋tanβ1－tan（α－β）tanβ ＝tan［（α－β）＋β］＝tanα
说明：这一题目若将tan（α－β）用两角差的正切公式展开，则误入歧途，要注意整体思
想.
2.求值：

(1) tan350＋tan2501－tan350tan250 (2) tan860－tan2601＋tan860tan260
(3)tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
解：(1) tan350＋tan2501－tan350tan250 ＝tan（35°＋25°）＝tan60°＝3

(2) tan860－tan2601＋tan860tan260 ＝tan（86°－26°）＝tan60°＝3
（3）分析：因为tan21°＝tan（45°－24°）＝tan450－tan2401＋tan450tan240
又因为tan45°＝1
所以，1＋tan24°＝1＋tan45°tan24°
这样，可将原式化为：
tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°
从而求得原式的值.
解：tan21°（1＋tan24°）＋tan24°
＝tan（45°－24°）（1＋tan45°tan24°）＋tan24°

＝tan450－tan2401＋tan450tan240 （1＋tan45°tan24°）＋tan24°＝1
Ⅳ.课时小结
正切的和、差角公式以及它们的等价变形.

即：tan（α±β）＝tanα±tanβ1tanαtanβ
Tanα±tanβ＝tan（α±β）［1tanαtanβ］
1tanαtanβ＝tanαtanβ1±tanαtanβ
这些公式在化简、求值、证明三角恒等式时都有不少用处.
Ⅴ.课后作业
课本P105习题 1，2，3，4