云南师大附中2013-2014学年第二学期末考试高二理科数学(无答案)
河南师大附中2013-2014学年高二上学期期中考试数学(理)试卷(普通班)Word版含答案
高二上学期期中考试数学（理）试题（普通班）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．某体育馆第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依次类推，那么第十五排有（ ）个座位.A ．27B ．33C ．45D ．51 2．ABC ∆中，若1,2,60a c B ===︒，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12BC.13. 已知a b <，那么下列式子中，错误的是( )A ．44a b <B ．44a b -<-C ．44a b +<+D ．44a b -<-4．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( )A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π35. 在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰三角形6.已知点（3，1）和（- 4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是（ ）A. 724a a <->或B. 724a a ==或C. 724a -<<D. 247a -<< 7. 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9 8. 不等式(5)(32)6x x +-≥的解集为（ ）A ．3{|5}2x x x ≤-≥或B ．3{|5}2x x -≤≤C ．9{|1}2x x x ≥≤-或D ．9{|1}2x x -≤≤9．若{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若首项17a =，公差2d =-，则使S n最大的序号n 为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．510.下列结论正确的是（ ）A ．当x>0且x ≠1时，1lg 2lg x x +≥B ．当x>02≥ C ．当x ≥2时，12x x +≥ D ．当0<x ≤2时，1x x-无最大值 11.等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若231n n S nT n =+,则100100a b = （ ） A ．1 B.23 C. 199299 D. 20030112.设,x y 满足约束条件360x y --≤，20x y -+≥，0,0x y ≥≥，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 256 D. 356二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知数列{}n a 满足条件1122,21nn na a a a +=-=+-, 则3a = ; 14.如果210ax ax -+≥恒成立，则实数a 的取值范围为 ________; 15. 如图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高度AB 等于________;16.已知1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则63x y +的取值范围是________.三、解答题 (本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题10分)已知集合A ={x | 220x a -≤，其中0a >}，B ={x | 2340x x -->}，且A U B = R ，求实数a 的取值范围.18. (本小题12分)(1) 求不等式的解集：2450x x -++<；(2)求函数的定义域：5y =.19. (本小题12分)设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin A . (1)求角B 的大小； (2)若a ＝33，c ＝5，求b .20. (本小题12分)若0,0x y >>,且281x y+=,求xy 及x y +的最小值..21. (本小题12分) 某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少张，才能获得利润最大？最大利润是多少？22. (本题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且1(3)2n n a n S =+对一切正整数n 成立（I ）求出数列{a n }的通项公式；（II ）设3n n nb a =，求数列{}n b 的前n 项和n B .2013―2014学年第一学期 河南师大附中高二 年级 《数学》理科普通班期中试卷参考答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）三、解答题 (本大题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题10分)解：∵A ={x |a x a -≤≤}，B ={x |1x <-或4x >}，且A B = R ， ∴144a a a -≤-⎧⇒≥⎨≥⎩。
北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期末考试数学试卷(AP班) 后有答案
北京师大附中2013-2014学年下学期高二年级期末考试数学试卷（AP 班）试卷说明：本试卷满分100分，考试时间为90分钟。
一、选择题（每小题4分，共56分）1. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. 3,=-∈y x x RB. sin ,=∈y x x RC. ,=∈y x x RD. 1(),2=∈xy x R2. 设集合{|(3)(2)0},{|13}=+-<=≤≤M x x x N x x ，则M N ＝（）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]3. 函数2f(x)x 4x 1=-+在下列哪个区间是一定具有零点？（ ）A. (1,0)-B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)4. 实数21log 33272-·21log lg 2lg 58++的值为（ ）A. 2B. 5C. 13D. 205. 已知函数3log ,0()2,0>⎧=⎨≤⎩x x x f x x 则19⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ＝（ ）A. 4B. 14 C. －4 D. 14-6. 一个角的度数是225°，化为弧度数是（ ） A. 78π B. 54π C. 32π D. 74π7. 在半径为0.3m 的圆中，8rad 的圆心角所对的弧长是（ ）A. 0.3mB. 0.6mC. 1.2mD. 2.4m 8. 2sin 3⎛⎫⎪⎝⎭π的值为（ ） A. 12- B. 12C. 2-D. 29. 如果5sin ,,132⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭πααπ，那么cos α等于（ ） A. 1213- B. 512 C. 125- D. 12510. cos1,cos 2,cos3的大小关系是（ ）A. cos1cos 2cos3>>B. cos1cos3cos 2>>C. cos3cos 2cos1>>D. cos 2cos1cos3>> 11. 要得到函数sin 33⎛⎫=+⎪⎝⎭y x π的图象，只要将函数sin 3=y x 的图象（ ） A. 向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C. 向左平移9π个单位 D. 向右平移9π个单位 12. 过点(1,3)-P 且垂直于直线24930-+=x y 的直线方程是（ ）A. 210+-=x yB. 250+-=x yC. 250+-=x yD. 270-+=x y13. 点A （1，7）到直线2=y x 的距离是（ ）A. 52B.C. 32D. 14. 在等差数列{}n a 中，151,25==a S ，那么4a 等于（ ）A. 9B. 8C. 7D. 6二、填空题：（每空4分，共24分）15. 已知等差数列{}n a 中，79416,1+==a a a ，则12a ＝___________。
长沙市师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试(理)数学试题及答案
必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是A.x >1B.x <1C.x >3D.x <3 3.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于A.－sin αB.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α 4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为 A.17或－1 B.－17或1 C.－1 D.16.设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有 A.f (－3)＋f (3)<2f (2) B.f (－3)＋f (7)>2f (2) C.f (－3)＋f (3)≤2f (2) D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是 . 9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030成立.类似地，在等比数列{b n }中，有 成立.11.曲线y ＝sin x 在[0，π]上与x 轴所围成的平面图形的面积为 .12.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则c 的值为 . 13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分11分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称，试判断f (x )在区间[－4，5]上的单调性，并求出f (x )在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n }满足S n ＋a n ＝2n ＋1.(1)写出a 1，a 2，a 3，并推测a n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且AC ＝AB ＝BC ＝2，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是BC ，PC 的中点.(1)证明：AE ⊥PD ；(2)若H 为PD 上一点，且AH ⊥PD ，EH 与平面PAD 所成角的正切值为62，求二面角E －AF －C 的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，13 B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.(－∞，3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5 二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a 、m ln(b ＋1)万元(m ＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； (2)求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？ 4.(本小题满分13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ·TN 的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：||OR ·||OS 为定值.5.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝e x，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )x2与直线y ＝m (m >0)公共点的个数；(3)设函数h ()x 满足x 2h ′(x )＋2xh (x )＝f (x )x ，h (2)＝f (2)8，试比较h (e)与78的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ又∵函数f (x )在[－4,5]上连续.∴f (x )在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分) ∴f (x )的最大值是54，f (x )的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，….猜测a n ＝2－12n (5分)(2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；(7分)②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，(8分)当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3，∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n ∈N ＋时，a n ＝2－12n 都成立.(12分)16.(1)证明：由AC ＝AB ＝BC ，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AE . 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PA ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面PAD .又PD ⊂平面PAD ， 所以AE ⊥PD .(5分)(2)解：因为AH ⊥PD ， 由(1)知AE ⊥平面PAD ，则∠EHA 为EH 与平面PAD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE ＝3，此时tan ∠EHA ＝AE AH＝3AH＝62， 在Rt △AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32， 又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO ＝AO ·sin 45°＝324，又SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋98＝304， 在Rt △ESO 中，cos ∠ESO ＝SO SE ＝324304＝155，即所求二面角的余弦值为155.(12分) 解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，1， 所以AE ＝(3，0,0)，AF ＝⎝⎛⎭⎪⎫32，12，1.所以cos 〈m ，BD 〉＝m ·BD||m ·||BD ＝2×35×12＝155. 因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分) 必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于错误!，求错误!的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，5.二、填空题2.－1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x ＋2k )故f ′(0)＝－6k 3，又f ′(0)＝6，故k ＝－1. 三、解答题 3.解：(1)设投放B 型电视机的金额为x 万元，则投放A 型电视机的金额为(10－x )万元，农民得到的总补贴f (x )＝110(10－x )＋m ln(x ＋1)＝m ln(x ＋1)－x10＋1，(1≤x ≤9).(5分)(没有指明x 范围的扣1分)(2)f ′(x )＝m x ＋1－110＝10m －(x ＋1)10(x ＋1)＝－[x －(10m －1)]10(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝10m －1(8分)1° 若10m －1≤1即0＜m ≤15，则f (x )在[1,9]为减函数，当x ＝1时，f (x )有最大值；2° 若1＜10m －1＜9即15<m <1，则f (x )在[1,10m －1)是增函数，在(10m －1,9]是减函数，当x ＝10m －1时，f (x )有最大值；3° 若10m －1≥9即m ≥1，则f (x )在[1,9]是增函数，当x ＝9时，f (x )有最大值.因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15<m <1时，投放B 型电视机(10m －1)万元，农民得到的总补贴最大； 当m ≥1时，投放B 型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1；故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2)方法一：点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0.由于点M 在椭圆C 上， 所以y 21＝1－x 214.(*)(4分)由已知T (－2,0)，则TM ＝(x 1＋2，y 1)，TN ＝(x 1＋2，－y 1)，∴TM ·TN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)， 不妨设sin θ>0，由已知T (－2,0)，则TM ·TN ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin 2θ＝5cos 2θ＋8cos θ＋3＝5⎝⎛⎭⎪⎫cos θ＋452－15.(6分)故当cos θ＝－45时，TM ·TN 取得最小值为－15，此时M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)(3)方法一：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，(10分)故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21(**)(11分)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，(12分)代入(**)式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 方法二：设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P (2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP 的方程为：y －sin α＝sin α－sin θ2cos α－2cos θ(x－2cos α)，令y ＝0，得x R ＝2(sin αcos θ－cos αsin θ)sin α－sin θ，同理：x S ＝2(sin αcos θ＋cos αsin θ)sin α＋sin θ，(12分)故x R ·x S ＝4(sin 2αcos 2θ－cos 2αsin 2θ)sin α－sin θ＝4(sin 2α－sin 2θ)sin α－sin θ＝4.所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分)5.解：(1)f ()x 的反函数g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则错误!⇒x 0＝e 2，k ＝e －2.所以k ＝e －2.(3分)(2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数即方程f (x )＝mx 2根的个数.由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令v (x )＝e x x 2⇒v ′(x )＝x e x (x －2)x4， 则v (x )在(0,2)上单调递减，这时v (x )∈(v (2)，＋∞)；v (x )在(2，＋∞)上单调递增，这时v (x )∈(v (2)，＋∞).v (2)＝e 24.v (2)是y ＝v (x )的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下：当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e 24时，有0个公共点； 当m ＝e24时，有1个公共点；当m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞时有2个公共点；(8分) (3)令F (x )＝x 2h (x )，则F ′(x )＝x 2h ′(x )＋2xh ()x ＝e x x所以h ()x ＝F (x )x 2，故h ′()x ＝F ′(x )x 2－2xF (x )x 4＝F ′(x )x －2F (x )x 3＝e x －2F (x )x 3令G (x )＝e x －2F (x )，则G ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x－2·e x x ＝e x(x －2)x显然，当0<x <2时，G ′(x )<0，G (x )单调递减； 当x >2时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G (x )在x ＝2处取得最小值G (2)＝0.即x >0时，e x－2F (x )≥0.故在(0，＋∞)内，h ′(x )≥0， 所以h (x )在(0，＋∞)单调递增，又因为h (2)＝f (2)8＝e 28>78，h (2)<h (e)所以h (e)>78.(14分)。
湖南省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试 数学理 Word版含答案
湖南省师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数 学(理科)命题人：高二数学备课组(考试时间：2014年1月 15日 )满分：100分(必考试卷Ⅰ) 50分(必考试卷Ⅱ)时量：120分钟得分：必考试卷Ⅰ一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数i ＋i 2在复平面内表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设x ∈R ，则x >e 的一个必要不充分条件是 A.x >1 B.x <1 C.x >3 D.x <33.若f (x )＝2cos α－sin x ，则f ′(α)等于 A.－sin α B.－cos αC.－2sin α－cos αD.－3cos α4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是①z 1，z 2不能比较大小；②虚数不能比较大小；③z 1，z 2是虚数. A.①②③ B.②①③ C.②③① D.③②①5.若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,1)，a 与b 的夹角为60°，则λ的值为 A.17或－1 B.－17或1 C.－1 D.16.设F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 225＝1(a >5)的两个焦点，且|F 1F 2|＝8，弦AB 过点F 1，则△ABF 2的周长为A.10B.20C.241D.4417.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －2)f ′(x )≤0，则必有 A.f (－3)＋f (3)<2f (2) B.f (－3)＋f (7)>2f (2) C.f (－3)＋f (3)≤2f (2) D.f (－3)＋f (7)≥2f (2)二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.8.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 10的值是 .9.用反证法证明命题：“若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2”时，假设的内容应为 .10.已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030成立.类似地，在等比数列{b n }中，有 成立.11.曲线y ＝sin x 在[0，π]上与x 轴所围成的平面图形的面积为 .12.已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则c 的值为 .13.正整数按下列方法分组：{1}，{2,3,4}，{5,6,7,8,9}，{10,11,12,13,14,15,16}，…，记第n 组中各数之和为A n ；由自然数的立方构成下列数组：{03,13}，{13,23}，{23,33}，{33,43}，…，记第n 组中后一个数与前一个数的差为B n ，则A n ＋B n ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 14.(本小题满分11分)已知函数f (x )＝ax 3＋(a －1)x 2＋27(a －2)x ＋b 的图象关于原点成中心对称，试判断f (x )在区间[－4，5]上的单调性，并求出f (x )在区间[－4，5]上的最值.15.(本小题满分12分)已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1.(1)写出a1，a2，a3，并推测a n的表达式；(2)用数学归纳法证明所得的结论.16.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，且AC＝AB＝BC＝2，P A⊥平面ABCD，E，F分别是BC，PC的中点.(1)证明：AE⊥PD；(2)若H为PD上一点，且AH⊥PD，EH与平面P AD所成角的正切值为62，求二面角E－AF－C的余弦值.必考试卷Ⅱ一、选择题：本大题共1个小题，每小题5分，满分5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的图像如图，若两个正数a ，b 满足f (2a ＋b )<1，且f (4)＝1，则b ＋1a ＋1的取值范围是A.⎝⎛⎭⎫15，13B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(5，＋∞) C.(－∞，3) D.⎝⎛⎭⎫13，5二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.2.设函数f (x )＝x (x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )，且f ′(0)＝6，则k ＝ .三、解答题：本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分13分)某电视生产企业有A 、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A 、B 两种型号电视机的价值分别为a 、b 万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为110a 、m ln(b ＋1)万元(m ＞0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A 、B 两种型号的电视机，且A 、B 两种型号的投放金额都不低于1万元.(1)请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域； (2)求当投放B 型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以椭圆C 的左顶点T 为圆心作圆T ：(x＋2)2＋y 2＝r 2(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M 与点N .(1)求椭圆C 的方程；(2)求TM ·TN 的最小值，并求此时圆T 的方程；(3)设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点，求证：||OR ·||OS 为定值.已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)若直线y ＝kx ＋1与f (x )的反函数的图象相切，求实数k 的值；(2)设x >0，讨论曲线y ＝f (x )x2与直线y ＝m (m >0)公共点的个数；(3)设函数h ()x 满足x 2h ′(x )＋2xh (x )＝f (x )x ，h (2)＝f (2)8，试比较h (e)与78的大小.湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题数学(理科)参考答案必考试卷Ⅰ一、选择题1－4.BABC 5－7.BDC 二、填空题8.－1 9.1＋x y ，1＋y x都不小于2 10.10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 3011.2 12.6 13.2n 3 三、解答题14.解：∵函数f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )是奇函数， 所以a ＝1，b ＝0，于是f (x )＝x 3－27x ，f ′(x )＝3x 2－27.(4分)∴当x ∈(－3,3)时，f ′(x )<0；当x ∈(－4，－3)和(3,5)时，f ′(x )>0. 又∵函数f (x )在[－4,5]上连续.∴f (x )在(－3,3)上是单调递减函数，在(－4，－3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分) ∴f (x )的最大值是54，f (x )的最小值是－54.(11分)15.解：(1)a 1＝32，a 2＝74，a 3＝158，….猜测a n ＝2－12n (5分)(2)①由(1)已得当n ＝1时，命题成立；(7分)②假设n ＝k 时，命题成立，即a k ＝2－12k ，(8分)当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1， 且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3，∴2a k ＋1＝2＋2－12k ，a k ＋1＝2－12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，命题成立.(11分)根据①②得n ∈N ＋时，a n ＝2－12n 都成立.(12分)16.(1)证明：由AC ＝AB ＝BC ，可得△ABC 为正三角形. 因为E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 又BC ∥AD ，因此AE ⊥AD .因为P A ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AE . 而P A ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD 且P A ∩AD ＝A ， 所以AE ⊥平面P AD .又PD ⊂平面P AD ， 所以AE ⊥PD .(5分)(2)解：因为AH ⊥PD ， 由(1)知AE ⊥平面P AD ，则∠EHA 为EH 与平面P AD 所成的角. 在Rt △EAH 中，AE ＝3，此时tan ∠EHA ＝AE AH ＝3AH ＝62，因此AH ＝ 2.又AD ＝2，所以∠ADH ＝45°， 所以P A ＝2.(8分)解法一：因为P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面P AC ， 所以平面P AC ⊥平面ABCD .过E 作EO ⊥AC 于O ，则EO ⊥平面P AC ， 过O 作OS ⊥AF 于S ，连结ES ，则∠ESO 为二面角E －AF －C 的平面角，在Rt △AOE 中，EO ＝AE ·sin 30°＝32，AO ＝AE ·cos 30°＝32，又F 是PC 的中点，在Rt △ASO 中，SO ＝AO ·sin 45°＝324，又SE ＝EO 2＋SO 2＝34＋98＝304，在Rt △ESO 中，cos ∠ESO ＝SO SE ＝324304＝155，即所求二面角的余弦值为155.(12分)解法二：由(1)知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E ，F 分别为BC ，PC 的中点，所以A (0,0,0)，B (3，－1,0)，C (3，1,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (3，0,0)，F ⎝⎛⎭⎫32，12，1， 所以AE ＝(3，0,0)，AF ＝⎝⎛⎭⎫32，12，1. 设平面AEF 的一法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)， 则错误!因此错误!取z 1＝－1，则m ＝(0,2，－1)，因为BD ⊥AC ，BD ⊥P A ，P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面AFC ， 故BD 为平面AFC 的一法向量. 又BD ＝(－3，3,0)， 所以cos 〈m ，BD 〉＝m ·BD||m ·||BD＝2×35×12＝155.因为二面角E －AF －C 为锐角，所以所求二面角的余弦值为155.(12分) 必考试卷Ⅱ一、选择题1.D 【解析】由图像可知f (x )在(－∞，0)递减，在(0，＋∞)递增，所以f (2a ＋b )<1即2a ＋b <4，原题等价于错误!，求错误!的取值范围.画出不等式组表示的可行区域，利用直线斜率的意义可得b ＋1a ＋1∈⎝⎛⎭⎫13，5.二、填空题2.－1 【解析】思路分析：按导数乘积运算法则先求导，然后由已知条件构造关于k 的方程求解.f ′(x )＝(x ＋k )(x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋2k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x －3k )＋x (x ＋k )(x ＋2k ) 故f ′(0)＝－6k 3，又f ′(0)＝6，故k ＝－1. 三、解答题3.解：(1)设投放B 型电视机的金额为x 万元，则投放A 型电视机的金额为(10－x )万元，农民得到的总补贴f (x )＝110(10－x )＋m ln(x ＋1)＝m ln(x ＋1)－x10＋1，(1≤x ≤9).(5分)(没有指明x 范围的扣1分)(2)f ′(x )＝m x ＋1－110＝10m －(x ＋1)10(x ＋1)＝－[x －(10m －1)]10(x ＋1)，令y ′＝0，得x ＝10m －1(8分)1° 若10m －1≤1即0＜m ≤15，则f (x )在[1,9]为减函数，当x ＝1时，f (x )有最大值；2° 若1＜10m －1＜9即15<m <1，则f (x )在[1,10m －1)是增函数，在(10m －1,9]是减函数，当x ＝10m －1时，f (x )有最大值；3° 若10m －1≥9即m ≥1，则f (x )在[1,9]是增函数，当x ＝9时，f (x )有最大值.因此，当0＜m ≤15时，投放B 型电视机1万元，农民得到的总补贴最大.当15<m <1时，投放B 型电视机(10m －1)万元，农民得到的总补贴最大； 当m ≥1时，投放B 型电视机9万元，农民得到的总补贴最大.(13分)4.解：(1)依题意，得a ＝2，e ＝c a ＝32，∴c ＝3，b ＝a 2－c 2＝1；故椭圆C 的方程为x24＋y 2＝1.(3分)(2)方法一：点M 与点N 关于x 轴对称，设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0. 由于点M 在椭圆C 上，所以y 21＝1－x 214.(*)(4分)由已知T (－2,0)，则TM ＝(x 1＋2，y 1)，TN ＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM ·TN ＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2－⎝⎛⎭⎫1－x 214＝54x 21＋4x 1＋3＝54⎝⎛⎭⎫x 1＋852－15.(6分) 由于－2<x 1<2，故当x 1＝－85时，TM ·TN 取得最小值为－15.由(*)式，y 1＝35，故M ⎝⎛⎭⎫－85，35，又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325. 故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)方法二：点M 与点N 关于x 轴对称，故设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)， 不妨设sin θ>0，由已知T (－2,0)，则TM ·TN ＝(2cos θ＋2，sin θ)·(2cos θ＋2，－sin θ)＝(2cos θ＋2)2－sin 2θ＝5cos 2θ＋8cos θ＋3＝5⎝⎛⎭⎫cos θ＋452－15.(6分) 故当cos θ＝－45时，TM ·TN 取得最小值为－15，此时M ⎝⎛⎭⎫－85，35， 又点M 在圆T 上，代入圆的方程得到r 2＝1325.故圆T 的方程为：(x ＋2)2＋y 2＝1325.(8分)(3)方法一：设P (x 0，y 0)，则直线MP 的方程为：y －y 0＝y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理：x S ＝x 1y 0＋x 0y 1y 0＋y 1，(10分)故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 21y 20－y 21(**)(11分)又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 21)，(12分)代入(**)式，得：x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 21＝4(y 20－y 21)y 20－y 21＝4. 所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 方法二：设M (2cos θ，sin θ)，N (2cos θ，－sin θ)，不妨设sin θ>0，P (2cos α，sin α)，其中sin α≠±sin θ.则直线MP 的方程为：y －sin α＝sin α－sin θ2cos α－2cos θ(x －2cos α)，令y ＝0，得x R ＝2(sin αcos θ－cos αsin θ)sin α－sin θ，同理：x S ＝2(sin αcos θ＋cos αsin θ)sin α＋sin θ，(12分)故x R ·x S ＝4(sin 2αcos 2θ－cos 2αsin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4(sin 2α－sin 2θ)sin 2α－sin 2θ＝4.所以||OR ·||OS ＝||x R ·||x S ＝||x R ·x S ＝4为定值.(13分) 5.解：(1)f ()x 的反函数g (x )＝ln x .设直线y ＝kx ＋1与g (x )＝ln x 相切于点P (x 0，y 0)，则错误!⇒x 0＝e 2，k ＝e －2.所以k ＝e －2.(3分)(2)当x >0，m >0时，曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)的公共点个数即方程f (x )＝mx 2根的个数.由f (x )＝mx 2⇒m ＝e x x 2，令v (x )＝e x x 2⇒v ′(x )＝x e x (x －2)x 4， 则v (x )在(0,2)上单调递减，这时v (x )∈(v (2)，＋∞)；v (x )在(2，＋∞)上单调递增，这时v (x )∈(v (2)，＋∞).v (2)＝e 24. v (2)是y ＝v (x )的极小值，也是最小值.(5分)所以对曲线y ＝f (x )与曲线y ＝mx 2(m >0)公共点的个数，讨论如下：当m ∈⎝⎛⎭⎫0，e 24时，有0个公共点；当m ＝e 24时，有1个公共点； 当m ∈⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞时有2个公共点；(8分)(3)令F (x )＝x 2h (x )，则F ′(x )＝x 2h ′(x )＋2xh ()x ＝e x x所以h ()x ＝F (x )x 2，故h ′()x ＝F ′(x )x 2－2xF (x )x 4＝F ′(x )x －2F (x )x 3＝e x －2F (x )x 3令G (x )＝e x －2F (x )，则G ′(x )＝e x －2F ′(x )＝e x －2·e x x ＝e x (x －2)x显然，当0<x <2时，G ′(x )<0，G (x )单调递减；当x >2时，G ′(x )>0，G (x )单调递增；所以，在(0，＋∞)范围内，G (x )在x ＝2处取得最小值G (2)＝0. 即x >0时，e x －2F (x )≥0.故在(0，＋∞)内，h ′(x )≥0，所以h (x )在(0，＋∞)单调递增，又因为h (2)＝f (2)8＝e 28>78，h (2)<h (e) 所以h (e)>78.(14分)。
云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)
理科数学参考答案·第1页（共9页）云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选C ． 5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……1111120132013,2014,11223342013201420142014i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯ . 故选C ． 6．随机变量ξ服从二项分布，所以方差1125()(1)301666D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选B ．7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA AC PA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC =PB ，故选A ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选B ． 9．22(2)()2(1)()f x f x f x f x +=-=-=+-，周期2T =，因为()f x 在区间(2013,2014)上单调递增，所以()f x 在区间(1,0)-上单调递增，又()f x 在R 上是偶函数，所以()f x 在区间(0,1)图1理科数学参考答案·第2页（共9页）上单调递减．因为,αβ是锐角三角形的两个内角，有π2αβ+>，即ππ022βα<-<<，πsin sin cos 2αββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，从而，(sin )(cos )f f αβ<．故选B ．10．ln (2)2=0ln =(2)+2x a x e x a x e ---⇔-，令12ln ,(2)2y x y a x e ==-+，直线2(2)2y a x e =-+过定点(2,2)e ，设直线2(2)2y a x e =-+与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以，切线斜率0000000ln 211,ln 32,,2x a x x x e x e a x x e e-==-=-==-∴， 当1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，直线2(2)2y a x e =-+与1y 的图象有2个交点．11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)x y ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ， 则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选C ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+，||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴．故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】14．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==． 15．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+ ……图3图2理科数学参考答案·第3页（共9页）2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 16．不妨设||2AB =，圆心为O ，π0,2BOC θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则||2cos ,||CD BC θ=，梯形ABCD的周长为22cos L θ=++22212sin 4sin 22θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭214sin 522θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1πsin,223θθ==时，梯形ABCD的周长最大，此时，||1,||AD BD ==椭圆的离心率2||12||||c AB e a DB DA ====+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，①234133333332234(1)2222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，………（8分）2313333341+22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦理科数学参考答案·第4页（共9页）31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C ==∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||2B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴，22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E = ， 1B E ⊥∴平面AEF ．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF ===，11||||3AB B F ==，………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF =⋅=△∴ 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=，11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯= △∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S ⋅=⋅△△，理科数学参考答案·第5页（共9页）所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的可能取值为：39.6,46.2,52.8,53.9,61.6； …………（1分）因为第一年与第二年相互独立，所以1(39.6)0.20.40.08P ξ==⨯=，1(46.2)0.20.60.30.40.24P ξ==⨯+⨯=， 1(52.8)0.50.40.20P ξ==⨯=，1(53.9)0.30.60.18P ξ==⨯=， 1(61.6)0.50.60.30P ξ==⨯=．…………………………………………………（3分）所以，1ξ的分布列为：………………………………………………………………………（4分）2ξ的可能取值为：33,38.5,46.2,52.8,53.9,61.6；…………………………（5分）2(33)0.10.50.05P ξ==⨯=，2(38.5)0.10.50.05P ξ==⨯= ， 2(46.2)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(52.8)0.60.50.30P ξ==⨯= ，2(53.9)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(61.6)0.60.50.30P ξ==⨯=， …………………（7分）所以，2ξ的分布列为：…………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(50)0.080.240.32P ξ=+=≤， 2(50)0.050.050.150.25P ξ=++=≤，12(50)(50)P P ξξ>≤≤，所以，实施方案一，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大． …………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）理科数学参考答案·第6页（共9页）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（4分） （Ⅱ）当2,22m x <--≤≤时， ||111()2222x m x mxmg x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[2,2]-上单调递减．由（Ⅰ）知，()f x 在(2,2)-上单调递减，所以21()()()24162xm mx F x f x g x x ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭在(2,2)-上单调递减． 2max ()(2)4221616m m m mF x F +=-=⨯-=-∴； 2min ()(2)216m m F x F -==+． ………………………………………………………（8分）理科数学参考答案·第7页（共9页）（Ⅲ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减， 从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（9分）当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA = ．又∵GC GD GF GA = ， ∴GP GH GC GD = ． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==， ∴6GP PH GH =-=，理科数学参考答案·第8页（共9页）∴6329GP GH GC GD ⨯=== ， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+，而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -， 点1(1,0)F -到直线l的距离1d ==点2(1,0)F 到直线l的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，理科数学参考答案·第9页（共9页）故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥．……………（10分）。
云南师范大学附属中学2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题
2013-2014年高一年级上学期期末考试（时间120分钟，满分150分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
1、方程062=+-px x 的解集为M ，方程062=-+q x x 的解集为N ，且=N M {}2,那么=+q p ( ) A 21 B 8 C 6 D 72．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 3．设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ）A ．10B ．11C ．12D ．134．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052， B. []-14， C. []-55， D. []-37，5．函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A ．52π B ．25πC ．π2D ．π5 6．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ） A.2a ≤- B.2a ≥- C.6-≥a D.6-≤a7．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞8．将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） A ．1sin 2y x = B ．1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-9．函数()lg(sin cos )f x x x =-的定义城是（ ）A.322,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ B.522,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭ C.,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-<<+∈⎨⎬⎩⎭ D.3,44x k x k k Z ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭10．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法判定11.若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=cos()2βα+=（A ）3 （B ）3- （C ）9 （D ）9-12.已知函数()x f 是R 上的增函数，A(0,-1),B(3,1)是其图象上的两点，那么()11≤+x f 的解集的补集是（ ）A (-1,2)B (1,4)C (,1)(4,)-∞-⋃+∞D (,1)(2,)-∞-⋃+∞二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】云南师大附中2013届高考适应性月考卷(八)(理)
云南师大附中2013届高考适应性月考卷（八）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的标准差s =其中x 为样本平均数 柱体体积公式VSh =其中S 为底面面积，h 为高锥体体积公式13V Sh =其中S 为底面面积，h 为高球的表面积，体积公式24R S π=，334R V π=其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数211i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭（i是虚数单位）化简的结果是A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合101x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}2|log (2)B x y x ==+，则A B ＝ A ．()2,1-- B ．()[)2,11,--+∞C ．[)1,+∞D ．()()2,11,---+∞3．已知两条直线,m n 和平面α，且m 在α内，n 在α外，则“n ∥α”是“m ∥n ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 中，39159a a a ++=，则数列{}n a 的前17项和17S ＝A ．102B ．36C ．48D ．51 5．阅读如图1所示的程序框图，则输出的S 的值是A ．20132015 B ．20132014 C ．20122013D ．201120126．已知随机变量130,6B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则随机变量ξ的方差()D ξ＝A ．56 B ．5 C ．256D ．257．某四面体的三视图如图2所示，该四面体的六条棱长中，长度最大的是ABCD ．8．设变量,x y 满足约束条件0,1,21,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数222z x x y =++，则z 的取值范围是A ．8,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2⎤⎥⎣⎦D ．2⎤⎥⎣⎦9．定义在R 上的偶函数()f x 满足2(1)()f x f x +=-(()0)f x ≠，且在区间()2013,2014上单调递增，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，比较(sin )f α，(cos )f β的大小的结果是A ．(sin )(cos )f f αβ<B ．(sin )(cos )f f αβ>C ．(sin )(cos )f f αβ=D ．以上情况均有可能10．已知方程ln (2)20x a x e ---=（a 为实常数）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．[]1,eD ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．在平面直角坐标系中，定义1212(,)||||d A B x x y y =-+-为两点11(,)A x y ，22(,)B x y 间的“折线距离”，在此定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”为1的点的集合是一个圆；③到(1,0)M -，(1,0)N 两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是0x =． 其中，正确的命题有正视图 侧视图俯视图1 1 1A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．已知点P 在圆22:(3)1C x y +-=上，点Q 在双曲线22152x y -=的右支上，F 是双曲线的左焦点，则||||PQ QF +的最小值为A．1B．3+C．4+D．5+第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：用钢笔或圆珠笔直接答在答题卡上．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．已知1sin 3α=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α＝ ． 14．已知向量AB 与AC 的夹角为30°，且||6AB =，则||AB AC -的最小值是 ．15．已知函数*(1)()log (2)()m f m m m N +=+∈，令(1)(2)()f f f m k ⋅⋅⋅=，当[]1,2013m ∈，且*k N ∈时，满足条件的所有k 的值的和为 ．16．以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且AB ∥CD ．以A 、B 为焦点的椭圆恰好过C 、D 两点，当梯形ABCD 的周长最大时，此椭圆的离心率为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n a S 在直线34y x =+上． （1）求数列{}n a 的通项a ；（2）令*()n n b na n N =∈，试求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1AB AA =，E 、F 分别为BC 、1CC 的中点．（1）求证：1B E ⊥平面AEF ；（2）当2AB =时，求点E 到平面1B AF 的距离．ABEF B 1C 1 A 119．（本小题满分12分）近年空气质量逐渐恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重，大气污染会引起多种心肺疾病．空气质量指数（AQI ）是国际上常用来衡量空气质量的一种指标，空气质量指数在(0,50)为优良，在(50,100)为中等，在(100,150)为轻度污染，在(150,200)为中度污染，……．某城市2012年度的空气质量指数为110（全年平均值），对市民的身心健康产生了极大影响，该市政府为了改善空气质量，组织环保等有关部门经过大量调研，准备采用两种方案中的一种治理大气污染，以提高空气质量．根据发达国家以往的经验，若实施方案一，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.6的概率分别为0.5，0.3，0.2，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.6，0.4；若实施方案二，预计第一年度可使空气质量指数降为原来的0.8，0.7，0.5的概率分别为0.6，0.3，0.1，第二年度使空气质量指数降为上一年度的0.7，0.6的概率分别为0.5，0.5．实施每种方案，第一年与第二年相互独立，设i ξ（1,2i =）表示方案i 实施两年后该市的空气质量指数（AQI ）．（1）分别写出1ξ，2ξ的分布列（要有计算过程）；（2）实施哪种方案，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大？20．（本小题满分12分）已知抛物线的顶点在原点，准线方程为1x =，F 是焦点．过点(2,0)A -的直线与抛物线交于11(,)P x y ，22(,)Q x y 两点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ．（1）求抛物线的方程及12y y 的值；（2）记直线PQ ，MN 的斜率分别为1k ，2k ，证明：12k k 为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数2()416mx f x x =+，||1()2x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中m R ∈且0m ≠．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）当2m <-时，求函数()()()F x f x g x =+在区间[]2,2-上的最值；（3）设函数(),2,()(),2,f x x h xg x x ≥⎧=⎨<⎩当2m ≥时，若对于任意的[)12,x ∈+∞，总存在唯一的()2,2x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立，试求m 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】 如图4，已知,AB CD 是圆O 的两条平行弦，过点A 引圆O点P ，F 为CD 上的一点，弦,FA FB 分别与CD 交于点,G H （1）求证：GP GH GC GD ⋅=⋅；（2）若39AB AF GH ===，6DH =，求PA 的长． 23．（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】 已知椭圆C 的极坐标方程为222123cos 4sin ρθθ=+，点1F ，2F 为其左右焦点．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为2,,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数，t R ∈）．（1）求直线l 的普通方程和椭圆C 的直角坐标方程； （2）求点1F ，2F 到直线l 的距离之和．24．（本小题满分10分）【选修4－5：不等式选讲】 已知函数()2()log |1||5|1f x x x =-+--． （1）当5a =时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围．参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 【解析】 4．11717917()172a a S a +==，3915939a a a a ++==，93a =∴．故选D ．5．依题意，知11,2,0,12i n S ===+⨯ 112,3,,1223i n S ===+⨯⨯ 1113,4,,122334i n S ===++⨯⨯⨯ ……1111120132013,2014,11223342013201420142014i n S ===++++=-=⨯⨯⨯⨯. 故选B ． 6．随机变量ξ服从二项分布，所以方差1125()(1)301666D np p ξ⎛⎫=-=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选C ．7．由题图可知，几何体为如图1所示的三棱锥P ABC -， 其中1,,PA ACPA AC PA AB ==⊥⊥，由俯视图可知，AB BC = PB =D ．8．2222+2(1)1z x x y x y =+=++-，用线性规划，可求得22(1)x y ++的范围是17,49⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以8,39z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选A ． 9．22(2)()2(1)()f x f x f x f x +=-=-=+-，周期2T =，因为()f x 在区间(2013,2014)上单调递增，所以()f x 在区间(1,0)-上单调递增，又()f x 在R 上是偶函数，所以()f x 在区间(0,1)上单调递减．因为,αβ是锐角三角形的两个内角，有π2αβ+>，即ππ022βα<-<<，πsin sin cos 2αββ⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，从而，(sin )(cos )f f αβ<．故选A ． 10．ln (2)2=0ln =(2)+2x a x e x a x e ---⇔-，令12ln ,(2)2y x y a x e ==-+，直线2(2)2y a x e =-+过定点(2,2)e ，设直线2(2)2y a x e =-+与1y 的切点为00(,ln )x x ，由于11y x'=， 所以，切线斜率0000000ln 211,ln 32,,2x a x x x e x e a x x e e-==-=-==-∴， 当1,a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，直线2(2)2y a x e =-+与1y 的图象有2个交点．11．设到原点的“折线距离”为1的点为(,)xy ，则||||1x y +=，其轨迹为如图2所示的正方形，所以①正确，②错误； 设到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”相等的点为(,)x y ，图1图2则|1||||1|||,|1||1|x y x y x x ++=-++=-， 从而0x =，所以③正确．故选B ．12．设双曲线22152x y -=的右焦点为F '，则(0),0)F F '，由双曲线定义知||||QF QF '=+||||||||QF PQ QF PQ '+=++ 当,,,C P Q F '共线时，min (||||)3QF PQ '+=，min (||||)3QF PQ +=+∴B ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】 14．如图3所示，点C 的轨迹为射线AC '（不含端点A ），当BC AC ⊥时，min min ||||3AB AC CB -==．15．234(1)(1)(2)()log 3log 4log 5log (2)m f f f m m +=+……2log (2)m k =+=，22k m =-，[1,2013],m k ∈∈*N ∵，101121024,22013=>，所以，k 值组成的集合为{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，2391054++++=…． 16．不妨设||2AB =，圆心为O ，π0,2BOC θθ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则||2cos ,||CD BC θ=，梯形ABCD 的周长为22cos L θ=++22212sin 4sin 22θθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭214sin 522θ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，当1πsin,223θθ==时，梯形ABCD 的周长最大，此时，||1,||AD BD == 椭圆的离心率2||12||||c AB e a DB DA ====+． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）图317．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为点(,)n n a S 在直线34y x =+上，所以34n n S a =+，1134n n S a ++=+， 11133n n n n n a S S a a +++=-=-，化简得123n n a a +=，所以数列{}n a 为等比数列，公比32q =，由11134S a a ==+得12a =-， 故11132()2n n n a a qn --⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭*N ．……………………………………………（6分）（Ⅱ）因为 ()n n b na n =∈*N ， 所以12341n n n T b b b b b b -=++++++23213333321234(1)22222n n n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① 234133333332234(1)2222222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯=-+⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得23113333321+222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯=-++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ………（8分）2313333341+22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦31332444(2)8()32212nn nn n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-*N ． ……………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABC A B C -中，不妨设1||||=AB AA a =， ABC ∵△为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，11||BC B C =∴，∵E 、F 分别为BC 、1CC 的中点，222222113||||||22B E BE BB a a ⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭∴，22222213||||||44EF EC CF a a⎫=+=+=⎪⎪⎝⎭， 222222111119||||||244B F B C C F a a a =+=+=，有22222211339||||||244B E EF a a a B F +=+==，1B E EF ⊥∴，又1,AE BC B B ⊥⊥∵平面ABC ，1B E AE ⊥∴，AE EF E =，1B E ⊥∴平面AEF ．……………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由条件知，1||||||||AE B E EF AF ，11||||3AB B F ==，………………………………………………………（8分）AE EF ⊥∵，11||||22AEF S AE EF =⋅==△∴ 在1AFB △中，11cos sin B AF B AF ∠==∠=11111||||sin 322AB F S AB AF B AF =∠=⨯=△∴， ………………（10分）设点E 到平面1B AF 的距离为d ， 则11||AB F AEF d S B E S ⋅=⋅△△，所以213d ==，即点E 到平面1B AF 的距离为1． ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，1ξ的可能取值为：39.6,46.2,52.8,53.9,61.6； …………（1分）因为第一年与第二年相互独立，所以1(39.6)0.20.40.08P ξ==⨯=，1(46.2)0.20.60.30.40.24P ξ==⨯+⨯=， 1(52.8)0.50.40.20P ξ==⨯=，1(53.9)0.30.60.18P ξ==⨯=， 1(61.6)0.50.60.30P ξ==⨯=．…………………………………………………（3分）所以，1ξ的分布列为：………………………………………………………………………（4分）2ξ的可能取值为：33,38.5,46.2,52.8,53.9,61.6；…………………………（5分）2(33)0.10.50.05P ξ==⨯=，2(38.5)0.10.50.05P ξ==⨯= ， 2(46.2)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(52.8)0.60.50.30P ξ==⨯= ，2(53.9)0.30.50.15P ξ==⨯=，2(61.6)0.60.50.30P ξ==⨯=， …………………（7分）所以，2ξ的分布列为：…………………………………………………………………………（8分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1(50)0.080.240.32P ξ=+=≤， 2(50)0.050.050.150.25P ξ=++=≤， 12(50)(50)P P ξξ>≤≤，所以，实施方案一，两年后该市的空气质量达到优良的概率更大． …………（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：依题意，设抛物线方程为22(0)y px p =->， 由准线12px ==，得2p =， 所以抛物线方程为24y x =-．………………………………………………（2分）设直线PQ 的方程为2x my =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2480y my +-=， 从而128y y =-．………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）证明：设3344(,),(,)M x y N x y ，则223434341121222122123434124444y y x x y y k y y y y y y k x x y y y y y y --+----=⨯=⨯=---+---． …………………（8分）设直线PM 的方程为1x ny =-，代入24y x =-， 消去x ，整理得2440y ny +-=， 所以134y y =-， 同理244y y =-．………………………………………………………………（10分）故3411221212124444182y y k y y k y y y y y y --++--=====++-，为定值． …………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意，22222(4)(2)(2)()4(4)4(4)m x m x x f x x x --+'==++，当0m >时，()022,()02f x x f x x ''>⇒-<<<⇒<-或2x >， 所以()f x 在(2,2)-上单调递增；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递减． 当0m <时，()022,()02f x x f x x ''<⇒-<<>⇒<-或2x >，所以()f x 在(2,2)-上单调递减；在(,2),(2,)-∞-+∞上单调递增． …………（4分） （Ⅱ）当2,22m x <--≤≤时， ||111()2222x m x mxmg x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在[2,2]-上单调递减．由（Ⅰ）知，()f x 在(2,2)-上单调递减，所以21()()()24162xm mx F x f x g x x ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭在(2,2)-上单调递减． 2max ()(2)4221616m m m mF x F +=-=⨯-=-∴； 2min ()(2)216m m F x F -==+． ………………………………………………………（8分）（Ⅲ）当2m ≥，1[2,)x ∈+∞时，11121()()416mx h x f x x ==+，由（Ⅰ）知1()h x 在[2,)+∞上单调递减，从而1()(0,(2)]h x f ∈，即1()0,16m h x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； ……………………………………（9分） 当2m ≥，22x <时，222||22111()()2222x m m x mx h x g x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，在(,2)-∞上单调递增，从而2()(0,(2))h x g ∈，即221()0,2m h x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（10分）对于任意的1[2,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,2)x ∈-∞，使得12()()h x h x =成立， 只需21162m m -⎛⎫< ⎪⎝⎭，即210162m m -⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立即可．记函数21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知21()162m m H m -⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[2,)+∞上单调递增，且(4)0H =，所以m 的取值范围为[2,4)． …………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：∵PE 与圆O 切于点A ， ∴EAB BFA ∠=∠， ∵//AB CD ， ∴EAB APD ∠=∠．在HGF △和AGP △中，,,HFG APG HGF AGP ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴HGF △∽AGP △， ………………………………………………………………（2分）∴GH GP GF GA =．又∵GC GD GF GA =， ∴GP GH GC GD =． ……………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：∵AB AF =， ∴ABF AFB APH ∠=∠=∠． 又∵//AB CD ，∴四边形ABHP 为平行四边形， ………………………………………………（7分）∴9AB PH ==，∴6GP PH GH =-=， ∴6329GP GH GC GD ⨯===， ∴4PC =．∵PA 是⊙O 的切线，∴2PA PC PD =，PA =．………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）由l 的参数方程消去t ，得2y x =-， 故直线l 的普通方程为20x y --=． …………………………………………（2分）由22222123(cos )4(sin )123cos 4sin ρρθρθθθ=⇒+=+， 而cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩所以223412x y +=，即22143x y +=，故椭圆C 的直角坐标方程为22143x y +=．……………………………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12(1,0),(1,0)F F -，点1(1,0)F -到直线l 的距离1d ==点2(1,0)F 到直线l 的距离2d ==，12d d +=12,F F 到直线l 的距离之和为 …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ） 当5a =时，要使函数2()log (|1||5|)f x x x a =-+--有意义， 需|1||5|50x x -+-->恒成立．1,15,5,|1||5|50210102110x x x x x x x <<⎧⎧⎧-+-->⇔⎨⎨⎨-+>->->⎩⎩⎩≤≥或或11122x x ⇒<>或，所以函数()f x 的定义域为111,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………（5分）（Ⅱ）函数()f x 的值域为R ，需要()|1||5|g x x x a =-+--能取到所有正数， 即min ()0g x ≤．由62,1,|1||5|4,15,26,5,x x x x x x x -<⎧⎪-+-=⎨⎪->⎩≤≤ 易知|1||5|4x x -+-≥，故min ()40g x a =-≤，得4a ≥，所以实数a 的取值范围为4a ≥． ……………（10分）。
福州市师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试(理)数学试题及答案
本试卷共4页． 满分150分，考试时间120分钟．第I 卷 共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．抛物线x y 212=的焦点到准线的距离为（ ***** ） A. 18B.14 C. 12D. 1 2．已知()()0,3,0,321F F -，动点P 满足：621=+PF PF ，则动点P 的轨迹为（ ***** ） A.椭圆 B. 抛物线 C. 线段 D. 双曲线3．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ***** ）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知向量)0,1,1(=，)2,0,1(-=，且k +与-2互相垂直，则k 的值是（ ***** ） A ．1 B ．51C ．53D ．57 5． 下列有关命题的说法正确的是（ ***** ）A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题。
6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直 线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ***** ）A ．52-B ．52C ．1010-D ．10107．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ***** ） A.111222a b c -+ B.111222a b c --C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 8．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ***** ）A ．1B ．25C ．2D ．5 9．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率 为（***** ）A. 55410．如图，在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是（ ***** ） A ．29 B ．3 C ．32D ．211．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1AC 的长为（ ***** ）A ．12．由半椭圆12222=+by a x （x ≥0）与半椭圆12222=+c x b y （x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中222a b c =+，a >0b c >>．由右椭圆12222=+by ax （0x ≥）的焦点0F 和左椭圆12222=+cxb y （0x ≤）的焦点1F ，2F 确定的012F F F ∆叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆12222=+by a x （0x ≥）的离心率的取值范围为（ ***** ）A ．)1,31(B ．)1,32(C ．)1,33( D ．)33,0(第Ⅱ卷 共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置. 13．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 ******** . 14．已知点P 是圆F 14)3(:22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点,则点M 的轨迹C 的方程为 ******** .15．设P 是曲线24=y x 上的一个动点，则点P 到点(1,2)-A 的距离与点P 到1=-x 的距离之和的最小值为 ******** .16．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为 ******** 米.17．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是 ******** .三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若 “p q 或”为真命题，“p q 且”为假命题，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分15分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形， ∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点． (I)求证：DE ∥平面ABC ； (II)求证：F B1⊥平面AEF ； (III)求二面角F AE B --1的余弦值． 20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点，圆Q 过O 点与F 点，且圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为23. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作倾斜角为060的直线L ，交曲线C 于A ，B 两点，求OAB ∆的面积；（3）已知抛物线上一点)4,4(M ，过点M 作抛物线的两条弦ME MD 和，且ME MD ⊥，判断：直线DE 是否过定点？说明理由。
云南师大附中2013届高三高考适应性月考卷(三)理科数学试题
云南师大附中2013届高三适应性月考卷（三）数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}{}|,|5,,A x x k N B x x x Q ==∈=≤∈则A B 等于（ ） A ． {1,2,5} B ．{l, 2，4, 5} C ．{1，4, 5}D ．{1，2，4}【答案】B【解析】当k =0时，x =1；当k =1时，x =2；当k =5时，x =4；当k =8时，x =5，故选B. 2．在复平面内，复数311i i+-对应的点位于 （ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 【答案】A 【解析】1i 22z =-对应的点是1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，故选A.3．一个几何体的三视图如图l 所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为（ ）A ．1 BCD ．【答案】B【解析】由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图1，其中正视图为PAC △，是边长为2的正三角形，PD ABC ⊥平面，且PD 底面ABC △为等腰直角三角形，AB BC ==所以体积为1132V =，故选B.4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 （ ） A ．||2x y = B．1(y g x =C ．22xxy -=+D ．111y gx =+ 【答案】D【解析】根据奇偶性定义知，A 、C 为偶函数，B 为奇函数，D 定义域为{|1}x x >-不关于原点对称，故选D.5.执行如图2所示的程序框图，则输出的x 值是（）A ．8B ．6C ．4D ．3图1【答案】A【解析】1211134242322k S k S ==+⨯===+⨯=当时，；当时，； 332233103428k S k x k ==+⨯====当时，；当时，输出.故选A.6.已知条件2:340p x x --≤；条件22:690q x x m -+-≤ 若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是（ ）A ．[]1,1-B ．[]4,4-C ．(][),44,-∞-+∞ D ．(][),11,-∞-+∞【答案】C【解析】14p x -：≤≤，记33(0)33(0)q m x m m m x m m -++-：≤≤＞或≤≤＜， 依题意，03134m m m ⎧⎪--⎨⎪+⎩＞， ≤，≥或03134m m m ⎧⎪+-⎨⎪-⎩＜， ≤，≥，解得44m m -≤或≥.选C.7．如图3，直线y=2x 与抛物线y=3－x 2所围成的阴影部分的面积是（ ）A ．353B．C．2D ．323【答案】D【解析】12332(32)d 3S x x x -=--=⎰，故选D. 8．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，下列说法正确的是（ ）A ．该函数的值域是[]1,1-B ．当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >C ．当且仅当2()2x k k Z ππ=+∈时，该函数取最大值1D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数【答案】B【解析】sin sin cos ()cos sin cos x x x f x x x x ⎧=⎨⎩，＜，，≥，由图象知，函数值域为1⎡-⎢⎣⎦，A 错；当且仅当π2π()4x k k =+∈Z， C 错；最小正周期为2π，D 错. 9．实数对（x ，y ）满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则目标函数z=kx －y 当且仅当x=3，y=1时取最大值，则k 的取值范围是（ ）A ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,|2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1.12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(],1-∞-【答案】C【解析】不等式组所表示的区域如图2所示，直线z kx y y kx z =-⇒=-过(31)，时z 取最大值，即直线y kx z =-在y 轴上的截距z -最小，由图可得直线y kx z =-的斜率112k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，故选C.图210．已知函数21,0,()1,0,x f x x x -≥⎧=⎨-<⎩则满足不等式2(3)(2)f x f x -<的x 的取值范围为（ ）A ．[)3,0-B ．（－3，0）C ．（－3，1）D ．（－3）【答案】B【解析】由函数图象可知，不等式的解为23220x x x -><⎧⎨⎩，，即(30)x ∈-，，故选B.11．若在曲线f （x ，y ）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f （x ，y ）=0的“自公切线”。
山东省济宁市曲阜师大附中2013-2014学年下学期高二年级第一次教学质量检测数学试卷(理科)
山东省济宁市曲阜师大附中2013-2014学年下学期高二年级第一次教学质量检测数学试卷（理科）选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若对任意一点和不共线的三点、、有，则是四点、、、共面的（）A．必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2. 已知向量＝，＝，则平面AMN的一个法向量是( ) A．(－3，－2,4) B．(3, 2, －4) C．(－3，－2，－4) D．(－3,2，－4) 3．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB: BB1＝:1，则AB1与BC1所成角的大小为（）A．60°B．75°C．90°D．105°4．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则•的值为（）A．a2B．a2C．a2D．a25. 若在处可导，则（）A．B．C．D．6.下面四个结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．函数的图象在处的切线的斜率是（）A.-6B.6C.-12D. 128．函数在内有极小值，则实数的取值范围为（）A. B. (0,3) C. D.9．设函数在定义域内可导，的图象如图2所示，则导函数可能为（）A．一定大于零 B．一定小于零 C．等于零 D．不能确定第II卷（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知且，则=12. 已知，则的取值范围是__________．13. 已知函数在处有极小值，则的单调递减区间是___________.14. 由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为 .15. 已知对任意恒成立，则实数的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）企业管理者通过对某电子产品制造厂做上午班工人工作效率的研究表明，一个中等技术水平的工人，从8:00开始工作，t小时后可装配某电子产品的个数为，则这个工人从8:00到12:00何时的工作效率最高？17. （本小题满分12分）(1) 已知，，，，其中三向量不共面．试判断四点是否共面？(2)设，，，．试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请给出理由．18. （本小题满分12分）已知一个圆锥的母线长为20cm，当圆锥的高为多少时体积最大？最大体积是多少？19. （本小题满分12分）设函数（1）求证：当时，函数在区间上是单调递减函数；（2）求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.20.(本小题满分13分)如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.21. （本小题满分14分）已知函数（1）若，求函数的单调区间；（2）若，且对于任意不等式恒成立，试确定实数的取值范围；（3）构造函数，求证：．2012级高二下学期第一次教学质量检测数学试卷答案一、选择题： CDCAB CBADB二、填空题： 11． 2；12. ；13. ； 14. ；15. .三、解答题:16．解：当t变化时，的变化情况如下表：由上表可知，当时，有最大值27.答：这个工人11:00工作效率最高.17. 解：(1)，，与共线，即，四点共面．(2)假设存在实数，使成立．由题意，得，解得所以存在，，，使得．18.解：当h变化时，的变化情况如下表：由上表可知，当时，有最大值.答：当圆锥的高为时体积最大，最大体积是.19. 解：…………………………………………（2分）……………………………………………………（4分）（1）当时，……………………………………（6分）当时，函数在区间上是单调递减函数. ……………………（7分）（2）当时，；当时，. ………（11分）因此，当或时，函数在区间上是单调函数. …………（12分）20.解：（1）证明：取线段的中点，连接.因为，，所以且.因为平面平面，平面平面，所以平面，所以.…………………………………………（1分）建立如图所示空间直角坐标系,则,.因为,所以,即…………………………………………（3分）（2）为平面的一个法向量. ……………………………………（4分）由（1）得：，.设为平面的一个法向量，则取，则所以…………………………………………（8分）由图可知：二面角是锐角二面角，…………………………（9分）所以二面角的余弦值为.…………………………………………（10分）（3）由（1）（2）可得：，为平面的一个法向量. ……（11分）所以，点到平面的距离.……………………………………（13分）21. 解：（1），．……………………………………………………（1分）当时，；当时，. ………………………（3分）因此，函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（4分）（2）由，得．……………………………………………………（5分）①当时，．此时，在上单调递增．故，符合题意．………………………………………（6分）②当时，．当变化时，的变化情况如下表：由上表可知，当时，有最小值．………………………（9分）依题意，得，．综上：实数的取值范围是．…………………………………（10分）（3），，，，因此，，故．……………………………………（14分）。
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云南师大附中2013-2014学年第二学期期末考试
高二数学（理科）试题
第I卷（选择题，共60分）
一、选择题（本小题共12分，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有
一个符合题目要求）
1、已知复数12iiz，则复数z的共轭复数为
A、i1 B、i1 C、i1 D、i1
2、抛物线yx22的准线方程是
A、81y B、81y C、21y D、21y
3、已知全集RU，集合}02{2xxxA，})1lg({xyxB，
BAC
U
)(
等于
A、}02{xxx或 B、}21{xx C、}21{xx D、}21{xx
4、下列四个函数中，在区间)1,0(上是减函数的是
A、xy2log B、xy1 C、xy)21( D、31xy
5、若a与cb都是非零向量，则“caba”是“)(cba”的
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分而必要条件
6、已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为cba,,,且1,3,3baA，则角
B等于
A、2 B、6 C、65 D、6或65
7、若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于
A、7 B、15 C、31 D、63
8、若把函数xxysincos3的图象向右平移)0(mm个单位长度
后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A、3 B、32 C、6 D、65
9、已知)(xf为偶函数，且)2()2(xfxf，当02x时，xxf2)(，
Nnnfan),(
，则2009a
A、2009 B、2 C、21 D、-2
10、从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体的
部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积
的值为
A、25 B、26
C、9 D、10
11、已知21,FF是双曲线)0,0(12222babyax的两焦点，
以线段21FF为底边作等腰直角三角形21FMF，若边1MF的中
点在双曲线上，则双曲线的离心率是
A、2210 B、15
C、2210 D、53
12、mmxxfxg)()(有两个零点，则实数m的取值范围是
A、)21,0[ B、),21[ C、)31,0[ D、]21,0(
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题.（每小题5分，共20分）
13、dxx10
14、若实数yx,满足约束条件3511535yxxyyx，则yxz53的最大值为
15、函数)10(2)2(log3)(aaxxfa且的图象恒过点A，若点A在直线
04nymx
上，其中0mn，则nm32的最小值为
16、已知三棱锥ABCP中，PA面ABC，2ACABPA，120BAC，则该
三棱锥的外接球体积为
三、解答题.
17、（本小题满分12分）已知}{na是一个公差大于0的等差数列，且满足5563aa，
1672aa
.
（1）求数列}{na的通项公式；
（2）设11nnnaab，求数列}{nb的前项和nT.
18、（本小题满分12分）
如图，四棱锥ABCDP中，PA底面ABCD，ADPC，底面ABCD为梯形，
BCABPABCABDCAB,,//
，点E在棱PB上，
且EBPE2.
（1）求证：平面PAB平面PCB；
（2）求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
19、（本小题满分12分）
甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，
（1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算：甲、乙二人至少有一人抽到选择题的概率是多少？
（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为，求的分布列和期望.
20、（本小题满分12分）
若椭圆)0(12222babyax的左右焦点分别为21,FF，线段21FF被抛物线bxy22的焦
点分成3：1的两段，过点)0,1(C，斜率k为的直线l交椭圆于不同两点A、B，满足
CBAC2
.
（1）求椭圆的离心率；
（2）当三角形OAB的面积最大时，求椭圆的方程.
21、（本小题满分12分）已知函数1)1()1ln()(xkxxf.
(1)若0)(xf恒成立，试确定实数k的取值范围.
(2)求证：)()1(10)1()lg3lg2lglg4(Nnennnnnneee
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知O的半径为1，MN是O的直径，过M点作O的切线AM，C是AM的
中点，AN交O于B点，若四边形BCON是平行四边形；
（1）求AM的长；
（2）求ANCsin.
23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线1C的极坐标方程为1)3cos(，曲线2C的极坐标方程为
)4cos(22
.以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
（1）求曲线2C的直角坐标方程；
（2）求曲线2C上的动点M到曲线1C的距离的最大值.
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知不等式axx2432.
（1）若1a，求不等式的解集；
（2）若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范围.