2018-2019学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(文科)

2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x﹣a≤0}，若2∈A，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．[4，+∞）2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上存在最小值的是（）A．f（x）=x2﹣x B．f（x）=|lnx|C．f（x）=x3D．f（x）=sinx 3．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）满足，则的值是（）A．0B．C．D．14．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则向量，夹角的大小为（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，则ab 的值为（）A．1B．2C．4D．86．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）数列{a n}的通项公式为，若数列{a n}单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，2）D．[1，+∞）8．（5分）已知向量，，满足++=，且2＞2＞2，则•、•、•中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定的二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）角θ的终边经过点P（4，﹣3），则tanθ=．10．（5分）等差数列{a n}中，a1=5，a2+a5=0，则{a n}中为正数项的项的个数为．11．（5分）已知，是不共线的两个向量，=，则=．12．（5分）函数在区间[0，π]上的最大值为．13．（5分）能说明“若存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题的一个函数f（x）是．14．（5分）已知函数．（1）当a=1时，函数f（x）的值域是；（2）若函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．16．（13分）设{a n}是等比数列，其前n项的和为S n，且a2=2，S2﹣3a1=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S n+a n≥48，求n的最小值．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=5，AC=7，∠B+∠D=π．（Ⅰ）求cosD的值；（Ⅱ）若AC是∠DAB的角平分线，求DC的长．18．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax﹣1．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）写出a的一个值，使得函数f（x）有三个不同零点（只需直接写出数值）19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；＜a2+a4+a6+…+a2n．（Ⅱ）求证：a1+a3+a5+…+a2n+120．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：存在x0，使得f（x0）＜1．2018-2019学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|x﹣a≤0}，若2∈A，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：∵2∈A；∴2﹣a≤0；∴a≥2；∴a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．2．（5分）下列函数中，是奇函数且在（0，+∞）上存在最小值的是（）A．f（x）=x2﹣x B．f（x）=|lnx|C．f（x）=x3D．f（x）=sinx 【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=（﹣x）2﹣（﹣x）=x2+x≠﹣f（x），不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）=|lnx|，f（﹣x）=ln|﹣x|=lnx=f（x），为偶函数，不是奇函数，不符合题意；对于C，f（x）=x3，为幂函数，是奇函数，但在（0，+∞）上不存在最小值对于D，f（x）=sinx，为正弦函数，是奇函数，在（0，+∞）上存在最小值﹣1；故选：D．3．（5分）函数f（x）=sin（x+φ）满足，则的值是（）A．0B．C．D．1【解答】解：由f（x）=sin（x+φ）满足，得sin（φ）=1，即φ=，k∈Z．则φ=，k∈Z．∴f（x）=sin（x+φ）=sin（x+）=sin（x+）．∴=sinπ=0．故选：A．4．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则向量，夹角的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，夹角的大小为θ，θ∈[0，π]，∵向量=（1，2），=（3，1），∴cosθ===，故选：B．5．（5分）已知函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，则ab 的值为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：函数f（x）=log a x，g（x）=b x，的图象都经过点，∴=2，=2，解得a=，b=16．则ab=8．故选：D．6．（5分）在△ABC中，“C=”是“sinA=cosB”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“C=”⇔“A+B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB，反之sinA=cosB，A+B=，或A=+B，“C=”不一定成立，∴A+B=是sinA=cosB成立的充分不必要条件，故选：A．7．（5分）数列{a n}的通项公式为，若数列{a n}单调递增，则a的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．[0，+∞）C．（﹣∞，2）D．[1，+∞）＞a n，可得：n+1+＞n+，化为：a＜【解答】解：数列{a n}单调递增⇔a n+1n2+n．∴a＜2．故选：C．8．（5分）已知向量，，满足++=，且2＞2＞2，则•、•、•中最小的值是（）A．B．C．D．不能确定的【解答】解：∵；∴，，；∴，，；∵；∴，；∴；∴．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）角θ的终边经过点P（4，﹣3），则tanθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（4，﹣3），∴x=4，y=﹣3，则tanθ==﹣，故答案为：﹣．10．（5分）等差数列{a n}中，a1=5，a2+a5=0，则{a n}中为正数项的项的个数为3．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=5，a2+a5=0，∴5+d+5+4d=0，∴d=﹣2，∴a n=5﹣2（n﹣1）=﹣2n+7，a1＞0，a2＞0，a3＞0，n≥4时，a n＜0，则{a n}中为整数的项的个数为3，故答案为：3．11．（5分）已知，是不共线的两个向量，=，则=．【解答】解：，是不共线的两个向量，=，∴==，则==，故答案为：．12．（5分）函数在区间[0，π]上的最大值为2．【解答】解：由于：x∈[0，π]，所以：，则：，则，所以函数的最大值为2，故答案为：213．（5分）能说明“若存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题的一个函数f（x）是f（x）=x2﹣1．【解答】解：“若存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），则f（x）不是偶函数”为假命题，例如：f（x）=x2﹣1．当x=﹣1时，满足f（﹣1）=0，f（1）=0，满足存在x0，使得f（﹣x0）=﹣f（x0），但是函数f（x）是偶函数，故答案为：f（x）=x2﹣1．14．（5分）已知函数．（1）当a=1时，函数f（x）的值域是R；（2）若函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是[0，1]【解答】解：（1）当a=1时，即当x≤1时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1≤1，当x＞1时，f（x）=x＞1，综上所述当a=1时，函数f（x）的值域是R，（2）由f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，其对称轴x=1，当a＞1时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象，存在直线y=a没有交点；当0≤a≤1时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a只有一个交点当a＜0时，根据f（x）=﹣x2+2x的图象和f（x）=x，存在直线y=a没有交点；要使函数f（x）的图象与直线y=a只有一个公共点，则实数a的取值范围是[0，1]；故答案为：R；[0，1]．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）函数．当x=0时，可得f（0）=（Ⅱ）由函数==sinx+cosx=sin（x+）令x+得：≤x≤∵x，∴函数f（x）的单调递增区间[，），k∈Z．16．（13分）设{a n}是等比数列，其前n项的和为S n，且a2=2，S2﹣3a1=0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若S n+a n≥48，求n的最小值．【解答】解：（1）设等比数列的公比q，∵S2﹣3a1=0，∴a2=2a1=2，∴q=2，a1=1，∴=2n﹣1（2）∵S n==2n﹣1，∵S n+a n=2n﹣1+2n﹣1=3•2n﹣1﹣1≥48，∴3•2n﹣1≥49，∴，∴n≥6即n的最小值6．17．（13分）如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=5，AC=7，∠B+∠D=π．（Ⅰ）求cosD的值；（Ⅱ）若AC是∠DAB的角平分线，求DC的长．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=7，∴由余弦定理可得cos∠B===﹣，∵∠B+∠D=π，∴cos∠D=cos（π﹣∠B）=﹣cos∠B=．（Ⅱ）∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，∴由正弦定理，在△ABC中，有，在△ADC中，有，∵sin∠ABC=sin∠DAC，且sin∠B=sin（π﹣∠D）=sin∠D，∴DC=BC，∴DC=5．18．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax﹣1．（Ⅰ）当a=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）的切线；（Ⅲ）写出a的一个值，使得函数f（x）有三个不同零点（只需直接写出数值）【解答】（Ⅰ）解：函数f（x）=x3+x2+ax﹣1的定义域为（﹣∞，+∞），当a=﹣1时，f（x）=x3+x2﹣x﹣1，∴f′（x）=3x2+2x﹣1，令f′（x）=0，得x1=﹣1，x2=，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：）∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间为（﹣1，）；（Ⅱ）证明：∵f′（x）=3x2+2x+a，令f′（x）=）=3x2+2x+a=a，解得x1=0，x2=，而f（0）=﹣1，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y+1=a（x﹣0），即y=ax﹣1，∴无论a为何值，直线y=ax﹣1是曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线；（Ⅲ）解：取a的值为﹣2．19．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；＜a2+a4+a6+…+a2n．（Ⅱ）求证：a1+a3+a5+…+a2n+1【解答】（I）解：∵．∴a1=S1=1﹣1=0，a1+a2=22+1，a1+a2+a3=32﹣1，联立解得：a1=0，a2=5，a3=3．（II）证明：n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+（﹣1）n﹣[（n﹣1）2+（﹣1）n﹣1]=2n﹣1+2（﹣1）n．当n为偶数时，a n=2n+1；当n为奇数时，a n=2n﹣3（n＞1）．=0+3+7+……+2（2n+1）﹣3==2n2+n．∴a1+a3+a5+…+a2n+1a2+a4+a6+…+a2n=5+9+……+（2n+1）==2n2+3n．∵2n2+3n﹣（2n2+n）=2n＞0．∴a1+a3+a5+…+a2n＜a2+a4+a6+…+a2n．+120．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）求证：存在x0，使得f（x0）＜1．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）且m≠0，f′（x）=，令f′（x）=0，解得：x=﹣或x=，当m＞0时，x，f′（x），f（x）的变化如下：）故函数f（x）在x=处取得极小值f（）=，当m＜0时，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：（﹣）故函数f（x）在x=﹣处取得极大值f（﹣）=+；（Ⅱ）当m＜0时，由（Ⅰ）知，f（x）的最小值是f（）=，存在x0，使得f（x 0）＜1⇔f（）＜1，则f（）﹣1=，设g（x）=lnx﹣x，则g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令g′（x）＜0，解得：x＞1，故g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，=g（1）=﹣1＜0，故g（x）最大值故f（）﹣1＜0，原结论成立．。