河南省南阳市高三数学上学期五校联谊期中联考试题 文 新人教版
2023-2024学年河南省南阳市高三上学期期中联考数学试题+答案解析
2023-2024学年河南省南阳市高三上学期期中联考数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个集合中，是空集.( )A. B. ，且C. D.2.命题“，”的否定为( )A. ，B. ，C. ，D. ，3.若复数z满足，则( )A. B. 2 C. D. 4i4.公比不为1的等比数列满足，若，则m的值为( )A. 8B. 9C. 10D. 115.若函数有两个零点，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.6.已知，，，则( )A. B.C. D.7.已知a，b，c分别为的三个内角的对边，若点P在的内部，且满足，则称P为的布洛卡点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：注：则( )A. B. C. D.8.已知在上单调递减，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下图是函数的部分图像，则( )A. B. C. D.10.已知是数列的前n项和，，则( )A.是等比数列 B. C. D.11.设，若，则的值可能为( )A. B. C. 1 D. 212.设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是( )A. 且B. 且C. 且D. 且三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是__________.14.四边形ABCD中，，，BD是四边形ABCD的外接圆的直径，则__________.15.奇函数满足，，则__________.16.互不相等且均不为1的正数a，b，c满足b是a，c的等比中项，则函数的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分设数列为等差数列，其前n项和为，数列为等比数列．已知求数列和的通项公式；求数列的前n项和18.本小题12分已知函数，其中，若实数满足时，的最小值为求的值及的单调递减区间；若不等式对任意时恒成立，求实数a应满足的条件.19.本小题12分记为数列的前n项和.已知证明：是等差数列；若，，成等比数列，求数列的前2024项的和.20.本小题12分在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____.从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答条件①：条件②：求角A；若为锐角三角形，，求面积的取值范围.21.本小题12分已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线.若，求求a的取值范围.22.本小题12分已知函数，判断函数的单调性并证明；设n为大于1的整数，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生对空集的理解，属于基础题.根据空集的定义求解即可.【解答】解：对于选项A，含有一个元素0，不是空集；对于选项B，小于且大于2的实数不存在，因此，且为空集；对于选项C，，含有一个元素，不是空集；对于选项D，是无限集，不是空集.故本题选：2.【答案】A【解析】【分析】本题考查全称量词命题与存在量词命题，属于基础题.存在量词命题的否定为全称量词命题，据此得到答案.【解答】解：命题“，”的否定为“，”.故选：A3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数，属于基础题.根据复数的除法运算法则，求得z，进一步计算即可.【解答】解：因为，所以，，则，故选：4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查等比中项，属于基础题.根据等比数列的性质列方程求得m的值.【解答】解：依题意，数列是等比数列，且公比，，，所以 .故选：C5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数零点与方程根的个数问题，属于中档题.利用函数有零点等价于对应方程有实根，通过换元将其转化成一元二次方程的根的问题即可求得.【解答】解：由函数有两个零点可知，方程有两个不相等的实根.不妨设则，依题意可知方程有两个不相等的正实根，故有，解得即实数a的取值范围为故选：6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查指数函数图象与性质比较大小，考查三角函数值域，属于中档题.由，得到，再利用指数函数和幂函数的单调性求解.【解答】解：因为，所以，所以，所以，即，故选：7.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查正弦定理及变形，考查诱导公式等，属于中档题.结合图象，求得，，分别在，，中利用正弦定理可求得，，，三数相加化简即可.【解答】解：如图所示，，故，同理，，在中，由正弦定理得：，即，所以，在中同理可得：，在中同理可得：，所以，故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了利用导数解决函数单调性问题，属于较难题.利用必要性探路得到，再证明充分性可以避免繁琐的讨论，简化运算，是解题的关键.确定在上恒成立，根据得到，再证明充分性，，设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.【解答】解：，在上恒成立，设，，，①必要性：，恒成立，故，故，若，则存在，使时，，单调递增，，不满足条件；②充分性：，，设，在恒成立，故单调递减，，故恒成立，综上所述： .故选：9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查了利用三角函数图象求三角函数的解析式，也考查了诱导公式的灵活应用，属于基础题.首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【解答】解：由函数图像可知：，则，所以排除选项A，当时，，解得：，即函数的解析式为：而，故选项D项不正确.故选：10.【答案】ABD【解析】【分析】本题考查等比数列的判断或证明，等比数列的通项公式，前n项和公式，等比中项等问题，属于中档题.利用递推关系求得，逐项验证即可.【解答】解：因为，①当时，则，当时，，②① - ②得，则，故是以1为首项，公比为的等比数列，且，故A正确；又，故B正确；，故C错误；由题中，，故D正确，故选：11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查一元二次方程的解集问题，属于中档题.根据题意，由判别式法即可得到的范围，从而得到结果.【解答】解：令，则，代入可得，，关于x的方程有解，则，解得，所以，则BC选项符合题意.故选：12.【答案】AC【解析】【分析】本题考查利用导数根据极值点求参，属于较难题.根据题意，求得，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，即可求解.【解答】解：由函数，可得，令，可得或，要使得为函数的极小值点，当时，则满足，解得，所以A正确；当时，则满足，解得，所以C正确.故选：13.【答案】或【解析】【分析】本题主要考查等差中项问题，属于基础题.根据等差数列的知识列方程，化简求得这个正实数.【解答】解：设这个正实数的小数部分是，整数部分是y，自身是，则，所以，由于，，当时，；当时，；当时，，不符合.综上所述，这个正实数是或 .故答案为：或14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查向量数量积的运算，属于中档题.根据圆内接四边形的性质及数量积的定义即可求解.【解答】解：依题意：，故答案为：15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，考查函数的周期性，属于中档题.根据奇函数得到，确定函数周期为 6 ，计算得到答案.【解答】解：奇函数满足，则，，故，函数周期为 6 ，.故答案为： .16.【答案】4【解析】【分析】本题考查等比中项，利用基本不等式求取值范围，属于较难题.先根据条件：成等比数列，得到的关系，再用基本不等式求的最小值.【解答】解：是的等比中项，，是互不相等且均不为1的正数，， ..因为是互不相等且均不为1的正数，所以上式只能在，，时，即时取等号.故答案为：17.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由可得，即，解得，所以，，，，则；，则①，可得②，① - ②得：，因此， .【解析】本题考查等差、等比数列的基本计算，错位相减法求和，考查运算求解能力，是中档题.设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，根据题意，列方程求解即可得答案；根据错位相减法求和即可.18.【答案】解：由题意，函数，因为实数满足时，的最小值为，所以的最小正周期，解得，所以，由，解得，所以的单调递减区间为由，因为，可得，令，则，所以，，即，即，令，可得，又由函数在为递减函数，所以，所以，解得，即实数a的取值范围是【解析】本题考查三角恒等变换的综合应用，三角函数的图象与性质，对勾函数的图象与性质，属于较难题.化简为，结合最小正周期求得，得到，结合三角函数的性质，即可求解函数的单调递减区间；化简，令，得到，结合函数的性质，即可求解.19.【答案】解：证明：，即①，当时，②，① - ②得，，即，即，所以，且，所以是以1为公差的等差数列.，，，，成等比数列，，解得，故，故 .数列的前2024项和为：【解析】本题考查裂项相消法求和，考查等比中项，等差数列的判定等，属于中档题.，，两式相减整理得到，得到证明；根据等比中项计算得到，确定，再利用裂项相消法求和即可.20.【答案】解：选择①，由及正弦定理，得，整理得，由余弦定理得，而，所以 .选择②，由，得，即，解得，又，所以 .由知，，由正弦定理得，即，而是锐角三角形，则，解得，，即，因此，，所以面积的取值范围是 .【解析】本题考查三角形面积公式，正余弦定理，诱导公式等，属于中档题.选择①，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择②，利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式求解即得.利用正弦定理求出边b的范围，再利用三角形面积公式求解即得.21.【答案】解：，，且故在点处的切线方程为又与相切，将直线代入得由得，曲线在点处的切线方程为，即由得，设在点处的切线方程为，即，，令，则当或时，，此时函数单调递减;当或时，，此时函数单调递增又，，，，故【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题.22.【答案】解：函数的定义域为，函数的定义域为函数在上单调递减，在上单调递增证明：，则为上的偶函数.，，故，所以函数在上单调递减，在上单调递增.证法一要证明，需证明即证明，即，由可知即证 .且在单调递增，所以对，成立.证法二要证明，即证明，即证，即证，设函数，，故函数在上单调递增又，，即成立，故原不等式成立.【解析】本题主要考查函数单调区间，利用导数证明不等式等，属于较难题.先求导，再分析导数的符号，进而可得函数的单调性.证法一将问题转化为证，由可知即证，进而可得答案.证法二将问题转化为证，即证，即可得出答案.。
河南省部分学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题
河南省部分学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}1,3,4B =，则()()U U A B ⋂=痧（）A ．{}1B ．{}2,5C ．{}2,4D ．{}1,2,3,42．已知23i i a +-为实数，则实数a 等于（）A ．23B ．23-C ．32D ．32-3．命题“若1x >，则0x >”的否定是（）A ．若1x >，则0x ≤B ．若1x ≤，则0x >C ．存在一个实数x ，满足1x >，但0x ≤D ．对任意实数x ，满足1x >，但0x ≤4．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是A ．B ．C ．D ．5．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，筒转动的角速度ω为πrad/s 12，如图所示，盛水桶M （视为质点）的初始位置0P 距水面的距离为3m ，则3s 后盛水桶M 到水面的距离近似为（） 1.4≈1.7≈）．A ．4.5mB ．4.0mC ．3.5mD ．3.0m6．数列{}n a 的通项公式为21021n a n n =-+，则当该数列的前n 项和取得最小值时，n 的值为（）A ．5B ．7C ．7或8D ．6或77．已知2log 3a =，4log 5b =，c =a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b<<8．若直线:l y kx b =+通过点(cos ,sin )M αα，则下列结论错误的是（）A ．当[0,2π)α∈且1k =时，α存在唯一的值，使得b =B ．当[0,2π)α∈且2k =时，α存在两个值，使得b =C ．当π[0,2α∈且0k >时，b 无最大值D ．当π[0,2α∈时，α存在无数个值，使得22b k <二、多选题9．关于x ，y 的方程22sin cos 1x y αα+=，下列说法正确的是（）A ．若ππ(,)42α∈，则该方程表示椭圆，其焦点在y 轴上B ．若π4α=C ．若π(0,4α∈，则该方程表示椭圆，其焦点在x 轴上D ．若2πk α=，k ∈Z ，则该方程表示两条直线10．记实数1x ，2x ，L ，n x 中的最大数为{}12max ,,,n x x x ，最小数为{}12min ,,,n x x x .已知函数(){}min ,f x x x t =+，max ,,min ,,a b c a b c k b c a b c a ⎧⎫⎧⎫=⋅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，其中a ，b ，c 分别为ABC V 内角A ，B ，C 的对边，且a b c ≤≤，则下列说法正确的是（）A ．当1t =-时，()f x 的最小值为12B ．若()f x 的图象关于直线12x =-对称，则1t =C ．“1k =”是“ABC V 为等边三角形”的充要条件D ．“1k =”是“ABC V 为等边三角形”的必要不充分条件11．已知函数()e x f x =，()ln g x x =，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象与函数()g x 的图象只有一条公切线B ．函数()f x 的图象上任一点关于直线y x =的对称点都在函数()g x 的图象上C ．当2m ≤时，()()f x g x m >+恒成立D ．函数()f x 的图象与函数122x g ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象和直线()0y m m =>分别交于A ，B 两点，则AB 的最小值为2ln2+三、填空题12．已知向量()1,2OA = ，()4,2OB = ，()4,6OC = ，则cos ,BA AC = .13．过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、.C 若12AB BC = ，则双曲线的离心率是．14．某工厂去年12月试产1050个某款电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的若干年中将正式生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么从正式生产这款产品算起，在第个月，月不合格品的数量达到最大.四、解答题15．设ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1cos cos 2a Bb Ac -=.(1)求tan tan A B 的值；(2)若2c =，当tan()A B -取得最大值时，求ABC V 的面积.16．已知向量)1a =-，1,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .若存在不同时为零的实数k 和t ，使得()243=+- x a t b ，16=-+ y ka tb ，且x y ⊥ .(1)求()k f t =的解析式；(2)求（1）中的()k f t =在[]0,a 上的极值.17．已知数列{}n a 是等差数列，21a a =+，541a a =+.(1)若3a =，求{}n a 的通项公式；(2)若a {}n a 中的任意不同的三项均不能成等比数列.18．已知函数()e 22x f x x a =-+，x ∈R .(1)求()f x 的单调区间与极值.(2)当ln21a >-且0x >时，证明：2e 21x x ax >-+.(3)设函数()()2e 23x g x x a x a =-++，若()f x 和()g x 的图象有两个交点，求实数a 的取值范围.19．已知平面内的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，线段PQ 长度的最小值称为点P 到线段l 的距离，记作(),d P l .(1)求点()1,1P 到线段():3035l x y x --=≤≤的距离(),d P l ；(2)设l 是长度为2的线段，求点的集合(){},1D Pd P l =≤∣所表示的图形面积；(3)求出到两条线段1l ，2l 距离相等的点的集合()(){}12,,Pd P l d P l Ω==∣，其中1l AB =，2l BC =，()0,1A ，()0,0B ，()2,0C .。
河南省南阳市部分示范高中(五校)高三数学上学期第一次
五校联考高三年级数学试题（文科）一、选择题（每小题5分，共60分） 1.如果命题“p q 或”为假命题，则（ ） A 、,p q 中至多有一个为假命题 B 、,p q 均为假命题 C 、,p q 均为真命题D 、,p q 中恰有一个为真命题2.函数y = ） A 、()1,2B 、()2,+∞C 、()1,+∞D 、[)2,+∞3.下列函数中既是偶函数，又是区间[]1,0-上的减函数的是（ ） A 、cos y x = B 、1y x =-- C 、2ln 2x y x-=+ D 、x xy e e -=+ 4.设115114113112log 1log 1log 1log 1+++=P ，则（ ） A ．10<<P B ．21<<PC ．32<<PD ．43<<P5.在ABC V 中“0AB BC >u u u r u u u rg ”是“ABC V 为钝角三角形”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件6. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=-，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20112012f f -+=（ ）A 、21log 3+B 、21log 3-+C 、1-D 、17．已知),(,)1(log )1()3()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<--=是x x x ax a x f a 上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．（1，+∞）B ．（3,∞-）C ．)3,23[ D ．（1，3）8．设函数)0(1)6sin()(>-+=ωπωx x f 的导函数)(x f '的最大值为3，则)(x f 的图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．9π=xB ．6π=xC. 3π=x D ．2π=x9．.已知数列}{n a 为等差数列，若11101,a a <-且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的n 的最大值为（ ）A.11B.19C.20D.2110.设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( ) A ． B ．[2，3] C ．[3，2]D ．[2，2]11．已知向量OC OA BC OB OA 与则),sin 2,cos 2(),0,2(),2,0(αα===夹角的取值范围是 （ ） A ．]4,0[πB ．]32,3[ππ C ．]43,4[ππ D ．]65,6[ππ 12.已知函数2010sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围是( )A ．(1,2010)B ．(1,2011)C ．(2,2011)D ．[2,2011]二、填空题：每小题5分，共20分；直接将答案填写在答卷上，不用写计算过程．13.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4),1(4,)21()(x x f x x f x，则2(1log 5)f +的值为 ；14.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图像关于直线21=x 对称，则(1)(2)(3)(4)(5)____f f f f f ++++=15 .定义：数列{}n a ,满足d a a a a nn n n =-+++112()*N n ∈d 为常数，我们称{}n a 为等差比数列，已知在等差比数列{}n a 中，2,1321===a a a ，则20062009a a 的个位数 是16.已知函数221ln )(x x a x f +=（a ＞0）若对任意两个不相等 的正实数1x 、2x 都有2121)()(x x x f x f --＞2恒成立，则a 的取值范围是三、解答题：共70分；要求在答卷上写出详细的计算与推演过程． 17. （本小题满分10分） 叙述并证明正弦定理18. （本小题满分12分）某海滨浴场的岸边可以近似的看成直线，位于岸边A 处的救生员发现海中B 处有人求救，救生员没有直接从A 处游向B 处，而是沿岸边自A 跑到距离B 最近的D 处，然后游向B 处。
河南省南阳市2020届高三上学期期中考试数学文试卷Word版含答案
河南省南阳市2020届高三上学期期中考试数学文试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A ＝{x∈N|x≤3}，B ＝{x|x 2+6x ﹣16＜0}，则A∩B＝（ ） A ．{x|﹣8＜x ＜2} B ．{0，1} C ．{1} D ．{0，1，2} 2．复数11bii+-的实部和虚部相等，则实数b 的值为（ ） A ．－1 B ．－17 C ．17D ．03．已知向量m ＝（x+1，1），n ＝（x+2，2），若（m +n ）⊥（m ﹣n ），则x ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣3D ．﹣44．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若x 2＝1，则x≠1”的否命题是“若x 2＝1，则x ＝1”B ．命题“2000,0x R x x ∃∈-<”的否定是“∀x ∈R ，x 2﹣x ＞0”C ．“y＝f （x ）在x 0处有极值”是“f '（x 0）＝0”的充要条件D ．命题“若函数f （x ）＝x 2﹣a x+1有零点，则“a ≥2或a ≤﹣2”的逆否命题为真命题5．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为（2，﹣1），点N 的坐标满足的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．－16．函数y ＝sin ln sin x x x x -⎛⎫⎪+⎝⎭的图象大致是（ ）7．设a ＝log 2，b ＝12e -，c ＝ln π，则（ ） A ．c ＜a ＜bB ．a ＜c ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．已知正项等比数列{a n }的公比为2，若a m a n ＝4a 22，则212m n+的最小值等于（ ） A ．34 B ．12 C ．13 D ．169．函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acos ωx的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向左平移6π个单位长度10．已知△ABC 的外接圆半径为2，D 为该圆上一点，且+＝，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．311．设点P ，Q 分别是曲线y ＝xe ﹣x（e 是自然对数的底数）和直线y ＝x +3上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．D ．12．已知函数f （x ）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x ＞0时，f （x ）＝则函数g （x ）＝2f （x ）﹣1的零点个数为（ ）个． A ．6B ．7C ．8D ．9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sin C ＝3：4：6，则cos B ＝ ．14．若平面内不共线的向量，，两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝2，则|++|＝ ．15．设数列{a n }满足a 1＝1，（1﹣a n +1）（1+a n ）＝1（n ∈N +），则的值为 ．16．将边长为2的等边△ABC沿x轴正方向滚动，某时刻A与坐标原点重合（如图），设顶点A（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），关于函数y＝f（x）有下列说法：①f（x）的值域为[0，2]；②f（x）＜f（4）＜f（2018）；③f（x）是周期函数且周期为6；④滚动后，当顶点A第一次落在x轴上时，f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积为+．其中正确命题的序号是三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝3a n﹣1（n∈N*）．（1）若数列{bn}满足b n＝a n﹣，求证：{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）已知在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2sin2A+3cos（B+C）＝0．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S＝，求sin B+sin C的值．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣a x2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）若函数f（x）在x＝﹣1和x＝3处取得极值，试求a，b的值；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，6]时，f（x）＜2|c|恒成立，求c的取值范围．21．（12分）已知＝（sinx，﹣cosx），＝（cosx，cosx），f（x）＝•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若A，B，C为锐角△ABC的三个内角，且A＝2B，求f（A）的取值范围．22．（12分）设f（x）＝x ln x﹣a x2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）＝，求g（x）的单调区间；（Ⅱ）当＜a≤1时，证明：f（x）≤0．河南省南阳市2020届高三上学期期中考试数学文试卷参考答案一、选择题1．B 2．D 3．C 4．D 5．A 6．D 7.C 8.A 9. B 10．C 11．B 12．A二、填空题13．293614． 15． 16．①③④三、解答题17.解析：（1）证明：由数列{a n }满足，a n+1=3a n ﹣1（n ∈N +）．可知，………………………………………………2分从而有b n+1=3b n ，， …………………………………………………4分所以数列{b n }是以1为首项，3为公比的等比数列. ………………………………5分（2）由（1）知， ………………………………………………………………6分从而， …………………………………………………………………8分∴前n 项和S n =（1+3+9+…+3n ﹣1）+=+=．……………………………………………………………10分18.解析：（1）∵在△ABC 中2sin 2A+3cos （B+C ）=0，∴2（1﹣cos 2A ）﹣3cosA=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去），………………………………………………4分∵0＜A ＜π，∴A=； ………………………………………………………6分（2）∵△ABC 的面积S=bcsinA=bc=5，∴bc=20，……………………………8分再由c=4可得b=5，故b+c=9，由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=（b+c ）2﹣3bc=21，∴a=，………………………………10分∴sinB+sinC=+=×（b+c ）=×9=∴sinB+sinC的值是.…………………………………………………………12分19. 解析：（1）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a 适合上式，所以56+=n a n ； ……………………………………………………………3分设数列{}n b 的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b db 321721111，解之得3,41==d b ，所以13+=n b n .……………………………………………………………………6分（2）由（1）知112)1(3)33()66(++⋅+=++=n nn n n n n c ， …………………………………7分 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，即]2)1(242322[31432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ,…………………………8分所以]2)1(242322[322543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，……………………9分以上两式两边相减得222143223]2)1(12)12(44[3]2)1(22222[3++++⋅-=+---+=+-+⋅⋅⋅+++⨯=-n n n n n n n n n T .……………………………11分 所以223+⋅=n n n T .………………………………………………………………12分20.解析：(1)f ′(x)＝3x 2－2ax ＋b ，…………………………………………………1分∵函数f(x)在x ＝－1和x ＝3处取得极值， ∴－1,3是方程3x 2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎨⎧－1＋3＝23a ，－1×3＝b3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－9.……………………………………………4分(2)由(1)知f(x)＝x 3－3x 2－9x ＋c ，f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：而f(－2)＝c－2，f(6)＝c＋54，∴当x∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c＋54，………………………………8分要使f(x)<2|c|恒成立，只要c＋54<2|c|即可，当c≥0时，c＋54<2c，∴c>54 ……………………………………………10分当c<0时，c＋54<－2c，∴c<－18. ………………………………………11分∴c∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为实数c的取值范围．…………………………………………………12分21.解析：（1）………………………………………………3分由，得，………………5分故的单调递增区间为，…………………………………6分（2）依题可得又，，解得：，…………………………8分…………………………………………………………………9分∴∴……………………………………………………………11分即的取值范围为. ………………………………………………………12分22.解析：（1）由,. …………………………………1分可得.………………………………………………2分当时, 时，，函数单调递增；………………………3分当时，时，，函数单调递增；时，，函数单调递减；…………………………5分所以，当时，函数单调递增区间为；当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. …6分（2）只要证明对任意，.由（1）知，在取得最大值，且[]max 11()()ln222ln2g x g a a aa a==+-=--.……………………………8分令，，则在上单调递增，. …………………………………………10分所以当112a<≤时，[]max()()()0g x g x h a≤=≤即. ………………………………………………………………………12分。
河南省南阳市2023届高三上学期期中文科数学试题含答案
2022年秋期高中三年级期中质量评估数学试题（文）（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效.2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁，不折叠、不破损.第I 卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合401x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}54B x x =-<<，则()R A B ⋂=ð（）A.(](),14,-∞-+∞ B.()(),14,-∞-⋃+∞ C.()5,1-- D.(]5,1--【答案】D 【解析】【分析】解不等式得到集合A ，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合{}14A x x =-<≤，{R 1A x x =≤-ð或}4x >，所以(){}R 51A B x x ⋂=-<≤-ð.故选：D.2.若2z i z i +=-=，则z =（）A.1B.C.D.2【答案】C 【解析】【分析】设i z x y =+，,R x y ∈，由条件列方程求,x y ，再由复数的模的公式求z .【详解】设i z x y =+，,R x y ∈，因为2z i z i +=-=，2=2=，所以0y =，23x =，所以z ==，故选：C.3.已知()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，则()2f =（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】因为()()()2lg5lg 10lg f x x x =⋅+，所以()()()()()()()22222lg5lg 20lg 2lg5lg 4lg 2l 5g5l g lg5lg g 2l 22f ⨯=⨯+++=⨯+=+⨯()()22lg 5lg 2lg101=+==.故选：A.4.已知数列{}n a 的前n 项和211n S n n =-.若710k a <<，则k =（）A.9B.10C.11D.12【答案】B 【解析】【分析】先求得n a ，然后根据710k a <<求得k 的值.【详解】依题意211n S n n =-，当1n =时，110a =-；当2n ≥时，211n S n n =-，()()22111111312n S n n n n -=---=-+，两式相减得()2122n a n n =-≥，1a 也符合上式，所以212n a n =-，*N k ∈，由721210k <-<解得911k <<，所以10k =.故选：B5.若x ，y 满足3020x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩则2x y -的最小值是（）A.3-B.5- C.8 D.7-【答案】D 【解析】【分析】根据题意画出可行域，令2z x y =-，即1122y x z =-，所以平移斜率为12的直线，12z -相当于在y 轴上的截距，找到使y 轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】由题知，画出满足题意的可行域如下所示，令2z x y =-，即1122y x z =-，12z -相当于直线1122y x z =-在y 轴上的截距，平移直线12y x =，当直线过A 点时，截距最大，z 最小，联立203x y x -+=⎧⎨=⎩，可得()A 3,5，故在A 点时取得最优解，代入2z x y =-，可得7z =-.故选：D.6.已知：()1,2a =r，b = a b - 的最大值是（）A.B. C.+ D.-【答案】B 【解析】【分析】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r 可得a =得a b -=.【详解】设向量a 与b的夹角为()0πθθ≤≤，由()1,2a =r ，得a == 所以a b -== ，因为0πθ≤≤，所以1cos θ1-＃，即52520cos 45θ≤-≤≤≤所以a b -的最大值为.故选：B.7.函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()1cos f x x x=+ B.()1sin f x x x =+C.()1cos f x x x=- D.()1sin f x x x=-【答案】D 【解析】【分析】由函数的奇偶性排除A ，C ，由函数在0x =处的变化趋势排除B ，得正确选项．【详解】由函数图像可知,函数()f x 为奇函数,对于A:()()()11cos cos f x x x f x x x-=-+=+≠---，()f x 不是奇函数排除A 选项；()()()11cos cos f x x x f x x x-=--=+≠--，()f x 不是奇函数排除C 选项；对于B ,当0x >，且x 趋近于0时，由图知()f x 趋近于-∞，但()10,sin 0x f x x x→=+>排除B ；故选：D.8.若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）A.6B.6- C.3D.36【答案】B 【解析】【分析】先由已知条件求出πsin 6α⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦化简计算可得答案.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，因为πcos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以πsin 63α⎛⎫+=== ⎪⎝⎭，所以ππsin sin 66αα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππππsin cos cos sin6666αα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭132326-=⨯-⨯=，故选：B9.在ABC 中，30C =︒，b =，c x =.若满足条件的ABC 有且只有一个，则x 的可能取值是（）A.12B.32C.1D.【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理得到sin 2B x=，再分030B ︒<≤和30B ︒>两种情况讨论，结合正弦函数的性质求出x 的取值范围，即可判断.【详解】解：由正弦定理sin sin b c B C =，即sin sin 30x B ︒=，所以sin 2B x=，因为ABC 只有一解，若30B ︒>，则90B ︒=，若030B ︒<≤显然满足题意，所以10sin 2B <£或sin 1B =，所以1022x <≤或12x =，解得x ≥或2x =；故选：D10.若将函数()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，与函数()()2cos 2g x x ϕ=+的图像重合，则ϕ的一个可能取值为（）A.π3B.π3-C.2π3-D.4π3-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像平移规律得到平移后的解析式，再对()g x 的解析式变形处理，列出等式，即可判断.【详解】()π2sin ,03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，周期2πT ω=，函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移14个周期后，得函数πππ2sin 2sin 236y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，而()()()ππ2cos 22sin 22sin 222g x x x x ϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由题意π2,2π,Z π26k k ωϕ=+=-∈，Z 2,π32πk k ϕ∴=-∈，令32ππ2π3k ϕ=-=，得1Z 2k =∉，故A 错误；令32ππ23πk ϕ=-=-，得1Z 6=∉k ，故B 错误；令2π2π332πk ϕ=-=-，得0Z k =∈，故C 正确；令32π34π2πk ϕ=-=-，得1Z 3=-∉k ，故D 错误.故选：C.11.已知函数()πe (cos ),0,2π1,,02x x a x f x x x ⎧⎛⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎤⎪--∈- ⎥⎪⎝⎦⎩在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.1a ≥B.3a ≥ C.2a ≥ D.12a ≤≤【答案】C 【解析】【分析】利用导数求解π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减满足的条件，即可结合分段函数的性质求解.【详解】当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()e (cos )x f x x a =-，则()e (cos sin )0xf x x x a '=--≤所以πcos sin 4a x x x ⎛⎫≥-=+ ⎪⎝⎭恒成立，由于π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ3π,444x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()π1,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，因此1a ≥，要使()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，则需要()()01201e cos0a a f a ≥⎧⇒≥⎨=-≥-⎩,故选：C12.已知：22π1tan 8π1tan 8a -=+，2b =，4log 3c =，则（）A.a b c <<B.a c b<< C.c<a<b D.c b a<<【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的公式求出22a =，然后借助指数函数的单调性得到2log 31.5232<=<=，即可得到a c <，构造函数()22xf x x =-，利用函数的单调性得到0>，整理后即可得到b c >.【详解】222222πππ1tan cos sin π888cos πππ421tan cos sin 888a --====++，2242log 3log 3log 3log 42c ===，∵2log 31.5232<=<=，2log 3<，则2log 322<，即a c <，设函数()22xf x x =-，则()2ln 22x f x '=-，∵()22412ln 22ln 4ln ln 0f '=-=-=<e e ，()21624ln 22ln 0f '=-=>e，且函数()f x '单调递增，∴()f x '只存在一个0x 使()00f x '=，且()01,2x ∈，当0x x <时，()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减，∴()102f f ⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭，即22log 30log 222>⇒>⇒>，即b c >，所以a c b <<.故选：B.【点睛】方法点睛：比较数值大小方法．（1）估值法：找出式子的取值区间，以此判断各个式子的大小关系；（2）构造函数法：当无法进行估值判断式子大小时，可通过构造函数，利用导数判断其单调性，从而判断式子大小．第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数()sin ,sin cos cos ,sin cos ,x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，则2023π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭可得解.【详解】2023ππsin πsin 674πsin 3332⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎝⎭⎝⎭，2023ππ1cos πcos 674πcos 3332⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以2023π2023πsin cos 33⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎝⎭⎝⎭，可得202320231πcos π332⎛⎫==⎪⎝⎭f .故答案为：12.14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c)cos c b A a -=，b =ABC 的外接圆面积为__________.【答案】9π【解析】【分析】在ABC)cos c b A a -=)sin sin cos sin C B A A -=利用π--C B A =消角可得cos 2B =，则角B可求，又b =，可利用正弦定理求ABC 的外接圆直径，ABC 的外接圆面积可求.【详解】 在ABC)cos c b A a -=，∴)sin sin cos sin C B A A -=，又π--C B A =，())sin sin cos sin B A B A A +-=，)sin cos cos sin sin cos sin B A B A B A A +-=，sin sin B A A =，又在ABC 中sin 0A >，∴2cos 2B =.又 在ABC ，0πB <<，∴π4B =，∴ABC的外接圆直径=6sin 22b B ==，∴ABC 的外接圆的面积为9π.故答案为：9π.15.若()e e 1xx f x =+，则()2e 11ef x +-<的解集是______________.【答案】()0,2【解析】【分析】根据题意求得()f x 为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，结合()2e 11(1)ef f +==，把不等式转化为()1(1)f x f -<，得到11x -<，即可求解.【详解】由函数()e e 1xx f x =+，可得()()11e e e ex xx xf x f x ---=+=+=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，可得()e e0x xf x -'=+>，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又由()2e 11(1)e f f +==，所以不等式()2e 11ef x +-<等价于()1(1)f x f -<，则满足11x -<，解得02x <<，即不等式的解集为()0,2.故答案为：()0,2.16.不等式()()222e 1a b a b m m -+--≥-对任意实数a ，b 恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】[1,2]-【解析】【分析】设(,e ),(1,)a P a Q b b +，则可得22PQ m m ≥-，而,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，可求出PQ 的最小值，从而可解关于m 的不等式可得答案.【详解】由题意设(,e ),(1,)aP a Q b b +，则()()222e 1aPQ b a b =-+--，所以22PQ m m ≥-，因为,P Q 分别在曲线()x f x e =和直线1y x =-上，所以将直线1y x =-平移恰好与曲线()x f x e =相切时，切点到直线1y x =-的距离最小，此时PQ 最小，设切线为y x m =+，切点为00(,)x y ，则()x f x e =，得()e x f x '=，所以0e 1x =，得00x =，则01y =，所以PQ 的最小值为点(0,1)到直线1y x =-的距离d ，d ==，即PQ ，所以22m m ≥-，即220m m --≤，解得12m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[1,2]-，故答案为：[1,2]-【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查导数的几何意义，解题的关键是将问题转化为(,e ),(1,)a P a Q b b +，22PQ m m ≥-，进一步转化为曲线()x f x e =上的点和直线1y x =-的点的距离最小问题，考查数学转化思想，属于较难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .AB AC ⋅=- ，ABC 的面积等于3.（1）求A ；（2）求222b c a +的最小值.【答案】（1）2π3A =（2）23【解析】【分析】（1）根据平面向量的数量积定义及三角形的面积公式可得tan A =，进而求解即可；（2）由（1）可得bc =，结合余弦定理可得222b c a +=-22221b c a a +=-，再根据基本不等式可得2222b c a bc +=-≥=2a ≥.【小问1详解】因为cos cos AB AC AB AC A bc A ⋅=⋅⋅=⋅=- 又1sin 32ABC S bc A ==△，两式相除得，tan A =又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】由（1）知，cos bc A ⋅=-2π3A =，所以bc =，又2221cos 22b c a A bc +-==-，即222b c a +=-所以2222221b c a a a a+=--=，又因为2222b c a bc +=-=1423b c ==⨯时等号成立，所以2a ≥210a <≤，即214303a -≤-<，即2243113a≤-<，所以222b c a +的最小值为23.18.已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，且{}n b 是以2为公比的等比数列.（1）证明：24n n a a +=；（2）若2122n n n c a a -=+，求数列{}n c 的通项公式及其前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析（2）154n n c -=⋅，()5413n n S =-【解析】【分析】（1）先求得n b ，然后根据递推关系证得24n n a a +=.（2）先求得n c ，然后结合等比数列前n 项和公式求得n S .【小问1详解】依题意，11a =，22a =，0n a >，)*N n b n =∈，1b ==，且{}n b 是以2为公比的等比数列，所以11222n n nb --==，所以1212122n n n n a a --+==，则21122n n n a a +++=，两式相除得224,4n n n na a a a ++==.【小问2详解】由（1）知数列{}2n a 和数列{}21n a -都是公比为4的等比数列，所以1211222221142,42n n n n n n a a a a -----=⋅==⋅=，22211212222254n n n n n n c a a ----=+=+⨯=⨯，1154,4n n n nc c c ++=⨯=，所以数列{}n c 是首项为5，公比为4的等比数列，所以()()514541143n n n S -==--.19.已知函数()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()02g x f x πϕϕ⎛⎫=+<<⎪⎝⎭的图像关于点,12π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，求()y g x =在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈（2）11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出()g x ，根据对称性求出ϕ，即可得到()g x 的解析式，再根据x 的取值范围求出2x 的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解：()222cos sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭cos 211cos 23222x x π⎛⎫++ ⎪-⎝⎭=--22cos 2cos sin 2sin 11cos 233222x x x ππ-+-=--1cos 2211cos 222222x x x --+-=--13cos 2211cos 222222x x x --+-=--3cos 2sin 2144x x =++1cos 2sin 21222x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭sin 2123x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222,Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈，解得5,Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为5,,Z 1212ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k .【小问2详解】解：因为()()()33sin 212212323g x f x x x ππϕϕϕ⎡⎤⎛⎫=+=+++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又()g x 的图像关于点,12π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，所以2,Z 3k k ππϕπ++=∈，解得21,Z 32k k πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以()()sin 21sin 2122g x x x π=++=-+，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时22,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 2,12x ⎤∈⎥⎣⎦，所以()11,24g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.20.已知函数()ln a f x x x x=+-，其中a ∈R .（1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）如果对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >，求实数a 的取值范围.【答案】（1）450x y --=（2）1a ≤-【解析】【分析】（1）先将2a =代入得到()f x 解析式，对()f x 求导可得切线的斜率，由()1f 得切点的坐标，利用点斜式得到切线方程；（2）将()f x 代入得到2ln 2a x x x x <+-，所以将对于任意()1,x ∈+∞都有()2f x >转化成了()2min ln 2<+-a x x x x ，构造函数()2ln 2g x x x x x =+-，对()g x 求导判断函数()g x 单调递增，从而得()()1g x g >，即得证.【小问1详解】当2a =时，由已知得()2ln =+-f x x x x ，故()2121=++'f x x x ，所以()11214f '=++=，又因为()21ln1111=+-=-f ，所以函数()f x 的图象在点()1,1-处的切线方程为()141+=-y x ，即450x y --=；【小问2详解】由()2f x >，()1,x ∈+∞，得2ln 2<-+a x x x x ，设函数()2ln 2g x x x x x =+-，()1,x ∈+∞，则()1ln 22ln 21g x x x x x x x'=+⋅+-=+-，因为()1,x ∈+∞，所以ln 0x >，210x ->，所以当()1,x ∈+∞时，()ln 210g x x x '=+->，故函数()g x 在()1,x ∈+∞上单调递增，所以当()1,x ∈+∞时，()()11ln11211g x g >=⨯+-⨯=-，因为对于任意()1,x ∈+∞，都有()2f x >成立，所以对于任意()1,x ∈+∞，都有()a g x <成立．所以1a ≤-．【点睛】思路点睛：本题利用导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调区间、利用导数求函数的最值等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.21.数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()*21n n S n a n +=∈N.（1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出其通项公式；（2）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和53n T <.【答案】（1）32n a n =-（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差得到1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥，从而得到12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥，即可得到122(3)n n n a a a n --=+≥，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得()1231n S n n =-，适当放大再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，*2(1)(N )n n S n a n =+∈①，当1n =时，1121a a =+，解得11a =；当2n ≥时，112(1)(1)n n S n a --=-+②，①-②得1(2)(1)1(2)n n n a n a n --=--≥③，所以12(3)(2)1(3)n n n a n a n ---=--≥④，由③④得122(3)n n n a a a n --=+≥，所以数列{}n a 为等差数列，所以公差21413d a a =-=-=，所以13(1)32n a n n =+-=-．【小问2详解】由（1）可得()3212n n n S -+=，所以，所以()1231n S n n =-，当1n =时，11513S =<，当2n ≥时，()122121211(13133(1)31()3n S n n n n n n n n ==⋅<⋅=----，12111n nT S S S =++⋯+211211211131232331n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 525333n =-<,综上53n T <.22.已知()21e 12x f x x x =---.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设()f x '是()f x 的导数.当[]1,1x ∈-时，记函数()f x 的最大值为M ，函数()f x '的最大值为N .求证：M N <.【答案】（1）()f x 在R 上单调递增（2）见解析【解析】【分析】（1）求导即可由导函数的正负求解原函数的单调性，（2）根据（1）的结论，分别求解M ，N ，即可作差求解大小.【小问1详解】函数()f x 的定义域为R ,()e 1xf x x '=--，令()()(),e 1xx f x x ϕϕ''==-，当()()0,0,x x x ϕϕ'>>单调递增，当()()0,0,x x x ϕϕ'<<单调递减，所以()(0)0x ϕϕ≥=，即()e 10x f x x ¢=--³故函数()f x 在R 上单调递增【小问2详解】由（1）知()f x 在[]1,1x ∈-时，单调递增，且()00f =，故()()[]()(],0,1,1,0f x x y f x f x x ⎧∈⎪==⎨-∈-⎪⎩，所以()(){}max 1,1M f f =-，由于()()115111e 3e 0e 22ef f --=---=--<，所以()()11f f -<，故()51e 2M f ==-,而()51e 2e 2N f M '≥=->-=,因此M N <。
2020-2021学年河南省南阳市高三(上)期中(文科)数学试卷 (解析版)
2020-2021学年河南省南阳市高三上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）集合A＝{y|y＝x+1，x∈R}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．（0，+∞）B．{0，1}C．{1，2}D．{（0，1），（1，2）}2．（5分）已知＝﹣1+bi，其中a，b是实数，则复数a﹣bi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣2，2]，则函数f（x﹣1）的定义域为（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．[0，2]4．（5分）已知向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），则m＝3是∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件5．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝2024，且﹣＝3，则S2021＝（）A．1×20212B．2×20212C．3×20212D．4×20212 6．（5分）函数y＝f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y＝f（x）的递减区间C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c．若b＝2a cos A，a2+b2﹣c2＝ab，则下面式子中不可能成立的是（）A．a＜c＜bB．a＝b＝cC．c＜b＜aD．sin2B+sin2A﹣sin A sin B＝8．（5分）已知：a＝log2，b＝log4，c＝（）﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b9．（5分）已知：AB为圆：x2+y2＝1上一动弦，且|AB|＝，点P（2，），则•最大值为（）A．12B．18C．24D．3210．（5分）如果函数f（x）＝（a﹣1）x2+（b+2）x+1（其中b﹣a≥2）在[1，2]上单调递减，则3a+2b的最大值为（）A．4B．﹣1C．不存在D．611．（5分）若函数y＝2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A．（0，2）B．[，2）C．（0，]D．[2，+∞）12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（，1）二、填空题（共4小题）13．（5分）已知平面向量，，||＝1，＝（1，），⊥（﹣2），则|2+|的值是．14．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a•2n﹣3，则a5＝．15．（5分）若函数g（x）＝sin（2x+）在区间[0，]和[4a，]上均递增，则实数a 的取值范围是．16．（5分）已知函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n﹣2n+2．（1）判断数列{a n+2n}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD：AB＝2：3，BD＝，AB ⊥BC．（1）求sin∠ABD的值；（2）若∠BCD＝，求CD的长．19．（12分）已知数列{a n}是首项为2的等差数列，数列{b n}是公比为2的等比数列，且数列{a n•b n}的前n项和为S n＝n•2n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c1＝a1b1，当n≥2时，c n﹣c n﹣1＝a n•b n，求数列{c n}的通项c n．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b，不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，3]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求方程f（x）＝4xlnx根的个数．21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c、sin A、sin B、sin C 成等比数列．（1）若c＝2a，求cos B的值；（2）当B取得最大值时，求证：A、B、C成等差数列．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+alnx（a∈R）．（1）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；．（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）+（a﹣2）x0≥0成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合A＝{y|y＝x+1，x∈R}，B＝{y|y＝2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．（0，+∞）B．{0，1}C．{1，2}D．{（0，1），（1，2）}【分析】根据一次函数的值域求出A，根据指数函数的值域求出B，再利用两个集合的交集的定义求出A∩B．解：∵集合A＝{y|y＝x+1，x∈R}＝R＝（﹣∞，+∞），B＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0 }＝（0，+∞），故A∩B＝（﹣∞，+∞）∩（0，+∞）＝（0，+∞），故选：A．2．（5分）已知＝﹣1+bi，其中a，b是实数，则复数a﹣bi在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用复数相等的条件求得a，b得答案．解：由，得a＝（﹣1+bi）（1﹣i）＝（b﹣1）+（b+1）i，∴，即a＝﹣2，b＝﹣1．∴复数a﹣bi在复平面内对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限．故选：B．3．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣2，2]，则函数f（x﹣1）的定义域为（）A．[﹣2，2]B．[﹣1，3]C．[﹣3，1]D．[0，2]【分析】根据抽象函数的定义域得到关于x的不等式，解出即可．解：由题意得：﹣2≤x﹣1≤2，解得：﹣1≤x≤3，故函数f（x﹣1）的定义域是[﹣1，3]，故选：B．4．（5分）已知向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），则m＝3是∥的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【分析】向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），∥，则3＝m（m﹣2），即m2﹣2m ﹣3＝0，m＝3或者﹣1，判断出即可．解：向量＝（m，1），＝（3，m﹣2），∥，则3＝m（m﹣2），即m2﹣2m﹣3＝0，m＝3或者﹣1，所以m＝3是m＝3或者m＝﹣1的充分不必要条件条件，故选：A．5．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝2024，且﹣＝3，则S2021＝（）A．1×20212B．2×20212C．3×20212D．4×20212【分析】利用等差数列前n项和，结合已知条件求解d，然后求解即可．解：数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝2024，且﹣＝3，设公差为d，则2024+﹣2024﹣＝3，解得d＝6，所以S2021＝2024×2021+＝4×20212．故选：D．6．（5分）函数y＝f（x）导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．（﹣1，3）为函数y＝f（x）的递增区间B．（3，5）为函数y＝f（x）的递减区间C．函数y＝f（x）在x＝0处取得极大值D．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值【分析】利用导数与函数单调性的关系以及函数在某点取得极值的条件即可判断．解：由函数y＝f（x）导函数的图象可知：当x＜﹣1及3＜x＜5时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜3及x＞5时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．所以f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣1），（3，5）；单调增区间为（﹣1，3），（5，+∞），f（x）在x＝﹣1，5取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误；故选：C．7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c．若b＝2a cos A，a2+b2﹣c2＝ab，则下面式子中不可能成立的是（）A．a＜c＜bB．a＝b＝cC．c＜b＜aD．sin2B+sin2A﹣sin A sin B＝【分析】由余弦定理可求得C＝；利用正弦定理将b＝2a cos A中的边化为角，再结合正弦二倍角公式可推出B＝2A或B+2A＝π，于是分B＝2A和B+2A＝π两类，对选项进行分析即可．解：由正弦定理知，＝，∵b＝2a cos A，∴sin B＝2sin A cos A＝sin2A，∴B＝2A或B+2A＝π，由余弦定理知，cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∴A+B＝π﹣C＝，若B＝2A，则A＝，B＝，∴B＞C＞A，∴b＞c＞a，即选项A正确；若B+2A＝π，则A＝B＝，∴△ABC为等边三角形，a＝b＝c，即选项B正确；此时sin A＝sin B＝，∴sin2B+sin2A﹣sin A sin B＝＝，即选项D正确；∴选项C不可能成立．故选：C．8．（5分）已知：a＝log2，b＝log4，c＝（）﹣2，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】化a＝log4，b＝log4，c＝log4；根据函数y＝log4x的单调性，判断、和的大小即可．解：由a＝log2＝log4＝log4，b＝log4，c＝（）﹣2＝＝＝log4＝log4；函数y＝log4x在定义域（0，+∞）上是增函数，且＝＜＝＜＜2＜，所以log4＜log4＜log4，所以a，b，c的大小关系是b＜c＜a．故选：A．9．（5分）已知：AB为圆：x2+y2＝1上一动弦，且|AB|＝，点P（2，），则•最大值为（）A．12B．18C．24D．32【分析】取AB的中点M，把，用表示，根据弦中点性质得M在以O为圆心，为半径的圆上，从而由P到圆心距离加上圆半径可得|PM|的最大值，于是可得结论．解：设AB的中点为M，则OM⊥AB，|OM|＝，∴M在以O为圆心，为半径的圆上，•＝（+）•（+）＝（+）•（﹣）＝﹣＝﹣，又|PO|＝＝3，∴|PM|max＝3+＝，|PM|2max＝，∴•的最大值为﹣＝24，故选：C．10．（5分）如果函数f（x）＝（a﹣1）x2+（b+2）x+1（其中b﹣a≥2）在[1，2]上单调递减，则3a+2b的最大值为（）A．4B．﹣1C．不存在D．6【分析】分a﹣1＝0，a﹣1＞0，a﹣1＜0三种情况讨论，根据题意可得关于a，b的不等式组，由此可求得3a+2b的最大值．解：当a﹣1＝0，即a＝1时，f（x）＝（b+2）x+1，由b﹣a≥2，可得b≥3，所以f（x）在R上单调递增，不符合题意；当a﹣1＜0，即a＜1时，由题意可得﹣≤1，即b≤﹣2a，由b﹣a≥2，作出不等式组表示的可行域，以及直线3a+2b＝0的直线，由图可知当直线3a+2b＝0向上平移时，3a+2b没有最大值；当a﹣1＞0，即a＞1，由题意可得﹣≥2，可得4a+b≤2，即b≤2﹣4a，因为b﹣a≥2，即b≥a+2，所以a+2≤b≤2﹣4a，解得a≤0，不符合题意，综上所述，3a+2b的最大值不存在．故选：C．11．（5分）若函数y＝2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，则ω的取值范围是（）A．（0，2）B．[，2）C．（0，]D．[2，+∞）【分析】根据x∈[﹣，]求出ωx的取值范围，结合题意列出ω的不等式组，从而求出ω的取值范围．解：函数y＝2sinωx（ω＞0）在[﹣，]上的最小值是﹣2，但最大值不是2，∴ωx的取值范围是[﹣ω，ω]；∴﹣ω≤﹣且ω＜，解得≤ω＜2，∴ω的取值范围是[，2）．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．（0，+∞）D．（，1）【分析】不妨令g（x）＝lnx，h（x）＝ax2﹣x，将零点问题转化为交点问题，而h（x）＝x（ax﹣1），①a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，利用数形结合求解即可．解：若函数f（x）＝lnx﹣ax2+x有两个不同的零点，不妨令g（x）＝lnx，h（x）＝ax2﹣x，将零点问题转化为交点问题，而h（x）＝x（ax﹣1），①a≤0时，g（x）和h（x）只有一个交点，②0＜a＜1时，如图示：，a＝1时，g（x）＝x2﹣x，g′（x）＝2x﹣1，g′（1）＝1，而f（x）＝lnx，f′（x）＝，f′（x）＝1，所以两个函数在x＝1时，有相同的切线，所以两个函数有1个交点，所以原函数只有一个零点，结合①②，同时考查选项，可知B、C、D不正确，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知平面向量，，||＝1，＝（1，），⊥（﹣2），则|2+|的值是．【分析】根据即可得出，进行数量积的运算即可求出的值，然后根据进行数量积的运算即可．解：∵，，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．14．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a•2n﹣3，则a5＝48．【分析】根据题意，由S n公式求出a1、a2、a3，由等比数列的性质可得（2a）2＝（2a ﹣3）×4a，解可得a的值，又由a5＝S5﹣S4，计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}的前n项和S n＝a•2n﹣3，则a1＝S1＝2a﹣3，a2＝S2﹣S1＝（4a﹣3）﹣（2a﹣3）＝2a，a3＝S3﹣S2＝（8a﹣3）﹣（4a﹣3）＝4a，则有（2a）2＝（2a﹣3）×4a，解可得a＝3，即S n＝3×2n﹣3，则a5＝S5﹣S4＝（32×3﹣3）﹣（16×3﹣3）＝48，故答案为：4815．（5分）若函数g（x）＝sin（2x+）在区间[0，]和[4a，]上均递增，则实数a 的取值范围是[，]．【分析】根据函数g（x）＝2sin（2x+），求解单调递增区间，由区间[0，]和[4a，]上都是单调递增函数，建立不等式关系，即可求解实数a的取值范围．解：函数g（x）＝2sin（2x+），由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，得：kπ﹣≤x≤+kπ，因为函数在区间[0，]和[4a，]上都是单调递增，所以，解得：a∈[，]，因为4a＜，所以a∈[，]故答案为：[，]．16．（5分）已知函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6，若f（x）≥lnx恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e]．【分析】根据条件利用解方程组法求出f（x）的解析式，然后由f（x）≥lnx恒成立，可得m≤﹣恒成立，构造函数，求出g（x）的最小值，可进一步求出m的范围．解：∵函数f（x）对x∈R均有f（x）+2f（﹣x）＝mx﹣6①，∴将﹣x换为x，得f（﹣x）+2f（x）＝﹣mx﹣6②，∴由①②，解得f（x）＝﹣mx﹣2．∵f（x）≥lnx恒成立，∴m≤﹣恒成立，∴只需m≤．令，则g'（x）＝，令g'（x）＝0，则x＝，∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，∴，∴m≤﹣e，∴m的取值范围为（﹣∞，﹣e]．故答案为：（﹣∞，﹣e]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n﹣2n+2．（1）判断数列{a n+2n}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．【分析】（1）在等式的两端同时加2n+1，运用等差数列的定义，即可得到结论；（2）求得a n＝2n+1﹣2n，再由分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，化简计算可得所求和．解：（1）数列{a n}满足．可得a n+1+2n+1＝a n+2n+2，可得数列是首项为3，公差为2的等差数列；（2）a n+2n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，可得a n＝2n+1﹣2n，S n＝（3+5+…+2n+1）﹣（2+4+8+…+2n）＝n（2n+4）﹣＝n2+2n﹣2n+1+2．18．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD：AB＝2：3，BD＝，AB ⊥BC．（1）求sin∠ABD的值；（2）若∠BCD＝，求CD的长．【分析】（1）设AD＝2x，AB＝3x，由余弦定理求出AD＝2，AB＝3，再由正弦定理能求出sin∠ABD．（2）由sin（∠ABD+∠CBD）＝sin，得sin∠CBD＝cos∠ABD，求出sin，由此利用正弦定理能求出CD．解：（1）设AD＝2x，AB＝3x，由余弦定理得：cos＝＝，解得x＝1，∴AD＝2，AB＝3，∴由正弦定理得：，解得sin∠ABD＝．（2）sin（∠ABD+∠CBD）＝sin，∴sin∠CBD＝cos∠ABD，cos＝，∴sin，由正弦定理得，解得CD＝．19．（12分）已知数列{a n}是首项为2的等差数列，数列{b n}是公比为2的等比数列，且数列{a n•b n}的前n项和为S n＝n•2n+1（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若c1＝a1b1，当n≥2时，c n﹣c n﹣1＝a n•b n，求数列{c n}的通项c n．【分析】（1）设数列{a n}是首项为2，公差为d的等差数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，可得所求通项公式；（2）由数列的恒等式可得c n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．解：（1）设数列{a n}是首项为2，公差为d的等差数列，则a n＝2+（n﹣1）d，b n＝b1•2n﹣1，则S1＝a1b1＝2b1＝1×22＝4，可得b1＝2，b n＝2n，而S2＝2×23＝16，即a1b1+a2b2＝4+（2+d）×4＝16，解得d＝1，所以a n＝2+n﹣1＝n+1，即a n＝n+1，n∈N*，b n＝2n，n∈N*；（2）当n≥2时，c n﹣c n﹣1＝a n•b n，故（c n﹣c n﹣1）+（c n﹣1﹣c n﹣2）+…+（c2﹣c1）＝a n b n+a n﹣1b n﹣1+…+a2b2，可得c n＝a1b1+a2b2+…+a n b n，即c n＝2×21+3×22+…+（n+1）•2n，2c n＝2×22+3×23+…+（n+1）•2n+1，两式相减可得﹣c n＝4+22+…+2n﹣（n+1）•2n+1＝2+﹣（n+1）•2n+1，可得c n＝n•2n+1．20．（12分）已知函数f（x）＝x2+ax+b，不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，3]．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求方程f（x）＝4xlnx根的个数．【分析】（1）不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，即x2+ax+b＝0的两根分别为﹣1和3，利用根与系数的关系求得a与b的值，则函数解析式可求；（2）由（1）设g（x）＝，利用导数研究其单调性及最值，结合函数零点的判定即可得到g（x）的零点个数，即方程f（x）＝4xlnx的根的个数．解：（1）∵不等式f（x）≤0的解集为[﹣1，3]，∴x2+ax+b＝0的两根分别为﹣1和3，∴，即a＝﹣2，b＝﹣3，故函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣2x﹣3；（2）由（1）设g（x）＝，∴g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）＝1+＝，则当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，3）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（3，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．则当x∈（0，3]时，g（x）≤g（1）＝﹣4＜0，当x∈（3，+∞）时，g（e5）＝＞25﹣1﹣22＝9＞0，又g（x）在（3，+∞）上单调递增，因而g（x）在（3，+∞）上有一个零点；故g（x）仅有一个零点，即方程f（x）＝4xlnx有且仅有一个根．21．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对应的三边分别为a、b、c、sin A、sin B、sin C 成等比数列．（1）若c＝2a，求cos B的值；（2）当B取得最大值时，求证：A、B、C成等差数列．【分析】（1）由已知可得，sin2B＝sin A sin C，得到b＝，再由余弦定理求解cos B 的值；（2）利用余弦定理及基本不等式求出B的最大值，再由三角形内角和求得A+C，即可证明A、B、C成等差数列．解：（1）∵sin A、sin B、sin C成等比数列，∴sin2B＝sin A sin C，则b2＝ac，又c＝2a，∴b2＝2a2，即b＝，则cos B＝；证明：（2）∵cos B＝，又函数y＝cos x在（0，π）上是减函数，故角B的最大值为，又A+B+C＝π，∴A+C＝．即A、B、C成等差数列．22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax+alnx（a∈R）．（1）若f（x）在区间[1，2]上是单调函数，求实数a的取值范围；．（2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）+（a﹣2）x0≥0成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤在[1，2]上恒成立，设h（x）＝，求出导函数的最小值，求出函数f（x）的单调性，求出a的范围即可；（2）问题转化为a≤在区间[1，e]上有解，令h（x）＝，x∈[1，e]，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．解：（1）f′（x）＝2x﹣2a+＝，若f（x）在区间[1，2]上单调递增，则f′（x）≥0，即a≤在[1，2]上恒成立，设h（x）＝，x∈[1，2]，则h′（x）＝，故h（x）在[1，2]单调递增，故h（x）min＝h（1）＝2，故a≤2；若f（x）在区间[1，2]上单调递减，则f′（x）≤0，即2x2﹣2ax+a≤0在[1，2]上恒成立，故只需，解得：a≥，综上：a≤2或a≥；（2）由题意得：不等式f（x0）+（a﹣2）x0≥0在区间[1，e]上有解，即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在区间[1，e]上有解，∵当x∈[1，e]时，lnx≤1≤x（“＝”不同时成立），x﹣lnx＞0，故a≤在区间[1，e]上有解，令h（x）＝，x∈[1，e]，则h′（x）＝，∵x∈[1，e]，∴x+2＞2≥2lnx，故h′（x）≥0，h（x）在[1，e]上单调递增，∴x∈[1，e]时，h（x）max＝h（e）＝，故a≤，故实数a的取值范围是（﹣∞，）．。
河南省南阳市2021届第一学期高三期中考试 数学(文) 含答案
河南省南阳市2021届高三第一学期期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
4.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I 卷 选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知集合A ＝{y|y ＝x ＋1，x ∈R}，B ＝{y|y ＝2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于A.{1，2}B.{0，1}C.(0，＋∞)D.{(0，1)，(1，2)}2、已知：1a i−＝－1＋bi ，其中a ，b ∈R ，则复数a －bi 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3、已知函数f(x)的定义域[－2，2]，则函数f(x －1)的定义域为A.[－2，2]B.[－1，3]C.[－3，1]D.[0，2]4、已知向量a ＝(m ，1)，b ＝(3，m －2)，则m ＝3是a//b 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件5.已知：数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和。
若a 1＝2024，且2020201920202019S S −＝3，则S 2021＝A.1×20212B.2×20212C.3×20212D.4×202126、函数y ＝f(x)导函数的图像如图所示，则下列说法错误．．的是A.(－1，3)为函数y ＝f(x)的递增区间B.(3，5)为函数y ＝f(x)的递减区间C.函数y ＝f(x)在x ＝0处取得极大值D.函数y ＝f(x)在x ＝5处取得极小值7.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c.若b ＝2acosA ，a 2＋b 2－c 2＝ab ，则下面式子中不可能成立的是A.a<c<bB.a ＝b ＝cC.c<b<aD.sin 2B ＋sin 2A －sinAsinB ＝34 8、已知：a ＝log 232，b ＝log 423，c ＝(32)－2，则a ，b ，c 的大小关系是 A.b<c<a B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b9、已知：AB 为圆：x 2＋y 2＝1上一动弦，且|AB|＝2，点P(23，6)，则PA PB ⋅最大值为A.12B.18C.24D.3210、如果函数f(x)＝(a －1)x 2＋(b ＋2)x ＋1(其中b －a ≥2)在[1，2]上单调递减，则3a ＋2b 的最大值为A.4B.－1C.不存在D.611、若函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在[－3π，4π]上的最小值是－2，但最大值不是2，则ω的取值范围是A.(0，2)B.[32，2)C.(0，32] D.[2，＋∞) 12、已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋x 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是A.(0，1)B.(－∞，1)C.(0，＋∞)D.(1，1e )第II 卷 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(13)，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是 。
2021年11月河南省南阳市普通高中2022届高三上学期11月期中考试数学(文)试卷无答案
交于 点 犃 （狓１，狔１）、犅（狓２，狔２），现 给 出 下 述 结 论：①狓１ ＋狓２ ＝２；
②犲狓１ ＋犲狓２ ＞２犲；③狓１ｌｎ狓２＋狓２ｌｎ狓１＜０；④狓１狓２＞槡２犲．则 其 中 正 确 的
结论序号是
．
三 、解 答 题 （本 大 题 共 ６ 小 题 ，共 ７０ 分 ．解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）
围内？
２２．（本 小 题 满 分 １２ 分 ） 已 知 函 数 犳（狓）＝犲狓 －犪（狓＋２）． （１）当 犪＝１ 时 ，讨 论 犳（狓）的 单 调 性 ； （２）若犳（狓）有两个零点，求实数犪 的取值范围．
高三数学 （文 ） 第４页 （共４页 ）
2021年11月河南省南阳市普通高中2022届高三上学期11月期中考试数学（文）试卷
是符合题目要求的）
１．已知集合 犃＝｛狓∈犖｜狓２－３狓－４＜０｝，则集合 犃 的真子集有
Ａ．７ 个 Ｂ．８ 个 Ｃ．１５ 个 Ｄ．１６ 个
２．设犻狕＝４＋３犻，则狕＝
Ａ．－３－４犻
Ｂ．－３＋４犻
Ｃ．３－４犻
Ｄ．３＋４犻
３．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数 列”：１，１，２，３，５，８，
１１．设函数犳（狓）＝ｓｉｎ（ω狓＋５π）（ω＞０），已知犳（狓）在 ［０，２π］上有且仅有５个零点．下述 四个结论：
①犳（狓）在 （０，２π）上 有 且 仅 有 ３ 个 极 大 值 点 ； ②犳（狓）在 （０，２π）上 有 且 仅 有 ２ 个 极 小 值 点 ；
③犳（狓）在 （０，１π０）上 单 调 递 增 ；
２０２１年秋期高中三年级期中质量评估
数 学 试 题（文）
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2012年秋期南阳市五校联谊高中三年级期中考试注意事项：⑴本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，总分150分,考试时间120分钟．⑵答题之前，先将答题卷密封线内项目写清楚．⑶请把第Ⅰ卷中你认为正确选项的代号填写在答题卷上方选择题答题栏内，若使用答题卡，请在答题卡上将相应的选项涂黑．第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1.已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B A C U ）（为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}2.已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a +3b |= （ ）A ．7B ．10C ．13D ．43.不等式03)2(<-+x x x 的解集为（ ） A ．}30,2|{<<-<x x x 或 B ．}3,22|{><<-x x x 或 C ．}0,2|{>-<x x x 或 D ．}3,0|{<<x x x 或4. 以下说法错误．．的是( ) A.命题“若2320x x -+=,则x =1”的逆否命题为“若x ≠1,则2320x x -+≠”.B.“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件. C.若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题.D.若命题p :x ∃∈R ,使得210x x ++<,则p ⌝:x ∀∈R ,则210x x ++≥.5.若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限6.函数x x y lg sin -=零点的个数为（ ） A. 0 B.1 C.2 D.37.若函数的图象经过第二且)10(1)(≠>-+=a a b a x f x、三、四象限，则一定有（ ）A.010><<b a 且 B ．010<<<b a 且 C.01>>b a 且 D ．01<>b a 且8.若函数()sin([0,2])3x f x ϕϕπ+=∈是偶函数，则ϕ的值为（ ） A.2π B.32π C.23π D.35π9.若1>>b a ,P=b a lg lg ⋅,)lg (lg 21b a Q +=,)2lg(b a R +=,则下列不等式成立的是 （ ）A.Q P R <<B.R Q P <<C.R P Q <<D.P Q R << 10.已知：如图， ||||1OA OB ==， OA 与OB 的夹角为120，OC 与OA 的夹角为30，若 OC OA OB λμ=+ R ∈μλ、）则λμ等于 ( ) A ．23 B ．332 C ．21D ．211.在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则（ ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2123<<-a D ．2321<<-a 12.设3211()2,32f x x ax bx c =+++当(0,1)x ∈时取得极大值，当(1,2)x ∈时取得极小值，则21b a --的取值范围为( )A.)1,41( B ．)21,41( C. 1(,1)2D ． (1,4)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13.函数x x f 24)(-=的值域是_________________.14.已知2tan ),23,(=∈αππα，则αcos 的值为__________________. 15.已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递减，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围 是_____________. 16.函数()s i n ()(f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，则()()()()1232012f f f f ++++=．ABCO三、解答题（本大题6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）． 17.(本小题满分10分)已知集合26{|1,},{|20}.1A x x RB x x x m x =≥∈=--<+ （Ⅰ）当=3时，m 求()R A B ð；（Ⅱ）若{|14}AB x x =-<<，求实数m 的值.18.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， 且A cos ＝54. （Ⅰ）求)42sin(2π+A 的值； （Ⅱ） 若b ＝4，ABC ∆的面积6=S ，求B sin 的值.19.(本小题满分12分) 已知向量＝(cos ωx ，3sin(π－ωx ))， b ＝(cos ωx ，sin(2π＋ωx ))（ω＞0）,函数f (x )＝2a ·b ＋1的最小值正周 期为2.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f (x )在区间]21,0[上的值域. 20.(本小题满分12分) 已知函数2()12(1)x x f x a a a =--> （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若[2,1]x ∈-，函数()f x 的最小值为-7，求()f x 的最大值. 21.(本小题满分12分)已知函数cx bx ax x f ++=23)(在 1±=x 处取得极值，且在x=0处的切线斜率为3-.（Ⅰ）)(x f 的解析式；（Ⅱ）若过点),2(m A 可作曲线)(x f y =的三条切线，求实数m 的取值范围. 22.(本小题满分12分)已知函数()ln f x ax x =+)(R a ∈. （Ⅰ）若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（III ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.2012年秋期南阳市五校联谊高中三年级期中考试 高三文科数学答案一、选择题1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D 11.C 12.A 二、填空题13.)2,0[ 14.5515. ),32()31,(+∞-∞ 16.222+三、解答题 17. 解：由651,0,11x x x -≥≤++得15x ∴-<≤{|15}A x x ∴=-<≤，..............2分（Ⅰ）当m=3时，{|13}B x x =-<<，则{|13}R B x x x =≤-≥或ð}53|{)(≤≤=⋂∴x x B C A R (5)分（Ⅱ）},41|{},51|{<<-=≤<-=x x B A x x A8,04242==-⨯-∴m m 解得， (8)分此时}42|{<<-=x x B ，符合题意，故实数m 的值为8. ..................10分18.解：（Ⅰ）在△ABC 中，由A cos ＝54得53)54(1sin 2=-=A ...2分分则6 (25)311)54(2545321cos 2cos sin 22cos 2sin )4sin 2cos 4cos 2(sin 2)42sin(222=-⨯+⨯⨯=-+=+=+=+A A A AA A A A πππ（Ⅱ） 6sin 216,4=∴==A bc S b 即653421=⨯⨯⨯c 解得c=5由余弦定理得=⨯⨯⨯-+=-+=545422516cos 2222A bc c b a 9解得a=3 ...........................................................................10分由正弦定理可得B b A a sin sin =,543534sin sin =⨯==∴aAb B .........12分 19.解：（Ⅰ）1)]2sin()sin(3[cos 212)(2++⋅-+=+⋅=x x x b a x f ωπωπω1)2sin()sin(32cos 22++-+=x x x ωπωπω2)2sin(32cos ++=x x ωω..........2分 2)2sin 232cos 21(2++=x x ωω 2)62sin(2++=πωx ...............................4分因为函数)(x f 的最小正周期为2，且0>ω，所以222=ωπ解得2πω=.................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2)6sin(2)(++=ππx x f3266210ππππ≤+≤∴≤≤x x1)6sin(21≤+≤∴ππx42)6sin(23≤++≤∴ππx].4,3[]21,0[)(上的值域为在区间函数x f ∴.....12分 20.解：（Ⅰ）设0>=xa t 2)1122++-=+--=t t t y （则01<-=t,)02)1122∞+++-=+--=∴，在区间（（t t t y 上单调递减1<∴y ∴函数()f x 的值域域为)1,(-∞...............5分（Ⅱ）],1[]1,2[2a at x ∈∴-∈由（Ⅰ）可知],1[2)11222a at t t y 在区间（++-=+--= 上单调递减a t =∴当时函数取得最小值-7，即72)1(2-=++-a解得，2=a或4-=a1>a 2=∴a当4112==at 时，],1[2)11222a a t t t y 在区间（++-=+--= 取得最大值167............12分21.解：22．解：（Ⅰ）由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分 (1)213f '=+=．........4分........8分........12分故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3． ………………4分 （Ⅱ）11'()(0)ax f x a x x x+=+=>． ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-．在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a-+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞．….8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <．max ()2g x =由（Ⅱ）知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意． （或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意．）………………10分 当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a-+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， 所以21ln()a >---，解得31e a <-． ………12分。