2021-2022学年高三上学期数学(文)期中试题及答案

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上海市浦东新区2022届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含答案

上海市浦东新区2021-2022学年第一学期高三数学期中质量检测试卷 (满分: 150分答题时间:120分钟)一、填空题（本大题共有12道小题，请把正确答案直接填写在答题纸规定的地方，其中1--6每小题4分，7—12每小题5分，共54分）.1．幂函数经过点22,2⎛⎫⎪ ⎪⎝，则此幂函数的解析式为.2.若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A .3. 设()1f x -为函数()21x f x x =+的反函数，则()12f -=_____.4.不等式102xx ->+的解集是.5．在一个圆周上有10个点，任取3个点作为顶点作三角形，一共可以作__________个三角形（用数字作答）．6．已知球半径为2，球面上A 、B 两点的球面距离为32π，则线段AB 的长度为________.7．若x y ∈+R ，，且14=+y x ，则x y ⋅的最大值是．8．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是（结果用数值表示）．3.09．若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =．10．已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别．11．已知命题2430m m α-+≤：，命题2680m m β-+<：.若αβ、中有且只有一个是真命题，则实数m 的取值范围是________．12．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，△MB 1P 的顶点P 在棱CC 1与棱C 1D 1上运动.有以下四个命题： ①平面MB 1P ⊥ND 1；②平面MB 1P ⊥平面ND 1A 1；③△MB 1P 在底面ABCD 上的射影图形的面积为定值； ④△MB 1P 在侧面D 1C 1CD 上的射影图形是三角形．其中正确命题的序号是二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案。

浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022届高三上学期期中考试数学 Word版含答案

绝密★考试结束前2021学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高三年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名：座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。

选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|0<x<2}，则A∩B＝A.{x|1≤x<2}B.{x|0<x≤3}C.{x|1≤x≤2}D.{x|0≤x≤2}2.设(1＋2i)·z＝3＋i(i为虚数单位)，则|z|＝A.3B.2C.3D.23.若实数x，y满足约束条件x y10x y103x y50-+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩，则z＝x－2y的取值范围是A.[1，5]B.[－1，5]C.[－5，－1]D.[－5，5]4.(1－2x)6展开式中，x3的系数为A.20B.－20C.160D.－1605.函数f(x)＝x2－|x＋a|＋a2，(a>1)的图象可能是6.在△角形ABC中，“tanA＋tanB＋tanC>0”是“△ABC为锐角三角形”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设随机变量X ～B(2，p)，若P(x ≥1)＝59，则E(X)＝ A.23 B.13 C.43D.1 8.对于平面内不共线的四点O 、A 、B 、C ，若存在一组正实数λ1、λ2、λ3，使得123OA OB OC 0λλλ++=，则三个角∠AOB 、∠BOC 、∠COAA.都是钝角B.至少有两个钝角C.恰有两个钝角D.至多有两个钝角 9.若对任意的x 1，x 2∈[1，＋∞)，当x 2>x 1时，恒有aln 21x x <2(x 2－x 1)成立，则实数a 的取值范围是A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.(－∞，2]D.(－∞，3] 10.已知数列{a n }，{b n }，数列{c n }满足c n ＝n na nb n ⎧⎨⎩，为奇数，为偶数，n ∈N *。

2021-2022学年江苏省徐州市高三(上)期中数学试卷【含答案】

2021-2022学年江苏省徐州市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B={x|y=√x−1}，则A∪B＝（）A．R B．[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）2．复数z满足z1−z=2i，则z平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，每位同学从中选3门．若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种4．已知a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且a⊥α，α⊥β，则“a⊥b”是“b⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．若（x−ax）8的二项展开式中x6的系数是﹣16，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．某单位招聘员工，先对应聘者的简历进行评分，评分达标者进入面试环节．现有1000人应聘，他们的简历评分X服从正态分布N（60，102），若80分及以上为达标，则估计进入面试环节的人数为（）（附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973．）A．12B．23C．46D．1597．已知第二象限角θ的终边上有异于原点的两点A （a ，b ），B （c ，d ），且sin θ+3cos θ＝0，若a +c ＝﹣1，则1b+4d 的最小值为（）A ．83B ．3C ．103D ．48．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝（13）n +1﹣b ，数列{（ab ）n }的前n 项和为T n ，若数列{T n }是等差数列，则非零实数a 的值是（） A ．﹣3 B ．13C ．3D ．4二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ＜b ，则下列结论错误的是（） A ．1a＞1bB ．a 2＜b 2C ．（12）a ＞（12）bD ．ln （b ﹣a ）＞010．已知圆M ：x 2+y 2+4x ﹣1＝0，点P （a ，b ）是圆M 上的动点，则（） A ．圆M 关于直线x +3y +2＝0对称 B ．直线x +y ＝0与圆M 相交所得弦长为√3 C ．b a−3的最大值为12D ．a 2+b 2的最小值为√5−211．已知函数f （x ）＝sin ωx +√3cos ωx （ω＞0）的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，把函数f （x ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）（）A ．是偶函数B ．其图象关于直线x =π4对称 C ．在[π4，π2]上是减函数D ．在区间[π6，2π3]上的值域为[−√3，2]12．若f （x ）和g （x ）都是定义在R 上的函数，且方程f [g （x ）]＝x 有实数解，则下列式子中可以为 g [f （x ）]的是（） A ．x 2+2x B ．x +1C ．e cos xD ．ln （|x |+1）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →=13AB →+23AD →，则CP →⋅DC →的值是．14．设f （x ）是定义域为R 的奇函数，且f （1+x ）＝f （﹣x ）．若f （−13）＝3，则f （113）的值是．15．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，P 为C 上一点，若A （﹣2，0），则PA PF的最大值为．16．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 在棱D 1C 1上运动，点Q 在棱BC 上运动，且PQ 与BB 1所成的角为π4，若线段PQ 的中点为M ，则点M 的轨迹的长度是．四、解答题：本题共6小题，共70分。

2022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！12022-2023学年山东省济南市高三上学期期中数学试题及答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（）{}{}211,20,Z∣∣A x x B x x x x =-≤≤=-≤∈A B = A.B.C.D.{}0,1[]1,2-[]0,1{}1,0,1,2-【答案】A 【解析】【分析】解不等式可得集合，进而求交集即可. B 【详解】解得：，220x x -≤02x ≤≤所以， {}220,Z {0,1,2}∣B xx x x =-≤∈=所以. {0,1}A B = 故选：A2. 已知点是平面内任意一点，则“存在，使得”是“O R t ∈()1OC t OA tOB =-+三点共线”的（）,,A B C A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算即可得到结论.【详解】充分性：由得，()1OC t OA tOB =-+ OC OA tOA tOB =-+故，则，故三点共线，所以充分性成立，()OC OA t OB OA =-- AC t AB =,,A B C 必要性：若三点共线，由共线向量定理可知，从而,,A B C AC t AB =，所以，所以，()OC OA t OB OA =-- OC OA tOA tOB =-+()1OC t OA tOB =-+所以必要性成立.综上所述：”是“三点共线”的充要条件.()1OC t OA tOB =-+,,A B C 故选：C3. 已知等比数列，则（） {}31017,8n a a a a =10a =A. 1 B. 2 C. 4 D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用等比数列的性质得到，进而得到，从而得解. 230171a a a =3108a =【详解】因为是等比数列， {}n a 所以，230171a a a =故，得.131030178a a a a ==102a =故选：B.4. 三角形的三边分别为a ，b ，c ，秦九韶公式和海伦公S =式，其中，是等价的，都是用来求三角形的面S =2a b cp ++=积．印度数学家婆罗摩笈多在公元7世纪的一部论及天文的著作中，给出若四边形的四边分别为a ，b ，c ，d ，则S =，为一组对角和的一半.已知四边形四条边长分别为3，4，5，6，则2a b c dp +++=θ四边形最大面积为（）A. 21B.C. D. 【答案】D 【解析】【分析】由题意可得，由已知可推出，即可得出答345692p +++==n S θ=案．【详解】∵a ＝3，b ＝4，c ＝5，d ＝6，∴，又易知，，345692p +++==0πθ<<sin 0θ>则S =，i n θ==当，即时，有最大值为sin 1θ=π2θ=故选：D ．5. 已知为第三象限角，，则（）θ1sin cos 5θθ-=-()2cos 12sin sin cos θθθθ-=+A. B. C.D.425-325-325425【答案】B 【解析】【分析】由同角三角函数关系即可求得，进而代入原式即可求解.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【详解】由，且， 1sin cos 5θθ-=-22sin cos 1θθ+=解得：或，3sin 54cos 5θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩又因为为第三象限角，所以，，θsin 0θ<cos 0θ<所以.4sin 53cos 5θθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以. ()2234[12()]cos 12sin 35543sin cos 2555--⨯--==-+--θθθθ故选：B6. 函数的图象大致为（）()32e2e xx f x =-+A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先对求导，利用导数与函数的单调性得到的单调区间与极大值点，再()f x ()f x 令求得有唯一零点，从而排除选项BCD ，而选项A 的图象满足的性()0f x =()f x ()f x 质要求，由此得解. 【详解】因为，所以，()32e2e xx f x =-+()323e 4e x x f x '=-+令，得；令，得；()0f x ¢>4ln 3x <()0f x '<4ln 3x >所以在上单调递增，在上单调递减， ()f x 4,ln3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭4ln ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故的极大值点为，且， ()f x 4ln3x =4ln ln103x =>=令，则，得，且， ()0f x =320e 2e x x +=-ln 2x =ln 2ln10x =>=即在上有唯一大于的零点.()f x R 0ln 2对于B ，其图象的极大值点为，矛盾，故B 错误； 0x =对于C ，其图象先减后增，矛盾，故C 错误；对于D ，其图象有两个零点，矛盾，故D 错误；对于A ，其图象满足上述结论，又排除了BCD ，故A 正确. 故选：A.7. 在中，内角所对的边分别为，且，点为外心，则ABC ,,A B C ,,a b c 6,4b c ==O （）AO BC ⋅=A.B.C. 10D. 2020-10-【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用垂径定理得到，再利用向量的线性运算及数量积运0OD BC ⋅=算即可求得结果.【详解】记的中点为，连结，如图，BC D ,,AO OD AD 因为点为的外心，为的中点，所以，则，O ABC D BC OD BC ⊥0OD BC ⋅=所以()AO BC AD OD BC AD BC OD BC AD BC⋅=-⋅⋅==⋅-⋅ .()()()()()222211113616102222AC AB AC AB AC AB b c =+-=-=-=⨯-=故选：C.8. 设方程和的根分别为和，函数e e 0x x ++=ln e 0x x ++=p q ()()e xf x p q x=++，则（） A. B. ()42033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】方法一：先利用方程的根与图象的交点的关系，及互为反函数的两个函数图象关系推得，由此得到，再由函数的单调性易得，e p q +=-()e e xf x x =-()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭构造函数与，利用导数证得()()4341e 3g x x x x =--≥()()4233213h x x x x x =--≥与，从而解出. ()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【详解】方法一：由得，由得， e e 0x x ++=e e x x =--ln e 0x x ++=ln e x x =--因为方程的根为，所以函数与的图象交点的横坐标为e e 0x x ++=p e x y =e y x =--P ，p 同理：函数与的图象交点的横坐标为， ln y x =e y x =--Q q 因为与互为反函数，所以两函数图象关于对称，e x y =ln y x =y x =易知直线与直线互相垂直，所以两点关于直线对称， y x =e y x =--,P Q y x =即的中点一定落在，亦即点为与的交点，,P Q M y x =M y x =e y x =--联立，解得，即，e y x y x =⎧⎨=--⎩e 2e2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩e e ,22M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，e p q +=-故，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增， ()f x (),1-∞()1,+∞所以， ()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，，()43440e e 133f f ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭4242333342422e e e e e e e 33333f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，则， ()()4341e 3g x x x x =--≥()11133344444e e 1033333g x x ⎛⎫'=-≥-=-> ⎪⎝⎭所以在上单调递增，()g x [)e,+∞所以，即，故()()()4433e 33503811255g g <=-<=<=434e e 1<03--()403f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令，则，()()4233213h x x x x x =--≥()1133422333h x x x -'=--令，得，所以在上单调递增， ()0h x '>1x >()h x [)1,+∞所以()4233423327272722781918e 101010310101010h h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫>=--⨯=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21113333811090101809109101020100100⎡⎤⎛⎫⨯-⨯-==⨯--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()()3992.159 2.1510200.1025010 2.15100100⎡⎤>⨯--=⨯>>⎣⎦则，故， 42332e e e 03-->4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：. ()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.方法二：前面部分同方法一得，，则，()()e e e xxf x p q x x =++=-()e e xf x '=-令，得；令，得；()0f x ¢>1x >()0f x '<1x <所以在上单调递减，在上单调递增，所以， ()f x (),1-∞()1,+∞()203f f ⎛⎫<⎪⎝⎭而，，，()01f =2322e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭4344e e 33f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为，当且仅当时取等号，所以，e 1x x ≥+0x =e 1x x -≥-+当时，，所以，()0,1x ∈1e 1xx <-413344414e 1e e=e e e 133336213f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫=--<-=< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭即，下面比较的大小关系， ()403f f ⎛⎫<⎪⎝⎭42,33f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设，，()()()2g x f x f x =--()0,1x ∈所以，()()()222e e e e e e 2e 0x x x x g x f x f x --'''=+-=-+-=+--=故在上递增，，即有，亦即()g x ()0,1x ∈()()10g x g <=222033f f ⎛⎫⎛⎫--<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上：. 4233f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()24033f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在区间上有解，则解可能为（） cos22x x +=[]0,2πA.B.C.D.π62π37π65π3【答案】AC 【解析】【分析】先由辅助角公式得到，再逐一代入检验选项中的解即可. πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 1πcos22cos22sin 226x x x x x ⎫⎛⎫+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以，即， π2sin 226x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 216x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭对于A ，当时，，故A 正确； π6x =ππππsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于B ，当时，，故B 错误； 2π3x =π4ππ3πsin 2sin sin 16362x ⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于C ，当时，，故C 正确； 7π6x =π7ππ5ππsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，当时，，故D 错误. 5π3x =π10ππ7π3πsin 2sin sin sin 163622x ⎛⎫⎛⎫+=+===- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故选：AC.10. 已知等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（） {}n a n 202312022,0,1n a S a a ><-A.B. 的最大值为 20220a >n S 2023SC. 的最小值为D.n a 2022a 40440S <【答案】ACD 【解析】【分析】先由数列为等差数列，得再由等差数{}n a 2023120220,1a a a ><-202320220,0,a a <>列通项公式和求和公式对选项逐一分析即可. 【详解】对于A,数列为等差数列，， {}n a 2023120220,1a a a ><-数列为递减的等差数列， ∴{}n a∴202320220,0,a a <>故A 正确，对于B, 数列为递减的等差数列，{}n a 202320220,0,a a <>的最大值为，∴n S 2022S 故B 错，对于C,202320220,0,a a <>由得 ∴202320221a a <-20232022,a a <- ∴202320220,a a +<∴20232022||||,a a >的最小值为,即，∴n a 2022||a 2022a故C 正确，对于D,140444044202220234044()2022()0,2a a S a a +==+<故D 正确. 故选：ACD11. 已知，则下列不等式一定成立的是（）0,0,21a b a b >>+=A.B. 119a b+ (18)ab …C. 2215a b +…【答案】BCD 【解析】【分析】对A 用“1”的妙用进行变形即可，对C 利11112()3b a a b a b a b a b+=++=++用柯西不等式可求最值，对BD 利用基本不等222222211()(21)(2)55a ab a b b =++≥++式式及其变形即可得解.【详解】由得：0,0,21,a b a b >>+=对A ，， 11112()333b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+当且仅当，时取等，故A 错误； 2b aa b=b =对B ，，时取等， 21a b +=≥2b a =两边平方可得，故B 正确； 18ab ≤对C ，由柯西不等式可得：，2222222111()(21)(2)555b a b a b a =++≥=++取等，故C 正确；2b a =对D ，由，时取等， 22(2)2a b ≤+=2b a =D 正确；+故选：BCD12. 在中，内角所对的边分别为，且ABC ,,A B C ,,a b c）()()tan 1tan tan A B A B +-=A. π6A =B. 若，则为直角三角形 b c -=ABCC. 若面积为1，则三条高乘积平方的最大值为ABCD. 若为边上一点，且，则 D BC 1,:2:AD BD DC c b ==2b c +【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，利用三角恒等变换及特殊角的三角函数值即可得到； π3A =对于B ，利用余弦定理得到，将代入解得，从而得222a b c bc =+-b c =+a =到，由此得证；2b c =对于C ，利用三角形面积公式得到，从而得到222,,AD BF CE a b c===，利用基本不等式得证； ()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭对于D ，利用向量的线性运算及数量积运算得到，从而利用基本不等式“1”12c b+=的妙用即可证得. 2b c +≥【详解】对于A ，因为()()tan 1tan tan A B A B +-=tan tan A B +=，()sin cos tan tan C A B A B =+， ()sin sin cos cos sin sin sin cos sin sin cos cos cos cos A B A B A B CA B A A A B A A++=⋅=⋅=⋅，cos sin sin C A A C =因为，所以，故0πC <<sin 0C >tan A =又，所以，故A 错误； 0πA <<π3A =对于B ，由余弦定理得，222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-因为，即，代入上式得，b c -=b c =+222a c c c c ⎫=+⎫⎪⎪+-+⎪⎭⎭⎪整理得，解得或（舍去），则，22320c a +-=a =a =2b c =所以，故B 正确；222b a c =+对于C ，设边上的高分别是，,,AB AC BC ,,CE BF AD 则由三角形面积公式易得，则， 222,,AD BF CE a b c ===()228AD BF CE abc ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭此时，得，所以， 1sin 12S bc A ==bc =()2212AD BF CE a ⨯⨯=又，当且仅当时等号成立， 222a b c bc bc =+-≥=b c =所以，故C 正确； ()2212AD BF CE a =⨯⨯≤对于D ，因为，所以:2:BD DC c b =22c AD AB AB BC b cBD =+=++，()22222c b c AB AC AB AB AC b c b c b c=+-=++++ 可得， 22222224212cos 60(2)(2)(2)b c bc c b cb b c b c b c ︒=+++++整理得，故， ()22227b cb c +=12c b+=所以()1222225b c b c b c c b cb ⎫⎫+=++=++⎪⎪⎭⎭5⎫≥+=⎪⎪⎭，当且仅当且，即时，等号成立，22b c c b=12c b +=b c==所以，即，故D 正确.2b c +≥2b c +故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知，则与夹角的余弦值为__________.()()2,1,0,1a b =-= 2a b - b【答案】## 35-0.6-【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，先求出的坐标和模长，然后利用平面向量数量2a b -积公式即可求解.【详解】因为，所以，则， ()()2,1,0,1a b =-= 2(4,3)a b -=-2=5a b - 又因为，，()0,1b =1b = 由平面向量的数量积公式可知：， ()2·33cos 2,552a b b a b b a bb---===--所以与夹角的余弦值为，2a b - b 35-故答案为：. 35-14. 已知函数在上单调递增，则的取值范围为__________. ()38,2,2xax x f x a x -<⎧=⎨≥⎩R a 【答案】 (][)1,24,∞⋃+【解析】【分析】分段函数在上单调递增，则在两个分段区间上都单调递增，且在()f x R 上的任意函数值要不大于上的最小值，据此解答即可.(),2-∞[)2,+∞【详解】因为在上单调递增，()f x R 所以当时，在上单调递增，故，且2x <()38f x ax =-(),2-∞0a >，()()268f x f a <=-当时，在上单调递增，故，且，2x ≥()xf x a =[)2,+∞1a >()()2min 2f x f a ==所以，解得或，268a a -≤2a ≤4a ≥由于上述条件要同时成立，所以或， 12a <≤4a ≥故的取值范围为. a (][)1,24,∞⋃+故答案为：.(][)1,24,∞⋃+15. 已知是定义域为R 的奇函数，为奇函数，则__________.()f x ()21f x -+161()i f i ==∑【答案】68 【解析】【分析】由和均是奇函数可推出，赋值可得()f x ()21f x -+()()42f x f x +=+，从而根据递推公式可知.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=161()i f i =∑【详解】而是定义域为R 的奇函数，故有，且， ()f x ()()f x f x =--(0)0f =因为为奇函数，所以， ()21f x -+()()2121f x f x --+=---而， ()2[(2)](2)f x f x f x --=-+=-+所以，()()222f x f x +=-+用替换得：， 2x +x ()()42f x f x +=+令，则有， =1x -(3)(1)2(1)2f f f =-+=-+即；(1)(3)2f f +=令，则， 2x =-(2)(2)2(2)2f f f =-+=-+则，即； 2(2)2f =(2)1f =令，则有； 0x =(4)(0)22f f =+=所以.(1)(2)(3)(4)5f f f f +++=；(1)(2)(3)(4)813(5)(6)(7)(8)f f f f f f f f ++++++=+=； (9)(10)(11)61(12)(5)()(7)(8)82f f f f f f f f +++++++==；(9)(10)(11)(12)829(13)(14)(15)(16)f f f f f f f f ++++++==+ 所以161()(1)(2)(3)(4)(16)i f i f f f f f ==+++++∑ .=513212968+++=故答案为：6816. 若数列满足，则称数列为牛顿数列.如果{}n x ()()1n n n n f x x x f x +=-'{}n x ，数列为牛顿数列，设，且，则()256f x x x -=+{}n x 22log 3n n n x a x -=-11a =2x =__________；数列的前项和为，则__________.{}n a n n S 2023S =【答案】 ①. ②. 103202321-【解析】【分析】（1）由定义可得，从而， 21212()3(23)n n n n x x x x ++=----1222log 23n n n n x a a x +=-=-得出是以为首项，公比为2的等比数列，从而可求得； {}n a 11a =2x （2）由等比数列前项和公式即可得解.n 【详解】（1）因为，所以，()256f x x x -=+()25f x x '=-，()()2125665522n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x +=-=-='-+---则，，2126255()2222n n n n n x x x x x +-=-----=2126355()3322n n n n n x x x x x +-=-----=则有，21212()3(23)n n n n x x x x ++=----则， 211222212()2log log log 232(23)3n n n n n n n n x x x a a x x x +++---===--=-所以是以为首项，公比为2的等比数列， {}n a 11a =所以，所以， 11122n n n a --=⨯=2222223l og a x x -==-解得：. 2103x =（2），所以. 1(12)2112n n n S ⨯-==--2023202321S =-故答案为：；. 103202321-四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数.()22cos cos f x x x x =+（1）求的最小正周期； ()f x （2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的()y f x =6π倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求的对称轴.12()y g x =()g x 【答案】（1）； π（2）. ,Z 46k x k ππ=+∈【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简为标准型，再求其最小正周期即可； ()f x （2）根据三角函数图象的变换，求得的解析式，再求对称轴即可. ()g x 【小问1详解】，()22cos cos f xx x x =+2cos 212sin 216x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭故的最小正周期. ()f x 22T ππ==【小问2详解】的图象先向右平移个单位得到()y f x =6π的图象；2sin 212sin 21666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）得到12的图象；()2sin 416g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，解得， 4,Z 62x k k πππ-=+∈,Z 46k x k ππ=+∈故的对称轴为. ()g x ,Z 46k x k ππ=+∈18. 已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，{}n a {}n b n n S 且有. 1122431,1,a b a b a S ===+=（1）求数列的通项公式；{}{},n n a b （2）令，数列的前11项和.,,n n n a n c b n ⎧=⎨⎩当为奇数时当为偶数时{}n c 11T 【答案】（1）,21n a n =-12n n b -=（2）748 【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为{}n a d {}n b ,再根(0)q q >据已知条件列出方程，即可得到两数列的通项公式.,d q (2)先求出的通项公式，再根据通项公式求出的前11项和即可. n c {}n c 【小问1详解】设等差数列的公差为，各项均为正数的等比数列的公比为，{}n a d {}n b (0)q q >由得：，22431a b a S =+⎧⎨=⎩112111113a d b q a d b b q b q +=+⎧⎨+=++⎩，111a b ==Q ，23d q d q q =⎧∴⎨=+⎩解得：2,d q ==，12(1)21n a n n ∴=+-=-12.n n b -=【小问2详解】由（1）知， 121,2,n n n n a n n c b n -=-⎧=⎨=⎩当为奇数时当为偶数时∴111234567891011T a b a b a b a b a b a =++++++++++ 1357911246810()()a a a a a a b b b b b =++++++++++3579(159131721)(22222)=++++++++++.56(121)2(14)748214⨯+-=+=-19. 在中，内角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c ()2cos cos a B b A c -=（1）证明：； tan 3tan A B =（2）若，求. 22a b bc -=B 【答案】（1）证明见详解（2） π6B =【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角，可将题设条件转化为，再由sin cos 3cos sin A B A B =三角形内角的性质得出结果；（2）由（1）可推得，.进而根据余弦定理可推出，，求cos 3cos a B b A =2c b=a 解即可得到.222cos 2a c b B ac+-=【小问1详解】证明：因为，()2cos cos a B b A c -=所以，又， ()2sin cos sin cos sin A B B A C -=sin sin()C A B =+∴， ()2sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+即，sin cos 3cos sin A B A B =又且为三角形内角，，0π,0πA B <<<<,A B cos sin 0A B ≠则，即.sin cos 3cos sin cos cos cos cos A B A BA B A B=tan 3tan A B =【小问2详解】由（1）知，， sin cos 3cos sin A B A B =由正弦定理可得，.cos 3cos a B b A =根据余弦定理可知，，2222cos a b c bc A =+-，222222cos 6cos b a c ac B a c bc A =+-=+-联立可得，.22222c a b =-又，则，所以，则，22a b bc -=2c b =2222226a b c b =+=a则， 222cos 2a c b B ac +-===又，则. 0πB <<π6B =20. 已知三次函数. ()()32111212322f x ax a x x =+---（1）当时，求曲线在点处的切线方程， 3a =()y f x =()()1,1f （2）讨论的单调性. ()y f x =【答案】（1）； 650x y --=（2）见解析. 【解析】【分析】（1）求导可得，利用导数的几何意义，可得曲线()2952f x x x '=+-()y f x =在点处的切线斜率为，，利用直线点斜式即可得解； ()()1,1f (1)12f '=(1)3f =（2）求导可得，对参数进行讨论即得解.()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+a 【小问1详解】当时，， 3a =()3251222f x x x x =+--，()2352f x x x '=+-所以曲线在点处的切线斜率为，()y f x =()()1,1f ()16f '=又，， ()51112122f =+--=()611y x =-+整理可得曲线在点处的切线方程为；()y f x =()()1,1f 650x y --=【小问2详解】，()()2212(1)(2)f x ax a x ax x '=+--=-+若，由可得，0a =()(2)0f x x '=-+=2x =-当时，，为增函数，(,2)x ∈-∞-()0f x '>()f x 当时，，为减函数，(2,)x ∈-+∞()0f x '<()f x 当时，，0a >()(1)(2)0f x ax x '=-+=可得或， 1x a=2x =-所以在为增函数，在上为减函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若， 102a -<<在为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若， 12a <-在为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -综上可得：若，0a =在上为增函数，在上为减函数，()f x (,2)-∞-(2,)-+∞当时，在为增函数，在上为减函数，0a >()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,)a -当时，a<0若 102a -<<在为减函数，在上为增函数， ()f x 1(,),(2,)a -∞-+∞1(,2)a-若，，在上为减函数， 12a =-()0f x '≤()f x R 若，在为减函数，在上为增函数. 12a <-()f x 1(,2),(,)a -∞-+∞1(2,a -21. 设正项数列满足，且.{}n a 11a =()()222*11N n n na n a n n n +-+=+∈（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）设，求证：数列的前项和. n b ={}n b n 32n S <【答案】（1）证明见解析；n a n =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将题设条件变形得到，从而证得是等差数列，进而求得22111n n a a n n +-=+2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；n a n =（2）由（1）得，分类讨论与两种情况，利用放缩法与裂项法即可n b =1n =2n ≥证得. 32n S <【小问1详解】因为， ()()222111n n na n a n n n n +-+=+=+所以， 22111n n a a n n+-=+又，故， 11a =2111a =所以是首项为，公差为的等差数列， 2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11故，则， ()2111n a n n n=+-⨯=n a n =±因为数列是正项数列，所以.{}n a n a n =【小问2详解】由（1）得， n b ==当时，； 1n =111322S b ==<当时，2n ≥n b ==<=， <=所以； 1331222n S ⎛<+-+++=< ⎝ 综上：. 32n S <22. 已知函数. ()1ln f x a x x x =-+（1）若恒成立，求的取值范围；()1,0x f x ∀≥≤a （2）证明：对任意；()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ （3）讨论函数零点的个数.()f x 【答案】（1）；(],2-∞（2）见详解；（3）时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x 【解析】【分析】（1）进行求导可得，讨论函数的单调性，求得最大值满足221()x ax f x x -+-'=()f x 小于0即可；（2）取，时，成立，代入（）整理即可得证； 2a =1x >12ln x x x <-1k x k+=N k *∈（3）由导函数，讨论的单调性，结合图象即可求得零点. 221()x ax f x x -+-'=()f x 【小问1详解】求导可得：， 22211()1a x ax f x x x x-+-=--'=若，对任意的，，为减函数，所以，符合题0a ≤1x ≥()0f x '<()f x ()(1)0f x f ≤=意；若，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-当，即时，，此时在上为减函数，有0∆≤02a <≤()0u x ≤()f x [)1,+∞()(1)0f x f ≤=，符合题意；当，即时，令可得：0∆>2a >()0u x =，， 11x =<21x =>所以，当时，，为增函数，所以，不符题意， ()21,x x ∈()0f x '>()f x ()(1)0f x f >=综上可得：的取值范围为.a (],2-∞【小问2详解】由（1）知当时，成立，即时，恒有， 2a =()0f x ≤1x ≥12ln 0x x x-+≤即当时，成立. 1x >12ln x x x<-取（），有， 1k x k +=N k *∈112ln ()1k k k k k k ++<-+即，， 111ln(1)ln ()21k k k k +-<++1,2,3,k n = 所以，, ()11111111ln 2ln11,ln 3ln 2,,ln 1ln 2222321n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+-<+⋯+-<+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭将上述不等式相加可得：， 11111ln(1)(2232(1)n n n +<++++++ 整理可得， 1111ln(1)232(1)n n n n ++++->++ 即成立； ()11112321N ,e 1n n n n n ++++-+*∈>+ 【小问3详解】由（）， 221()x ax f x x -+-'=0x >当时，，为减函数，0a <()0f x '<()f x又，， 11(ln 22022f a =--+>1(2)ln 2202f a =-+<此时在内有一个零点； ()f x (0,)+∞01,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭当时，令，可得或（舍）， 0a =1()0f x x x=-+=1x ==1x -此时有一个零点， ()f x 当时，考查函数，0a >2()1u x x ax =-+-若，即时，，240a ∆=-≤02a <≤()0u x ≤所以为减函数，由， ()f x ()1010101e 10e 0e f a =-+<，此时有一个零点在内； 10101011()10e 0e e f a =--+>()f x 10101,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭若，时，有两解，240a ∆=->2a >2()10u x x ax =-+-=，， 12x x ==1201x x <<<此时在上为减函数，在上为增函数，()f x 12(0,),(,)x x +∞12(,)x x 由可知，所以极小值,极大值， ()10f =()()110f x f <=()()210f x f >=由， ()1ln f x a x x x =-+取，， e a x =()2e 1(2)ee a a af a a =-+>令， 21()e (2)ex x h x x x =-+>，令，则， 1()2e e x x h x x '=--()12e e x x g x x =--()12e +ex x g x '=-由所以，所以为减函数， 2x >()12e 0ex x g x -'=+<()h x '所以，所以为减函数， 221()(2)4e 0eh x h ''<=--<()h x 所以，所以， 221()(2)4e 0e h x h <=-+<()20e e 1e a a a f a =-+<可得，此时有三个零点， 21e 1e e +0a a af a ⎛⎫⎪⎭-=-> ⎝()f x 综上可得：时，有一个零点，时，有三个零点.2a ≤()f x 2a >()f x【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了恒成立问题和不等式证明问题，同时考查了数形结合思想，计算量较大，属于难题.本题的关键点有：（1）分类讨论解决函数问题时要找到讨论点；（2）用函数不等式证明数列不等式时，注意取值和相消法的应用；（3）在讨论零点问题时注意零点存在性定理的应用以及参数的替换.。

江苏省无锡市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研测试数学试题

启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |y ＝2－x }，集合B ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则A ∩B 等于( )A ．{x |1＜x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |1＜x ＜2}D ．{x |x ≥2} 2．设复数z 满足2z ＋z -＝3＋6i ，则z 等于( )A ．1＋2iB ．1＋6iC ．3＋2iD ．3＋6i 3．“a ∈[0，1]”是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1＞0”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝( )A ．－18B ．－12C ．－8D ．－6 6．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于( )A ．24 B ．2 2 C ．－2 2 D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于( )A ．－1010 B ．1010 C ．31010 D ．－310108．已知函数f (x )＝e x －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．) 9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有( )A ．x 3＞y 3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2，x ＜0e x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是( )A ．－2 2B ．－ 2C ． 2D ．22 11．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有( )A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}． 12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有( )A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减 D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝． 14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f (x )＝x 2－ax －1的零点个数为；当x ∈[0，3]时，|f (x )|≤5恒成立，则实数a 的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答． ①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f (x )＝sin(ωx 2＋π3)(ω∈N *)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位得到函数g (x )的图像，求g (x )在(0，2π)上的单调递减区间．18．(12分)我们知道，函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x )为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式； (2)利用题目中的推广结论，求函数f (x )＝x 3－3x 2＋4图象的对称中心．19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin Acos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求COOE 的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．21．(12分)已知正项数列{a n }的前项积为T n ，且满足a n ＝T n3T n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{T n －12}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n ＞10，求n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ex －m－ln x (m ≥0)．(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若函数f (x )的最小值为1e －1，求实数m 的值．启用前★保密2021~2022学年度上学期无锡市高三期中质量检测数学试卷2021.11.9一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．)1．已知集合A＝{x|y＝2－x}，集合B＝{x|y＝ln(x－1)}，则A∩B等于() A．{x|1＜x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|1＜x＜2}D．{x|x≥2}2．设复数z满足2z＋z-＝3＋6i，则z等于()A．1＋2i B．1＋6i C．3＋2i D．3＋6i3．“a∈[0，1]”是“∀x∈R，x2－ax＋1＞0”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和．则最小的一份为()A ．53B ．103C ．56D ．1165．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝2x的图象关于直线y ＝x 对称，函数g (x )是奇函数，且当x ＞0时，g (x )＝f (x )＋x ，则g (－4)＝()A ．－18B ．－12C ．－8D ．－66．已知α∈(－π，0)，且3cos2α＋4cos α＋1＝0，则tan α等于()A ．24B ．22C ．－22D ．－247．已知向量→OA ＝(1，3)，向量→OB ＝(3，t )，|→AB |＝2，则cos<→OA ，→AB >等于()A ．－1010B ．1010C ．31010D ．－310108．已知函数f (x )＝ex －2＋e－x ＋2＋a sin(πx 3－π6)有且只有一个零点，则实数a 的值为()A ．4B ．2C ．－2D ．－4二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的有()A ．x 3＞y3B ．1x ＜1yC ．ln(x －y ＋1)＞0D ．sin x ＞sin y10．已知函数f (x )2＋2，x ＜0x ，x ≥0，满足对任意的x ∈R ，f (x )≥ax 恒成立，则实数a 的取值可以是()A ．－22B ．－2C ．2D ．2211．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3加1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述运算，经过有限次步骤，必进人循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如果对于正整数m ，经过n 步变换，第一次到达1，就称为n 步“雹程”．如取m ＝3，由上述运算法则得出：3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过7个步骤变成1，得n ＝7．则下列命题正确的有()A ．若n ＝2，则m 只能是4B ．当m ＝17时，n ＝12C ．随着m 的增大，n 也增大D ．若n ＝7，则m 的取值集合为{3，20，21，128}．12．已知函数f (x )＝sin|x |＋|cos x |，下列叙述正确的有()A ．函数y ＝f (x )的周期为2πB ．函数y ＝f (x )是偶函数C ．函数y ＝f (x )在区间[3π4，5π4]上单调递减D ．∀x 1，x 2∈R .|f (x 1)－f (x 2)|≤2选项B 对；三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共计20分．)13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且ln a n ＋1＝2S n ＋2(n ∈N *)，则a 1＝．14．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝f ′(π4)sin x －cos x ，则f ′(π4)＝．15．已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，角A 为直角，点P 为平面ABC 上的一点，则→PB ·→PC 的最小值为．16．函数f(x)＝x2－ax－1的零点个数为；当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的取值范围为．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(10分)在①、②两个条件中任取一个填入下面的横线上，并完成解答．①在(0，2π)上有且仅有4个零点；②在(0，2π)上有且仅有2个极大值点和2个极小值点．设函数f(x)＝sin(ωx2＋π3)(ω∈N*)，且满足．(1)求ω的值；(2)将函数f(x)的图象向右平移π3个单位得到函数g(x)的图像，求g(x)在(0，2π)上的单调递减区间．【解析】18．(12分)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．(1)请写出一个图象关于点(－1，0)成中心对称的函数解析式；(2)利用题目中的推广结论，求函数f(x)＝x3－3x2＋4图象的对称中心．【解析】19．(12分)在锐角三角形ABC 中，已知tan2A ＝sin A cos A －1．(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，求b ＋c 的取值范围．【解析】20．(12分)在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝11，cos ∠BAC ＝51122，D 为BC 的中点，E 为AB 边上的一个动点，AD 与CE 交于点O ．设→AE ＝x →AB ．(1)若x ＝14，求CO OE的值；(2)求→AO ·→CE 的最小值．【解析】21．(12分)已知正项数列{a n}的前项积为T n，且满足a n＝T n3T n－1(n∈N*)．(1)求证：数列{T n－12}为等比数列；(2)若a1＋a2＋…＋a n＞10，求n的最小值．【解析】22．(12分)已知函数f(x)＝e x－m－ln x(m≥0)．(1)当m＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若函数f(x)的最小值为1e－1，求实数m的值．【解析】。

2023届河北省唐山一中高三上学期期中数学试题及答案

唐山一中2022—2023 学年度第一学期期中考试高三年级数学试卷说明：1.考试时间 120分钟，满分 150分。

2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。

卷Ⅰ（选择题共60分）一．单项单选题（本题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{|12}A x x =-< ，{|}B x x a =<，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是（）A ．{|2}a a <B ．{|2}a a >-C ．{|1}a a >-D ．{|12}a a -< 2．()12i 34i z +=-，则=z （）A ．2B CD ．33．已知a ，b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题错误的是（）A ．若,//αγβα⊥，则βγ⊥B ．若//,//,a αββγα⊥，则a γ⊥C ．若,,//a b a b αγβγ== ，则//αβD ．若,,αγβγαβ⊥⊥= b ，则b γ⊥4．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则6=a （）A ．103B ．107C ．109D ．1055．若,x R k Z ∈∈，则“||4x k ππ-<”是“|tan |1x <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知()cos()f x x =+ωϕ（其中0>ω，ππ22ϕ-<<）的部分图象如图所示，下列四个结论：（1）函数()f x 的单调递增区间为ππ2π,2π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z（2）函数()f x 的单调递减区间为π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z（3）函数()f x 的最小正周期为π（4）函数()f x 在区间[,]-ππ上有5个零点．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．已知0.30.22,3a b ==，若()2log c a b =+，则a b c ､､大小关系为（）A ．c b a>>B ．c a b>>C ．a b c>>D ．b a c>>8．在ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，设ABC 的面积为S ，则24Sa bc+的最大值为（）A B C D ．18二．不定项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）9．如图所示，在四棱锥E ABCD -中，CDE △是边长为2的正三角形，点N 为正方形ABCD 的中心，M 为线段DE 的中点，BC DE ⊥则下列结论正确的是（）A ．直线BM 与EN 是异面直线B ．线段BM 与EN 的长度不相等C ．直线DE ⊥平面ACMD ．直线EA 与平面ABCD 10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（）A ．若cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 一定是等边三角形B ．若cos cos a A b B =，则△ABC 一定是等腰三角形C ．A B >是sin sin A B >成立的充要条件D ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列命题正确的是（）A ．若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -仍为等差数列B ．若{}n a 为等比数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -仍为等比数列C ．若{}n a 为等差数列，则{}n aa （a 为正常数）为等比数列D ．若{}n a 为等比数列，则{}lg n a 为等差数列12．已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()(),f x g x ''分别为()(),f x g x 的导函数，()()5f x g x '+=，()()225f x g x '--+=，若()g x 为奇函数，则下列等式一定成立的是（）A ．()25f -=B ．()()4g x g x +=.C ．()()8g x g x -'='D ．()()8f x f x +'='卷Ⅱ（非选择题共90分）三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．平面向量a 与b 的夹角为60︒，(3,4),||1== a b ，则|2|a b +=_____________．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111012S S S >>，则满足0n S >的正整数n 的最大值为____15．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，4PA =，AB BC AC ===M 为AC 的中点，球O 为三棱锥P ABM -的外接球，D 是球O 上任一点，则三棱锥-D PAC 体积的最大值为____________．16．已知函数()ln 1f x b x =--，若关于x 的方程()0f x =在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解，则22a b +的最小值为______．四．解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题10分）已知等比数列{}n a 的公比>1q ，满足：2346=13,=3S a a .(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1,=+,n n n a n b b n n -⎧⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n S .18.（本题12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，∠BAD ＝3π，AB ＝1，CD ＝3，M 为PC上一点，且MC ＝2PM.（1）证明：BM //平面PAD ；（2）若AD ＝2，PD ＝3，求点D 到平面PBC 的距离.19.（本题12分）在斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等腰直角三角形，AB AC =，侧面11BB C C 为菱形，且160B BC ∠=︒，点E 为棱1A A 的中点，1EB EC =，平面1B CE ⊥平面11BB C C ．(1)证明：平面11BB C C ⊥平面ABC ；(2)求平面1AB C 与平面1B CE 的夹角的余弦值．20．（本题12分）如图，矩形纸片ABCD 的长AB为3，将矩形ABCD 沿折痕,EF GH 翻折，使得,A B 两点均落于DC 边上的点P，若EG EPG ∠θ==.(1)当sin2sin θθ=-时，求矩形的宽AD 的长度；(2)当0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求矩形的宽AD 的最大值.21．（本题12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，5212S S =+；数列{}n b 的前n 项和n T ，且11b =，数列{}n b 的11n n b T +=+，()*n ∈N ．(1)求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；(2)若数列{}n c 满足：()()112141n n n n n n n a a c a a b -++=-+，当2n ≥时，求证：12212n c c c ++⋅⋅⋅+<．22．（本题12分）已知()()1ln af x a x x x=-++(1)若0a <，讨论函数()f x 的单调性；(2)()()ln a g x f x x x =+-有两个不同的零点1x ，()2120x x x <<，若12202x x g λλ+⎛⎫'> ⎪+⎝⎭恒成立，求λ的范围．高三数学期中考试参考答案：1-8CCCBCBAA 9-12BD AC AC ACD13-162129e 17.（1）法一：因为{}n a 是公比1q >的等比数列，所以由3246=13=3S a a ⎧⎨⎩，得()12323511++=13=3a a a a q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，即()2111++=13=3a q q a q ⎧⎪⎨⎪⎩，两式相除得21133q q q ++=，整理得231030q q -+=，即()()3130q q --=，解得3q =或13q =，又1q >，所以3q =，故131a q ==，所以1113n n n a a q --==，（2）当n 为奇数时，13n n n b a -==，当n 为偶数时，213n n n b b n n --=+=+，所以12342122n n n b b b b S b b -=++++++ ()()1321242n n b b b b b b -=+++++++ ()()222022023332n n n --=++++++++++ ()()022********n n -=+++++++ ()()22132+2=2+132nn n --⨯91(1)4nn n -=++.18.（1）过点M 作ME //CD ，交PD 于点E ，连接AE .因为AB //CD ，故AB //EM .又因为MC ＝2PM ，CD ＝3，且△PEM ∽△PDC ，故13EM PM DC PC ==，解得EM ＝1.由已知AB ＝1，得EM =AB ，故四边形ABME 为平行四边形，因此BM //AE ，又AE ⊂平面PAD ，BM ⊄平面PAD ，所以BM //平面PAD.（2）连接BD ，由已知AD ＝2，AB ＝1，∠BAD ＝3π，可得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos ∠BAD ＝3，即DB 因为DB 2＋AB 2＝AD 2，故△ABD 为直角三角形，且∠ABD ＝2π.因为AB ∥CD ，故∠BDC ＝∠ABD ＝2π.因为DC ＝3，故BC =.由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥DB ，PD ⊥DC ，故PB =，PC =，则BC ＝PB ，故△PBC 为等腰三角形，其面积为S △PBC ＝12·PC 12=×2.设点D 到平面PBC 的距离为h ，则三V 三棱锥D －PBC ＝13·S △而直角三角形BDC 的面积为S△BDC ＝12·DC ·DB ＝12三棱锥P －BDC 的体积为V 三棱锥P －BDC ＝13·S △·PD ＝13因为V 三棱锥D －PBC ＝V 三棱锥P －BDC ，即2h ＝2，故h ＝5.所以点D 到平面PBC 的距离为5.19解：（1）分别取BC ，1B C 的中点O 和F ，连接OA ，OF ，EF ，1B O ，如下图：因为O ，F 分别是BC ，1B C 的中点，所以1FO BB ，且112FO BB =，因为点E 为棱1A A 的中点，所以1AE BB ，且112AE BB =，所以FO AE ，且FO AE =，所以四边形AOFE 是平行四边形，所以EF AO ∥．因为1EB EC =，F 是1B C 的中点，所以1EF B C ⊥，又因为平面1B CE ⊥平面11BB C C ，且平面1B CE 平面111BB C C B C =，所以EF ⊥平面11BB C C ，所以AO ⊥平面11BB C C ，因为AO ⊂平面ABC ，所以平面11BB C C ⊥平面ABC ．（2）因为侧面11BB C C 为菱形，且160B BC ∠=︒，所以1BB C △为正三角形，所以1B O BC ⊥，由（1）知平面11BB C C ⊥平面ABC ，平面11BB C C 平面ABC BC =，所以1B O ⊥平面ABC ，又由AB AC =，故OA ，OC ，1OB 两两垂直，设2AB =，则1AA BC ==，以O 为坐标原点，OA →，OC →，1OB →分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系如下：则)A，()C，(1B，,22E ⎭，所以(1B C →=，2CE →=⎭，()AC →=，设平面1B CE 的法向量为()111,,m x y z →=，则1111110022m B C m CE y z ⎧⋅=⎪⎨⋅+=⎪⎩，令11z =，则1y =10x =，从而()m →=．设平面1AB C 的法向量为()222,,n x y z →=，则122220,0,n B C n AC ⎧⋅==⎪⎨⋅==⎪⎩令2y =21z =，2x =从而)n →=，设平面1AB C 与平面1B CE 的夹角为θ，则||2cos =|cos<,|7||||m n m n m n θ→→→→→→⋅>==⋅，所以平面1AB C 与平面1B CE的夹角的余弦值为7．20（1）依题意,在△EPG 中,EG =,3PE PG +=,EPG ∠θ=,AD 的长度即为△EPG 的边EG 上的高,当sin2sin θθ=-时，2sin cos sin θθθ=-,所以12cos ,(0,),23πθθπθ=-∈∴=EG = ,,PE AE x PG BG y ====x y ∴+，①由余弦定理得,2222cos EG PE PG PE PG θ=+-⋅得,221272x y xy ⎛⎫+-⋅-= ⎪⎝⎭，227x y xy ∴++=,②21212,sin 232PEG xy S xy AD AD π-⇒=∴=⋅=⋅⇒ ①②.（2）在PEG △中，,,3PE AE x PG BG y x y ====+=，①222cos 7x y xy θ+-=，②()2121cos 2,1cos xy xy θθ-⇒+=∴=+①②22sincostan11222sin 2212cos 12PEG S xy AD AD θθθθθ==⋅⇒==+-max 0,0,0tan 1,()2242AD πθπθθ<≤∴<≤<∴=21（1）解：因为11a =，由5212S S =+，得34512a a a ++=，所以4312a =，即44a =，设等差数列{}n a 的公差为d ，所以41141a a d -==-，所以()()11111n a a n d n n =+-=+-⨯=．由11n n b T +=+，()*n ∈N ，得11n n b T -=+，()2n ≥，两式相减得()11n n n n n b b T T b +--=-=，即()122n n b b n +=≥，又2111112b T b b =+=+=，所以数列{}n b 是以1为首项、2为公比的等比数列，则11122n n n b b --=⋅=；（2）由（1）知：()()()()()()1111221114112n n n n n n n n n a a n n c a a b n n --+++++=-=-⋅++⋅，()()11111212n n n n n -+⎡⎤=-⋅+⎢⎥⋅+⋅⎣⎦，∴21232122334111111122222323242n n T c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=+-+++-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()22121111112221222122n n n n n n ++⎛⎫-+=-< ⎪ ⎪⋅+⋅+⋅⎝⎭．22解1)()f x 定义域为()0,∞+()()()()()222211111x a x a x a x a f x a x x x x +--+-'=-+-==ⅰ）01a <-<即10a -<<时，()01f x a x '<⇒-<<，()00f x x a '>⇒<<-或1x >ⅱ）1a -=即1a =-时，()0,x ∈+∞，()0f x '≥恒成立ⅲ）1a ->即1a <-，()01f x x a '<⇒<<-，()001f x x '>⇒<<或x a>-综上：10a -<<时，(),1x a ∈-，()f x 单调递减；()0,a -、()1,+∞，()f x 单调递增1a =-时，()0,x ∈+∞，()f x 单调递增1a <-时，()1,x a ∈-，()f x 单调递减；()0,1、(),a -+∞，()f x 单调递增(2)()ln g x a x x =+，由题1122ln 0ln 0a x x a x x +=⎧⎨+=⎩，120x x <<则()1221ln ln a x x x x -=-，设()120,1x t x =∈∴212112ln ln ln x x x xa x x t --==-()1a g x x'=+∴122112122221122ln 2x x x x g ax x t x x λλλλλλ+-++⎛⎫'=+=⋅+ ⎪+++⎝⎭()()()21102ln t t tλλ+-=+>+恒成立()0,1t ∈，∴ln 0t <∴()()21ln 02t t t λλ+-+<+恒成立设()()()21ln 2t h t tt λλ+-=++，∴()0h t <恒成立()()()()()()()()22222224122241222t t t t h t t t t t t t λλλλλλλ⎛⎫-- ⎪++-+⎝⎭'=-==+++ⅰ）24λ≥时，204t λ-<，∴()0h t '>，∴()h t 在()0,1上单调递增∴()()10h t h <=恒成立，∴(][),22,λ∈-∞-+∞ 合题ⅱ）24λ<，20,4t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0h t '>，∴()h t 在20,4λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h t '<，∴()h t 在2,14λ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减∴2,14t λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()10h t h >=，不满足()0h t <恒成立综上：(][),22,λ∈-∞-+∞。

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三(上)期中数学试卷

2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x ＜2}， B ={x|x−3x−1≤0} ，则集合A∪B=___ ． 2.（填空题，4分）在 (x2+1x )6的二项展开式中，x 2项的系数等于 ___ ．3.（填空题，4分）已知向量 a ⃗ =（sinθ，1）， b ⃗⃗=(1，cosθ) ，其中0＜θ＜2π，若 a ⃗ ⊥ b ⃗⃗ ，则θ=___ ．4.（填空题，4分）若z 1=1+i ，z 2=a-2i ，其中i 为虚数单位，且 z 1•z 2∈R ，则实数a=___ ．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a ，b ，则a ，b 所成角的最大值为 ___ ．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．11.（填空题，5分）已知数列{a n }满足a 1=1，若数列{b n }满足b n =max{a k+1-a k |1≤k≤n}（n∈N*），且a n +b n =2n （n∈N*），则数列{a n }的通项公式a n =___ ．12.（填空题，5分）设函数f （x ）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f （x ）＞0；（2）对任意的x 1，x 2∈（0，1），都有 f (x 1)f (x 2)+f (1−x 1)f (1−x 2)≤2 ；)=2．（3）f(12的最小值为 ___ ．则函数g(x)=xf(x)+1x13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个15.（单选题，5分）已知a⃗，b⃗⃗，c⃗和d⃗为空间中的4个单位向量，且a⃗+b⃗⃗+c⃗ = 0⃗⃗，则| a⃗−d⃗ |+| b⃗⃗−d⃗ |+| c⃗−d⃗ |不可能等于（）A.3B.2 √3C.4D.3 √216.（单选题，5分）函数f（x）的定义域为D，若f（x）存在反函数，且f（x）的反函数就是它本身，则称f（x）为自反函数．有下列四个命题：是自反函数；① 函数f(x)=−xx+1② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD ；（2）求PC 与平面ABCD 所成角．18.（问答题，14分）已知函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2-mx+4，m∈R ．（1）当m=4时，解不等式g （x ）＞|f （x ）-2|．（2）若对任意的x 1∈[1，2]，存在x 2∈[1，2]，使得g （x 1）=f （x 2），求实数m 的取值范围．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B 处被台风折断且形成120°角，树尖C 着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A ，B ，C 三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点P在第一象限，PN⊥x轴于点N，直线QN交椭圆于点M（不同于Q点），试求∠MPQ的值；是否为定值？若（3）已知点R在椭圆上，直线PR与圆x2+y2=2相切，连接QR，问：|PR||QR|为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．(n∈N∗)．21.（问答题，18分）已知数列{a n}满足a1=0，|a n+1-a n|=n，且a n≤ n−12（1）求a4的所有可能取值；（2）若数列{a2n}单调递增，求数列{a2n}的通项公式；（3）对于给定的正整数k，求S k=a1+a2+⋯+a k的最大值．2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：1501.（填空题，4分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x−3x−1≤0}，则集合A∪B=___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤3}【解析】：先解分式不等式求出B，再利用并集运算求解．【解答】：解：∵ B={x|x−3x−1≤0} ={x|1＜x≤3}，A={x|0＜x＜2}，∴A∪B={x|0＜x≤3}，故答案为：{x|0＜x≤3}．【点评】：此题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，属于基础题．2.（填空题，4分）在(x2+1x)6的二项展开式中，x2项的系数等于 ___ ．【正确答案】：[1] 1516【解析】：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式的x2项的系数．【解答】：解：二项式(x2+1x)6展开式的通项公式为T r+1= C6r(x2)6−r(1x)r= C6r(12)6−rx6-2r，令6-2r=2，解得r=2，故(x2+1x)6二项展开式中，含x2项的系数等于C62(12)4= 1516，故答案为：1516．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．3.（填空题，4分）已知向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，其中0＜θ＜2π，若a⃗⊥ b⃗⃗，则θ=___ ．【正确答案】：[1] 3π4或7π4【解析】：根据题意，由数量积的计算公式可得a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，结合θ的取值范围，即可确定θ的值．【解答】：解：根据题意，向量a⃗ =（sinθ，1），b⃗⃗=(1，cosθ)，若a⃗⊥ b⃗⃗，则有a⃗• b⃗⃗=sinθ+cosθ=0，变形可得tanθ=-1，又0＜θ＜2π，所以θ= 3π4或7π4；故答案为：3π4或7π4．【点评】：本题考查向量垂直的判断方法，涉及向量数量积的计算公式，属于基础题．4.（填空题，4分）若z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，则实数a=___ ．【正确答案】：[1]-2【解析】：求出z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，由z1•z2∈R，能求出实数a．【解答】：解：z1=1+i，z2=a-2i，其中i为虚数单位，且z1•z2∈R，z1•z2 =（1+i）（a+2i）=a+ai+2i+2i2=（a-2）+（a+2）i，∴a+2=0，解得实数a=-2．故答案为：-2．【点评】：本题考查实数值的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（填空题，4分）已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，任取圆锥的两条母线a，b，则a，b所成角的最大值为 ___ ．【正确答案】：[1]60°【解析】：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，求出r与l的关系，确定两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，即可得到答案．【解答】：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，因为一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则2πr=πl，解得l=2r，当两条母线a，b为轴截面的两条母线时，a，b所成角的最大，最大值为60°．故答案为：60°．【点评】：本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．6.（填空题，4分）无穷等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，且S 2020+2S 2021=3S 2022，则无穷等比数列{a n }的各项和为 ___ ．【正确答案】：[1] 32【解析】：先求出等比数列{a n }的公比，然后利用无穷等比数列的和可计算出结果．【解答】：解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2020+2S 2021=3S 2022，所以S 2022-S 2020=2（S 2021-S 2022），即a 2021+a 2022=-2a 2022，所以3a 2022=-a 2021，所以q=- 13 ，所以无穷等比数列{a n }的各项和为S n = a 1(1−q n )1−q = 2×[1−(−13)n]1+13 = 32[1−(−13)n] ，当n→+∞时，S n → 32 ，故无穷等比数列{a n }的各项和为 32 ，故答案为： 32．【点评】：本题考查了等比数列求和公式，极限思想，属于中档题．7.（填空题，5分）设函数 f (x )=sin (2x +π3) ，若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，使得f （x 1）+f （x 2）=0，则|α-β|的最小值为___ ．【正确答案】：[1] π3【解析】：根据题意，设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所以f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，求出，|α-β|的最小值．【解答】：解：若对于任意的 x 1∈[−π4，π4] ，在区间[α，β]上总存在唯一确定的x 2，f （x 1）+f （x 2）=0，得-f （x 1）=f （x 2），设集合A 为所有-f （x 1）构成的集合，集合B 是所有f （x 2）构成的集合，则A⊆B ，对于任意的x∈[ −π4，π4 ]，2x+ π3 ∈[−π6，5π6] ，-f （x ）∈[-1， 12]=A ，因为-f （x ）单调递减，根据题意，要使|α-β|=β-α最小，只需A=B 即可，所以-1 ≤sin (2x +π3)≤12 ，得2x+ π3 ∈ [−π2+kπ，π6+kπ]，(k ∈z ) ，故，|α-β|的最小值为 12 （ [π6−(−π2)] = π3 ．故答案为： π3．【点评】：考查三角函数图象和性质，三角函数恒成立和能成立问题，综合性高，难度较大． 8.（填空题，5分）某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是___ ．【正确答案】：[1] 49【解析】：小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，由此能求出他能集齐3个不同动漫角色的概率．【解答】：解：某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个．小明购买了4个盲盒，基本事件总数n=34=81，他能集齐3个不同动漫角色包含的基本事件个数m= C 42A 33=36，∴他能集齐3个不同动漫角色的概率P= m n = 3681 = 49．故答案为： 49．【点评】：本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题． 9.（填空题，5分）已知F 1、F 2是椭圆x 24+y 23=1 的左、右焦点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 1为直径作圆N ，直线ON 与圆N 交于点Q （点Q 不在椭圆内部），则 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据中位线定理及椭圆的定义，表示出|OQ|，利用极化恒等式即可求得 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．【解答】：解：连接PF 2，由题意可知|PF 2|=2|ON|，|NQ|= 12 |PF 1|，所以|OQ|=|ON|+|NQ|= 12（|PF 2|+|PF 1|）= 12×4=2，由极化恒等式可知 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|QO|²- 14|F 1F 2|²=4-1=3，所以 QF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • QF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，（极化恒等式： a ⃗ •b ⃗⃗ = (a⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)24）．故答案为：3．【点评】：本题考查椭圆的定义与性质，中位线定理及向量的数量积运算，考查向量的极化恒等式的应用，针对于极化恒等式，需要学生会推导及会使用，在做题中能起到事半功倍的效果，属于中档题．10.（填空题，5分）已知函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 有且只有一个零点，若方程f （x ）=k 无解，则实数k 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]（-∞，0）【解析】：先判断出函数f （x ）为偶函数，结合题意得到f （0）=0，得到a 的值，从而求出f （x ），再判断函数f （x ）的单调性，确定f （x ）的取值范围，即可得到k 的范围．【解答】：解：函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1 +a 的定义域为R ，又f （-x ）=x 2-a|x|+1x 2+1+a=f （x ），所以f （x ）为偶函数，又函数f （x ）=x 2-a|x|+ 1x 2+1+a 有且只有一个零点，所以f （0）=0，解得a=-1，故f （x ）=x 2+|x|+ 1x 2+1 -1，所以f （x ）=x 2+1+ 1x 2+1 +|x|-2，因为y=x 2+1+ 1x 2+1 在[0，+∞）上为单调递增函数，且y=|x|-2在[0，+∞）上为单调递增函数，所以函数f （x ）在[0，+∞）上为单调递增函数，又f （x ）为偶函数，所以f（x）≥f（0）=0，因为方程f（x）=k无解，所以k＜0，故实数k的取值范围为（-∞，0）．故答案为：（-∞，0）．【点评】：本题考查了函数与方程的综合应用，函数性质的综合应用，考查了函数单调性与奇偶性的判断与应用，函数零点定义的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．11.（填空题，5分）已知数列{a n}满足a1=1，若数列{b n}满足b n=max{a k+1-a k|1≤k≤n}（n∈N*），且a n+b n=2n（n∈N*），则数列{a n}的通项公式a n=___ ．【正确答案】：[1]2n-1【解析】：根据已知条件分别求a1，a2，a3，…，由归纳即可得{a n}的通项公式．【解答】：解：因为a n+b n=2n（n∈N*），由a1=1，可得b1=a2-a1=21-1=1，所以a2=a1+1=1+1=2，因为a2+b2=22=4，可得b2=2=a3-a2，所以a3=4，因为b3=23-a3=8-4=4=a4-a3，可得a4=8，…，所以a n=b n=2n-1，故答案为：2n-1．【点评】：本题考查了数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.（填空题，5分）设函数f（x）的定义域是（0，1），满足：（1）对任意的x∈（0，1），f（x）＞0；（2）对任意的x1，x2∈（0，1），都有f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2；（3）f(12)=2．则函数g(x)=xf(x)+1x的最小值为 ___ ．【正确答案】：[1]2 √2【解析】：由条件（1）（2）进行推导可得f（x）关于直线x= 12对称，借由对称轴推出f（x）为常数函数，代入g（x）基本不等式求最值运算．【解答】：解：由题意，令x1=1-x2，则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≤2，由（1）对任意x∈（0，1），f（x）＞0，则f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)≥2√f(1−x2)f(x2)⋅f(x2)f(1−x2)=2，所以f(1−x2)f(x2)+f(x2)f(1−x2)=2，当且仅当f(1−x2)f(x2)=f(x2)f(1−x2)，即f（x2）=f（1-x2）时等号成立，所以f（x）关于直线x= 12对称，所以f（x1）=f（1-x1），f（x2）=f（1-x2），则不等式f(x1)f(x2)+f(1−x1)f(1−x2)≤2等价于f(x1)f(x2)+f(x1)f(x2)≤2，所以f(x1)f(x2)≤1，因为对任意x∈（0，1），f（x）＞0，所以f（x1）≤f（x2），所以f（x1）=f（x2）恒成立，故f（x）为常数函数，因为f（12）=2，所以f（x）=2，所以g（x）=xf（x）+ 1x =2x+ 1x，因为x∈（0，1），所以2x+ 1x ≥2√2x•1x=2 √2（当且仅当x= √22时等号成立），所以g（x）的最小值为2 √2．故答案为：2 √2．【点评】：本题考查了抽象函数的性质，基本不等式求最值，属于难题．13.（单选题，5分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠0），S n是{a n}的前n项和．则“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：由等比数列的通项公式和数列的单调性的定义，结合充分必要条件的定义可得结论．【解答】：解：由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈∅；若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，综上可得，数列{a n}单调递减；但“数列{a n}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，所以“数列{a n}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，故选：B．【点评】：本题考查等比数列的通项公式的运用，以及数列的单调性的判断和充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．14.（单选题，5分）下列四个命题中真命题是（）A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个【正确答案】：C【解析】：A，同垂直于一直线的两条直线的位置关系不定；B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱底面不一定是正方形；C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条；D，过球面上任意两点的大圆有无数个；【解答】：解：对于A，同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行，故错；对于B，底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，不一定是正四棱柱，故错；对于C，两条异面直线的公垂线是唯一的，所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条，正确；对于D ，过球面上任意两点的大圆有无数个，故错；故选：C ．【点评】：本题考查了命题真假的判定，属于基础题．15.（单选题，5分）已知 a ⃗ ， b ⃗⃗ ， c ⃗ 和 d ⃗ 为空间中的4个单位向量，且 a ⃗ +b ⃗⃗ +c ⃗ = 0⃗⃗ ，则| a ⃗ −d ⃗ |+| b ⃗⃗ −d ⃗ |+| c ⃗ −d ⃗ |不可能等于（） A.3 B.2 √3 C.4 D.3 √2【正确答案】：A【解析】：首先由三个向量和为0向量得到三向量共面且两两成120度，再分情况考虑 d ⃗ ，不难得解．【解答】：解：设向量 a ⃗，b ⃗⃗，c ⃗，d ⃗ 分别对应向量 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由 a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗=0⃗⃗ 可知三个向量两两夹角为120°，如图，当D 与A 重合时，所求值为2 √3 ；当D 与M 重合时，所求值为4；当OD⊥平面ABC 时，所求值为3 √2 ．故选：A ．【点评】：此题考查了向量的几何意义，分类讨论，数形结合等，难度适中．16.（单选题，5分）函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）存在反函数，且f （x ）的反函数就是它本身，则称f （x ）为自反函数．有下列四个命题： ① 函数 f (x )=−xx+1 是自反函数；② 若f（x）为自反函数，则对任意的x∈D，成立f（f（x））=x；③ 若函数f(x)=√1−x2(a≤x≤b)为自反函数，则b-a的最大值为1；④ 若f（x）是定义在R上的自反函数，则方程f（x）=x有解．其中正确命题的序号为（）A. ① ② ③B. ① ② ④C. ② ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：D【解析】：由反函数跟自反函数定义逐一进行判断．，【解答】：解：① ，因为f（x）=- xx+1定义域为{x|x≠-1}，，设y=- xx+1所以y（x+1）=-x，，解得x=- yy+1（x≠-1），所以f（x）的反函数为y=- xx+1即f（x）反函数为它本身，满足自反函数定义，故① 正确，排除C；对于③ ，要使f（x）= √1−x2有意义，则1-x2≥0，即-1≤x≤1，因为f（x）为[a，b]上的自反函数，所以[a，b]⊆[-1，0]或[a，b]⊆[0，1]，所以则b-a的最大值为1，③ 正确，排除B；对于④ ，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y=x对称，而f（x）为定义在R上的自反函数，故f（x）图象关于y=x对称且与y=x有交点，所以方程f（x）=x有解，故④ 正确；故选：D．【点评】：本题考查了反函数的求法，属于基础题．17.（问答题，14分）在四棱锥P-ABCD中，底面为梯形，AB || CD，∠BAP=∠CDP=90°，PA=PD=AB=2，PA⊥PD，四棱锥P-ABCD的体积为4．（1）求证：AB⊥平面PAD；（2）求PC与平面ABCD所成角．【正确答案】：【解析】：（1）证明CD⊥DP．AB⊥DP，然后证明AB⊥平面PAD．（2）作AD的中点E，连结PE，CE，说明PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．通过四棱锥P-ABCD的体积，求解得CD=4．在Rt△PEC中，求解PC与平面ABCD所成角．【解答】：（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴AB⊥AP，CD⊥DP．又AB || CD，∴AB⊥DP．∵AP∩DP=P，AP，DP⊂面PAD，∴AB⊥平面PAD．（2）解：作AD的中点E，连结PE，CE，∵PA=PD，PA⊥PD，∴PE⊥AD，AD=2√2，PE=12AD=√2．由（1）AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，又AB∩AD=A，AB，AD⊂面ABCD，所以PE⊥平面ABCD，即PE为四棱锥P-ABCD的高，∠PCE为PC与平面ABCD所成角．四棱锥P-ABCD的体积为4=13S梯形ABCD•PE=13•AB+CD2•AD•PE=13•2+CD2•2√2•√2，得CD=4．在Rt△PDC中，PC=√PD2+DC2=√22+42=2√5．在Rt△PEC中，sin∠PCE=PEPC =√22√5=√1010，∠PCE=arcsin√1010．所以PC与平面ABCD所成角为arcsin√1010．【点评】：本题考查几何体的体积的求法，直线与平面所成角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用．考查空间想象能力以及计算能力．18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x，g（x）=x2-mx+4，m∈R．（1）当m=4时，解不等式g（x）＞|f（x）-2|．（2）若对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2），求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为|x-2|＞1，解之即可；（2）可求得当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]，依题意，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x ) max≤m≤ (x+3x )min，利用对勾函数的性质分别求得(x+2x)max与(x+3x)min，即可求得实数m的取值范围．【解答】：解：（1）当m=4时，不等式g（x）＞|f（x）-2|可化为：|x-2|2＞|x-2|，即|x-2|＞1，解得x＞3或x＜1，故不等式g（x）＞|f（x）-2|的解集为{x|x＞3或x＜1}．（2）∵f（x）=x，∴当x∈[1，2]时，f（x）∈[1，2]；又g（x）=x2-mx+4，x∈[1，2]，对于任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴g（x）的值域是f（x）的值域的子集，即当x∈[1，2]时，1≤x2-mx+4≤2恒成立⇔ (x+2x )max≤m≤ (x+3x)min，又当x∈[1，2]时，由对勾函数的性质可得y=x+ 2x ∈[2 √2，3]，y=x+ 3x∈[2 √3，4]，∴3≤m≤2 √3，即m的取值范围为[3，2 √3 ]．【点评】：本题考查函数恒成立问题与绝对值不等式的解法，考查化归与转化、函数与方程等数学思想，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．19.（问答题，14分）2021年10月13日第18号台风“圆规”在海南某地登陆，最大风力达到12级．路边一棵参天大树在树干某点B处被台风折断且形成120°角，树尖C着地处与树根A 相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设∠CAB=θ（A，B，C三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．（1）若θ=45°，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；（2）问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过？并说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）由题意结合正弦定理可得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，代入计算即可；（2）设△4BC的内接矩形DEFG的边DE在AC上且DE=2，设DG=EF=h，由∠CAB=θ，构建函数h= 8sinθsin(60°−θ)sin60°，再结合θ范围求得h范围，然后与救援车高比较即可得到答案．【解答】：解：（1）在△ABC中，∠CBA=120°，∠CAB=45°，所以∠BCA-15°，由正弦定理，得ABsin15°=CBsin45°=10sin120°，所以AB+BC= 10sin120°（sin15°+sin45°）= 15√2+5√63≈11.2，答：折断前树的高度11.2米；（2）如图，设△4BC 的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且DE=2，设DG=EF=h ，因为∠CAB=θ，∠CBA=120°，所以∠BCA=60°-θ，所以AD+CE+DE= ℎtanθ + ℎtan (60°−θ) +2=10，所以h[ cosθsinθ + cos (60°−θ)sin (60°−θ)]=8， h=8sinθsin (60°−θ)sin60° = √3√34 sin2θ- 1−cos2θ4 ）= 8√33sin (2θ+π6)−4√33，因为θ∈（0， π3 ），所以 2θ+π6∈(π6，5π6) ，所以sin （2θ+ π6 ）∈（ 12 ，1]，所以h∈（0， 4√33]，由于4√33＜2.5，所以高2.5米的救援车不能从此处通过．【点评】：本题考查了解三角形的应用，正弦定理，三角函数值域的求法，属于中档题． 20.（问答题，16分）已知椭圆C ： x 2a 2+y 2b 2=1 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点 A(√6，0) 在椭圆上，且 AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3 ，点P ，Q 是椭圆上关于坐标原点O 对称的两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，PN⊥x 轴于点N ，直线QN 交椭圆于点M （不同于Q 点），试求∠MPQ 的值；（3）已知点R 在椭圆上，直线PR 与圆x 2+y 2=2相切，连接QR ，问： |PR||QR| 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【正确答案】：【解析】：第一问要弄清楚A 点就是椭圆的右顶点，第二问要设而不解，计算较繁琐，通过计算找出两直线PM 和PQ 是垂直关系，第三问要分直线PR 的斜率是否存在两种情况进行讨论．【解答】：解：（1）．∵点 A(√6，0) 在椭圆上． ∴a= √6 ．又∵ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−c −√6，0) ， AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(c −√6，0) ．∴ AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗•AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6-c 2=3．∴c 2=3，b 2=3． ∴椭圆C的标准方程：x 26+y 23=1 ．（2）．设P （x 0，y 0）（x 0＞0，y 0＞0），M （x 1，y 1）则Q （-x 0，-y 0），N （x 0，0）．因为M 、N 、Q 三点共线，所以 y 1x1−x 0=y02x 0，所以 y 1=y 0(x 1−x 0)2x 0① ．联立 {x 026+y 023=1x 126+y 123=1，两式相减得 y 1−y 0x 1−x 0=−x 1+x2(y 1+y 0)． ② 将 ① 代入 ② 中的右边的分母中，化简可得： y 1−y 0x 1−x 0=−x 0y 0，所以K PM = −x0y 0，又因为K PQ = y 0x 0，所以K PM •K PQ =-1，所以PM⊥PQ ，所以∠MPQ= π2 ．（3）． ① 当直线PR 的斜率不存在时，依题意可得直线PR 的方程为x= √2 或x=- √2 ．若直线PR ：x= √2 ，则直线PQ ：y=x ，可得P （ √2 ， −√2 ），Q （- √2 ，- √2 ），R （ √2 ，- √2 ）．则|PR|= 2√2 ，|QR|= 2√2 ，所以 |PR||RQ|=1 ．其他情况由对称性同理可得 |PR||RQ|=1 ．② 当直线PR 的斜率存在时，设直线PR 的方程为y=kx+m ，因为直线与圆O 相切，所以圆心O 到直线PR √k 2+1=√2 ，即|m|= √2(1+k 2) ．设P （x 1，y 1），R （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1）．联立 {y =kx +m x 26+y 23=1 ，消去y ，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2-6=0，Δ＞0．则x 1+x 2= −4km 1+2k 2 ，x 1x 2= 2m 2−61+2k 2．所以|PR|= √1+k 2•√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =2√2√1+k 2•√6k 2−m 2+31+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2．因为|QR|= √(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2 ．又因为y 1+y 2=k （x 1+x 2）+2m= k (−4km1+2k 2)+2m =2m1+2k 2 ．所以|QR|= √(−4km 1+2k 2)2+(2m1+2k 2)2= 2|m|√1+4k 21+2k 2 = 2√2√1+k 2•√1+4k 21+2k 2=|PR | ．即 |PR||QR|=1 ．综上所述， |PR||QR|=1 ．【点评】：本题考查了椭圆的定义标准方程、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（问答题，18分）已知数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12(n ∈N ∗) ．（1）求a 4的所有可能取值；（2）若数列{a 2n }单调递增，求数列{a 2n }的通项公式；（3）对于给定的正整数k ，求S k =a 1+a 2+⋯+a k 的最大值．【正确答案】：【解析】：（1）根据数列的递推公式，即可求出a 4的所有可能取值；（2）根据数列{a 2n }单调递增，且a 2=-1，a 4=0，判断数列{a n }中相邻两项不可能同时为非负数，结合题意判断数列{a 2n }是等差数列，从而求出数列{a 2n }的通项公式；（3）根据（2）知a n ，a n+1不能都为非负数，讨论n 为奇数和n 为偶数时，a n+1+a n 的取值情况，从而求出k 为奇数时和k 为偶数时，S k 的最大值．【解答】：解：（1）数列{a n }满足a 1=0，|a n+1-a n |=n ，且a n ≤ n−12（n∈N *），所以|a 2-0|=1，a 2=1（不合题意，舍去），或a 2=-1；当a 2=-1时，|a 3+1|=2，解得a 3=1，或a 3=-3；当a 3=1时，|a 4-1|=3，解得a 4=4（不合题意，舍去），或a 4=-2，当a 3=-3时，|a 4+3|=3，解得a 4=0，或a=-6，所以a 4的所有可能取值是-2，0，-6；（2）因为数列{a2n}单调递增，且a2=-1，a4=0，所以a2n≥0对n≥2成立；下面证明数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数；假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1-a i|=i，若a i+1-a i=i，则a i+1=a i+i≥i＞(i+1)−12，与已知条件矛盾；若a i+1-a i=-i，则a i+1=a i+i≥i＞i−12，与已知条件矛盾；所以假设错误，即数列{a n}中相邻两项不可能同时为非负数，即a2n≥0对n≥2成立；所以当n≥2时，a2n-1≤0，a2n+1≤0，即a2n-1≤a2n，a2n+1≤a2n，所以a2n-a2n-1=2n-1，a2n-1-a2n-2=-（2n-2），（a2n-a2n-1）+（a2n-1-a2n-2）=（2n-1）-（2n-2）=1，即a2n-a2n-2=1，其中n≥2，即数列{a2n}是首项为-1，公差为1的等差数列，所以数列{a2n}的通项公式为a2n=-1+（n-1）×1=n-2；（3）对于给定的正整数k，S k=a1+a2+⋯+a k，由（2）的证明知，a n，a n+1不能都为非负数，当a n≥0时，a n+1＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当a n+1≥0时，a n＜0，根据|a n+1-a n|=n，得到a n=a n+1-n，所以a n+a n+1=2a n+1-n≤2× n+1−12-n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1-a n|=n，所以a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤-1，当n为偶数时，a n+1+a n≤0，所以k为奇数时，S k=a1+（a2+a3）+...+（a k-1+a k）≤0，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0．得到a n+1=a n-n，所以a n+a n+1=2a n-n≤2× n−12-n≤-1，当k为偶数时，S k=（a1+a2）+...+（a k-1+a k）≤- k2，考虑数列：0，-1，1，-2，2，...，- k−12，k−12，- k2，...，可以验证所给的数列满足条件，且S k=- k2，所以S k的最大值为- k2．综上知，k为奇数时，S k的最大值为0，k为偶数时，S k的最大值为- k2．【点评】：本题考查了递推数列的应用问题，也考查了推理与运算能力，以及分类讨论思想，是难题．。

河南省南阳市2021-2022学年高三上学期期中考试数学文科试卷

2021年秋期高中三年级期中质量评估数学试题(文)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷和草稿纸上无效。

4.考试结束，只交答题卡。

第I卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A＝{x∈N*|x2－3x－4<0}，则集合A的真子集有A.7个B.8个C.15个D.16个2.设iz＝4＋3i，则z＝A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－l)＋F(n－2)(n≥3，n∈N*)，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用。

若此数列的各项除以2的余数构成一个新数列{a n}，则数列{a n}的前2021项的和为A.2020B.1348C.1347D.6724.已知命题p：“∃x0∈R，0x e－x0－1≤0”，则¬p为A.∀x∈R，e x－x－1≥0B.∀x∈R，e x－x－1>0C.∃x0∈R，0x e－x0－1≥0D.∃x0∈R，0x e－x0－1>05.已知f(x)＝14x2＋sin(2＋x)，f'(x)为f(x)的导函数，则y＝f'(x)的图象大致是6.设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b7.设变量x ，y 满足约束条件x 1x 2y 30x y 0≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≥⎩，则目标函数z ＝2x －y 的最小值为A.－1B.0C.1D.38.若实数a ，b 满足a>0，b>0，则“a>b ”是“a ＋lna>b ＋lnb ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.已知x>1，y>0，且1211x y+=-，则x ＋2y －1的最小值为 A.9 B.10 C.11 D.2＋26 10.已知OA 、OB 是两个夹角为120°的单位向量，如图示，点C 在以O 为圆心的AB 上运动。

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2021-2022学年上学期期中考试
高三数学（文科）试题
考试时间：120分钟分数：150分
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第Ⅰ卷（选择题）
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7}，集合A={1,3,5,6}，则
U C A =
( )
A.{1,3,5,6}
B.{2,3,7}
C.{2,4,7}
D.{2,5,7}
2. 131i
i +- = ( )
A. 1+2i
B. -1+2i
C. 1-2i
D. -1-2i
3. 已知实数x , y 满足约束条件
100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
,则z=y-x 的最大值为 ( )
A. 1
B. 0
C. -1
D. -2 4. “p ⌝为假命题”是“p q ∧为真命题”的
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积为（） A. 32π B. 16π C. 12π D. 8π
(5题图) （6题图）
是
否
开始
k=1,s=1
k<5?
输出s
结束 k=k+1
s=2s-k
6. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（） A. -10 B. -3 C. 4 D. 5
7. 已知x 与y 之间的几组数据如表：
x 0 1 2 3 y
2
6
7
则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+必过点 ( )
A. (1,2)
B. (2,6)
C. (315,
24) D. (3,7)
8. 下列函数中，在定义域内与函数3
y x =的单调性与奇偶性都相同的是（）
A. sin y x =
B. 3y x x =-
C. 2x y =
D.
2
lg(1)y x x =++
9. 对于使()f x N ≥成立的所有常数N 中，我们把N 的最大值叫作()f x 的下确界．若
,a b ∈(0, +∞),且2a b +=，则133a b +
的下确界为（） A. 163 B. 83 C. 43 D. 23
10.如图所示的数阵中，每行、每列的三个数均成等差数列．如果数阵中11121321222331
32
33a a a a a a a
a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
所有数的和等于36，那么
22
a = （）
A. 8
B. 4
C. 2
D. 1
11.三棱锥P-ABC 的侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是（）
A. 4
B. 6
C. 8
D.10
12.函数()f x 的定义域为R ，f(0)=2,对x R ∀∈，有()()1f x f x '+>，则不等式
()1x x
e f x e >+ 的解集为（） A. {}|0x x > B. {}|0x x < C. {}|11x x x <->或 D. {}|10x x x <->>或1
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）
13.已知-向量a 与b 的夹角为60°，且a =（-2，-6），10b =，则ab =
14.已知数列
{}n a 是等比数列，且1344,8a a a ==，则5a 的值为
15.抛物线
2
(0)y ax a =<的焦点坐标为 16.将边长为2的等边∆ABC 沿x 轴正方向滚动，某时刻A 与坐标原点重合（如图），设顶点(,)A x y 的轨迹方程是y=f(x)，关于函数y=f(x)有下列说法：
①f(x)的值域为[0，2]； ②f(x)是周期函数且周期为6 ; ③()(4)(2015)f f f π<<;
④滚动后，当顶点A 第一次落在x 轴上时，f(x)的图象与x 轴所围成的面积为
833π
+．其中正确命题的序号为
三．解答题(本大题共6道题,共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题12分）在∆ABC 中，内角A,B,C 的对边分别为,,a b c .已知
3cos 3cos c b C c B =+
（I ）求sin sin C A 的值 (II)若1
cos ,23
3B b =-=，求∆ABC 的面积。

18.(本小题12分）某校高三年级一次数学考试后，为了解学生的数学学习情况，随机
抽取n 名学生的数学成绩，制成表所示的频率分布表.
组号分组
频数频率第一组
)90,100⎡⎣
5
0.05
O(A)
C
B
y
第二组 )100,110⎡⎣ a
0.35 第三组 )110,120⎡⎣
30 0.30
第四组 )120,130⎡⎣ 20 b
第五组
)130,140⎡⎣
10
0.10 合计
n
1.00
(I) 求,,a b n 的值；
(II)若从第三，四、五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2名学生与张老师面谈，求第三组中至少有1名学生与张老师面谈的概率。

19.（本小题12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为直角梯
形,AD//BC,ADC ∠=90°，平面PAD ⊥底面ABCD,Q 为AD 的中点，M 是棱PC 的中点，
PA=PD=2,BC=1
2AD=1，3
（I ）求证：平面PBQ ⊥平面PAD ；（II ）求四面体C-BQM 的体积。

20.（本小题12分）设函数21()2x f x x e =
.
（I ）求()f x 的单调区间；（II ）若当[]
2,2x ∈-时，不等式()f x m >恒成立，求实数m 的取值范围。

21.（本小题12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为25
，
它的一个顶点恰好是抛物线
214y x
=
的焦点。

（I ）求椭圆C 的标准方程；
(II)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A,B 两点，交y 轴于M 点，若
12,MA AF MB BF λλ==,，求12λλ+的值.
22.（本小题10分）已知直线l 的参数方程为12312x t y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩（t 为参数），曲线C 的参数
方程为cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨
=+⎩（θ为参数）。

（I ）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同
的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为
(4,)
6π
,判断点P 与直线l 的位置关系；(II)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 距离的
最小值与最大值。

2021-2022学年上学期期中考试
高三数学（文科）答案
一. 选择
CBABA CCDBB AA 二.填空
13. 10 14.16± 15.)41
,0(a
16.①②④ 三.解答 17. （1）3 （2）2
18.（1）n=100,a=35,b=0.2 (2) 0.8 19.(2)
4
1 20.（1）单调递增区间是),0()2,(+∞--∞和单调递减区间是)0,2(- （2）0<m
21.（1）15
22
=+y x （2）-10
22.（1）不在直线上（2）最小值21，最大值25。