数学人教A版选择性必修第二册课时素养评价 5.1.1 变化率问题 Word版含解析
5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
5.1.1变化率问题 课件-2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
[思路探究]
Δs
计算物体在[1，1＋Δt]内的平均速度 Δt
Δs
令Δt→0
――――→ 计算lim
―→ 得t＝1 s时的瞬时速度
Δt→0
Δt
例 1．某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可用函
数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
v
1 (1 t )
t
4.9t 5
当t 0时, 在区间[1,1 t ]内
h(1 t ) h(1) 4.9(t ) 5t
v
(1 t ) 1
t
2
4.9t 5
v 4.9t 5
• 书本P61
Δt<0
v
Δt>0
)
A．2＋Δx
B．2－2Δx
C．4＋2Δx
D．4
解析
21＋Δx2－1－1
这两点所在割线的斜率为 k＝
＝4＋2Δx.
Δx
课堂小结
1.高台跳水运动员平均速度及瞬时速度
h(t 2 ) h(t1 )
v
t 2 t1
h(t0 t ) h(t0 )
v(t0 ) lim
t 0
(t0 t ) t0
问题1
高台跳水运动员的速度
() = −. + . +
• 我们在t=1之后或之前，任意取一个时刻1+Δt，Δt是时间改变量，可以是正
值，也可以是负值，但不为0
当t 0时, 在区间[1 t ,1]内
h(1) h(1 t ) 4.9(t ) 2 5t
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.1.1 变化率问题
3 − − 2 = 0
切线方程为______________________.
因为 = (1 + )3 − 13
= [(1 + )2 + (1 + ) × 1 + 12 ]
= [()2 + 3 + 3] ,
所以
= ()2 + 3 + 3 ,
体,叫“自由落体”.
已知自由落体的位移时间的计算公式为 () =
1
2 (
2
= 9.8 m/s 2 ) .
（1） 0 s 到 1 s 内的平均速度与 1 s 到 2 s 内的平均速度是否相同？
0 s 到 1 s 内的平均速度为
1 s 到 2 s 内的平均速度为
=
=
1
(12 −0)
=
(2×1+1)2 −(2×0+1)2
1−0
设在 1 s 末附近的时间增量为 ,则在 1 s 末的瞬时速度为 =
[2×(1+)+1]2 −(2×1+1)2
lim→0
= 8(m/s) ,
lim→0
= lim→0 (12 + 4) = 12( m/s) .
.
1. [2021 山东日照高二质检] 一质点的运动方程是 = 5 − 3 2 ,则在时间
段 [1,1 + ] 内的平均速度为(
D
)
A. 3 + 6
B. −3 + 6
C. 3 − 6
D. −3 − 6
¯
=
[5−3(1+)2 ]−(5−3×12 )
5.1.1 变化率问题(教学课件)——高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册(共30页PPT)
-5.049 -5.0049 -5.00049 -5.000049 -5.0000049
思考
给出△t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v的值.当△t 无限趋近于0 时，平均速度v有什么变化趋势?
结论
当△t无限趋近于0,即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于 1时，平均速度v 都无限趋近于-5.
思考
(1)求运动员在t=2s 时的瞬时速度 (2)如何求运动员从起跳到入水工程中的某一时刻to的瞬时度?
结论
(1)运动员在[2,2+△t]和[2+△t,2]时间段的平均速度
运动员在t=2s 的瞬时速度为-14.8m/s.
(2)∵
\运动员在某一时刻to的瞬时速度为4.8-9.8t。m/s
三.割线与切线的斜率 1.切线的定义 如图，当点P(x,x²)沿着抛物线f(x)=x² 趋近于点P₀ (1,1)时，割线P₀P有 什
△t
-0.01
=-4.9△t-5
-4.951
△t
0.01
=-4.9△t-5
-5.049
-0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 -0.000001
-4.951 -4.9951 -4.99951 -4.999951 -4.9999951
0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
速直线运动，计算时间段[1,1+△t]内的平均速度v,
用平均速度v 近似表示运动员在t=1 时的瞬时速度.当△t<0 时，在时间段[1+△t,1]内可
作类似处理. 为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
当△t<0时，在时间段[1+△t,1]内
高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册5.1.1变化率问题教学设计
第五章一元函数的导数及其应用5.1 导数的概念及其意义5.1.1 变化率问题一、教学目标1、认知用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，通过认识瞬时速度是平均速度的极限，初步体会极限思想.2、通过抛物线的割线“逼近”切线的过程，进一步体会极限思想.3、初步掌握求瞬时速度和切线斜率的方法.二、教学重点、难点重点：对物理模型和数学模型中出现的极限思想的理解和瞬时速度的求法.难点：在瞬时速度和切线斜率的求法中体会极限思想.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【情景一】阅读关于微积分的小视频1 《牛顿、莱布尼茨与微积分》【情景二】阅读关于微积分的小视频2 《牛顿对运动的思考。
【情景三】阅读关于微积分的小视频3 《微积分发明之争》【情景四】阅读关于微积分的小视频4 《你不知道的莱布尼茨》【问题】如何精确定量地刻画变化速度的快慢？（二）阅读精要，研讨新知阅读课本5961P P - （预定用时2-3分钟），记忆相关概念.问题1 高台跳水运动员的速度【探究】在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单 位: m)与起跳后的时间t (单位: s)存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢?【发现】运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度为0. 但是这段时间内，运动员仍在运动之中，因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态！【瞬时速度】为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入物体在某一时刻 的速度，称为瞬时速度(instantaneous velocity).【探究】瞬时速度与平均速度有什么关系?你能利用这种关系求运动员在 s 时的瞬时速度吗?【发现】从数据上看，当t ∆无限趋近于0时，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 都无限趋近于5-.由(1)(1)(1)1h t h v t +∆-=+∆- 4.95t =-∆-可知，当0t ∆→时，平均速度5v →-.【结论】数学中，我们把上述的5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1)(1)h t h v t+∆-=∆的极限”，记为 0(1)(1)lim5t h t h t∆→+∆-=-∆【物理意义】从物理的角度看，当时间间隔||t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度，因此，运动员在1t =s 时的瞬时速度(1)5v =- m/s.【小组互动】完成课本61P 练习1、2，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】问题2 抛物线的切线的斜率.借助知识点：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.以2()f x x =为例进行讨论.【探究】如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线?【类比】与研究瞬时速度类似，在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.【发现】当点P 无限趋近于点P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线.【探究】如何求抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率0k ? 【具象分析】【发现】当x ∆无限趋近于0时，即无论x 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.由2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-可知，当0x ∆→时，斜率2k →. 【结论】数学中，我们把上述的2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”，记为 0(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆【几何意义】从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ，这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ，因此切线0P T 的斜率02k =.【小组互动】完成课本64P 练习1、2，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】【思考与解答】阅读领悟课本64P 思考，与同桌交流并找出正确答案在小组公布.（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知212s gt =，则3t =秒时的瞬时速度为____________ 解：由题意可知0limt s v t ∆→∆=∆=0lim t ∆→(3)(3)s t s t+∆-∆22011(3)322lim t g t g t∆→⨯+∆-⨯=∆=01lim (6)329.42t g t g ∆→+∆==(米/秒). 答案：29.42. 已知曲线22y x =上一点(2,8)A ，则过点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解：由已知，过点A 处的切线斜率为22002(2)22lim lim(82)8x x x k x x∆→∆→+∆-⨯==+∆=∆，故选C.3.已知曲线2122y x =-上一点3(1,)2P -，则过点P 的切线的倾斜角为________． 解：由已知，过点P 的切线的斜率22011[(1)2](12)22lim x x k x∆→+∆--⨯-=∆01lim(1)12x x ∆→+∆= 所以tan 1α=，则切线的倾斜角为045.答案：0454. 过点(1,2)P -且与曲线2342y x x =-+在点(1,1)M 处的切线平行的直线方程为____________．解：由已知，曲线2342y x x =-+在点(1,1)M 的斜率20[3(1)4(1)2](342)limx x x k x∆→+∆-+∆+--+=∆ 0lim(232)2x x ∆→=+∆+= 所以所求直线方程为22(1)y x -=-，即240x y -+=. 答案：240x y -+=（四）归纳小结，回顾重点（五）作业布置，精炼双基1.完成课本70P 习题5.1 1、22.预习5.2 导数的概念及其几何意义五、教学反思：（课后补充，教学相长）。
5.1.1变化率问题 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1. 求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
1．质点运动规律为 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3＋Δt 的平均速度为 ( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
答案：A
2.质点按照运动规律 s＝2t2－t 运动，其中 s 表示位移，t 表示时间， 则质点在[2,2＋Δt]这段时间内的平均速度是__7_＋__2_Δ_t_，
() A.2.1 B1.1 C.2 D.0 解析：ΔΔxy＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
2．求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
例 1 已知函数 f(x)＝3x2＋5，求 f(x)： [解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
在1
t
2这段时间里，v
h(2) 2
h(1) 1
一般地,在t1 t t2这段时间里，
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
4.9(t1 t2) 4.8.
在0 t 48 这段时间里， 49
v 4.9 48 4.8 49
0.
9.9(m / s)
o
t
要精确地描述非匀速直线运动,就 要知道物体在 每一时刻运动的快慢程度．
h(t) 4.9t2 4.8t 11
h
如何描述运动员从起跳到入水的 过程中运动的快慢程度呢？
数学选择性必修二 第五章 §5.1 第1课时 变化率问题和导数的概念
§5.1 导数的概念及其意义 第1课时 变化率问题和导数的概念学习目标 1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．知识点一 瞬时速度 瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为ΔsΔt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 的极限是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点二 函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，设自变量x 从x 0变化到x 0＋Δx ，相应地，函数值y 就从f (x 0)变化到f (x 0＋Δx )．这时，x 的变化量为Δx ，y 的变化量为Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．我们把比值Δy Δx ，即ΔyΔx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 叫做函数y ＝f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率．知识点三 函数在某点处的导数如果当Δx →0时，平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值，即ΔyΔx 有极限，则称y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，并把这个确定的值叫做y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x 0)或0=|x x y'，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.1．在平均变化率中，函数值的增量为正值．( × )2．瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( × ) 3．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( √ )4．设x ＝x 0＋Δx ，则Δx ＝x －x 0，当Δx 趋近于0时，x 趋近于x 0，因此，f ′(x 0)＝ lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝0lim x x → f (x )－f (x 0)x －x 0.( √ )一、函数的平均变化率例1 (1)函数y ＝1x 从x ＝1到x ＝2的平均变化率为( )A ．－1B ．－12 C ．－2 D ．2答案 B解析 平均变化率为Δy Δx ＝12－12－1＝－12.(2)已知函数y ＝3x －x 2在x 0＝2处的增量为Δx ＝0.1，则ΔyΔx的值为( ) A ．－0.11 B ．－1.1 C ．3.89 D ．0.29 答案 B解析 ∵Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝(3×2.1－2.12)－(3×2－22)＝－0.11， ∴Δy Δx ＝－0.110.1＝－1.1. (3)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________________．答案 v 1<v 2<v 3解析 由平均变化率的几何意义知：v 1＝k OA ，v 2＝k AB ， v 3＝k BC ，由图象知：k OA <k AB <k BC ，即v 1<v 2<v 3.反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率． 解 (1)因为f (x )＝3x 2＋5， 所以从0.1到0.2的平均变化率为 3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x 0＋Δx )－f (x 0) ＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 20＋5)＝3x 20＋6x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3x 20－5＝6x 0Δx ＋3(Δx )2.函数f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为 6x 0Δx ＋3(Δx )2Δx ＝6x 0＋3Δx .二、求瞬时速度例2 一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度． 解 (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2， Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt ＝3－Δt ， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3. ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]， ∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt ＝－1－Δt ， lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1， ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 反思感悟 求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，Δs Δt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt . 跟踪训练2 (1)一物体的运动方程为s ＝7t 2－13t ＋8，且在t ＝t 0时的瞬时速度为1，则t 0＝________. 答案 1解析 因为Δs ＝7(t 0＋Δt )2－13(t 0＋Δt )＋8－7t 20＋13t 0－8 ＝14t 0·Δt －13Δt ＋7(Δt )2， 所以lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(14t 0－13＋7Δt )＝14t 0－13＝1， 所以t 0＝1.(2)一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解 质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度即为函数在t ＝2处的瞬时变化率． ∵质点M 在t ＝2附近的平均变化率为 Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝a (2＋Δt )2－4a Δt ＝4a ＋a Δt ， ∴lim Δt →0ΔsΔt＝4a ＝8，即a ＝2. 三、求函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．解 ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而y ′|x ＝1＝2.反思感悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .(3)求极限lim Δx →0Δy Δx. 跟踪训练3 (1)f (x )＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2 C ．2＋Δx D ．1 答案 B 解析 lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 1＋2Δx ＋(Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)已知f (x )＝2x ，且f ′(m )＝－12，则m 的值等于( )A ．－4B ．2C ．－2D ．±2 答案 D解析 因为Δy Δx ＝f (m ＋Δx )－f (m )Δx＝2m ＋Δx －2m Δx ＝－2m (m ＋Δx )，所以f ′(m )＝lim Δx →0－2m (m ＋Δx )＝－2m 2，所以－2m 2＝－12，m 2＝4，解得m ＝±2.1．函数y ＝1在[2,2＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．Δx 答案 A 解析Δy Δx ＝1－1Δx＝0. 2．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上两点A ，B ，且x A ＝1，x B ＝1.1，则函数f (x )从A 点到B 点的平均变化率为( )A ．4B ．4xC ．4.2D ．4.02 答案 C解析ΔfΔx＝f(x B)－f(x A)x B－x A＝－1.58－(－2)1.1－1＝4.2.3．物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝limΔt→0s(3＋Δt)－s(3)Δt＝18 m/s，则下列说法中正确的是()A．18 m/s是物体从开始到3 s这段时间内的平均速度B．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度D．18 m/s是物体从3 s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度答案C4．一物体做直线运动，其运动方程为s(t)＝－t2＋2t，则t＝0时，其速度为() A．－2 B．－1 C．0 D．2答案D解析因为limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0－(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)－(－t2＋2t)Δt＝limΔt→0(－2t＋2－Δt)＝－2t＋2，所以当t＝0时，其速度为2.5．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.答案3解析因为f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0a(1＋Δx)＋3－(a＋3)Δx＝a.又因为f′(1)＝3，所以a＝3.1．知识清单：(1)平均变化率．(2)瞬时速度．(3)函数在某点处的导数．2．方法归纳：极限法、定义法．3．常见误区：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位．1．已知函数y ＝2＋1x ，当x 由1变到2时，函数的增量Δy 等于( )A.12 B ．－12 C ．1 D ．－1 答案 B解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 2．函数f (x )＝5x －3在区间[a ，b ]上的平均变化率为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 C解析 平均变化率为f (b )－f (a )b －a ＝5(b －a )b －a＝5.3．一质点的运动方程为s ＝5－3t 2，若该质点在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为－3Δt －6，则该质点在t ＝1时的瞬时速度是( ) A ．－3 B ．3 C ．6 D ．－6 答案 D解析 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在t ＝1时的瞬时速度为lim Δt →0(－3Δt －6)＝－6. 4．已知f (x )＝x 2－3x ，则f ′(0)等于( ) A ．Δx －3 B ．(Δx )2－3Δx C ．－3 D ．0答案 C解析 f ′(0)＝lim Δx →0 (0＋Δx )2－3(0＋Δx )－02＋3×0Δx ＝lim Δx →0 (Δx )2－3Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx －3)＝－3. 5．(多选)设f (x )＝t 2x ，若f ′(1)＝4，则t 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 答案 AD解析 因为f ′(1)＝lim Δx →0 t 2(1＋Δx )－t 2Δx ＝t 2＝4， 所以t ＝±2.6．函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2，则t ＝________. 答案 5解析 因为函数f (x )＝x 2－x 在区间[－2，t ]上的平均变化率是2， 所以f (t )－f (－2)t －(－2)＝(t 2－t )－[(－2)2－(－2)]t ＋2＝2，即t 2－t －6＝2t ＋4， 从而t 2－3t －10＝0， 解得t ＝5或t ＝－2(舍去)．7．一物体位移s 和时间t 的关系是s ＝2t －3t 2，则物体的初速度是________． 答案 2解析 由题意知， lim Δt →0s (t ＋Δt )－s (t )Δt＝lim Δt →0 2(t ＋Δt )－3(t ＋Δt )2－2t ＋3t 2Δt ＝lim Δt →0 2Δt －6t Δt －3(Δt )2Δt ＝2－6t . 当t ＝0时，v ＝2－6×0＝2， 即物体的初速度是2.8．若可导函数f (x )的图象过原点，且满足lim Δx →0 f (Δx )Δx＝－1，则f ′(0)＝__________. 答案 －1解析 ∵f (x )的图象过原点，∴f (0)＝0， ∴f ′(0)＝lim Δx →0f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 f (Δx )Δx ＝－1. 9．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值． 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a (Δx )Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2， ∴a ＝1.10．某物体按照s (t )＝3t 2＋2t ＋4(s 的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4 s 时物体的运动的平均速度和4 s 时的瞬时速度． 解 自运动开始到t s 时，物体运动的平均速度 v (t )＝s (t )t ＝3t ＋2＋4t，故前4 s 物体的平均速度为v (4)＝3×4＋2＋44＝15(m/s)．由于Δs ＝3(t ＋Δt )2＋2(t ＋Δt )＋4－(3t 2＋2t ＋4) ＝(2＋6t )Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt ＝2＋6t ＋3·Δt ， lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6t ， 当t ＝4时，lim Δt →0ΔsΔt＝2＋6×4＝26， 所以4 s 时物体的瞬时速度为26m/s.11．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内，路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案 BC解析 在0到t 0范围内，甲、乙的平均速度都为v ＝s 0t 0，故A 错误，B 正确；在t 0到t 1范围内，甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0.因为s 2－s 0>s 1－s 0，t 1－t 0>0，所以s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确，D 错误． 12．A ，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W 1(t )，W 2(t )与时间t (天)的关系如图所示，则一定有( )A ．两机关节能效果一样好B ．A 机关比B 机关节能效果好C ．A 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率比B 机关的用电量在[0，t 0]上的平均变化率大D ．A 机关与B 机关自节能以来用电量总是一样大 答案 B解析 由题图可知，A ，B 两机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A 机关用电量在[0，t 0]上的平均变化率小于B 机关的平均变化率，从而A 机关比B 机关节能效果好． 13．设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx等于( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1) C.13 f ′(1) D ．f ′(3)答案 C 解析 lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)3Δx ＝13lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝13f ′(1)．14．如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4]．15．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率为28π3，则m 的值为________． 答案 2解析 体积的增加量ΔV ＝4π3m 3－4π3＝4π3(m 3－1)，所以ΔV ΔR ＝4π3(m 3－1)m －1＝28π3，所以m 2＋m ＋1＝7，所以m ＝2或m ＝－3(舍)．16．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3.求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体在t ＝1时的瞬时速度．解 (1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 m/s. 即物体在t ∈[3,5]内的平均速度为24 m/s.(2)物体在t ＝1时的瞬时速度即为物体在t ＝1处位移的瞬时变化率， 因为物体在t ＝1附近位移的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12， 所以物体在t ＝1处位移的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
5.1.1变化率问题第二课时课件高二下学期数学人教A版选择性
的直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0 (x0,x02 )处的切线.
T
切线
P0(x0,x02)
由特殊到一般
A
B
数形结合
(三)课堂练习
1. 求抛物线f(x)=x2在点(-1,1)处切线的斜率. (教科书P64练习1)； 2.求抛物线f(x)=x2 +1在点(0,1)处的切线方程. (教科书P64练 习2)
基本技能：
数学思想： 一是极限思想，经历用割线斜率“逼近”切线斜率的过程，并由此体会
极限思想；
二是从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，这是研究数学的基本策略.
我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，
那么这条直线与这个圆相切.对于一般的曲线C，如何定
x=1
义它的切线呢？ 下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.
观察： 直线x=1是抛物线f(x)=x2在点P0 (1 ，1 )处的
切线吗？
p0
(1,1)
问题1：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在
点P0 (1,1)处的切线？
探究 抛物线的切线的斜率 附 近：
与研究瞬时速度类似(逼近、极限)
要多近 有多近
在点p0 (1 ，1 )的附近任取一点P (x，
x2 )
观察思考 抛物线f(x)=x2过P0 的割线P0 P的变
化情况
用运动变化的观
点研究问题是微积分
我们发现，当点
的重要思想.
P 无限趋近于点P0 时
高中数学 人教A版 选择性必修第二册 第五章
5.1.1 变化率问题(第2课时)
(一)复习引入
高台跳水运动员的速度
1.平均速度
2.瞬时速度 在t=t0 时的瞬时速度
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知识决定格局，格局影响命运
十二 变化率问题
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.已知一个物体的运动方程为s=1-t+t2,其中s的单位是m,t的单位是
s,那么物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是( )
A.(5+Δt)(m/s) B.[5+(Δt)2](m/s)
C.[5(Δt)2+Δt](m/s) D.5(Δt)2(m/s)
【解析】选A.因为Δs=1-(3+Δt)+(3+Δt)2-(1-3+32)=(Δt)2+5Δt,
所以物体在时间[3,3+Δt]内的平均速度是
==(Δt+5)(m/s).
2.一物体的运动方程是s=t+,则在t=2时的瞬时速度是 ( )
A. B. C.1 D.2
【解析】选B.Δs=2+Δt+-2-
=Δt-,=1-,
所以t=2时的瞬时速度为
==.
3.曲线y=x3+11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是 ( )
A.-9 B.-3 C.9 D.15
知识决定格局，格局影响命运
【解析】选C.=
=3+3Δx+(Δx)2,
则曲线在点P(1,12)处的切线斜率
k=[3+3Δx+(Δx)2]=3,
故切线方程为y-12=3(x-1),令x=0,得y=9.
4.曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为
( )
A.y=9x
B.y=9x-26
C.y=9x+26
D.y=9x+6或y=9x-26
【解析】选D.设P(x0,y0),=
=
=(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0.
所以[(Δx)2+3x0Δx-3Δx+3-6x0]=3-6x0,于是3-6x0=9,解
得x0=3或x0=-1,
因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).
又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或
y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.
知识决定格局，格局影响命运
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率是________.
【解析】===-1.
答案:-1
6.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为________.
【解析】==2,
故切线方程为y+1=2(x+1),即2x-y+1=0.
答案:2x-y+1=0
三、解答题(每小题10分,共20分)
7.一物体的运动方程为y=f(x)=x2+3,在其图象上取一点P(1,4)及附近
一点(1+Δx,4+Δy).
求:(1).
(2)在x=1处的瞬时速度.
【解析】(1)=
==2+Δx.
知识决定格局，格局影响命运
(2)=(2+Δx)=2.
8.已知s(t)=gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度.
(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度.
(3)求t=3秒时的瞬时速度.
【解析】(1)Δt=3.1-3=0.1(s),
Δs=s(3.1)-s(3)=·g·3.12-·g·32=3.05(m),
则===30.5(m/s).
(2)Δt=3.01-3=0.01(s),
Δs=s(3.01)-s(3)=·g·3.012-·g·32
=0.300 5(m),
则==
=30.05(m/s).
(3)由瞬时速度的定义,可知
Δs=s(3+Δt)-s(3)=g(3+Δt)2-g·32
=3gΔt+g(Δt)2,=3g+g·Δt,
则v瞬时==3g=30(m/s).
(15分钟·30分)
知识决定格局，格局影响命运
1.(5分)(2020·开封高二检测)函数f(x)=x2+2c(c∈R)在区间[1,3]上
的平均变化率为 ( )
A.2 B.4 C.2c D.4c
【解析】选B.根据题意,f(x)=x2+2c,
则有==4.
2.(5分)已知曲线y=-x2-2上一点P,则点P处的切线的倾斜角
为 ( )
A.30° B.45° C.135° D.165°
【解析】选C.因为点P在曲线y=f(x)=-x2-2上,则点P处的切
线斜率为
k=
===-1.
所以点P处的切线的倾斜角为135°.
3.(5分)已知一物体的运动方程是s=6t2-5t+7,则其在t=________时的
速度为7.
【解析】令s=f(t),由题意知
=
=(12t+6Δt-5)=12t-5=7,
知识决定格局，格局影响命运
所以t=1.
答案:1
4.(5分)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线斜
率的取值范围是[0,1],则点P横坐标的取值范围为__________.
【解析】设点P(x0,y0),则
=
=
=(2x0+2+Δx)=2x0+2.
又切线斜率的取值范围为[0,1],
所以0≤2x0+2≤1,解得-1≤x0≤-.
答案:
5.(10分)已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出
该曲线的两条切线?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明
理由.
【解析】==2x+Δx,
则=(2x+Δx)=2x,
设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=2x0,由点斜式可得,所求切线方
程为y-y0=2x0(x-x0),又因为切线过(1,a),且y0=+1,
知识决定格局，格局影响命运
所以a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0,因为切线有两条,所以Δ
=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出
该曲线的两条切线,a的取值范围是{a|a<2}.
1.设函数f(x)=x3+ax2-9x-1(a<0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与
直线12x+y=6平行,则a的值为________.
【解析】设曲线y=f(x)与斜率最小的切线相切于点(x0,y0),
因为Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3+a(x0+Δx)2-9(x0+Δ
x)-1-(+a-9x0-1)=(3+2ax0-9)Δx+(3x0+a)(Δx)2+(Δx)3,
所以=3+2ax0-9+(3x0+a)Δx+(Δx)2.
=3+2ax0-9=3--9,
当x0=-时,取最小值--9,
因为斜率最小的切线与12x+y=6平行,
所以该切线斜率为-12.所以--9=-12,
解得a=±3.又a<0,所以a=-3.
答案:-3
2.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动,其运动方程为s=at2.
如果它的加速度是a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为
t0=1.6×10-3 s,求子弹射出枪口时的瞬时速度.
知识决定格局，格局影响命运
【解析】因为Δs=a(t0+Δt)2-a
=at0Δt+a(Δt)2,
所以=at0+aΔt,所以瞬时速度v==at0.
由题意知a=5×105 m/s2,t0=1.6×10-3 s,
故v=at0=8×102=800(m/s).
即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.
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