多柔体系统动力学理论概述
柔性机械手系统动力学研究正文大学毕设论文
绪论现代科技的进步促进了机械手的发展，而机械手迅猛发展反过来推动科技不断进步，从上世纪60年代开始经过近五十年的发展，机械手开始应用于各行各业。
制造生产采用机械手，不仅大大提高生产率、缩短生产周期，而且保证产品质量、改善工作环境。
它的研究涉及机械设计、高等机构学、多体系统动力学、传感与信息融合技术、经典控制理论、计算机技术、人工智能、仿生学等多学科，这些相关学科的发展促进机械手向高精度、高可靠、实时性良好方向发展。
机械手动力学分析主要研究机构动力学，研究一直驱动外力的情况下，利用所建立的动力学方程求解速度、加速度、位移，主要用于计算机仿真分析。
早期研究主要为多刚体系统，各部件均视作刚体，忽略部件弹性变形因素，但是随着航空航天、机械工程等领域轻型化、高速化不断发展，考虑运动部件柔性备受关注。
柔性机械手作为典型多柔体系统广泛用于研究。
其动力学分析研究内容是考虑运动过程中关节和连杆的柔性效应带来的动力学效应，主要研究目的有两点：一建立更准确反映实际物理系统动力学模型；二设计相应控制策略抑制柔性机械手运动过程因受到驱动力、惯性力、重力作用下产生的变形和振动，保证机械手末端位姿精度和准确运动轨迹。
针对柔性机械手动力学建模问题，有Lagrange方程方法、Kane方法、旋转代数法、Newton-Euler方法等，对几个动力学建模方法分析对比，指出各种方法优缺点，揭示不同建模存在问题。
在考虑系统柔性的前提下，讨论其发展趋势，包含柔性体在内的多体系统。
1 国内外应用及发展1.1 国内外机械手领域发展趋势机械手是自动控制、可重复编程、在三维空间完成各种作业的机电一体化自动化生产设备，适合于多品种、变批量的柔性生产。
按固定程序进行抓取、装配、搬运，具有高负载自重比、低能耗、低成本，大的操作空间、高速操作能力，追求多种指标（速度、能量、动力学特性）的最佳。
表1-1柔性机械手应用军事设备、医疗仪器、安装设备、家庭体力、航空航海、国防核工业、汽车制造业、家电半导体行业、机械手应用化肥和化工、食品和药品的包装、精密仪器和军事、冲压铸、锻、焊接、热处理、机械制造、电镀、喷漆、装配、轻工业、交通运输业柔性机械手国外发展状况：一、性能提高(高速度/精度、高可靠性、便于操作/维修)，价格不断下降二、模块/可重构化。
openmodelica多体动力学
一、概述OpenModelica是一个开源的建模和仿真环境，用于建立大规模、复杂的动力学系统模型。
本文将重点介绍OpenModelica在多体动力学建模方面的应用。
二、多体动力学的概念多体动力学是研究多个物体或系统之间相互作用的力学学科，包括刚体动力学、柔性体动力学、多体系统的动力学特性等内容。
多体动力学的研究对象可以是机械系统、生物系统、化工系统等各个领域的工程和科学问题。
三、OpenModelica在多体动力学建模中的优势1. 强大的建模能力：OpenModelica提供了丰富的建模语言和工具，可以方便地描述多体系统的结构和动力学特性。
2. 高效的仿真功能：OpenModelica的仿真引擎能够快速、准确地求解多体系统的运动方程，实现动力学仿真和分析。
3. 可视化和分析工具：OpenModelica提供了直观的图形界面和强大的数据分析工具，支持用户对多体系统的运动和力学特性进行可视化和分析。
四、使用OpenModelica进行多体动力学建模的步骤1. 确定建模对象：首先需要确定要建模的多体系统，包括系统的结构、各个部件的性质和相互作用力。
2. 建立系统模型：利用OpenModelica的建模语言，描述多体系统的结构、运动方程和约束条件，构建系统的动力学模型。
3. 设定仿真参数：设置仿真的时间范围、步长和初始条件等仿真参数。
4. 进行仿真分析：运行OpenModelica的仿真引擎，对多体系统的运动和力学特性进行仿真分析。
5. 结果可视化和分析：利用OpenModelica的可视化工具和数据分析功能，对仿真结果进行可视化展示和进一步分析。
五、OpenModelica在多体动力学建模中的应用案例1. 机械系统模型：利用OpenModelica建立各种机械系统的动力学模型，包括机械臂、运动机构、物体的碰撞等。
2. 生物系统模型：利用OpenModelica描述生物系统的运动特性和相互作用，包括人体运动、鱼裙的行为等生物动力学问题。
多刚体系统动力学理论概述
多刚体系统动力学理论概述多刚体系统动力学的研究方法包括Lagrange方法、Newton－Euler方法、Roberson－Wittenburg方法、Kane方法和变分法等。
基于第一类Lagrange方程建立带乘子的最大数目动力学方程，对推导任意多刚体系统的运动微分方程提供了一种规范化的方法，其主要特点有：为减少未知量数目，选择非独立的笛卡儿广义坐标；运动微分方程中不包含约束反力，利于求解；在方程中引入动能和势能函数，求导计算量随分析系统的刚体数目增加而大增。
此方法由于方便计算机编译通用程序，目前使用广泛，已被一些多体动力学软件作为建模理论而采用。
一、笛卡儿广义坐标下的各参量笛卡儿方法是以系统中每个物体为单元，在物体上建立随体坐标系。
体的位形均相对于一个公共参考系定义，位形坐标统一为固连坐标系原点的笛卡儿坐标系与坐标系的姿态坐标。
规定全局坐标系OXYZ，其基矢量为e＝［e1，e2，e3］T，过刚体任意一点O（基点）建立与刚体固连的随体坐标系oxyz，其基矢量为e′＝［e′1，e′2，e′3］T。
随体坐标系能够确定刚体的运动，采用3个笛卡儿坐标以及3个方位坐标。
坐标变换矩阵A表示随体坐标相对于全局坐标系的关系。
如图1.1所示，假设刚体从OXYZ变换到oxyz，随体坐标系oxyz 相对于全局坐标系OXYZ的姿态可以由三次有限转动（绕体轴3－1－3顺序）确定，即先绕OZ轴转ψ角度，再绕ON轴转θ角度，最后绕oz转φ角度。
其中，θ为章动角；ψ为进动角；φ为自转角。
图1.1 坐标系转换示意图将ψ、θ和φ这3个描述刚体姿态的坐标称为欧拉角坐标。
三次转动的坐标变换矩阵分别为从随体坐标系oxyz到全局坐标系OXYZ的坐标变换矩阵为式中，cψ＝cosψ，其余类推。
根据角速度叠加原理，刚体的角速度矢量ω为将该矢量投影到全局坐标系中，写成矩阵形式，有其中求导角速度表达式可得到角加速度的表达式：如上所述，刚体的位形由随体坐标系的平动以及相对全局坐标系的转动确定。
多体动力学软件和有限元软件的区别(优.选)
有限元软件与多体动力学软件数值分析技术与传统力学的结合在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS 、NASTRAN 等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。
计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS 和DADS 为代表的动力学分析软件。
两者共同构成计算机辅助工程（CAE ）技术的重要内容。
商业通用软件的广泛应用给我们工程师带来了极大的便利，很多时候我们不需要精通工程问题中的力学原理，依然可以通过商业软件来解决问题，不过理论基础的缺失还是会给我们带来不少的困扰。
随着动力有限元与柔性多体系统分析方法的成熟，有时候正确区分两者并不是很容易。
机械领域应用比较广泛的有两类软件，一类是有限元软件，代表的有：ANSYS, NASTRAN, ABAQUS, LS-DYNA, Dytran 等；另一类是多体动力学软件，代表的有ADAMS, Recurdyn ， Simpack 等。
在使用时，如何选用这两类软件并不难，但是如果深究这两类软件根本区别并不容易。
例如，有限元软件可以分析静力学问题，也可以分析“动力学”问题，这里的“动力学”与多体动力学软件里面的动力学一样吗？有限元软件在分析动力学问题时，可以模拟物体的运动，它与多体动力学软件中模拟物体运动相同吗？多体动力学软件也可以分析柔性体的应力、应变等，这与有限元软件分析等价吗？1 有限元软件有限单元法是一种数学方法，不仅可以计算力学问题，还可以计算声学，热，磁等多种问题，我们这里只探讨有限元法在机械领域的应用。
计算结构应力、应变等的力学基础是弹性力学，弹性力学亦称为弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而为工程结构或构件的强度、刚度设计提供理论依据和计算方法。
也就是说用有限元软件分析力学问题时，是用有限元法计算依据弹性力学列出的方程。
柔性板基础隔振系统的柔性多体动力学理论建模
Ｍ ｏ ｅｉ ｇ ｏ ｂ ａ ｉｎ Ｉ ｏ ａｉ ｎ Ｓ ｓｅ ｗｉ ｌｘ ｂ ｅＰ ａｅ ｓ ｄ ｏ ｄ ｌ ｆ ｎ Ｖｉ ｒ ｔ ｓ ｌｔ ｙ ｔｍ ｔ Ｆ ｅ ｉ ｌ ｌｔ ｓＢａ ｅ ｎ ｏ ｏ ｈ ｈ ｈ ｏ ｙ ｏ Ｆ ｅ ｉ ｌ ｌ ｂ ｄ ｎ ｍｉ ｓ ｔ ｅＴ ｅ ｒ ｆ ｌｘ ｂ ｅＭ ｕ ｔ ｏ ｙ Ｄｙ ａ ｃ ｉ
Ｒａ ｌｉ ｈ Ｒｉ ｔ ｏ ．Ｂｙ ａ ｐ ｙ ｎ ｈ ｈ ｏ ｙ ｏ ｅ ｉ ｌ ｕ ｔ ｏ ｙ ｄ ｎ ｍｉ ｓ ｈ ｙ ａ ｃ ｍｏ ｅ ｆ ｙ ｅ ｇ — ｔ ｍｅｈ ｄ ｚ ｐ ｌ ｉ ｇ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｆ ｆ ｘ ｂ ｅ ｍ ｌ ｂ ｄ ｙ ａ ｃ ，ｔ ｅ ｄ ｎ ｍｉ ｄ ｌ ｏ ｌ ｉ
统整 体 动 力学 方程 将每 个 部件 都 当作柔 性 体 ， 弹性
元件 均 具有 非线 性 刚度 特性 ， 因而 该 隔振 系统动 力
角 度 的运动 ， 由此 使得 隔 振系 统各 设备 产 生较 大 的 离 心惯 性力 与科 氏惯 性 力 ； ． ４ 隔振 系统 存在 着各 种
非 线性 因素 ， 大 幅度 刚体 运动 与 弹性 变形 的情 况 在
摘 要 ： 据 舰 艇机 械 隔 振 系 统 的特 点 ， 根 首先 利 用 瑞 利一 里 兹 法 推 导 了柔 性 板 的动 力 学方 程 ， 后 结 合 椠 性 多体 动 然
力 学理 论 ， 导 柔 性扳 基 础 上 的 隔振 系统 的 动力 学 模 型 。 推
虚拟样机技术
1 虚拟样机技术概述
3）虚拟样机技术就是在建立第一台物理样机之前， 设计师利用计算机技术建立机械系统的数学模型，进 行仿真分析并从图形方式显示该系统在真实工程条件 下的各种特性，从而修改并得到最优设计方案的技术。 4）虚拟样机是一种计算机模型，它能够反映实际 产品的特性，包括外观、空间关系以及运动学和动力 学特性。借助于这项技术，设计师可以在计算机上建 立机械系统模型，伴之以三维可视化处理，模拟在真 实环境下系统的运动和动力特性并根据仿真结果精简 和优化系统。
1 虚拟样机技术概述
虚拟样机技术是许多技 术的综合。它以多体系统运 动学与动力学建模理论及其 技术实现为核心，以仿真为 手段，各种CAX/DFX技术 为工具，它主要包括面向虚 拟样机的建模技术、基于虚 拟样机的仿真技术、针对虚 拟样机的管理技术、各类工 具的集成技术以及VR/人机 界面技术，其技术体系如图 2 所示。
1 虚拟样机技术概述
（2）国内外学者对虚拟样机技术的定义大同小异， 下面是几种有代表性的论述： 1）虚拟样机技术是将CAD建模技术、计算机支持 的协同工作(CSCW)技术、用户界面设计、基于知识的 推理技术、设计过程管理和文档化技术、虚拟现实技 术集成起来，形成一个基于计算机、桌面化的分布式 环境以支持产品设计过程中的并行工程方法 。 2）虚拟样机的概念与集成化产品和加工过程开发 (Integrated Product and Process Development,简称 IPPD)是分不开的。IPPD是一个管理过程，这个过程 将产品概念开发到生产支持的所有活动集成在一起， 对产品及其制造和支持过程进行优化，以满足性能和 费用目标。IPPD的核心是虚拟样机，而虚拟样机技术 必须依赖IPPD才能实现。
1 虚拟样机技术概述
基于多柔体动力学的飞行器多目标优化设计
ＤＯＩ １ ３ ７ ／． ｓ １ ０ ．３ ８ ２ １ Ｏ ． １ ：０．８ ３ｊ ｉ ｎ．０ ０ １２ ．０ ０．１ ０ ０ ｓ
０ 引言
性 ， 以全面反映现代 航天器 的刚柔耦 合特性 。因此 难 开展 能全面反 映柔 性 飞行器 综 合特 性 的多 目标优 化 设计研究 工作 ， 具有重要 的工程应 用价值 。 目前基 于
性 ， 就 给系统 结 构强 度 或 姿 态 控 制等 子 系 统 分 析 这
设计 带来 很大 的 困难 。多年来 学者 们分别 在柔 性结 构和控 制器设 计 方 面 取得 了大 量 的研 究 成果 ， 比如
Ｍ ｉｖｃ、 ａｅ等 人 ｅｏｉｈＫ ｎ ｒ ｔ
系 统 地 研 究 飞 行 器 刚柔 耦
第 ３卷第 １ ｌ 期 ２１ ００年 １ 月
宇 航 学 报
Ｊｕ １ ｆＡ ｔ ｎｕｉｓ ｏｍａ ｓ ｏ ａｔ ｏ ｒ ｃ
Ｖｏ ． Ｎ０ １ １３１
．
Ｊ ｎ ａｙ ２ １ ａ ｕ ｒ ０ ０
基 于 多柔体 动 力 学 的 飞行 器 多 目标 优 化 设计
唐乾 刚，张青斌 ，丰 志伟 ，王 昱
的刚 柔耦合 动 力学 模 型 ； 后 提 出以 系统 微 分 系数 然
合动 力 学 问题 ， 出许 多 实 用 的 建模 方 法 ； ｗｋ等 提 Ｋａ
人 利 用 Ｌ Ｒ法设 计 了航 天 器 附 件 转 动 问题 的 时 Ｑ 变最优 控制律 ；ｔ ｈｎ等 人 研究 了航 天 器姿 态 机 Ｓｅ ｅ ｐ
（ ） 一— ｑＰｒ ｏ的 系统 分解 法 及其 在 飞行 器 外 形优 ａｔ ｅ
化设 计 中的应用 问题 。与现 代 飞行 器 的总 体设 计类
其 中 ｑ为广 义坐 标 ， （ ） Ｋ分别是 系 统 的广义 质 口、 量 矩 阵和 广 义 刚度 矩 阵 。利 用 Ｌｇａｇ 程 ， 得 ａｒｎｅ方 可
实验设计基于ADAMS的机械腿部机构运动仿真
4.2.6设置ADAMS默许存盘目录
在File菜单，选择Select Directory栏，显示寻觅目录对话框；输入要存盘的途径，选择OK按钮。
几何建模
4.显示坐标窗口
按F4键，界面右下方显现如图7所示框图。
图7位置坐标
4.概念连接点
鼠标右击主工具箱的几何建模工具集，选取概念点工具 ；选择参数；Add to Ground，Don’t attach，具体如图8；单击Point Table后，显现如图9所示表格编辑器，依照表1所示的坐标，别离概念A、B、C点，单击OK关闭该对话框。
图32机械腿部机构分析点轨迹
6
关于该机械腿部机构，别离用ADAMS与PRO/E进行运动仿真分析，都可得出分析点位置、速度、加速度运动曲线和仿真动画，但分析进程中，明显感觉用ADAMS软件进行机械动力学仿真更方便快捷，且所得数据曲线更细腻可变。以下图33、34为用PRO/E进行机械腿部机构仿真分析，求得X、Y方向上的位移、速度、加速度曲线，其与该机构用ADAMS软件分析结果可得出上述结论。
基于ADAMS的机械腿部机构运动仿真
1
（1）初步把握多体动力学分析软件ADAMS中实体建模方式；
（2）初步把握ADAMS中施加约束和驱动的方式；
（3）计算出在该驱动作用下连杆运动的位移、速度和加速度等相关参数。
2
（1）ADAMS软件；
（2）CAD/CAM机房。
3
设计一种机械腿部行走机构（如图1所示），并依如实际工况，在软件中成立相应的几何、约束及驱动模型，即依照该行走机构的实际尺寸，成立曲柄、连杆和滑块的几何实体模型；把曲柄和连杆、连杆和连杆之间的实际连接简化成铰链连接，从而在软件中成立其转动副模型；把连杆和滑块之间的实际连接简化成滑动杆连接，从而在软件中成立其移动副模型；把曲柄的驱动运动成立相应的驱动模型；然后利用运算机进行动力学模拟，从而能够求得曲柄、连杆和滑块零件在实际工况下的任何时刻、任何位置所对应的位移、速度加速度等一系列参数。
多体动力学在机械工程领域的应用
《装备维修技术》2021年第2期—251—多体动力学在机械工程领域的应用曲鹏飞（山东恒邦冶炼股份有限公司，山东 烟台 264100）引言多体系统是大多数机械系统中比较全面、完整抽象、高度概括以及有效描述的一个系统，因此，文章将多体系统作为机械系统中的最佳模型进行分析。
多体动力学是一门涵盖了多门科学的自然科学，其包括了工程力学、计算力学等多门科学，也是机械领域中的一门新兴科学。
在经过多年的发展与扩充中，多体动力学也将计算机技术吸收，并将其应用于实践中。
多体动力学在机械工程中具有较大的影响，并在这一行业中的应用受到越来越多专家与学者的关注。
多体动力学在机械制造、机器臂等多种机械工程领域有重要应用，并取得了一定的成果。
1、构建多体动力学模型的方法多体系统是由多个不同的部件连接而成的机械系统，其机械系统创建主要是为了体现运动状态以及机械功能，其中的各个机械部件会出现用力、位移、速率等多种参数的变化。
在多体动力学模型搭建的过程中，其主要需要建立相应的坐标系、不同部件的模型以及相应定义的约束、力偶等参数。
系统动力学以及运动学是多体动力学的主要研究对象之一，相对于经典力学来说，多体动力学中所涉及的系统都比较复杂，部件之间的自由度各有差异，并且各部位之间的相对位移参数的设定也不同。
因此，在运动微分方程的创立以及求解过程都比较困难，其求解过程还需要依赖于计算机工程计算。
1.1参考框架和坐标系 固定体就是机械运动过程中任意两个部件之间保持距离不变的物体。
选取任一固定体上的一点建立一空间三角坐标系能够将固定体进行固定。
并且该坐标系的原点会选为固定点，次坐标系也就是固定体的连体基，也就是多体动力学中的局部坐标系。
连体基一般被固定在多体系统中的部件中，在系统部件运动的过程中会带动连体基进行运动，但连体基并不会因为固定体的运动而产生状态变化。
所以，当确定连体基的具体位之后，固定体上的任意一点位置也就能够确定。
连体基的参照对象通常为地面坐标系，地面坐标系是一个固定坐标。
多体动力学运动方程
多体动力学运动方程一、引言多体动力学是研究多体系统运动规律和动态行为的学科。
多体系统是由多个刚体或柔体通过约束联系在一起的复杂系统，广泛应用于机械工程、航空航天、车辆工程等领域。
多体动力学运动方程是多体动力学的基础，是描述多体系统运动规律的关键方程。
二、牛顿第二定律牛顿第二定律是描述物体运动规律的基本定律，表述为：物体加速度的大小与作用力的大小成正比，与物体的质量成反比。
数学表达式为：F=ma，其中F表示作用力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
三、角动量守恒定律角动量守恒定律表述为：在没有外力矩作用的情况下，一个转动系统的角动量保持不变。
数学表达式为：L=Iω，其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、动量守恒定律动量守恒定律表述为：一个孤立系统的总动量保持不变。
数学表达式为：Δp=0，其中Δp表示系统动量的变化量。
五、弹性力学方程弹性力学方程是描述弹性体内应力、应变和位移之间关系的方程。
对于小变形问题，弹性力学方程可简化为胡克定律：σ=Eε，其中σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
六、接触与碰撞模型接触与碰撞模型是多体动力学中的一个重要问题，涉及到接触力、碰撞响应和能量损失等方面的计算。
常用的接触与碰撞模型有Hertz 接触模型、Persson接触模型等。
七、约束与约束力约束是描述多体系统中各物体之间相对运动的限制条件。
约束力是多体系统中的内力，用于保持各物体之间的相对位置关系。
常见的约束类型有方位约束、速度约束和加速度约束等。
八、相对运动与绝对运动相对运动是指两个物体之间的相对位置和相对速度。
绝对运动是指整个多体系统相对于某个参考系的位置和速度。
相对运动和绝对运动的关系是多体动力学中的一个重要问题。
九、运动学与动力学关系运动学主要研究多体系统的位置、速度和加速度等运动参数，而动力学则研究多体系统的受力、力矩和能量等动态参数。
运动学与动力学之间的关系是多体动力学中需要考虑的重要因素。
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多柔体系统动力学理论概述
考虑部件柔性效应的多体系统称为多柔体系统。
多柔体系统动力学主要研究部件的大范围刚体运动和部件本身的弹性形变互相耦合作用下的系统动力学响应。
它是多刚体系统动力学的自然发展，同时也是多学科交叉发展而产生的新学科。
多柔体系统动力学在某种特定假设下可以退化为多刚体系统动力学和结构动力学问题，但其本质是一个高度非线性的耦合复杂问题。
对于多柔体系统动力学建模方法和数值求解的研究，目前已取得了不少成果。
其主要思想是基于多刚体系统动力学，对柔性结构变形进行描述，通常使用有限段方法和模态综合法，在对位形的描述上又分为相对坐标方法和绝对坐标方法。
有限段方法仅适用于细长结构体，其本质是用柔性梁描述结构体的柔性效应，即将柔性结构体离散成有限段梁，每段梁之间用扭簧、线弹簧和阻尼器连接，建立梁段间相对角速率和体间相对（角）速度的广义速率的动力学方程。
模态综合法适合小变形大规模多体系统分析，其将柔性结构体等效成有限元模型节点的集合，将柔性结构体变形处理成模态振型的线性叠加。
同时，每个节点的线性局部运动近似看为振型和振型向量的线性叠加。
一、柔性体运动学描述
假设某柔性体如图1所示，在柔性体上建立随体坐标系Oxyz。
图1 柔性体上节点P的位置
则在全局坐标系中表示节点P的矢径的列阵为
式中，u′o为物体变形时P点相对于o点位矢动坐标的列阵，为常数列阵；u′f为P点相对位移矢量在动坐标系中的列阵。
应用模态综合法，u′f可以表示为
式中，Φ＝［Φ1Φ2…ΦN］为模态向量矩阵；q f＝［q f1q f2…q fN］为模态坐标。
将其代入可得
对式（1.31）求一阶导数和二阶导数，得到P的速度和加速度表达式：
二、多柔体系统的动力学方程
本小节使用第一类Lagrange方程建立多柔体系统的动力学方程。
1.柔性体的动能
柔性体的动能用广义速度表达为
式中，ρ和V分别为柔性体密度还有体积；为柔性体上一点的绝对速度；为广义速度；M为质量（mass）矩阵，可以写成分块形式：
2.柔性体的弹性势能
柔性体的弹性势能可以由模态刚度矩阵表示：
3.阻尼力
阻尼力的大小和广义速度相关，通过损耗函数对广义速度的偏导数得到。
损耗函数的表达式为
式中，D为模态阻尼矩阵。
综上所述，一些多体动力学软件中柔性体的动力学控制方程运用拉格朗日方程可得
式中，L＝T－W为拉格朗日函数；Ψ为约束方程；λ为对应于约束方程的拉格朗日乘子列阵；Q为广义力列阵。