矩阵相乘时秩的变化
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
线代第三章矩阵的秩
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
a12 x2 a22 x2 am 2 x2
a1n xn a2 n xn amn xn
b1 b2 bm (1)
a11 a12 a1n a a22 a2 n 为方程组(1)的系数矩阵。 则称矩阵 A 21 am 1 am 2 amn
3 1 2 1 0 0 1 2 0 0 0 1
最后一行有 0 x3
1,
可知方程组无解。
x1 2 x2 3 x3 x2 x3 例3：解线性方程组 x1 3 x2 7 x2 3 x3
1 0 解： ( A, b) 1 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 1 2 4 2 1 3 7 4 1 4 8 3 1 0 3 4 1 3 1 1 0 1 0
a12 x2 a22 x2 am 2 x2 a1 n xn a2 n xn amn xn 0 0 0 (2)
a11 x1 a x 21 1 am 1 x1
称为方程组（1）的导出组， 或称为（1）对应的齐次线性方程组。
举例说明消元法具体步骤：
2 x1 例2：解线性方程组 4 x 1 2 x 1
x2 x2
3 x3
1 4 0
2 x2
5 x3 4 x3
1 2 1 3 1 2 1 3 解： A, b ) 4 2 5 4 0 ( 0 1 2 2 1 4 0 0 0 1 1
两矩阵相加秩的变化
两矩阵相加秩的变化
两个矩阵相加，其秩的变化可以有以下情况：
1. 矩阵相加后的秩变大：当两个矩阵的秩不同且相加后的矩阵具有更多的线性无关行或列时，秩会增加。
2. 矩阵相加后的秩不变：当两个矩阵的秩相同且相加后的矩阵仍保持相同的线性相关性时，秩不会改变。
3. 矩阵相加后的秩变小：当两个矩阵的秩不同且相加后的矩阵具有更少的线性无关行或列时，秩会减小。
总之，两个矩阵相加后的秩的变化取决于原始矩阵之间的线性相关性。
矩阵的秩
第七讲 矩阵的秩一、考试内容与考试要求考试内容矩阵秩的概念及性质． 考试要求（1）理解矩阵秩的概念； （2）了解矩阵秩的性质；（3）掌握用初等变换求矩阵的秩．一、知识要点引入 学习秩的概念，是为找出线性方程组中有效方程的个数．或者说学习矩阵秩的目的是为判断矩阵对应的线性方程组中有效方程的个数．1．定义矩阵A 中不等于零的子式的最高阶数r ，叫做矩阵的秩，记为()R A r =．2．矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．3．注意（1）若矩阵A O =，则()0R A =；若A O ≠，则()1R A ≥；（2）若()R A r =，则A 中存在r 阶子式不为零，而任何1r +阶子式（若存在）全为零； 很明显，若A 中有一个1r +阶子式不为零，它的秩为1r +． （3）若()R A r =，则A 中1r -阶子式不全为零；当()R A r =时，A 中至少有一个r 阶子式不为零，这个r 阶子式可展开成r 个1r -阶子式，若所有1r -阶子式全为零，则这个r 阶子式为零，产生矛盾．（4）{}0()min ,m n R A m n ⨯≤≤； （5）若()R A r =，则 Ar cr E O O O ⎛⎫ ⎪⎝⎭或A 含有r 个非零行（或列）的阶梯形式矩阵．即一般情况下，只有初等行、列变换合用才可将A 化成标准形；但将A 化为含有r 个非零行（或列）的阶梯形矩阵只用初等行（或列）变换即可．单纯求矩阵的秩只须将A 化成阶梯形．（6）对于n 阶方阵A ，有0(),0(),A R A n A A R A n A ⎧≠⇔=⎪⎨=⇔<⎪⎩满秩,A 可逆,A 非奇异降秩,A 不可逆,A 奇异若()R A =矩阵A 的行（列）数，称A 为行（列）满秩矩阵．（7）学习矩阵秩的实质是为判断矩阵对应的线性方程组中有效方程的个数．4．性质以下性质先用简单的例题予与说明，然后对难以直观理解的一些性质进行证明． （1）()()TR A R A = （2）0()()R kA R A ⎧=⎨⎩ 00k k =≠很明显，当0k ≠时，A 中不等于零的最高子式在kA 中有对应的不等于零的子式． （3）A O R O B ⎛⎫⎪⎝⎭=()()R A R B + （4）{}max (),()(,)()()R A R B R A B R A R B ≤≤+ 例：1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，0001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，{}max (),()1R A R B =，(,)2()()R A B R A R B ==+ （5）()()()R A B R A R B +≤+例：取1001A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1001B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，A B O +=，()0()()4R A B R A R B +=<+=（6）若AB ，则()()R A R B =即初等变换不改变矩阵的秩，证明见课本． （7）若P 、Q 可逆，则()()R PAQ R A =即左乘及右乘可逆矩阵不改变原矩阵的秩，这也是初等变换不改变矩阵的秩这句话用数学符号来描述．可简单证明：P 、Q 可逆，则P 、Q 可以表示成有限个初等矩阵的乘积，即对A 实施初等变换得PAQ ，再由性质（6）得证．（8）()R AB ≤{}min (),()R A R B 例：1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，0001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，AB O =，()0R AB =<{}min (),()R A R B {}min 1,11==（9）若m n n l A B O ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤ 例：1000A ⎛⎫=⎪⎝⎭，0001B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，AB O =，()()2R A R B +=． （10）A 为任意矩阵，则()()TR A A R A =（11）设A 为n 阶方阵，*()10n R A ⎧⎪=⎨⎪≤⎩，当R(A)=n，当R(A)=n-1，当R(A)n-25．性质证明这里只证明部分不易理解的性质．为记忆方便，将性质（3）放在前面，但性质（3）的证明用到性质（7），故学习时应 先证明性质（7）．证明（3）设()R A s =，()R B t =，则存在可逆矩阵11,P Q 及22,PQ 使得 11sE O P AQ OO ⎛⎫=⎪⎝⎭，22tE O P AQ O O ⎛⎫= ⎪⎝⎭故存在可逆矩阵12P O O P ⎛⎫⎪⎝⎭，12Q O O Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得 12P O O P ⎛⎫ ⎪⎝⎭A O O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭12Q O O Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭=1122P AQ O OP BQ ⎛⎫ ⎪⎝⎭=st E O O O O O O O OO E O OOOO ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因为左乘及右乘可逆矩阵不改变原矩阵的秩，故有A O R OB ⎛⎫ ⎪⎝⎭=st E O O O O O O O R O O E O OOOO ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=s t +=()()R A R B +证明（5） 设,A B 为n m ⨯矩阵．方法1 利用初等列变换．对矩阵(,)A B B + 进行初等列变换(,)A B B +1,2,,i n i c c i n+-=(,)A B由于矩阵A B +是矩阵(,)A B B +的子矩阵，并利用性质（4）及上式有 ()(,)R A B R A B B +≤+=(,)()()R A B R A R B ≤+方法2 利用线性表示和最大线性无关组的性质（利用向量组的线性关系证明）． 设()R A s =，()R B t =，将,A B 按列分块为A =(12,,,n ααα)，B =12(,,,)n βββ即 A B +=1122(,,,)n n αβαβαβ+++不妨设A 和B 的列向量组的最大线性无关组分别为12,,,s ααα和12,,,t βββ，于是A B +的列向量组可由向量组12,,,s ααα，12,,,t βββ线性表示，如1112120000s t αβαααβββ+=+++++++故 ()R A B +=A B +的列秩≤秩{12,,,s ααα,}12,,,t βββs t ≤+．证明（8） 方法1 利用方程组解的性质证明．设C AB =，知矩阵方程AX C =有解X B =，故()(,)R A R A C =，而()(,)R C R A C ≤，因此()()R C R A ≤．又T T TB AC =，同上段证明知有()()TTR C R B ≤，即()()R C R B ≤．综合便得()R AB ≤{}min (),()R A R B 。
矩阵相乘什么时候可以交换顺序
矩阵相乘什么时候可以交换顺序
1、两个方阵中有一个是数量矩阵时（数量矩阵是指主对角线上为同
一不为0的数，其他的项全是是0，它是方阵），此时矩阵乘法满足交换律。
2、当两矩阵相等或其中一个为0矩阵时，矩阵乘法满足交换律，单
位矩阵就是一个数量矩阵。
3、方阵A、B满足AB=A+B。
则A、B乘积可交换，即AB=BA。
扩展资料：
将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。
在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。
相似关系是两个
矩阵之间的一种等价关系。
两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存
在一个n×n的可逆矩阵P。
考研数学：浅析秩的一些相关公式
1/浅析秩的一些相关公式在线性代数这门学科里，秩是非常关键也是常用的一个工具，要深刻理解和掌握秩这个武器，必须还要熟记与秩有关的一些公式，这样才能在考试中得心应手，下面对秩的公式进行了总结，也方便同学们掌握这部分内容。
1.()()()Tr r r k ==A A A ，0k ≠；前一篇笔者讲到了，矩阵的秩等于其行秩也等于其列秩，所以将矩阵转置了之后秩是没有改变的，数乘也是不改变秩的。
2.()min{,}m n r m n ⨯≤A ；矩阵形式：结合矩阵秩的概念，非零子式的最高阶数即为矩阵的秩，矩阵最高阶子式为min{,}m n ，故其非零子式最高阶应小于等于min{,}m n ；向量形式：若将矩阵m n ⨯A 写成向量组的形式，即1[,...,]m n n αα⨯=A ，矩阵的秩等于向量组的秩，则有的向量组的秩1(,...,)min{,}n r m n αα≤。
3.若向量组1,...,n αα可由向量组1,...,m ββ表出，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ<。
这个推导过程上一篇文章笔者已经介绍了，就不在这介绍过多了，若将向量组组成矩阵的形式，有()min{(),()}r r r ≤AB A B ，这个矩阵形式的公式是最常用的，关于这个公式还有如下几点推论：推论1：若n n ⨯P 可逆，则()()r r =AP A ,()()r r =PB B ；这条推论的用法就是乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩，那么可逆矩阵的本质就是若干个初等矩阵相乘，乘以可逆矩阵相当于做了若干次初等变换，初等变换是不改变秩的。
推论2：若m n m n ⨯⨯≅A B ，等价于()()m n m n r r ⨯⨯=A B ；两个同型矩阵等价的充要条件 版权所有翻印必究是其秩相同。
推论3：若向量组1,...,n αα与向量组1,...,m ββ等价，则11(,...,)(,...,)n m r r ααββ=，这条推论两个向量组等价的必要条件是这两个向量组的秩相同，这只是一个必要条件，而非充要条件，要和推论2区别开。
求矩阵的秩的步骤
求矩阵的秩的步骤今天要讲的是关于矩阵秩的重要结论。
关于矩阵的秩，讲三点，前两点是比较重要的，专门提出来强调一下，第三点是书上没有的一个重要的结论：1、，也就是一个矩阵与另一个矩阵相乘后，新矩阵的秩一定不大于原矩阵。
怎么证明呢，结合线性结合线性方程组的有解性来进行证明的，AB=C，已经说明了AX=C是有解的，而线性方程组的有解性与矩阵的秩的关系说明了R（A）=R（A，C），所以A的秩大于等于C的秩，再将此矩阵两边转置，再根据线性方程组的解与矩阵的秩间关系同理可得A的秩大于等于C的秩.当我们学习了与线性表示有关的系统性理论后对这个定理会有更直观的理解。
2、矩阵左乘列满秩矩阵后新矩阵的秩与原矩阵的秩一样，此结论希望引起大家重视，此结论就是同济大学第五版70页的例9，大家可以参照此过程。
3、给出一个关于矩阵的秩的一般性的结论，上述是脱离了方程组单独讲的矩阵的秩的结论，而当秩与方程组结合时也有重要结论，对于方程组Ax=b1、如果A是行满秩的矩阵，那么方程组要么有唯一解，要么有无穷多解。
如果A是行满秩的矩阵，因为矩阵的列秩等于矩阵的行秩，所以矩阵的列秩等于矩阵的行数，所以矩阵的列向量的线性组合一定能得到所有该维数的列向量。
怎么理解呢？比如A是2x4的矩阵，A的秩为2，那么组成A的四个列向量的秩为2，这四个列向量都是2维的，那这四个列向量是不是能线性组合成任意的二维列向量，所以一定有解。
A的形式要么是矮且胖要么是方阵（矩阵的列不可能小于矩阵的行数），如果矩阵A矮且胖的话，那么对线性方程组的约束的个数（矩阵的行数）小于未知数的个数，那就是无穷多解。
矩阵A是方阵，根据克拉默法则我们也能得出是唯一解。
上面是我们根据我们对线性代数的直观理解做出的推导，那么这个结论怎么证明呢？。
矩阵相乘算法
矩阵相乘算法根据矩阵的特点，在矩阵中一般采用线性变换或用数学归纳法证明，可以将二阶以上的多项式组合成矩阵，从而使矩阵有行列式或其他线性运算。
我们知道：一个由n个自变量和m个因变量x组成的二维数组a=(a_1， a_2，…， a_m)，称为矩阵，矩阵的行列式为O(x)，线性方程组ax2+bx+c=0(m=0， 1， 2，…， n)满足矩阵相乘不仅可以进行线性运算，还可以对矩阵求逆，这样就能使求出来的矩阵为一个单位矩阵。
但是，如果把矩阵都写成方阵形式，那么相乘就会带来困难。
所以我们只要记住一点：把矩阵相乘看作可逆矩阵乘可逆矩阵，这样才不至于混淆。
具体说来，矩阵的乘法有下面三种情况： 1、利用矩阵特点与行列式的关系，也就是把矩阵看成可逆矩阵，这时相乘的结果可以看成是一个可逆矩阵乘另一个可逆矩阵； 2、适当选择列、行元素，把矩阵化为可逆矩阵A/B， A、 B都可以表示成可逆矩阵，也就是说它们的秩相等，可逆矩阵的秩等于可逆矩阵中所含方阵的个数，这时相乘后得到的仍然是一个可逆矩阵； 3、为了使矩阵可逆，把矩阵的秩取为最大的方阵的秩，这样相乘后得到的仍然是可逆矩阵。
前两种相乘的结果都是可逆矩阵，第三种相乘的结果是一个初等矩阵，该矩阵的列向量都是零，也就是任意一个列向量都等于零。
初等矩阵可以看成是简单矩阵的乘积，所以矩阵的乘法实际上是矩阵乘简单矩阵的积的过程，当然这个简单矩阵必须满足以下条件：首先，简单矩阵一定是可逆矩阵；其次，简单矩阵是对角矩阵；最后，每个行向量都是正数，而且不全是零，而且没有一列向量等于零。
为了更直观地说明问题，下面我们以2阶为例，来做个推导。
假设原矩阵为（ A_n），则A_n×A_n=O(x)，即通过（ A_n）相乘所得到的矩阵也是可逆矩阵。
这里的重要内容是：(1)矩阵A_n×A_n 可逆，则其可逆矩阵A_n也可逆；(2)矩阵A_n可逆，则其A_n的秩等于其对角阵A_n的秩，因此通过矩阵A_n×A_n所得矩阵A_n也可逆；(3)秩相同，表示其可逆。
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矩阵相乘时秩的变化
引言
矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个科学领域，包括计算机科学、统计学、物理学等。
在矩阵运算中，矩阵相乘是一种基本操作。
本文将探讨在矩阵相乘过程中秩的变化。
矩阵秩的定义
在深入讨论之前，我们先来回顾一下矩阵秩的定义。
对于一个m行n列的矩阵A，
它的秩（Rank）是指A的列空间（Column Space）或行空间（Row Space）的维度。
换句话说，秩是指一个矩阵所包含的线性无关向量的最大数量。
矩阵相乘与秩
在进行矩阵相乘时，我们需要满足两个条件：第一个矩阵A的列数必须等于第二个矩阵B的行数；结果矩阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
1. 若A、B两个矩阵都为非奇异方阵（即可逆方阵），则结果矩阵C也为非奇异
方阵。
证明：设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且都可逆。
假设C为结果矩阵，则有C=AB。
根据矩阵相乘的定义，我们可以得到C的行数等于A的行数，列数等于B的列数，即C为m行n列的方阵。
由于A和B都是可逆方阵，所以它们的秩都等于它们本身的维度（即m和n）。
而根据秩的定义，秩是指一个矩阵所包含的线性无关向量的
最大数量。
因此，在C中任意一组线性无关向量都可以通过A和B中对应位置上的线性无关向量相乘得到。
由此可知，C也是一个非奇异方阵。
2. 若A、B两个矩阵中至少有一个为奇异方阵（即不可逆方阵），则结果矩阵C
也为奇异方阵。
证明：设A为m行k列的矩阵，B为k行n列的矩阵，并且至少有一个矩阵不可逆。
假设C为结果矩阵，则有C=AB。
根据矩阵相乘的定义，我们可以得到C的行数等
于A的行数，列数等于B的列数，即C为m行n列的矩阵。
由于A或B中至少有一个是奇异矩阵，因此它们的秩小于它们本身的维度。
根据秩的定义，秩是指一个矩阵所包含的线性无关向量的最大数量。
因此，在C中任意一组线性无关向量都无法通过A和B中对应位置上的线性无关向量相乘得到。
由此可知，C也是一个奇异方阵。
3. 若A、B两个矩阵都为非方阵，则结果矩阵C可能为非方阵。
证明：设A为m行k列的矩阵，B为k行n列的矩阵，并且都不是方阵。
假设C为
结果矩阵，则有C=AB。
根据矩阵相乘的定义，我们可以得到C的行数等于A的行数，列数等于B的列数，即C为m行n列的矩阵。
由于A和B都不是方阵，所以它们的秩小于它们本身的维度（即m和n）。
根据秩的定义，秩是指一个矩阵所包含
的线性无关向量的最大数量。
因此，在C中任意一组线性无关向量都无法通过A和B中对应位置上的线性无关向量相乘得到。
由此可知，C可能为非方阵。
矩阵秩的性质
在进一步讨论矩阵相乘时秩的变化前，我们先来了解一些矩阵秩的基本性质。
1.对于任意一个m行n列的矩阵A，它的秩r满足0 <= r <= min(m, n)。
2.若A为m行n列的矩阵，则A的列空间和行空间具有相同的维度。
3.若A为m行n列的矩阵，则A的零空间（Null Space）维数为n-r，其中r
为A的秩。
4.若A、B为两个可以相乘的矩阵，则rank(AB) <= min(rank(A), rank(B))。
矩阵相乘时秩的变化
根据上述性质和前面对矩阵相乘与秩关系进行分析，我们可以得出以下结论：
1.若两个矩阵都是非奇异方阵，则结果矩阵也是非奇异方阵，并且它们的秩保
持不变。
2.若两个矩阵中至少有一个是奇异方阵，则结果矩阵也是奇异方阵，并且它们
的秩保持不变。
3.若两个矩阵中至少有一个是非方阵，则结果矩阵可能为非方阵，并且它们的
秩可能改变。
综上所述，矩阵相乘时秩的变化与矩阵的性质密切相关。
在实际应用中，我们可以利用矩阵相乘来进行秩的计算和变换，从而实现对数据的处理和分析。
结论
本文讨论了在矩阵相乘过程中秩的变化。
根据矩阵相乘与秩的关系，我们得出了三种情况下结果矩阵的性质以及秩的变化规律。
这些结论对于理解和应用线性代数中的矩阵运算具有重要意义。
在实际问题中，我们可以利用这些结论来解决各种与线性代数相关的计算和分析问题。