带电粒子在磁场中的受力

带电粒子在磁场中的受力

带电粒子在电场、磁场（或电场、磁场和重力场的复合场）中的运动是高中物理中的重点内容，是每年高考考查的重点和难点，本部分内容综合性很强，几乎可以综合一切力学规律，题目突出，与生产技术、生活实际、科学研究等紧密结合，突出考查学生从实际问题中获取物理信息，建立物理模型的能力，同时对于学生的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识分析物理问题的能力也有较高的要求

（一）不计重力的带电粒子在电场中的运动

1、带电粒子的加速

（1）运动状态分析：带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，受到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加（减）速直线运动。

（2）用功能观点分析：粒子动能的变化量等于电场力做的功（电场可以是非匀强电场）。

若粒子的初速度为零，则mv2=qU，v=。

若粒子的初速度不为零，则mv2-mv02=qU。v=。

2、带电粒子在匀强电场中的偏转

（1）运动状态分析：带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受到与初速度方向恒成90°角的电场力作用而做匀变速曲线运动。

（2）偏转问题的分析处理方法类似于平抛运动，应用运动的合成和分解的知识方法。

①沿初速度方向的匀速直线运动，运动时间t=。

②沿电场力方向初速度为零的匀加速直线运动a=。

离开电场时的偏移量y=at2=，离开电场时的偏转角tanθ==。

3、推论：（1）粒子从偏转电场中射出时，其速度反向延长线与初速度方向交于一点，此点平分沿初速度方向的位移。

在下图中，设带电粒子质量为m、带电荷量为q，以速度v0垂直于电场线射入匀强偏转电场，偏转电压为U。若粒子飞出电场时偏角为θ，则tanθ=，式中

v y=at=·，v x=v0，代入得tanθ=。

粒子从偏转电场中射出时偏距y=at2=。

作粒子速度的反向延长线，设交于O点，O点与电场边缘的距离为x，则

x=。

由此可知，粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间的l/2处沿直线射出似的。

（2）若连接入射点与出射点，设连线与入射方向（v0的方向）的夹角为α,则

tanα=

由此可知tanθ=2 tanα。

问题1、带电粒子在电场中的平衡与加速：

如图所示，竖直固定的光滑绝缘直圆筒底部放置一场源A，其电荷量，

场源电荷A形成的电场中各点的电势表达式为，其中k为静电力常量，r为空间某点到A的距离。有一个质量为m=0.1kg的带正电小球B，B球与A球间的距离为a=0.4m，此时小球B处于平衡状态，且小球B在场源A形成的电场中具有的电势能表达式为

，其中r是q与Q之间的距离。有一质量也为m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H=0.8m处自由下落，落在小球B上立刻与小球B粘在一起向下运动，它们到达最低

点后又向上运动，它们向上运动到达的最高点为P。（取），求：

（1）小球C与小球B碰撞后的速度为多少？

（2）小球B的带电量q为多少？

（3）P点与小球A之间的距离为多大？

（4）当小球B和C一起向下运动到与场源A距离多远时，其速度最大？速度的最大值为多少？

【解析】（1）小球C自由下落H高度后的速度，

小球C与小球B发生碰撞，由动量守恒定律得：，

解得小球C与小球B碰撞后的速度

（2）小球B在碰撞前处于平衡状态，对B球进行受力分析知：，

解得

代入数据得小球B的带电量：

（3）C和B向下运动到最低点后又向上运动到P点，运动过程中系统能量守恒，设P 与A之间的距离为x，由能量守恒得：

代入数据得P点与小球A之间的距离为：不合题意，舍去。

（4）当C和B向下运动的速度最大时，与A之间的距离为y，对C和B整体进行受力分析有：，

解得，

代入数据有：

由能量守恒得：

代入数据得：

【总结方法】带电粒子在电场中的平衡问题一般是分析带电粒子在电场中所受的力（重力、库仑力、电场力、弹力、摩擦力等），根据物体平衡条件列出平衡方程解之；带电粒子在电场中的加速一般根据动能定理由电场力做功等于动能变化列方程求解。

变式1：

如图所示，匀强电场方向沿x轴的正方向，场强为E。在A（d，0）点有一个静止的中性微粒，由于内部作用，某一时刻突然分裂成两个质量均为m的带电微粒，其中电荷量为q 的微粒1沿y轴负方向运动，经过一段时间到达（0，－d）点。不计重力和分裂后两微粒间的作用。试求：

（1）分裂时两个微粒各自的速度；

（2）当微粒1到达（0，－d）点时，电场力对微粒1做功的瞬时功率；

（3）当微粒1到达（0，－d）点时，两微粒间的距离。

【解析】（1）设分裂时微粒1的初速度为v1，到达（0，－d）点所用时间为t。依题意可知微粒1带负电，在电场力的作用下做类平抛运动，得下列方程：

①

②

③

由①②③解得④

根号外的负号表示沿y轴的负方向。

设分裂时另一微粒2的速度为v2，根据动量守恒定律⑤

得⑥

（2）当微粒1运动到B（0，－d）点时，速度在x轴方向上的分量为，则

⑦

由③⑦解得

电场力对它做功的瞬时功率

（3）中性微粒分裂时，根据电荷守恒定律，微粒2带等量的正电荷，所受电场力沿x 轴的正方向，在电场力的作用下也做类平抛运动。根据对称性，当微粒1到达B（0，－d）点时，微粒2运动到C（2d，d）点，此时两微粒间的距离是

（二）不计重力的带电粒子在磁场中的运动：

1、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动规律：

①洛伦兹力提供向心力：qvB=m。

②轨迹半径：r=。

③周期（与v、r无关）。

④角速度公式：ω=。

⑤动能公式：E k=mv2==。

2、带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的几个重要几何关系

①在运动平面内，速度方向的垂线必然经过圆心如图甲所示。

②弦的垂直平分线必然经过圆心，如图乙所示。

③偏向角等于圆心角。如图丙所示。

④圆心角α等于弦切角β的2倍，如图丁所示。

根据以上几何关系，可以确定带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动的圆心、半径以及偏转角度等。

问题2、带电粒子在有界磁场中的运动问题：

如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为d，PQ板带正电，MN 板带负电，在PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量q、质量为m的带负电粒子以速度v0从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右端飞进电场。不计粒子重力。试求：（1）两金属板间所加电压U的大小；

（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小；

【解析】（1）解法一：如图所示，设带电粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为t，由类平抛运动可知：

①

②

③

④

联立求解①~④式解得：

⑤

解法二：设带电粒子第一次飞出电场时的速度为v即由动能定理

●和①③④联立可得。

●（2）解法一：带电粒子以速度v飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，如上图所示，由

●

●

●

●

●联立以上有关方程可得

●解法二：由下列常规方法求解：

●

●

●

●

●联立以上有关方程式求解可得：。

●【方法总结】本题是比较复杂的题型，涉及到带电粒子先在匀强电场运动后再进入单边有界磁场中运动的情形，对于在匀强电场中的类平抛运动是容易的，接着进入磁场后粒子只在磁场力作用下运动，审题时一定要注意题设条件的解读。对于这类问题解决的办法比较多，解题时根据自己的熟悉程度及题目要求来灵活选择处理的方法。

●

变式2：

如图为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小，在x轴上距坐标原点L=0.50m的P处为粒子的入射口，在y轴上安放接收器。现将一带正电荷的粒子以的速度从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L=0.50m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带正电粒子的质量为m，电量为q，不计其重力。

（1）求上述粒子的比荷；

（2）如果在上述粒子运动过程中的某个时刻，在第一象限内再加一个匀强电场就可使其沿y轴正方向做匀速直线运动，求该匀强电场的场强大小和方向，并求出从粒子射入磁场开始计时经过多长时间加这个匀强电场；

（3）为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形。

【解析】（1）设粒子在磁场中的运动半径为r，如图甲所示，依题意M、P连线即为该粒子在磁场中做匀速圆周运动的直径，由几何关系得

①

由洛伦兹力提供粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，可得

②

联立①②并代入数据解得

③

（2）设所加电场的场强大小为E。如图乙所示，当粒子经过Q点时，速度方向沿y轴正方向，依题意，在此时加入沿x轴正方向的匀强电场，电场力与此时的洛伦兹力平衡，则有

④

代入数据得

⑤

所加电场的场强方向沿x轴正方向。由几何关系可知，圆弧PQ所对应的圆心角为，设带电粒子做匀速圆周运动的周期为T，所求时间为t，则有

⑥

⑦

联立①⑥⑦并代入数据得

⑧

（3）如图丙所示，所求的最小矩形是MM1P1P，该区域面积

⑨

联立①⑨并代入数据得

矩形如图丙中MM1P1P（虚线）所示。

（三）带电粒子在复合场中的运动：

1. 高中阶段所说的复合场有四种组合形式：①电场与磁场的组合；②磁场与重力场的组合；③电场与重力场的组合；④电场、磁场与重力场的组合，每一种又可分为重叠式和分立式组合。

2. 带电粒子所受三种场力的特征

（1）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时，f洛＝0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，f洛=qvB。洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。

（2）电场力的大小为qE，方向与电场强度E的方向及带电粒子所带电荷的性质有关。电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关。

（3）重力的大小为mg，方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关。

注意：①微观粒子（如电子、质子、离子）一般都不计重力。②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体，没有特殊交代时，应当考虑其重力。③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给物理过程及隐含条件，具体分析后作出符合实际的判断。

3. 带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析。当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，带电粒子做匀速直线运动（如速度选择器）；当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，则除所受的洛伦兹力外，其他力的合力应为零或大小不变、方向沿圆的半径，例如一带正电的粒子在一负点电荷形成的电场和匀强磁场中的运动.

4. 带电粒子在复合场中的运动的分析方法

（1）当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，应根据平衡条件列方程求解。

（2）当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。

（3）当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解。

注意：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他方程联立求解。

由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。

对于带电粒子连续通过不同场的问题，要注意在通过场边界时的条件，如速度关系、几何角度关系等。

问题3、带电粒子在复合场中的运动问题：

在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电量为q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g，求：

（1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v。

（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离y m。

（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率。

【解析】（1）洛伦兹力不做功，由动能定理得，

①

得②

（2）设在最大距离处的速率为，根据圆周运动有

③

且由②知④

由③④及⑤

（3）小球运动如图所示，由动能定理得

由圆周运动

⑦

且由⑥⑦及解得。

【方法总结】带电粒子在复合场中运动问题的解决方法是：（1）确定研究对象，受力分析，运动状态和运动过程分析，（2）可以用力的平衡或动力学规律解决问题，也可以用能量转化的观点解决问题。（3）一般情况下用能量观点显示得非常简捷，特别是带电粒子受变力作用而又做曲线运动时，必须借助于功能关系进行过程处理。

变式3：

如图所示，轻弹簧一端连于固定点O，可在竖直平面内自由转动，另一端连接一带电小

球P，其质量，电荷量q=0.2C，将弹簧拉至水平后，以初速度v0=20m/s竖直向下射出小球P，小球P到达O点的正下方O1点时速度恰好水平，其大小v=15m/s。若O、

O1相距R=1.5m，小球P在O1点与另一由细绳悬挂的、不带电的、质量的静止绝缘小球N相碰，碰后瞬间，小球P脱离弹簧，小球N脱离细绳，同时在空间加上竖直向上的匀强电场E和垂直于纸面的磁感应强度B=1T的匀强磁场。此后，小球P在竖直平面内做半径r=0.5m的圆周运动。小球P、N均可视为质点，小球P的电荷量保持不变，不计空气阻力，取g=10m/s2。那么，

（1）弹簧从水平摆至竖直位置的过程中，其弹力做功为多少？

（2）请通过计算并比较相关物理量，判断小球P、N碰撞后能否在某一时刻具有相同的速度。