运动电荷在磁场中的受力

3、 洛伦兹力 带电粒子在磁场中的运动教学目标：1．掌握洛仑兹力的概念；2．熟练解决带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题 教学过程： 1.洛伦兹力运动电荷在磁场中受到的磁场力叫洛伦兹力，它是安培力的微观表现。

计算公式的推导：如图所示，整个导线受到的磁场力（安培力）为F 安 =BIL ；其中I=nesv ；设导线中共有N 个自由电子N=nsL ；每个电子受的磁场力为F ，则F 安=NF 。

由以上四式可得F=qvB 。

条件是v 与B 垂直。

当v 与B 成θ角时，F=qvB sin θ。

2.洛伦兹力方向的判定在用左手定则时，四指必须指电流方向（不是速度方向），即正电荷定向移动的方向；对负电荷，四指应指负电荷定向移动方向的反方向。

3.有关洛伦兹力大小的计算（1）正确画出带电粒子可能的运动轨迹图，a)定偏向：运用左手定则定轨迹偏向，其中要特别注意四指指向与负电荷的运动方向相反。

b)定圆心：主要利用v f ⊥或弦与半径垂直的关系确定。

找出对应交点就找到了圆心。

c)定半径：方法有两种，一是利用几何关系求；二是根据半径公式求。

（2）可能用到常用的四个关系式a) qvB= m R v 2= m 2ωr=m ωv=m Tπ2v ；可得： R=Bq mv ； c) T=Bq m π2； d)T t πθ2=3、带电粒子在有边界的匀强磁场中的运动 1、带电粒子在半无界磁场中的运动【例1】 如图直线MN 上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？M解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。

只是偏转方向相反。

先确定圆心，画出半径，由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。

所以两个射出点相距2r ，由图还可看出，经历时间相差2T /3。

答案为射出点相距Be mv s 2=，时间差为Bqmt 34π=∆。

关键是找圆心、找半径和用对称。

【例2】 一个质量为m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上的P （a ，0）点以速度v ，沿与x 正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射出第一象限。

求匀强磁场的磁感应强度B 和射出点的坐标。

解：由射入、射出点的半径可找到圆心O /，并得出半径为aq mv B Bqmv ar 23,32===得；射出点坐标为（0，a 3）。

带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。

在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。

带电粒子在磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。

【例3】一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率v 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中，如图所示。

磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里.（1）求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离.（2）如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ，证明:直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是t mqB2=θ。

解析：（1）离子的初速度与匀强磁场的方向垂直，在洛仑兹力作用下，做匀速圆周运动.设圆半径为r ，则据牛顿第二定律可得：rv m Bqv 2= ，解得Bq mv r =如图所示，离了回到屏S 上的位置A 与O 点的距离为：AO =2r 所以Bqmv AO 2=（2）当离子到位置P 时，圆心角：t mBq r vt ==α 因为θα2=，所以t mqB2=θ. yxoBv vaO / OBSv θP2．穿过圆形磁场区。

画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

偏角可由Rr=2tanθ求出。

经历时间由Bq m t θ=得出。

注意：由对称性，射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

【例4】如图所示，一个质量为m 、电量为q 的正离子，从A 点正对着圆心O 以速度v 射入半径为R 的绝缘圆筒中。

圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B 。

要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。

解析：由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图所示。

设粒子与圆筒内壁碰撞n 次（2≥n ），则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为2π/（n +1）.由几何知识可知，离子运动的半径为1tan+=n R r π离子运动的周期为qB m T π2=，又rv m Bqv 2=，所以离子在磁场中运动的时间为1tan2+=n v R t ππ. 【例5】圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿OO ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

解析 ：电子所受重力不计。

它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O ″，半径为R 。

圆弧段轨迹AB 所对的圆心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动， 如图4所示，连结OB ，∵△OAO ″≌△OBO ″，又OA ⊥O ″A ，故OB ⊥O ″B ，由于原有BP ⊥O ″B ，可见O 、B 、P 在同一直线上，且∠O ＇OP =∠AO ″B =θ，在直角三角形ＯＯ＇P 中，O ＇P =（L +r ）tan θ，而)2(tan 1)2tan(2tan 2θθθ-=，r v RvO /OMNLAPOAv 0BR r =)2tan(θ，所以求得R 后就可以求出O ＇P 了，电子经过磁场的时间可用t =VRV AB θ=来求得。

由R v m Bev 2=得R=θtan )(.r L OP eBmv +=mVeBr R r ==)2tan(θ， 2222222)2(tan 1)2tan(2tan rB e v m eBrmv -=-=θθθ 22222,)(2tan )(r B e v m eBrmvr L r L P O -+=+=θ，)2arctan(22222rB e v m eBrmv-=θ )2arctan(22222rB e v m eBrmv eB m vRt -==θ 3．穿过矩形磁场区。

一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

偏转角由sin θ=L /R 求出。

侧移由R 2=L 2-（R-y ）2解出。

经历时间由Bqm t θ=得出。

注意，这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段的中点，这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同！【例6】如图所示，一束电子（电量为e ）以速度v 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿透磁场的时间是 。

解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为f ⊥v ，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图中的O 点，由几何知识知，AB 间圆心角θMNO ,LOθ/2 θ θ/2 BPO //＝30°，OB为半径。

∴r=d/sin30°=2d，又由r=mv/Be得m=2dBe/v又∵AB圆心角是30°，∴穿透时间t=T/12，故t=πd/3v。

带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。

如已知带电粒子的质量m 和电量e，若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度v必须满足什么条件？这时必须满足r=mv/Be>d，即v>Bed/m.【例7】长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（不计重力），从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A．使粒子的速度v<BqL/4m；B．使粒子的速度v>5BqL/4m；C．使粒子的速度v>BqL/m；D．使粒子速度BqL/4m<v<5BqL/4m。

解析：由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏，而作匀速圆周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2，由几何知识得：粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O点，有：r12＝L2+（r1-L/2）2得r1=5L/4，又由于r1=mv1/Bq得v1=5BqL/4m，∴v>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mv2/Bq=L/4得v2＝BqL/4m∴v2<BqL/4m时粒子能从左边穿出。

综上可得正确答案是A、B。