质点运动学习题思考题

习 题

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为

)ωt sin ωt (cos j i +=R r

其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：1） 由)ωt sin ωt (cos j i +=R r 知

t cos R x ω=

t sin R y ω=

消去t 可得轨道方程 222R y x =+

2） j r v t Rcos sin ωωt ωR ωdt

d +-==i R ωt ωR ωt ωR ωv =+-=2122])c o s ()s i n

[(

1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r )t 23(t 42++=，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从0=t 到1=t 秒的位移；（3）0=t 和1=t 秒两时刻的速度。

解：1）由j i r )t 23(t 42++=可知

2t 4x =

t 23y +=

消去t 得轨道方程为：2)3y (x -=

2）j i r v 2t 8dt

d +== j i j i v r 24)dt 2t 8(dt 1

010+=+==⎰⎰Δ

3） j v 2(0)= j i v 28(1)+=

1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为j i r t t 22+=，式中r 的单位为

m ，t 的单位为s .求：

（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。

解：1）j i r v 2t 2dt

d +==

i v a 2dt d == 2）212212)1t (2]4)t 2[(v +=+= 1t t 2dt dv a 2t +==

n a =

= 1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为

2012

1at t v y +

= （1） 图 1-4 20221gt t v h y -+= （2） 21y y = （3）

解之

t =

1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：

（1）小球的运动方程；

（2）小球在落地之前的轨迹方程；

（3）落地前瞬时小球的t d d r ，t d d v ，t v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1）

2gt 2

1h y -= 式（2） j i r )gt 2

1-h (t v (t)20+= （2）联立式（1）、式（2）得 20

2

v 2gx h y -= （3）j i r gt -v t d d 0= 而 落地所用时间 g h 2t = 所以

j i r 2g h -v t d d 0= j v g t d d -= 2202y 2x )gt (v v v v -+=

+=

212220[()]g t dv dt v gt ==+

1-6. 路灯距地面的高度为1h ，一身高为2h 的人在路灯下以匀速1v 沿直线行走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度2v .