高等数学交错级数审敛法,绝对条件收敛
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高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛
定理 3 设 un 为任意项级数，如果 n1
lim un1
u n n
则当
1时，级数 un n1
绝对收敛，当
1
或lim un1 u n
n
时，级数un 发散.
n1
例 3 判 定 级 数 n 1 ( 1 ) n 1 n 1 3 n 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 .
解 由例2知， 交错级数n 1(1)n1n13n 是收敛的. 现利用定理3判定它是否绝对收敛.
u1u2u3u4(1)n1un,其中un(n1,2,) 都是正数.现给出交错级数的一个重要的审敛法.
定 理 1 （ 莱 布 尼 茨 （ L e i b n i z） 准 则 ） 若 交 错 级 数
( 1 )n 1 un满 足 条 件 ：
n 1
（1）un un1(n 1, 2,)
（2）lim n
第三节 绝对收敛与条件收敛
这一节讨论 n1
通常称为任意项级数.若级数 un 的项是正负相间的，这种 n1
级数称为交错级数.首先研究交错级数的审敛法，然后再讨 论任意项级数的审敛法，并给出绝对收敛与条件收敛的概 念.
一、交错级数及其审敛法
各项是正负相间的级数称为交错级数， 可以写成以下 形式：
un
0;
则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 su 1,其 余 项 rn 的 绝 对 值 不 超 过 u n 1，
即 rnu n 1
证 明 从 略 .
例 1 判 断 交 错 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) n 1 1 的 收 敛 性
2 3 4
n
解 un 1n,满足un un1，且lni munlni m1n 0, 所以级数
2n1 所以级数是发散的.
第三节绝对收敛与条件收敛
第三节 绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
交错级数、绝对收敛与条件收敛
证明
Sn u1 u2 u3 u4
rn s Sn
(1)n1un
( un1 un2
)
rn un1 un2 rn un+1.
新的交错级数
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例1
n1
(1)n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
(1)n1 1 n
un
1 n
单调递减
lim
n
u
n
0
故由莱布尼茨定理，
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un发散
un
N
un 0
Y
| un |敛
N
用比值法
un 收敛
Y un绝对收敛
条
用L—准则或考察部分和
件
收
N
un收敛 Y
敛
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rn s Sn
s
u2 uu34
O S2 S4 S6 S6
S2n S2n1
u 2 n 1S
2
n
1
S5 S3
S1(u1) x
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| rn | un1 rn s Sn
u2 uu34
O S2 S4
Sn1 s | rn | S n u n 1
S3 S1(u1) x
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条件收敛.
(1)n1 1
n 1
n
条件 收敛;
(1)n1 1
n1
n2
绝对 收敛;
(1)n1 1 1
n1
n n1 n
发散
n1
(1)n1
1 n2
n1
1 n2
收敛
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高等数学1203
. (2)任意项级数 ∑un ,如果∑| un |收敛，则 ∑un 绝对收敛 n=1 n=1 n=1
但 ∑| un | 散 ， 们 能 断 un非 对 敛 当 发 时 我 只 判 ∑ 绝 收 ，
n=1 n=1 ∞ ∞
而 能 断 必 发 . 不 判 它 为 散
n=1 ∞ n+1 1
即 un > un+1 ：
符合莱布尼兹定理条件 ， n
故是收敛的，其和 s < 1
二、绝对收敛与条件收敛 任意项级数：一般的级数，它的各项为又有正 数，又有负数的任意实数. 定义 (1)如果级数的各项绝对值所组成的级数收敛， 则称原级数绝对收敛； (2)如果级数收敛，而它的各项绝对值所组成 的级数发散，则称原级数条件收敛.
定理2 定理2 如果任意项级数
n=1
∑un = u1 + u2 + L+ un +L
∞
的各项绝对值组成的级数
n=1
∑| un | =| u1 | + | u2 | +L+ | un | +L
∞
收敛，则原级数必定收敛.
sin nα 例２ 判定级数 ∑ 2 是绝对收敛还是条件收敛． n n=1 sin nα 1 ≤ 2 解 因为 un = 2
n =1
(u n > 0)
（ ） ∑ − 1 u n = u1 − u 2 + u3 − u 4 + L + u 2 k −1 − u 2 k + L (u n > 0)
n −1
定理1 定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)级数前项大于后项，即 un ≥ un+1 (n = 1 2,3,L , ); (2)级数的通项趋于零，即 limun = 0
5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
高数-任意项级数敛散性判别法
x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章 第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节 任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛 三、小结 提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义： 如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1
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或
称为交错级数 .
交错级数审敛法 ( Leibnitz 莱布尼兹定理 )
若交错级数
满足条件:
1)
un un1 ( n 1, 2, );
2)
lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 其和非负且 S u1,
n1
其余项满足 rn un1 .
证: S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
判定正项级数敛散性的思路与方法：
n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un
0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
结论：交错级数
(1)n1
n1
1 np
(p
0)
当p>1时，绝对收敛；当p 1时，条件收敛。
例4. 判定级数 xn 的敛散性
n1 n
解:Q lim un1 lim xn1 n lim n x x
u n n
n n 1 xn
n n 1
证: 设
收敛 ,
令
vn
1 2
( un
un
)
(n 1, 2, )
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n1
而 un 2 vn un 且 un , 2 vn 收敛。
n1
n1
所以 un 也收敛。
n1
注意：
发散，只能说明原级数不绝对收敛；
所以，当 x 1 时，级数绝对收敛 ；
当 x 1 时，级数绝对发散 ；
当 x 1 时，级数为 1 发散；
n1 n
当 x 1 时，级数为
(1)n
条件收敛。
n1 n
小结
1.交错级数的 Leibniz审敛法:
un un1 0 lim un 0
n
(1)nun 收敛
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1
1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1
un1,
且
lim
n
un
lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
lim
n
S2n1
lim (
n
S2n
u2 n 1 )
故级数收敛于S, 且 0 S
rn un1 un2 un1
例1 简答：用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
2 1 1
3 1
4 1
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! 1 1n
1 1n 1 10n 收1n 敛
2! 3! 4!
n! 1n0!n
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
(1)
n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理2：若
收敛 ,则 un 也收敛
n1
所以，对一切 x 值，级数绝对收敛。
例3. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛，
还是条件收敛？
(1) sin n ;
n4
n1
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p>1的情形
解: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
由比较审敛法可得 sin n 收敛
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；
(3) 当 1 时，本法失效 .
例2 判定级数
的敛散性 .
解：
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。
称为交错级数 .
交错级数审敛法 ( Leibnitz 莱布尼兹定理 )
若交错级数
满足条件:
1)
un un1 ( n 1, 2, );
2)
lim un 0,
n
则级数 (1)n1un收敛 , 其和非负且 S u1,
n1
其余项满足 rn un1 .
证: S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
判定正项级数敛散性的思路与方法：
n 1
un
是否为等比 级数或p级数
不是
是 确定敛散
观察
lim
n
un
0?
是
比值审敛法 nlimuunn1
1
1
收敛
发散
不是 发 散
用它法判别
1 不定 比较审敛法
部分和极限
二、交错级数及其审敛法
设 un 0 , n 1, 2, , 则各项符号正负相间的级数
结论：交错级数
(1)n1
n1
1 np
(p
0)
当p>1时，绝对收敛；当p 1时，条件收敛。
例4. 判定级数 xn 的敛散性
n1 n
解:Q lim un1 lim xn1 n lim n x x
u n n
n n 1 xn
n n 1
证: 设
收敛 ,
令
vn
1 2
( un
un
)
(n 1, 2, )
显然 vn 0 , 且 vn un , 根据比较审敛法 vn 收敛,
n1
而 un 2 vn un 且 un , 2 vn 收敛。
n1
n1
所以 un 也收敛。
n1
注意：
发散，只能说明原级数不绝对收敛；
所以，当 x 1 时，级数绝对收敛 ；
当 x 1 时，级数绝对发散 ；
当 x 1 时，级数为 1 发散；
n1 n
当 x 1 时，级数为
(1)n
条件收敛。
n1 n
小结
1.交错级数的 Leibniz审敛法:
un un1 0 lim un 0
n
(1)nun 收敛
n4
n1
因此 sin n 绝对收敛 . n1 n4
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p<1的情形
(2) Q
(1)n 1
1
是发散的.
n1
n n1 n
而
un
1 n
1 n 1
un1,
且
lim
n
un
lim
n
1 0 n
所以根据莱布尼兹判别法，原级数收敛,且为条件收敛。
S2n u1 (u2 u3) (u4 u5 ) (u2n2 u2n1) u2n
是单调递增有界数列, 故
又
lim
n
S2n1
lim (
n
S2n
u2 n 1 )
故级数收敛于S, 且 0 S
rn un1 un2 un1
例1 简答：用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1) 1 1 1 1 (1)n1 1 n1 1
收敛
2)
2 1 1
3 1
4 1
un1 n (u1n)n1
(n10n1)1! 1 1n
1 1n 1 10n 收1n 敛
2! 3! 4!
n! 1n0!n
3)
1 10
2 102
3 103
4 104
(1)n1
n 10n
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1) 1 ; n1 n
2) 1 ; n1 n!
3)
n n110n
.
发散
收敛
收敛
三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
若
数 绝对收敛 ；
收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
例如
：
(1)n1
1
为条件收敛
.
n1
n
(1)
n1
n1
n 10n
均为绝对收敛.
定理2：若
收敛 ,则 un 也收敛
n1
所以，对一切 x 值，级数绝对收敛。
例3. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛，
还是条件收敛？
(1) sin n ;
n4
n1
(2)
(1)n
1
n1
n
p级数中p>1的情形
解: (1)
sin n
n4
1 n4
,
而
1 n1 n4
收敛
,
由比较审敛法可得 sin n 收敛
即：原级数可能发散，可能条件收敛。
定理3 . 比值判别法 ( D’alembert 判别法)
设
满足 lim un1 , 则
u n n
(1) 当 1 时, 级数绝对收敛 ;
(2) 当 1 时，级数发散 ；
(3) 当 1 时，本法失效 .
例2 判定级数
的敛散性 .
解：
n1
2.绝对收敛与条件收敛的概念。
3.任意项级数敛散性判定思路： 先判断其绝对值级数是否收敛？
1）若收敛，则原级数为绝对收敛；
2）其发散，则若是交错级数，再用莱布尼兹审敛法判 断。若收敛，则原级数为条件收敛；
3）否则发散。