一、交错级数及其审敛法

n1
n1
n1
结论：级数
un收敛,若
n1
un 收敛，则绝对收敛.
n1
若
n1
un
发散，则条件收敛.
例3
sin n
判别级数 n1
n2
的收敛性.
解
Hale Waihona Puke Baidu Q
sin n n2
1 n2
,
而
n1
1 n2
收敛,
n1
sin n n2
收敛,
故由定理知原级数绝对收敛.
例 4 判定
(1)n x级n数的(敛x 散0性).
n1
n
解
记un
(1)
xn n
,则
lim un1 u n n
lim x n x n n 1
由达朗贝尔比值判别法知，
(1)0 x 1时， un 收敛，即绝对收敛，从而收敛.
n1
(2)x 1时，级数为 (1)n 1 ,易见级数是条件收敛；
n1
n
(3)x 1时，级数为 (1)n xn ,级数是发散的；
但本身 收敛，则称级n数1条 件收敛．
n 1
un
un
n 1
n1
发散，
绝对收敛、条件收敛与收敛 之间有着什么样的关系呢？
定理2 若 un 收敛,则un收敛.
n1
n1
证明
令
vn
1 2
(un
un
)
(n 1, 2,L ),
显然vn 0, 且vn un ， vn收敛,
n1
又Q un (2vn un ), un收敛.
例1 判定级数
的敛(散1)性n.1
1
n 1
n
解 这是一个交错级数,且
(1)un
1 n
,
且un
1 n
un1
n
1
1
,
(2)
lim
n
un
lim
n
1 n
0,
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
例 2 判定级数
的(敛1散)n性1.
n1
n 2n
解 这也是一个交错级数,且
如何比较大小？
(1)un
n 2n
, un1
n 1 2n1
,
则
为什么？
un
un1
n 2n
n 1 2n1
n 1 2n1
0, (n
1, 2,3,L
),
(2)
lim
n
un
lim
n
n 2n
0,
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义：对于
级数， 若un
收敛，则称级 数u绝n 对收敛；如果
审
2.
若
lim
n
un
0, 则级数
3.按基本性质;
n1
un发散.
敛 4.充要条件
4.绝对收敛
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
n1
n
为什么？
NOTE：当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法，判断出正项级数
发散，
un
n 1
可以断言， 也一定发散.
un
n1
事实上，lim un1 u n
n
1, (lim n
n
un
1),
lim
n
un
0,从而
lim
n
un
0
,
un必发散.
n1
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn → S,则级数收敛;