一阶电路动态过程的时域分析

一阶电路动态过程的时域分析
1、典型一阶电路
一阶电路仅包含一个动态元件,假设将动态元件别离出来,那么由戴维南或诺顿定理 可得到如下两种典型一阶电路:
注意：图中N 是线性含源单口网络.
2、一阶电路的电路方程及其一般形式
一阶RC 电路:
一阶RL 电路
一阶电路方程的一般形式
从上可知,一阶电路的电路方程都是一阶常系数微分方程. 励为x(t),响应为y ⑴,那么一阶电路方程一般形如:
誓 y(t) = x(t)
式中,七因具有时间的单位而称为一阶电路的时间常数 (time constant).并且,对 于一阶RC 电路,
①关于u c 的电路方程: RC
臂…
US
②关于i c 的电路方程: RCd C
i c "皿
dt ③关于U R 的电路方程:
RC ®R dt
dt
U R = RC 眄 dt
①关于i L 的电路方程: 丹 iL 4
US
②关于U L 的电路方程: L dU L __ L dU s U L — R dt R dt
5+
L 5 tt L
③关于U R 的电路方程:
L d^R U R = U S
R dt
并且,假设记电路的激
典型一阶RL 电路
+ 1 +
h]=[RCi欧雌…欧情卜欧]芳卜秒]
对于一阶RL电路,
=[秒]
3、常系数一阶微分方程的经典时域解法
对于常系数一阶微分方程七婴+ y(t) = x(t),其解(即电路的响应)由通解和特解dt 两局部构成通解：是对应齐次方程的解,与鼓励无关,称为电路的自由响应.
管+ ；y(t)=0=通解y h(t) = Ae pt = Ae 之
式中,A为待定积分系数,可根据初始条件来确定.
特解：与电路鼓励x(t)有关,Mt)不同,特解形式就不同.因此特解也称为强制响应.在高等数学中,特解一般可以采用常数变异法求得,即：
令非齐次微分方程的解为y(t) = m(t)eT ,求出誓后代入原微分方程,得到
m⑴：
m(t) =1 x(t)e dt
X
所以,常系数一阶微分方程7黎十y(t) = x(t)的解为t 上
Ae -；1e x(t)e dt
y(t)=通解自由响应)解(强制响应)
4、直流鼓励下的一阶电路时域分析
同时考虑电路的外部鼓励和动态元件的初始储能, 直流一阶电路的响应存在以下
3种情况:
①零输入响应(Zero-input response)无外部鼓励(x(t)=0)但动态元件有初始储能时,仅由初始储能引起的电路响应
^dy(y + y(t)= 0 [ + -t T
dt
y(t) = y(0 )e
+
y(0 ) ;0
RC 里u c = 0
』 」
dt
u c (t) = u c (0 )e^C =Uo e
+
u c (0 )= U 0 =0
i c (t)=cdu^=UCpe -工 = dt * U R (t) = -u c (t) = -U °e
一阶RL 电路零输入响应波形
分析及结论: 无论一阶RC 还是一阶RL,也无论电路的响应是何变量,一阶电路的零输入响 应都具有如下特点:
所有变量的零输入响应与其初始值成正比.
例如,一阶RC 电路的零输入响应 一阶RC 电路零输入响应波形
又如,一阶RL 电路的零输入响应
—dL i L
= 0 + -占 --
R dt i 0= i L (t) = i L (0+)eE =1论 i L (0+) = l 0 =0
di L (t) 」
U L (t) = L = - RI 0e 二 dt
上
U L (t)= —RI»c
K ⑴=火色〞
F
同一电路,所有变量的零输入响应按同一指数规律衰减,并最终必衰减至
00
所有变量零输入响应的衰减快慢取决于电路的时间常数T,或者说,一阶
电路过渡过程时间的长短取决于电路的时间常数To并且,E大一过渡过程
时间长；T小一过渡过程时间短.
由于
所以,E是响应衰减到原来电压36.8%所需的时间.并且工程上可以认为,经过
3 T- 57,过渡过程即可结束.
另外,可以证实,T等于响应衰减指数曲线的次切距长.
②零状态响应(Zero-state response)有外部鼓励(x(t)用)但动态元件无初始储能
时,仅由外部鼓励引起的电路响应.
-皿(t) _____________M __________ _ ________ Me_t ° _________
忑出+y⑴=M>= y(t)特解,强制(稳态)分量通解自由(暂态)分量y(0+)=0 J =y(8)(1 -e-t)
例如,一阶RC电路直流鼓励下的零状态响应
iRCdUC(t ) + U C (t ) = U S J dt
lu c (0+) = 0
分析及结论：
一阶动态电路的零状态响应由稳态〔强制〕和暂态〔自由〕两局部构成. 同一电路,不同变量的零状态响应中的暂态分量按同一指数规律衰减,并 且衰减快慢取决于电路的时间常数丁.
E 越大,响应变化越慢,否那么响应变化越快.
③全响应〔complete response 〕既有外部鼓励〔x 〔t 〕力〕,也有动态元件初始储能时,
由两者共同作用引起的电路响应o
t
t
u c (t) = U s —U s e
飞.,i c (t) = U S e-c
又如,一阶RL 电路直流鼓励下的零状态响应
I L diL(t) + i L (t )= u S
* *
* *
R R dt - R = i L (t)=谭--j^e II i L (0+) = 0
R R
_ t
,U L (t) = U s e L R
一阶RC 电路零状态响应波形
一阶RL 电路零状态响应波形
y(t) = M I y(s)(=M) ［y(0 +
)_y(g)］门 『y(t)-特解,强制(稳态)分量+通解,自由(暂态)分量
注1:上述一阶电路的全响应是从微分方程解结构角度进行分解的.除此以外, 一阶电路的全响应还可以按鼓励与响应间的因果关系进行如下分解:
v(t)= y(0
+
)…+ y9)(i-e -『
八 零输入响应
零状态响应
因此,零输入响应和零状态响应都是全响应的特例.
注2:假设定义时间常数T 、响应初值y(0+)和响应稳态值y(8为一阶电路的三要素, 那么一阶电路的全响应可直接根据以上公式得到. 这种求解全响应的方法称为三要 素
解法.并且,三要素法的一般步骤为:
除去动态元件,求取所得网络的等效电阻R,并计算动态电路的时间常数T :
R 是除掉动态元件后所得网络的等效电阻.
利用换路定那么及0+等效电路,求取响应初值 y(0+); 根据换路并稳定后的电路,求取响应的稳态值 y(3 ；
按三要素法公式,写出全响应的表达式.
例1：(零输入响应问题)：1) t=0时,翻开开关S,求u v .2)假设电压表量程为50V,
试判断其是否会被损坏 3)讨论电路的改良举措
dy(t) + + ----- + dt y(0)= 0
时间常数广
RC 电路：r^RC
. RL 电路：HR
q H & "H .*)H 0
］：产0, 〞40+) H 0
u s w 0,
尸 0
5、正弦鼓励下一阶电路的时域分析
电路方程仍为常系数一阶微分方程：F 彗詈+ y(t) = x(t),故x(t)= Msin (乳+,
dt
时,
_t t
工
_t.
y(t) = Ae .+1e 〞Msin(8t + *)e z dt = Ae .十——Mr^[sin(^t + ^) -COT cos ®t+*)] 1
22
根据初始条件可求得
A = y(0+)-M 2 2
bin 中一⑴lUcoS 】
1+⑴7
于是,正弦鼓励下一阶动态电路的响应为:
例2 (零状态响应问题)：t=0开关K 翻开,求t >0后i L 、UL 及电流源的电压.
例3(全响应问题)：t=0时开关由1-2,求换路后的u c (t)
Mc(O + ) = Ug 或MO* ) = Io
换路时,电路如何响应? 以.).。