交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛
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第三节 绝对收敛与条件收敛
0 vn un ,0 wn un ,
由正项级数的比较审敛法可知级数
v 与 w 均收敛.
n 1 n n 1 n
un vn wn ,
因此级数
u
n 1
n
收敛.
例4 判别下列级数的敛散性，如果收敛，则进一步判别是条件 敛，还是绝对收敛． sin n 1 2 n 1 n 1 n 1 (4) sin( n 1 ). (1) ; (3) ( 1) ; (2) ( 1) ; 3
a1 lim sn 1, 因此级数 n a
2
2 n 2 n (4) sin( n 1 ) (1) sin[( n 1 n) ] (1) sin
n 1 n
,
lim sin
n
n2 1 n
0,{sin
n2 1 n
}单减，级数 sin n 2 1 收敛，
n 1
又n 时， sin
2n 1 ln(1 n) n 1 n 1 sin n 1 1 sin n 绝对收敛； 解 (1)因为 , 3 3 3 收敛， 3 n n n 1 n n n 1
n 1
n
n 1
(2)根据莱布尼兹判别法可知该级数条件收敛；
(3)因为 lim
n 1 1 , 该级数发散； n 2n 1 2
ln 3 ln 4 ln n ln x 1 ln x , , , , (2)令f ( x) , f ( x) 0( x e), 因此数列 3 4 n x x
单减， 且lim n
ln n 0, 所以该级数收敛； n
一般级数的审敛法
1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛
定理 3 设 un 为任意项级数，如果 n1
lim un1
u n n
则当
1时，级数 un n1
绝对收敛，当
1
或lim un1 u n
n
时，级数un 发散.
n1
例 3 判 定 级 数 n 1 ( 1 ) n 1 n 1 3 n 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 .
解 由例2知， 交错级数n 1(1)n1n13n 是收敛的. 现利用定理3判定它是否绝对收敛.
u1u2u3u4(1)n1un,其中un(n1,2,) 都是正数.现给出交错级数的一个重要的审敛法.
定 理 1 （ 莱 布 尼 茨 （ L e i b n i z） 准 则 ） 若 交 错 级 数
( 1 )n 1 un满 足 条 件 ：
n 1
（1）un un1(n 1, 2,)
（2）lim n
第三节 绝对收敛与条件收敛
这一节讨论 n1
通常称为任意项级数.若级数 un 的项是正负相间的，这种 n1
级数称为交错级数.首先研究交错级数的审敛法，然后再讨 论任意项级数的审敛法，并给出绝对收敛与条件收敛的概 念.
一、交错级数及其审敛法
各项是正负相间的级数称为交错级数， 可以写成以下 形式：
un
0;
则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 su 1,其 余 项 rn 的 绝 对 值 不 超 过 u n 1，
即 rnu n 1
证 明 从 略 .
例 1 判 断 交 错 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) n 1 1 的 收 敛 性
2 3 4
n
解 un 1n,满足un un1，且lni munlni m1n 0, 所以级数
2n1 所以级数是发散的.
第三节绝对收敛与条件收敛
第三节 绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
交错级数、绝对收敛与条件收敛
证明
Sn u1 u2 u3 u4
rn s Sn
(1)n1un
( un1 un2
)
rn un1 un2 rn un+1.
新的交错级数
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例1
n1
(1)n1
1 n
1
1 2
1 3
1 4
(1)n1 1 n
un
1 n
单调递减
lim
n
u
n
0
故由莱布尼茨定理，
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un发散
un
N
un 0
Y
| un |敛
N
用比值法
un 收敛
Y un绝对收敛
条
用L—准则或考察部分和
件
收
N
un收敛 Y
敛
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rn s Sn
s
u2 uu34
O S2 S4 S6 S6
S2n S2n1
u 2 n 1S
2
n
1
S5 S3
S1(u1) x
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| rn | un1 rn s Sn
u2 uu34
O S2 S4
Sn1 s | rn | S n u n 1
S3 S1(u1) x
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条件收敛.
(1)n1 1
n 1
n
条件 收敛;
(1)n1 1
n1
n2
绝对 收敛;
(1)n1 1 1
n1
n n1 n
发散
n1
(1)n1
1 n2
n1
1 n2
收敛
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5_3交错级数 绝对收敛与条件收敛
(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0， 从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如， 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和， 但条件收敛级数不具有这条性质.
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
7.3交错级数与绝对收敛
n 1
10
注 此定理的逆命题不一定成立：
经 典 反 例
1 1 如 1 2 3
( 1)
n 1
1 n
收敛
1 1 取绝对值 1 2 3
1 n
发散
u u 收敛 ×
n 1 n
n 1
n
收敛
11
上述定理的作用： 任意项级数
正项级数
则称 un 绝对收敛； 定义： 若 un 收敛，
(3)p-级数
q 1 q 1
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
25
2、级数收敛的判定 如果级数 un 收敛，则 lim un 0. 必要条件：
n 1
如果 lim un 0, 则 un 发散.
n
n
充分条件： (1)比较审敛法
n 1
由正项级数 un 收敛，能推出 un 2 收敛.
n 1 n 1
un 2 u lim un 0, 由比较审敛法知 n 收敛. lim n n u n 1 n
反之不成立.
2
1 例如： 2 收敛, n 1 n
1 n 发散. n 1
27
一、填空题.
必要条件 lim un 0
n
不满足
发
散
满足
un1 比值审敛法 lim n u n
根值审敛法 lim n un
n
不定 充要条件 改用它法 定义
1
比较审敛法
1
收 敛 发
1
散
24
1、工具
1 (1)调和级数 发散. n 1 n
10
注 此定理的逆命题不一定成立：
经 典 反 例
1 1 如 1 2 3
( 1)
n 1
1 n
收敛
1 1 取绝对值 1 2 3
1 n
发散
u u 收敛 ×
n 1 n
n 1
n
收敛
11
上述定理的作用： 任意项级数
正项级数
则称 un 绝对收敛； 定义： 若 un 收敛，
(3)p-级数
q 1 q 1
当p 1时, 收敛 P 级数 当p 1时, 发散
25
2、级数收敛的判定 如果级数 un 收敛，则 lim un 0. 必要条件：
n 1
如果 lim un 0, 则 un 发散.
n
n
充分条件： (1)比较审敛法
n 1
由正项级数 un 收敛，能推出 un 2 收敛.
n 1 n 1
un 2 u lim un 0, 由比较审敛法知 n 收敛. lim n n u n 1 n
反之不成立.
2
1 例如： 2 收敛, n 1 n
1 n 发散. n 1
27
一、填空题.
必要条件 lim un 0
n
不满足
发
散
满足
un1 比值审敛法 lim n u n
根值审敛法 lim n un
n
不定 充要条件 改用它法 定义
1
比较审敛法
1
收 敛 发
1
散
24
1、工具
1 (1)调和级数 发散. n 1 n
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级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定 理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值 ，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且 余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数 解 因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错 的，从而它可以写成下面的形式： 或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定 理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和 证 因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数 由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数 绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例4】
判别级数
思考
莱布尼茨定理中的两个条件是级数收敛的充分必要条件吗？
二、绝对收敛与条件收敛
设有级数 且其中un（n=1,2,3,…）为任意实数，这个级数称为任意项级数.
二、绝对收敛与条件收敛
定义
对任意项级数 为绝对收敛；若
，若 发散,而
收敛, 则称级数 收敛，则称级数
例如，级数
绝对收敛，而级数
是条件收敛级数.
是否收敛.如果
是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 解 由于
二、绝对收敛与条件收敛
故由比较审敛法知级数
发散.又 显然
二、绝对收敛与条件收敛
递减. 由莱布尼茨定理知
收敛，故级数
条件收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
思考
绝对收敛、条件收敛和收敛三者之间有什么联系？
谢谢聆听