考研数学之浅析交错级数的莱布尼兹判别法
为什么交错级数的莱布尼茨判别法
为什么交错级数的莱布尼茨判别法摘要：交错级数是一种在许多数学问题解决中被广泛使用的积分和级数类型。
尽管它是令人印象深刻的，但它仍然存在许多疑问。
本文的目的是解释莱布尼茨判别法，它可以用来判断一个特定的交错级数是否收敛。
首先，将介绍交错级数的基本概念，以及如何使用莱布尼茨判别法来判断它是否收敛。
其次，将讲述莱布尼茨判别法的更加具体的定义以及如何写出它的表格。
最后，将讨论莱布尼茨判别法在数学中的实际应用。
关键词：交错级数，莱布尼茨判别法，收敛1. 介绍交错级数是一种特殊的现象，即数学表达式的系列数的和有限，但每一项的值都无限大。
它们可以用来表示实数，进而被用来计算无限积分。
交错级数的收敛性仍然是一个令人兴奋的问题，以及它如何被归纳的问题。
莱布尼茨判别法是一种用于解决此问题的方法。
2.布尼茨判别法莱布尼茨判别法是一种简单而有效的方法来解决交错级数是否收敛的问题。
它可以用来判断在特定情况下，某一级数是否收敛，这个级数可以由任意多个有理数组成。
它是由德国数学家Lebesgue发明的，在19世纪初被广泛使用。
莱布尼茨判别法的基本原理是：如果余数发散，那么级数也是发散的；如果余数收敛，则级数也是收敛的。
莱布尼茨判别法的定义：设a_n为交错级数的n项，它的总和为S_n，则当n无穷大时，a_n/S_n=b_n，如果b_n收敛到某一数,则称相应的级数收敛，否则就发散。
莱布尼茨判别法也可以写成一个表格：第一步：先按照从小到大的顺序写出a_1,a_2,...,a_n的级数和；第二步：写出a_1，a_2,...,a_n的级数比率：b_1=a_1/S_1，b_2=a_2/S_2，...，b_n=a_n/S_n第三步：如果b_n绝对值的和越来越小，则说明级数收敛，如果绝对值的和越来越大，则说明级数发散。
3.际应用莱布尼茨判别法在数学领域有着广泛的应用，尤其是在处理收敛判别问题时。
例如，当解决不定积分问题时，莱布尼茨判别法可以用来判断级数是否收敛，以确定积分的有效性。
交错级数敛散性判定20110414
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级数.
定理 1 若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ ∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用： 定理的作用： 任意项级数 正项级数
leibniz判别法
leibniz判别法欧几里得·莱布尼兹（Leibniz）判别法（Leibniz Test）是一种用于识别特定集合中的特定元素的准则。
它发源于17世纪在德国数学家、哲学家、科学家及机械工程师欧几里德·莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）。
根据欧几里德·莱布尼兹的一句名言“每件事可能在此自然之原因上做而且更有效”， Leibniz Test总结为“如果某元素属性存在且仅存在于特定集合中，则这个元素就必须来自于此特定集合”。
Leibniz Test在当今仍然被广泛应用于多方面。
理解莱布尼兹的思想有助于理解Leibniz Test的运用价值。
欧几里得·莱布尼兹恒定的观点是学科间和领域间存在一定的等价标准，在某种意义上说，可以将几乎所有学科重新组合，使它们逃离根本上的特殊性，以形成它们之间的间接关系。
Leibniz Test仅仅是一个概念，但它被用来论证一些复杂的引言。
它的基本意思是判断一个特定的项是否属于特定的集合。
Leibniz Test可以帮助我们迅速发现特定属性例如概念，抽象函数及实体等，而不必死记硬背。
Leibniz Test通过研究特定集合中特定特性的程度，来识别属于此特定集合的元素。
可以说， Leibniz Test给了我们一种精确概括复杂灰烬中某个特定元素的能力。
因此，Leibniz Test也被用来根据相关性来识别和区分一个领域中存在的成分，从而使得研究组织解决复杂的概念一件容易的事情。
它的应用范围从物理系统、生物学领域，甚至还可以在社会学领域得到有效的运用。
总的来说，Leibniz Test 是一种定义、认识特定集合中的特殊元素的概念，是欧几里得·莱布尼兹精辟总结出来的一句名言“每件事可能在此自然之原因上做而且更有效”。
它被广泛应用于多个领域，不仅有助于理解现有的概念，而且可以帮助我们快速发现新的概念，从而组织解决复杂问题。
浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定摘要：交错级数的敛散性主要用莱布尼兹定理来判别，本文给出了几个有用的结论来判断某些特殊的交错级数的敛散性，并总结了关于交错级数敛散性判别的一些常用方法。
归纳了如何使用该定理证明交错级数的敛散性,并在莱布尼兹审敛法失效时,提供了判定交错级数敛散性的方法。
关键词：交错级数 收敛 莱布尼兹审敛法 单调递减1引言在数学分析中,对级数敛散性的判别是一个重要的内容。
级数敛散性的柯西判别准则虽然给出了判断级数收敛的充要条件,从逻辑上讲,它适应于一切级数敛散性的判断,但是通常在判别具体级数的敛散性时,使用柯西判别准则是有困难的,甚至是无法进行的,因为要检测一个具体的级数是否满足这个判别准则的条件本身就不比检测这个级数是否收敛容易。
特别是判别一个交错级数是否收敛时使用柯西判别准则往往失效。
在常用的数学分析教材中判别交错级数是否收敛方法很少,一般地只有莱布尼茨判别法。
莱布尼茨判别法只针对莱布尼茨型级数有效,对于更多的非莱布尼茨型级数敛散性的判别存在困难。
在用莱布尼兹审敛法证明交错级数敛散性的过程中,验证两个条件成立有一定的难度。
在两个条件失效时,那么该如何判断呢？下面就来谈谈如何使用莱布尼兹审敛法验证交错级数的敛散性。
2基本概念及定理定义1： 若级数的各项符合正负相间，即：1112341...(1)....(1)n n n n n u u u u u u ∞--=-+-+-+=-∑（n>0,n=1,2,3,4……）则称级数11(1)n n n u ∞-=-∑为交错级数。
定义2：若级数1nn u∞=∑通项的绝对值构成的级数1n n u ∞=∑收敛，则称级数1n n u ∞=∑为绝对收敛；若级数1n n u ∞=∑收敛而1n n u ∞=∑发散，则称1n n u ∞=∑为条件收敛。
定理 1：（交错级数收敛的必要条件）若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑（n u >0）收敛，则有lim 0n n u →∞=。
浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。
在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。
即正负交替，或者负正交替。
例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。
1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。
这个判别法不适用于非交错级数。
2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。
如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。
3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。
如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。
交错级数收敛性的两个补充判别法
２ 一
３
一
Ｚ ２ —３ — （ｎ ） ｎ ２ ２ ＋３ ＋ ｎ —
１ １
。
—
＜
而 Ｐ级数
、
ｎ ＝ｌ
４ ｚ收敛 。 ｎ
１ １ １ １ １ １
・
． ．
级 数 。－ ４。－ ６。 十…十一 ２ － ５＋一 － ７＋一 ２ ｎ ｎ＋３ ＋…收敛 。
证明： ｎ Ｎ， ｖ∈ ．
（ｌ “） “ － ４＋…＋（２ １ “ ： ｌ “ － ２＋（３ “） “ － ２） Ｃ＋ｃ＋…＋ｃ：ｙ： ｃ ，若 ∑ Ｃ 发 ． 一 ｋ ｎ
散， ｉ 不 在， 而 坚 一 存 故 级 发 若∑ ｃ 敛 ， 则ｌ 存 从 ｚ 在。 原 数 散。 不 ＾ 于Ｓ 则 收 由 ＝０得 ：ｉ ｒ ２ ｌ ￥ ａ ¨ 。２ Ｓ 故 交 级 收 ’ ｕ） ， 原 错 数 致。
∞ ＿ ＿ ∞
萎（） 对 敛。 ．¨ 绝 收 １
ｎ －Ｉ
＾＝ 。 Ｉ
。
＾０ ＿
例判 数 ）ｒ 的散 例判级 至１－ 敛性 ３断 ＾ Ｖ ∑ － 竺 （ ‘ － ：
． ．
‘
＾ －∞
１ （－ ｉ １ ｍｎ
一
ｎ ｔ ２＿ ｉ ｍ …
１
数‘
，
即 Ｕｎ砉 －）ａ｛ Ｕ １＋ （“ １ －１ 州 ｒ ￣Ｕ ： ｎ
＝０ ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛。
”
ｒａ
： ．
， ，
＂ ＋ ） 与 １ ＋ …＋ ， 这
、
发散矛盾 。从而可知
ｎ
＾ ４ｎ －）
当判断的交错级数中的 Ｕ 具有下面的形式之一 ： （ ） １ 含有连乘积的商 ； （ ） ２ 含有阶乘项与因式ｎ 次方 的乘积之商等等 ，用此判别法较为方便。特别 当ｒ 时 ，这正是拉贝判别法 ，从而∑ｌ１ ＝ 收 ＞１ （） ｌ ∑ － Ｕ 敛，
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
2 an 1
2 an ，亦即 a n an 1 ，数列 { an } 单调递增。 a1
2 2 ，归纳假设
a n 2 ，则 an 1
2 an
2 2 2 ，数列 { a n} 有上界。由单调有界定理知数列 { an }
收敛，设
lim
n
an
A ，对等式 an 1
2 an 两边取极限有
A lim a n 1 lim 2 a n
若 | u n | 收敛，
n1
则 u n 绝对收敛；若 | u n | 发散，转入第三步。
n1
n1
（3）最后讨论 u n 的敛散性， 可能用到交错级数的莱布尼兹定理。 若 u n 收敛，则 u n
n1
n1
n1
条件收敛；若
u n 发散，当然
u n 发散。
n1
n1
例题
1. 设
为常数，判定级数
n
1
[
sin n
n1
n1 np
n 发散。
注： n 1 n
1 ，n1 n
n1 n
1 n1 n
6. 设 a0 0 ， an 1
2 an ， n 0,1,2, ，讨论级数 ( 1) n 1 2 an 是绝对收敛、
n1
条件收敛还是发散
解： a 0 0 ， a1
20
2 a0 ，归纳假设 0 a n 1 an ，则 2 an 1 2 a n ，
n
an
（1）若 | r | 1 ，则由比值判别法知
| a n | 收敛，故 a n 绝对收敛，与题设条件矛盾。故
n1
n1
| r | 1。
（2）若 | r |
1， lim | an 1 | | r |
交错级数的敛散性
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浅析交错级数的莱布尼兹判别法
1.交错级数
（1）定义：如果级数各项的正负号是交错的，则称该级数为交错级数。
（2）形式：1234u u u u -+-+ 或1234u u u u -+-+- ，其中，1234,,,,u u u u 均为非负数。
2.敛散性的判断方法
关于交错级数1
(1)n
n n u ∞=-∑的收敛，有如下莱布尼兹判别法：定理：如果交错级数1(1)n n n u ∞
=-∑满足如下条件：
1）1(1,2,3)n n u u n +≥= ；
2）lim 0n n u →∞
=；则级数1(1)n n n u ∞=-∑收敛。
3.级数1(1)n
n n u ∞=-∑敛散性的判断步骤1）绝对收敛
1n n u
∞=∑是正项级数，若收敛，则原级数绝对收敛，若发散，则判断条件收敛；
2）条件收敛
1(1)n
n n u ∞=-∑收敛，则原级数条件收敛；1(1)n
n n u ∞=-∑发散，则原级数发散。
4.例题（1）判断级数1
1(1)n
n n ∞=-∑的敛散性。
解析：1）绝对收敛：1
1n n ∞=∑发散，则判断条件收敛；2）条件收敛：111n n >+，1lim 0n n →∞=满足莱布尼兹判别法，则该级数条件收敛。