一般级数的审敛法
微积分公式手册
导数公式:(tgx)f = sec2 % (ctgx)f = -CSC2X (SeCXy = SeC X ∙%gx (CSCXy =-cscx∙ CtgX (a x), = a x lna(Ioga X)' = -γ-xlna (arcsin x)' = / 1Nl-X2 / V 1 (arccosx)=——1=/ 、， 1 {arctgx)=-―-1 + x, 、, 1 {arcctgx)= -------- --1 + x 微积分公式基本积分表：^tgxdx = - ln∣cosx∣ + Cdx = ln∣sin x∣ + Cʃsee xdx = ln∣sec x + ⅛Λ∣+C ʃese xdx = ln∣csc x -c⅛x∣ + C P ax f 2 j ∕-ι---- -= sec xdx = tgx j cos X Jr ax f 2 j「-= esc xdx = -ctgx + C J sin x JJsecx√gΛzZx= SeCX +Cdx2a +x'dx2 x -a,2∣∙ dxJ -2 2J a -xdx2 -X2Leg-a a1 1x — a C —— ----- +C 2a x + a1 1 a + x C —— ----- + C 2a a-x•X C =arcsin—+ C2a ʃese x ∙ ctgxdx = - esc x + C∖a x dx = ———I-CJ InQ^shxdx = chx +Cfc/zxt/x = ShX +Cπ2^ π2^I n= ∫sinπXdX= ∫cos n xdx =F1n-2n_________ ____________________ 2 __________ JJ/ + 〃2 dχ = — NX2+ ɑ` + In(X + Jx.+ a?) + CI_________ U I __________________ C 2 I _________JJχ2 —a1dx = jʌ/ɪɪJΛ∕G,2 -X2dx= ɪvɑɪ三角函数的有理式积分：2_____ 22 a . 工 .-x H ----- arcsin—+ C. 2ιι 1 — U2 smx = ------ -, cos% =------- y1 + 〃 1 + w7 2duax = ---- -I + /l-x2和差角公式： •和差化积公式：sin(a ± /?) = SinaCOs 〃 ± cos a sin β COS(O ±β) = cos a cos β μsina sin βfg(a±0 =产吗 lμtga -tgβ ct g (a±^=ctga -ctgβμi ctgβ±ctgasin a + sin 尸=2 sin ，+ 2 cos —~~—2 2• ∙ n ɔ a-∖-β . a -βsin a-smp =2 cos ------- - sin ....... -2 2 o C CC + βCC- β cos a + cos p = 2 cos --- - cos ....... -2 2 .a-∖- β . a — βcos a - cos p = 2 sin ------ sin -------2 2一些初等函数: 两个重要极限:双曲正弦：MX=e 1 2 双曲余弦:MX= e'+e '2 r/y Y PX -f> ~x双曲正切：防X =更竺=chx e x +e xarshx = ln(x + √x 2 +1) archx = ±ln(x + √x 2 -1) Iim x→0sιnx =1lim(l + ⅛ = e = 2.718281828459045 (x)→∞ x三角函数公式:•诱导公式：•倍角公式:Jl•反三角函数性质： arcsinx = ------ a rccosx2高阶导数公式——莱布尼兹(LeibniZ)公式:（MV ）⑺=£c ；a （T ）v ⑹ k=0=+ + 〃（〃 T ）M （"-2）V 〃 +A + 〃（〃 T ）A （〃T +1） Ii fG ） +A+uv wk ∖中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：/(⅛)-∕(α) = ∕W(⅛-α) 柯西中值定理：‘3卜=/地F(b)-F(a) Pe)当F(X) = X 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
第三节 一般常数项级数
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
x 的敛散性。 的敛散性。 n
∞
n
高等数学
xn xn | , 记 un = | 解： 考察正项级数 ∑ | |, n n=0 n
n→ ∞
lim
un +1 un
则交错级数收敛，其和 s ≤ u1 , 余项满足 | Rn | ≤ un+1 则交错级数收敛， 4. 检验条件（1）常用的方法 检验条件（ ）
un+1 是否成立？ ≤ 1 是否成立？ （1）比值法： 考察 ）比值法： un 是否成立？ （2）差值法： 考察 un+1 un ≤ 0 是否成立？ ）差值法：
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定理7（莱布尼兹定理） 定理 （莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
高等数学
∑ (1)
∞
n1
= u1 u 2 + u 3 u 4 + L + ( 1) n1 u n + L un
满足条件： 满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
原级数绝对收敛， 从而收敛， 当 | x | < 1 时，原级数绝对收敛， 从而收敛，
xn 发散，且是用比值法判别的， | x | > 1 时， ∑ | | 发散，且是用比值法判别的， n n =1 xn 所以原级数 ∑ n =1 n
∞
∞
发散。 发散。
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例3：判定级数 ∑ ：
∞
一般项级数
vn 收敛, 即级数(7)是绝对收敛的.
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第三步 证明绝对收敛级数(7)的和也等于S. 根据第 一步的证明, 收敛的正项级数重排后和不变, 所以先
要把一般项级数(5)分解成正项级数的和. 为此令
pn
un
un , 2
qn
un
un . 2
(8)
当 un 0 时, pn un 0,qn 0;
一、交错级数 二、绝对收敛级数及其性质 三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
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一、交错级数
若级数的各项符号正负相间, 即
u1 u2 u3 u4 (1)n1 un
(1)
(un 0, n 1, 2, ), 则称为交错级数.
定理12.11 (莱布尼茨判别法) 若交错级数(1)满足:
n 1
n 1
推论 :当 un 时, n 1
un的和数s 它的所有正项组成的级数的和数,
n 1
减去它的所有负项的绝对值组成的级数的和数.
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例1 级数
n 2
n1 n!
2!
n
n!
的各项绝对值所组成的级数是
n
2
n
.
n!
2!
n!
应用比式判别法,对于任意实数 ,都有
lim un1 lim 0,
u n n
n n 1
因此, 所考察的级数对任何实数 都绝对收敛.
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注: (1).定理12.12的作用,
一般项级数
正项级数
(2)定理12.12的逆定理不真, 例如 :
数项级数及审敛法
级数收敛 ;
级数发散 .
从而
例5. 讨论级数
的敛散性 .
解:
根据定理4可知:
级数收敛 ;
级数发散 ;
对任意给定的正数
*定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法)
设
为正项
则
证明提示:
即
分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
级数, 且
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
(2) 当 且 收敛时,
(3) 当 且 发散时,
也收敛 ;
也发散 .
注:
1) un , vn均为无穷小时, l 的值反映了它们不同阶的比较.
的敛散性.
～
例3. 判别级数
的敛散性 .
解:
根据比较审敛法的极限形式知
例4. 判别级数
备用题
1. 判别级数的敛散性:
解: (1)
发散 ,
故原级数发散 .
不是 p–级数
(2)
发散 ,
故原级数发散 .
2.
则级数
(A) 发散 ; (B) 绝对收敛;
(C) 条件收敛 ; (D) 收敛性根据条件不能确定.
分析:
∴ (B) 错 ;
又
C
胞体的直径相差很大，4-150μm， 细胞体是神经元营养、代谢的中心。
则级数
收敛 , 且其和
其余项满足
证:
是单调递增有界数列,
又
故级数收敛于S, 且
故
收敛
收敛
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
收敛
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
正项级数及其审敛法
n
n
∴ 原级数发散.
(2)
lni mn2
n2 1 n1
∴ 原级数收敛.
3、比较审敛法3 (比阶审敛法)
设an和bn均为正项 , 级数
n1
n1
通 项 an和bn均 为 n时 的 无. 穷 小
(1) 当an 为bn 的同阶或高阶无穷, 小时
由bn 收敛可推出an 收敛.
n1
n1
(2) 当an 为bn 的同阶或低阶无穷 , 小时
n 1
1,
而 1发散,
n1n
∴ 原级数发散.
n
1
(2)
lim
n
n2
n 1
1
ln im n2
n2 n1
1,
n2
而
1
n1n2
收敛,
∴ 原级数收敛.
1
(3)
lim
n
4n
1
3n
4n
lim
n
1
1
3 4
n
1,
而
1
n14n
收
敛,
∴原级数收敛.
推论(比较审敛法 2)：
设 级 数
n 1
an为 正 项 级 数 ，(1)若
n1
若极 ln i m na 限 n有确,定 则意 有义
(1) 当 0 1 时, 级数收敛 ；
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
当一般nn项 ,an等 ln 中 i m nan 含 易有 求 级的 数 常用根. 值审敛法
例:1)判
定
级 1数 的 n1nn
n1
思 路 ： 构 造 一 个 单 调 递 减 函 数 f(x)， 使 得 f(n)an
高等数学级数的概念和敛散性
( 3 ) 1 x x 2 ( 1 ) n 1 x n 1
( 4 ) c x c o 2 x o c s 3 x o s c n s o x
上述数列中, (1)、(2)是数项级数，(3)、(4) 是函数
项级数.
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4
第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
而级数 1 发散 ,
n1n1
级数
1
发散 .
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n1 n(n1)
17
第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
[例4] 判断下列级数的敛散性:
2.
1
n1 n(n 1)
解
1 n(n1)
1 n2
,
而级 n 1n 1数 2是 p级，数 p21时收 , 敛
级数
1 收敛 .
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例 u n22 ( n1)n2 3 nvn,
级n 数 1unn 122 ( n1)n收,敛
但 uu nn 122(2 ( ( 1)1n)n 1)an,
lnima2n
1, 6
ln ima2n1
3, 2
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limun1 u n
n
ln i man不
存.
在
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第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
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第八章 无穷级数
课题二十三 级数的概念和敛散性
5.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：
设
un
n 1
是正项级数,如果 lim un1 u n
n
(为常数或 ) ,则有
(1) (2) (3) 能发散.
泰勒公式判断级数敛散性的方法
教学方法课程教育研究学法教法研究 123引言大学数学课程中，级数部分是该课程知识体系中重要的组成部分。
数学专业的后续课程，如《复变函数论》等都和级数有密切的关系，对于工科的学生来讲，傅立叶级数和傅立叶变换主要应用在信号分析领域，包括滤波、数据压缩、电力系统的监控和电子产品的制造等领域，因此级数和这些内容的相应的课程紧密相关。
作为函数项级数基础的数项级数部分自然尤为重要。
判断数项级数敛散性是学习级数的重要环节，关系到后面各类函数项级数的学习。
数项级数敛散性的判断如果掌握了一些特定的技巧，则可以帮助我们巧妙地解决这个问题。
关于数项级数敛散性的判断，有一些基本方法，如：敛散性的定义、级数收敛的必要条件、比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法等，这些方法针对一些特定形式的级数敛散性判断都非常有效，该部分在文献[4]中有详细讲解，这里不再赘述。
但是，这里存在的普遍问题是，以上方法只是针对一些特定形式的数项级数能够确定其敛散性，对于一般级数的问题，需要探索新的方法，比如对于交错级数，只有级数满足Leibniz 定理[4]的两个条件时，才能判断它是收敛的，显然这个方法有一定的局限性。
泰勒公式是高等数学课程中一个功能强大的工具，我们熟知的在近似计算、误差估计、极限计算等方面都有广泛的使用[3]。
用泰勒公式判定级数的敛散性在一些文章已有所提及[5],但这些论证没有深入挖掘它的奇妙之处及具体使用方法。
下面，本文将论证用泰勒公式判定级数的敛散性的方法：：该等式称为按的幂展开的带有拉格朗日型余项的n 。
2.在几类基本初等函数中，幂函数是形式简单，容易确定极限的一类函数，借助泰勒公式可以把各类函数转化为幂函数的问题。
泰勒公式中，参照点取零，展开式各项都是关于的幂函数，余项是当变量趋向零时的无穷小量，这样无论原始级数什么形式都可以通过幂函数的次数判断该项的敛散性。
以下通过三个实例分别说明用泰勒公式判别交错级数、任意项级数、正项级数的敛散性的方法。
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1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故 当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
定理 如果任意项级数
n 1
则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的 和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛 也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛 级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何 事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1
sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.
例4 判定下列级数是否条件收敛？是否绝对收敛？
（） 1
加，于是分别有：
u1v1 + u1v2 + u2v2 + u2v1 + u1v3 + u2v3 + u3v3 +
和
u1v1 + u1v2 + u2v1 + u1v3 + u2v2 + u3v1 +
定理12.14 (柯西定理) 若级数(1)（2）都绝对 收敛，则对（3）中所有乘积 ui v j 按任意顺序排列 所得到的级数 wn也绝对收敛，且其和等于 AB .
v n收敛,
n 1
又 un ( 2v n un ),
un 收敛.
n 1
n 1
n 1
上定理的作用：
任意项级数
正பைடு நூலகம்级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1
n 1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
证：以v1 1 , vk k k 1 (k 2,3, , n)分别乘以
k (k 2,3, , n), 整理后就得所要证的公式。
推论 （阿贝尔引理）若 （ 1 ） 1 , 2 ,
, n 是单调数组；
（2）对任一正整数 k (1 k n) 有 | k | A, 则记
n 1
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 引理（分部求和公式）设 i , vi (i 1,2, , n)为两组 实数，若令 k v1 + v2 +
n
+ vk (k 1,2, , n)
则有如下分部求和公式成立：
v (
i 1 i i
1
2 ) 1 + ( 2 3 ) 2 + + ( n1 n ) n1 + n n
2. 级数的乘积 设
u v
n
u1 + u2 + v1 + v2 +
+ un + + vn +
A B
(1) (2)
n
为收敛级数，他（1）与（2）中每一项所有 可能的乘积列成下表： u1v1 u1v2 u1v3 u1v n
u2 v1 u2 v2 u3 v1 u3 v2
u2 v3 u3 v3
证明
un1 un 0,
s2n (u1 u2 ) + (u3 u4 ) + L + (u2n1 u2n )
数列 s2 n是单调增加的 ,
又 s2n u1 (u2 u3 ) L (u2n2 u2n1 ) u2n
u1
n
数列 s2 n是有界的 ,
un un+1
n 收敛。 （* * ） 2 n +1
（） 2 1 n1
1
n+1 n
解
un
1
n 1
1 1 n+1 n 2 n n+1 + n
n 1
而
2 n
发散 ，所以 un 发散
n 1
从而 1
1
n+1
n 非绝对收敛
k 1
n
| (1 2 ) + + ( n1 n ) | + A | n | A | 1 n | + A | n | A(| 1 | +2 | n |) 3 A
以下讨论级数
a b
n 1
n n
a1b1 + a2b2 +
+ anbn +
un +1 n ( 3) lim lim x | x | n un n n + 1
则当| x | 1时，级数收敛；当| x | 1时，级数发散， 而 x 1时，级数是否收敛取决于 为何值.
绝对收敛级数的两个重要性质
1. 级数的重排 定义:把正整数列{1, 2, , n } 到它自身的一一映射
u2 vn u3 vn un vn
un v1 un v2 un v3
u1v1
u1v2
u1v3 u2 v3 u3 v3
u1v n u2 vn u3 vn un vn
u2 v1 u2 v2 u3 v1 u3 v2
un v1 un v2 un v3
这些乘积 ui v j 可以按各种方法排成不同的级数， 常用的有按正方形顺序或按对角线顺序依次相
又 lim un lim
n
n
n+1 n
lim
n
1 n+1 +
n
0
1 un n + 1 n n+1 + n
1 un +1 n+1 + n+ 2
故：原级数条件收敛。
( 1)n 例5 判定级数 是否条件收敛？ n 1 n ln n
是否绝对收敛？ 解
n 1
un u1 + u2 + L + un + L
un + 1 lim （其中 可以为 + ） n un
n 1 n 1
满足条件
则当 1时，级数 un 收敛，且绝对收敛； 当 1时，级数 un 发散
例 6 判别下列级数的收敛性:
1 1 , 而 1 发散, n ln n n n1 n
( 1) 1 发散, n1 n ln n n1 n ln n n
即原级数非绝对收敛．
( 1) 是交错 级数, n1 n ln n
n
由莱布尼茨定理：
ln n ln x 1 lim lim lim 0, n + n x + x x + x 1 1 lim lim n 0, n + n ln n n + ln n 1 n f ( x ) x ln x ( x 0), 1 f ( x ) 1 0 ( x 1), x
un+1 1)un+1 un 0； 2） 1； un
3）相应函数的单调性 .
二、绝对收敛与条件收敛
1. 绝对收敛和条件收敛:
任意项级数的各项取绝对值 任意项级数 正项级数 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
问题: 如何研究任意项级数的敛散性问题？
任意项级数的敛散性
1. un绝对收敛： un 收 敛 ；
xn (1) ; n 0 n!
2n x (2) ( 1)n ; ( 2n)! n 1
(3)
n 1
( 1)L( n + 1)
n!
xn
解
un +1 | x |n +1 n! | x| (1) lim lim lim 0 n n un n ( n + 1)! | x | n n + 1
n un lim 2 0 解 又 lim n n n + 1 x 设f ( x ) ( x 1) 2 1+ x
则 f ' ( x)
1 + x
1 x2
2 2
0( x 1)
f ( x )在[1， + ）上单调递减
由莱布尼兹判别准则， 1
1 n 1
则此级数对一切 x ( x + ) 绝对收敛
un + 1 ( 2n)! ( 2) lim lim | x |2 n un n ( 2n + 2)! 1 lim | x |2 0 n ( 2n + +2)( 2n + 1)