量子力学第四章习题

4-18 如果算符βα

ˆ,ˆ满足下列对易规则：1ˆˆˆˆ=-αββα，求证：1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα（n 为正整数）。

4-19 参考矢量情况下的斯密特正交化步骤，试阐述由属于同一本征值而并一定正交的本征函数构成正交函数的方法。

4-20 有两个归一化的但不是正交的波函数1φ及2φ，⎰

=αφφdt 2*1（实数），10<<α，试将1φ及2φ进行叠加组成两个正交归一化的函数1ψ及2ψ。

4-21 证明一维谐振子不管处于哪一个定态，它的动量都没有确定值。

4-22 电子在原子大小范围（数量级为10-10m ）内运动，试用测不准关系估计电子的最小能量。

4-23 质量为m ，速度为v ，能量为E=1/2mv 2的粒子沿x 轴方向运动，其位置测量的误差为x ∆，设v x t /∆=∆，试由测不准关系 2

1≥∆⋅∆p x ，导出能量和时间的测不准关系 2

1≥∆⋅∆t E 4-24 求证力学量x 与F( p x )的测不准关系x

p F F x ∂∂≥∆⋅∆2))()((2/122 4-25 设),(ˆp x F 是x ，p 的多项式，证明[]x F i F p ∂∂-=ˆˆ,ˆ ，[]

p F i F x ∂∂=ˆˆ,ˆ 4-26 计算：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡r r p r p r p r p ˆ,ˆ,1,,ˆ,ˆ,1,ˆ2222 。 4-27 设算符B A

ˆ,ˆ不可对易，[]c B A ˆˆ,ˆ=，但C ˆ和A ˆ及B ˆ可对易，即[][]0ˆ,ˆ,0ˆ,ˆ==C B C A ，试计算：[][][])ˆ(,ˆ,,ˆ,ˆ,ˆˆB f A

e A B A B n λ 。其中n 为正整数，λ为参变量，

f 为任何可以表示为正幂级数的函数。 4-28 设算符B A ˆ,ˆ不可对易，[]

c B A ˆˆ,ˆ=但C ˆ和A ˆ及B ˆ可对易，即[][]0ˆ,ˆ,0ˆ,ˆ==C B C A ，试证Glauber 公式：C A B C B A B A e e e e e e e ˆ

2/1ˆˆˆ2/1ˆˆˆˆ==-+ 。 4-29 证明：[][][][][][]

++++=-A B B B A B B A B A e A e B B ˆ,ˆ,ˆˆ!31ˆ,ˆ,ˆ!21ˆ,ˆˆˆˆˆ （提示：考虑B B e A

e f ˆˆˆ)(λλλ-=按λ展开，然后令=1） 4-30 设B A ˆ,ˆ与[]B A ˆ,ˆ对易，证明[][]B A B n B A n n ˆ,ˆˆˆ,ˆ1-= ， [][]

B A A n B A n n ˆ,ˆˆˆ,ˆ1-=

4-31 设B A ˆ,ˆ与[]

B A ˆ,ˆ对易，证明[]B A B A B A e e e ˆ,ˆ21ˆˆˆˆ++= （提示：考虑[]

f B A d df 证明e e e f B A B A ˆ,ˆ)()ˆˆ(ˆˆλλλλλλ==+- ，然后积分） 4-32 证明下列几个关于厄米算符的定理：（1）在任何定态下，厄米算符的平均值都是实数。

（2）在任何态下。平均值均为实数的算符必为厄米算符。

4-33 证明几个关于一维定态薛定谔方程的定理：（1）对于一维定态薛定谔方程，如果1ψ和

2ψ是属于同一个本征值E 的两个独立的解，则C x x x x ='')()(-)()(122

1ψψψψ（常数）。 (2)对于一维束缚态，所有能级都是非简并的。 (3)对于一维定态问题，如果U(x)为x 的偶函数，则任何一个束缚态)(x E ψ都有一定的宇称性。

4-34 用测不准关系估计原子核中核子（质子和中子）的动能的数量级。曾经设想电子也是原子核的构成单元之一，试利用测不准关系判断这个设想是否正确。

4-35 对于H ˆ的任何一个本征束缚态n

n E ,ψ，证明公式λ

λ∂∂=∂∂n E H ，其中λ为包含在H ˆ中的任何一个常数（,m ， 等等）。 4-36 对于一维谐振子，证明m

p U 22

= 4-37 质量为m 的粒子在中心势场0

ln )(r r c r U =中运动，证明：（1）对所有的束缚态2ν相同，并求出2

ν。 （2）任何两个能级的间隔与质量m 无关。 4-38 给定z

L A m p H ˆ2/ˆˆ2+=，下列力学量中哪些是守恒量？z y x L L L L p p p p H z

y x z y x ,,,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ,ˆ22 4-39 证明定理：设体系有两个守恒量B A

ˆ,ˆ，但[]0ˆ,ˆ≠B A ，则一般说来，体系的能级是简并的。

4-40 在一维无限深势阱中，已知阱宽为a ，试用测不准关系估算零点能。