高等数学微分方程试题

第十二章 微分方程

§12-1 微分方程的基本概念

一、判断题

1x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( )

2(y '')3是二阶微分方程。 ( )

3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )

4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）

5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ）

二、填空题

1. 微分方程.(76y)0的阶数是 。

2. 函数34 微分方程的解。

3. 积分曲线(12)e x 2中满足0=0, y '0=1的曲线是 。

三、选择题

1．下列方程中 是常微分方程

（A ）、x 222 (B)、 0)(arctan =x e dx

d (C)、22x a ∂∂22y a ∂∂0 （D ）、y ''22 2.下列方程中 是二阶微分方程

（A ）（y ''）2y '2=0 (B) (y ') 2+3x 23 (C) y '''+3y ''0 (D)y '2

3.微分方程22dx

y d 20的通解是 其中12均为任意常数 （A ） (B) (C)12 (D)

4. C 是任意常数，则微分方程y '=323y 的一个特解是

（A ）(2)3 (B)3+1 (C) ()3 (D)(1)3

四、试求以下述函数为通解的微分方程。

1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）

五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。

12-2可分离变量的微分方程

一、求下列微分方程的通解

1．220

2．(2)(x2)0

3．()()0

4．y'().(提示令)

二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解

π

1．(1)0. 0=

4

2.

1.1sec 232-==+=πx y xdx dy y x

三 、设f(x)⎰x

0(u)(x)是可微函数，求f(x)

四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。

五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。

12-3 齐次方程

一、求下列齐次方程的通解

1 y x '0=x y

2 ()x y x

y 0

二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解

1．ax dy 22 2e 22(2)01=1

三、求方程：（1）(1)的通解

四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ⋂对于A O ⋂上任一点

P （x ，y ）,曲线孤与P O ⋂直线段OP -所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ⋂

的方程。

12.4 一阶线性微分方程

一、求下列微分方程的通解

1y ' 2y '2x

3y '

x x y x sin 1= 4.y e y x y dx dy 3+=

二、求下列微分方程满足初始条件的特解

1．y ' y

40π==x 2.(21)y '24 y 00==x

三、已知f(π),曲线积分b a ⎰[]dy x f dx x

y x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).

四、质量为M 0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。

五、 求下列伯努利方程的通解

1．y ′+

x y x

=12y 5 2. ′20

12-4全微分方程

一、求下列方程通解

1．[(2)+3y][2(2)+3x]0

2.()0

3(2y)0

二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解

1 20

2 y(2)0

三、[()(x)y][f(x)2y]0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。

一、求下列各微分方程的通解

1．y '' 2. y ''y '

3y ''(y ')2=y ' 4. y ''(1)y '0

二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解

1．2y ''2y y

20π==x y '10==x

2. y ''y 'y 'y '0 y

21==x y '21e x ==

三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f '(x)-0)()(21=-⎰dt t t f x x f x ,求f(x).

四、一物体质量为m,以初速度从一斜面上滑下，若斜面的倾角为α，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。

一、选择题

1．下列方程中 为线性微分方程

（A ）（y '）y ' (B)y x y y =-'2

(C) x e y x

y x y =+'-''22

2 (D)y xy y y cos 3=-'-'' 2.已知函数y 1=221

x x e +，y 1=221

x x e -，y 3(

2)1x 则 （A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关

（C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关

3．若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ''(x)y '+4(x)0两个特解，c 1c 2为任意常数，则1y 12y 2

(A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解

（C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解

4．下列函数中哪组是线性无关的

（A ）, 2 (B)1， (C)x, 2x (D)x , 2

二、证明：下列函数是微分方程的通解

11x 22x 2(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y ''-3y '40的通解

212e x e x +2

(c 1c 2是任意常数)是方程2x e y y 2='+'''的通解

三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)y 2(x)3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：

)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=

四、试求以1(1c x

2)+2x e (c 12是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。

12-9 二阶常系数齐次线性微分方程