高等数学同济大学下第125全微分方程

同济大学《高等数学》第五版下册习题答案

练习 12-6
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练习 8-6
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总习题八
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练习 12-4
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同济版大一高数下第七章第六节全微分方程xg

2 2
x2 2 xy 3 dx − 3 x 2 y 2 dy d( 3 ) = y y6
7
常用微分倒推公式: 常用微分倒推公式
1) d x ± d y = d ( x ± y ) 3) xd x + yd y = d (
1 (x2 2
2) xd y + yd x = d ( x y )
+y ))
2
= d(
x2 + y2 )
8
思考: 思考如何解方程
∂P ∂Q Q =1 = −1 ∂y ∂x
1 这不是一个全微分方程 , 但若在方程两边同乘 2 , x 就化成例2 的方程： 2
即
1 2 y d ( x ) − d ( ) = 0, 2 x
或
1 2 y d ( x − )= 0 2 x
9
二、积分因子法
为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) . 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数, 则 ① 为全微分方程求解步骤: 1. 求原函数 u (x, y) 方法1 凑微分法; 方法2 利用积分与路径无关的条件. 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .
3
例1. 求解
yd x − xd y x 7) = d ( arctan ) 2 2 y x +y
11
例1：求下列微分方程的通解 1. yd x − xd y = yd y
y 解法1：解法：写成全微分方程的形式： d x − ( x + y )d y = 0 ∂P ∂Q 由于 Q =1 = −1 原方程不是全微分方程 ∂y ∂x yd x − xd y x 1 Q = d( ) 在方程两边同时乘以 2 2 y y y x yd x − xd y d y 即 d = d (ln y ) 得： = y y y2

同济大学《高等数学(下)》模拟试卷(二)及参考答案

同济大学模拟试卷课程名称高等数学（下）姓名学号适用专业考试形式闭卷考试时间 120分钟一．填空题（每空3分，共15分）（1）函数z =的定义域为；（2）已知函数xyz e =，则在(2,1)处的全微分dz = ；（3）交换积分次序，ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰＝；（4）已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧，则=⎰；（5）已知微分方程20y y y '''-+=，则其通解为 .二．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩，平面π为10x y z --+=，则L 与π的夹角为（）；A. 0B. 2πC. 3πD. 4π（2）设(,)z f x y =是由方程333z xyz a -=确定，则z x ∂=∂（）；A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xyz xy -（3）微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=（）；A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ （4）已知Ω是由球面2222x y z a ++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为（）；A2220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.200ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰（5）已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑，则其收敛半径（）.A. 2B. 1C. 12D.三．计算题（每题8分，共48分）1、求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .2、已知(sin cos ,)x yz f x y e +=，求zx ∂∂， z y ∂∂ .3、设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤，利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .4、求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 5、利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰，其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（6'）判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（4'）在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰，∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学（下）模拟试卷二参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、 222{(,)|4,01}x y y x x y ≤<+< 2、222e dx e dy + 3、10(,)y eedy f x y dx⎰⎰4、11)12 5、12()xy C C x e =+二、选择题：（每空3分，共15分） 1. A 2.B 3. B 4.D 5. A三、计算题（每题8分，共48分）1、解： 12(0,2,4){1,0,2}{0,1,3}A n n →→==- 2'1210223013ij ks n n i j k →→→→→→→→→=⨯==-++- 6'∴直线方程为24231x y z --==- 8' 2、解：令sin cos x yu x y v e +== 2' 12cos cos x yz z u z v f x y f e x u x v x+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂ 6' 12(sin sin )x yz z u z v f x y f e y u y v y+∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=⋅-+⋅∂∂∂∂∂ 8'3、解：:0014D r πθ≤≤≤≤， 3'21400arctan 64D Dy dxdy r drd d rdr x ππθθθθ∴===⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 8' 4．解： (,)260(,)10100x y f x y x f x y y =-=⎧⎪⎨=+=⎪⎩ 得驻点(3,1)- 4' (,)2,(,)0,(,)10xx xy yy A f x y B f x y C f x y ====== 6'220,200A ACB =>-=>∴极小值为(3,1)8f -=- 8'5．解：sin 2,cos 2x x P e y y Q e y =-=-，有cos 2,cos ,x x PQe y e y yx ∂∂=-=∂∂2'取(2,0),:0,A a OA y x =从02a → 4'L OA Pdx Qdy Pdx Qdy +++⎰⎰2()2D D Q P dxdy dxdy a x y π∂∂=-==∂∂⎰⎰⎰⎰ 6'∴原式＝2a π－OA Pdx Qdy +⎰＝220a a ππ-= 8'6．解：321,(1)1P Q x x =-=++ 2'∴通解为113()()112[()][(1)]dx dx P x dxP x dxx x y e Q x e dx C e x e dx C --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰ 4'13222(1)[(1)](1)[(1)]3x x dx C x x C =+++=+++⎰ 8'四、解答题1、解：（1）令1(1)2sin 3n n n n u π-=-1112sin23lim lim 132sin 3n n n n n n n nu u ππ+++→∞→∞==<4' 12sin 3nn n π∞=∴∑收敛， 11(1)2sin 3n n nn π∞-=∴-∑绝对收敛 6' （2）令1()n n x s x n ∞==∑1111()1n n n n x s x x n x ∞∞-=='⎛⎫'===⎪-⎝⎭∑∑， 2' 0()()(0)ln(1)xs x s x dx s x '⇒=+=--⎰ 4'2、解：构造曲面1:1,z ∑=上侧122xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy∑∑+++++⎰⎰⎰⎰ 2'22110(211)44r dv dv d rdr dz πθΩΩ=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1208(1)2r rdr ππ=-=⎰4' 6' 8'122I xdydz ydzdx zdxdyπ∑∴=-++⎰⎰ 10'2xyD dxdy ππ=-=⎰⎰ 12'。

高等数学下册-全微分 ppt课件

取 x 1, y 2, x 0.04, y 0.02
1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
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2. 误差估计
利用
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y
( A) f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 连续 ;
( B) f x ( x, y ) , f y ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 的某邻域内存在 ; (C ) z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
当 (x) 2 (y ) 2 0 时是无穷小量 ; z f x ( x, y )x f y ( x, y )y
5. 已知
答案:
作业
P24 1 (3) , (4) ; 8 ; 10 3; 5;
第四节目录
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备用题
证明函数在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连续, 而 f ( x, y ) 在点 (0,0) 可微 . 1 x2 y2 证: 1) 因 xy sin xy 2 x2 y2 所以
x 0 y 0
lim f ( x, y ) 0 f (0,0)
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
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2) f ( x,0) 0 , f x (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0. 3) 当( x, y ) (0,0)时 , 1 x2 y f x ( x, y ) sin 2 2 x y ( x 2 y 2 )3

1.5全微分方程及积分因子 .

2 y
(x,y)
(0,0)
u( x, y )

x 0 x

( x, y)
( 0, 0 )
M ( x, y )dx N ( x, y )dy
y 0
M ( x,0)dx N ( x, y)dy 2 xdx (sin x x e 2)dy
y 2 y
0
0
x y sin x x (e 1) 2 y y sin x x 2e y 2 y.
M ( x , y )dx N ( x , y )dy 0, (1)
(2).
4
为恰当方程的充要条件是
M ( x, y ) N ( x, y ) , y x
常微分方程
绵阳师范学院
u 证明 “必要性” 设(1)是恰当方程, 则有函数 ( x, y ), 使得
u u du( x, y ) dx dy M ( x , y )dx N ( x , y )dy x y
故有
u M ( x , y ), x
2 u M , yx y
u N ( x, y ) y
从而
2 u N . xy x
2u 2u , y x x y
2u 2u 由于和都是连续的从而有 , yx xy
12
常微分方程
绵阳师范学院
(3 x 2 6 xy2 )dx (6 x 2 y 4 y 3 )dy 0 的通解. 例2 求方程
解:
由于M ( x, y) 3 x 2 6 xy2 , N ( x, y) 6 x 2 y 4 y 3 ,
N ( x , y ) M ( x, y) , 12xy x y

高等数学同济大学第七章微分方程-5

0 0
思考题
2x y2 3 x2 是否为全微分方程？ dy 0 方程 3 dx y y4
思考题解答
P 2 x 6x 3 4, y y y y
Q y 2 3 x 2 6x 4, 4 x x y y
u( x , y ) 0 ( x 3 xy )d x 0 y 3dy
3 2
x
y
x4 3 2 2 y4 x y , 4 2 4
x4 3 2 2 y4 x y C. 原方程的通解为 4 2 4
2x y2 3x2 例2 求方程 3 dx dy 0的通解. 4 y y
P Q 全微分方程 . y x
2.解法:
P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0 全微分方程
P Q 法一：应用曲线积分与路径无关. y x
通解为 u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
P 6 x Q 解 4 , 是全微分方程, y y x 1 2x 3x2 将左端重新组合 2 dy ( 3 dx 4 dy ) y y y
2 1 x 1 x d ( ) d ( 3 ) d ( 3 ), y y y y 2 1 x 原方程的通解为 3 C . y y
2
dy x2 x3 y 的通解. 例6 求微分方程 dx 1 x
解1
dy 1 2 y x , 整理得 dx 1 x
公式法:
ye

1 dx 1 x
[ x e
2

1 dx 1 x
Hale Waihona Puke dx C ],x x 通解为 y xy C. 3 4

12-5全微分方程

d(1y)d(xy32)
d(
1 y
x2 y3
),
原方程的通解为
1 y
x2 y3
C.
例3 求微分方程
2 x (1 x 2y)d xx 2y d y 0 的.通
解 2 x d 2 xx x 2 y d x x 2 y d 0 y ,
d ( x 2 ) x 2 y d ( x 2 ) x 2 y d 0 y ,
0
0
x43x2y2y4,
42
4
原方程的通解为 x43x2y2y4C.
42
4
方法二
因为 P6xyQ, 原方程是全微分方程,
y
x
所以
ux33x2,yuy33x2y,
x
y
从而
u (x 3 3 x 2 ) d y 1 x x 4 3 x 2 y 2 (y ) 42
( y) 为任意连续可微函数。而
u y3 3x2y y
所以故
3 x 2 y (y ) y 3 3 x 2 y
( y) 1 y4
4
u1x43x2y21y4 42 4
原方程的通解为 1x43x2y21y4C
42 4
例2 求方 2 yx 3d程 x y2 y4 3x2dy 0的通 .
解 Py 6yx4 Q x, 是全微分方程, 将左端重新组合 y12dy(2yx3dx3yx42dy)
u (x ,y )x (x 2 x 3 y )d xyd,y
0
0
B 凑微分法:
d ( x y d y) d y x 2 d x x x 3 d 0 x ,
dyd(x)ydx3dx40， 34
x3 x4 d(yxy )0.
34

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案1(精品文档)

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x xy x y →→→→→→==⋅=++ 解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f yf y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。