2011年普通高等学校招生全国统一考试北京数学(文)

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2011年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江西卷)文(解析版)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学第Ⅰ卷一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若()2,,,x i i y i x y R -=+∈,则复数x yi +=A ．2i -+B ．2i +C ．12i -D ．12i +【命题立意】本题考查复数的乘法运算及复数相等的充要条件．【思路分析】先计算()1x i i xi -=+，再运用复数相等的充要条件求出,x y . 【解析】由题设得 12,xi y i +=+故2,1x y ==,即x yi +=2+i.故选B. 【方法技巧】两个复数相等的充要条件是两个复数的实部相等，虚部相等.2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于 A ．M N ⋃ B ．M N ⋂C ．()()n n C M C N ⋃D ．()()n n C M C N ⋂ Zxxk 【命题立意】本题考查集合的运算及运算性质．【思路分析】观察到集合{5,6}是集合M 与集合N 的补集，由德摩根公式可得. 【解析】∵{1,2,3,4}MN =，∴()()()(5,6)U U U C M C N C MN ==.故选D.【方法技巧】德摩根公式：(),()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==，灵活应用上述公式可简化集合运算过程. 3.若()()121log 21f x x =+，则()f x 的定义域为A ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ C ． ()1,00,2⎛⎫-⋃+∞⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【命题立意】本题考查对数函数的概念及函数的定义域．【思路分析】确定函数定义域的依据是使解析式有意义.先考虑对数的真数大于零，再考虑分母不为0.【解析】根据题意得210,211x x +>⎧⎨+≠⎩解得1(,0)(0,)2x ∈-+∞.故选C.【误区警示】对于函数的定义域问题，一定要做到全面考虑，如本题容易忽视分母不为0这一隐含条件而造成错解.4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为 A ．1 B ．2 C ．n D ．1n【命题立意】本题考查导数的几何意义．【思路分析】先求导，再求点A （0,1）处的导数值.【解析】xy e '=，故所求切线斜率00| 1.x x k e e ====故选A.【误区警示】对于函数的定义域问题，一定要做到全面考虑，如本题容易忽视分母不为0这一隐含条件而造成错解.5.设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n s 为其前n 项和，若1011S S = ，则1a = A ．18 B ．20 C ．23 D ．24 【命题立意】本题考查等差数列的通项及前n 项和.【思路分析】先求1011100a S S =-=，再利用任意通项公式()n m a a n m d =+-求1a .【解析】由1011S S =,得1011100a S S =-=,110(110)0(9)(2)18.a a d =+-=+--=故选A.【方法技巧】(1)在等差数列{a n }中 ()n m a a n m d =+-;(2)对任意数列{a n },若其前n 项和为Sn,则有11 (1).(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩6.观察下列各式：2749=，37343=，472401=，…，则20117的末两位为 A ．01 B ．43 C ．07 D ．49【命题立意】本题主要考查归纳推理及函数的周期性,考查“观察——归纳——猜想”这一特殊到一般的推理方法.【思路分析】先由数据2749=，37343=，472401=，…猜想∴7n的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，再归纳验证可得结论.【解析】∵ 5716807=， 67117649=，77823543=，875764801=，……， ∴7(,5)nn Z n ∈≥且的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4, 记7(,5)nn Z n ∈≥且的末两位数为()f n ,则(2011)(50147)(7)f f f =⨯+= ∴20117与77的末两位数相同，均为43.故选B.【方法技巧】归纳推理得出7n的末两位数字呈周期性变化，且最小正周期为4,是解决本题的关键.7．为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取50名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为1m ，众数为2m ，平均值为x ,则A ． 12m m x ==B ．12m m x =<C ．12m m x <<D ．21m m x <<【命题立意】本题主要考查频数分布条形图、中位数、众数与平均数，以及识图能力和计算能力.【思路分析】根据频数分布图依次确定12,,m m x 三个数的值，然后比较它们的大小. 【解析】由频数分布图可知,30名学生的得分依次为2个3,3个4,10个5,6个6,3个7,2个8,2个9,2个10.中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数,即1m ＝5.5,5出现次数最多，故2m =5,2334105663728292105.9730x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈.于是得21m m x <<.故选D.【方法技巧】在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数;将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数;n 个数据和的n 分之一叫做这n 个数据的平均数.父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175175176177177A ．1y x =-B ．1y x =+ 学§科§C ． 1882y x =+D ．176y = 【命题立意】本题考查线性回归方程的求法.【思路分析】先求平均数,x y ，再根据线性回归方程的重要性质：点(,)x y 必在回归直线上，代入各选项检验可得.【解析】由表中数据可得176,176x y ==，由线性回归知识知点(,)x y ＝(176,176)一定在回归直线上，代入各选项检验，只有Ｃ符合，故选Ｃ.【方法技巧】本题若直接求线性回归直线方程，则非常繁琐，而充分利用线性回归的性质——回归直线必过样本点(,)x y ，则简便多了,可见，做题时要注意多角度思考，尽量小题小做.9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为【命题立意】本题考查简单组合体的三视图的画法.考查空间想象能力.【思路分析】先考虑到四棱锥的三条可见侧棱，有两条为正方体的面对角线，一条为正方体体对角线，且两条面对角线在右侧面上的投影与右侧面（正方形）的两条边重合，体对角线在右侧面上的投影与为右侧面的对角线. 即只有一条分界线. 【解析】被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（正方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与为右侧面的对角线，对照各图，只有选项D 符合. 故选D.【方法技巧】(1)在三视图中：左视图是光线自物体的左面向右正投影得到的投影图;(2）在画由基本几何体拼接而成的组合体的三视图时，除了要注意三视图的排列规则和特点外，最重要的是看清该组合体由哪几个基本几何体拼接而成,并找准其表面的交线，即分界线.10.如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在Y 轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成【命题立意】本题综合考查三角函数的周期性、解三角形、弧长公式等知识及动手操作能力、创新思维能力.【思路分析】先观察到“中心点”M ，当三段弧的中点落在x 轴上时，h 最小；当点A 、B 、C 落在x 轴上时，h 最大，即“中心点”M 的图像为先低后高，且呈周期性变化，排除选项C 与D.再考虑到“最高点”与x 轴的距离相等排除B.【解析】不妨设正三角形ABC 的边长为a,记“中心点”M 与x 轴的距离为h,记“最高点”与x 轴的距离为h '.由图可知，当三段弧的中点落在x 轴上时，h 最小，此时h=MD ；当点A 、B 、C 落在x 轴上时，h 最大， h=MC,故“中心点”M 的位置为先低后高，再呈周期性变化，排除选项C 与D.当点D 落在x 轴上时, h '=AD,当点C 落在x 轴上时, h '=CF,显然AD ＝CF ，即当“中心点”M 位于最高处时，“最高点”与x 轴的距离相等，显然选项B 不符,故选A.【方法技巧】本题若通过计算进行求解，则运算量较大，故考虑取特殊点逐一排除各选项，这也是破解图象问题的一大绝技，望同学们认真领悟.第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共2页，要用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为3π，若向量1122b e e =-，21234b e e =+，则12b b =【命题立意】本题考查单位向量的概念及向量的数量积. 【思路分析】先计算121e e ==且1212e e =，再计算12b b . 【解析】由题知121e e ==且1212e e =，所以12b b =221122328e e e e -⋅-=132862-⨯-=-.【易错警示】本题属容易题，但对某些粗心的同学来说，也可能“阴沟里翻船”！易错点为：ABCDE F在展开12(2)(e e -1234e e +）时，出现符号性错误，即丢掉或多写了“负号”，而功亏一篑.12.若双曲线22116y x m-=的离心率e=2，则m=____ 【命题立意】本题考查双曲线的有关概念及其性质.【思路分析】先确定此双曲线的半实轴4a =，再确定半焦距8c =，可得m 的值. 【解析】由题知216a =，即4a =，又2e =，所以28c a ==，则2248m c a =-=. 【方法技巧】正确找出双曲线方程中的a 与b 是求解本题的关键所在.一般地，在双曲线的标准方程中，哪个平方项的系数为正数，哪个平方项的分母即为a 2.13.下图是某算法的程序框图，则程序运行后所输出的结果是____【命题立意】本题考查[程序框图的读取及其相关的运算.【思路分析】先考虑循环变量S 和计数变量n 的初始值，再确定循环体及循环次数并计算每次的运算结果，最后确定输出变量S 的值.【解析】第一次：1(01)11S =+⨯=，112n =+=，第二次：来2(12)26,3S n =+⨯==，第三次：3(63)327,4S n =+⨯==，而43n =>，故填27.【方法技巧】【易错警示】本题中的算法结构为循环结构，弄清循环的次数是避开误区，获取正解的关键,由判断框中n>3,可知当n=4时，即结束循环,而n 的初始值为1,步长为1,故循环的次数是4-1=3.14．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若()4,p y 是角θ中边上的一点，且sin 5θ=-，则y=________ 【命题立意】本题考查正弦三角函数的定义.【思路分析】先计算圆的半径r =，再利用正弦三角函数的定义列出方程=求解可得.【解析】r ==,且sin θ=，所以sin y r θ===，∴θ为第四象限角，则8y =-. 【方法技巧】熟记三角函数的定义是求解本题的关键.设任意角α终边上一点P 坐标为（,x y ），它与原点O 的距离为r =sin ,cos y x r rαα==.15．对于x R ∈，不等式1028x x +--≥的解集为________【命题立意】本题主要考查含绝对值不等式的解法.【思路分析】(1)解法1先利用零点分段法去绝对值转化为可求代数不等式求解；（2）解法2利用数形结合思想把代数问题转化为几何问题求解，可事半功倍. 【解析】解法1（零点分段法）：由题可得，10 1028x x x ≤-⎧⎨--+-≥⎩或10 2 1028x x x -<≤⎧⎨++-≥⎩或 21028x x x ≥⎧⎨+-+≥⎩，解得0x ≥.解法2（几何法）：在数轴上令10-为点A ，2为点B ，x 为任取一点P ，要使||||8PA PB -≥，则只需0x ≥.【方法技巧】双绝对值不等式问题常利用零点分段法求解,即通过零点分段法将绝对值问题转化为一般不等式问题去解决,对于一些未知数的系数为±1的双绝对值不等式，也可借助数轴直观求解.三解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（本小题满分12分）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中的3杯为A 饮料，另外的2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料。

2011年高考试题理数(北京卷)含答案

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2011年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学试题 (文科)(解析版)

2011 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
数学文试题解析
注意事项： 1 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置，用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 B 后的方框涂黑。
2 选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。咎在试题卷、草稿纸上无效。
(A)63.6 万元 (B)65.5 万元 (C)67.7 万元 (D)72.0 万元
【答案】B
【解析】由表可计算 x 4 2 3 5 7 , y 49 26 39 54 42 ,因为点 (7 , 42) 在回归直线
4
2
4
2
yˆ bˆx aˆ 上,且 bˆ 为 9.4，所以 42 9.4 7 aˆ , 解得 a 9.1 ,故回归方程为 yˆ 9.4x 9.1, 令 x=6 2
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A 【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.
12.设
A1 A4
A1
，AA1A2，2 (μA∈3 ，R)，A4且是1平面1直角2坐,则标称系中A3两，两A不4 调同和的分四割点A，1 ，若
(D) 若 a2 b2 c2 ≥3，则 a+b+c=3
【答案】A
【解析】命题“若 p ,则 q ”的否命题是“若 p ,则 q ”,故选 A.
第 1页（共 7页）
6.若函数 f (x) sin x
(ω>0)在区间
0,
3
上单调递增，在区间
3
,
2
上单调递减，则ω=（
）

2011年北京高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}{}2|1,P x x M a ==….若P M P = ,则a 的取值范围是（）A ．(], 1-∞-B ．[1, +∞）C ．[11]?-，D ．][1 1-∞-+∞ （，，）【测量目标】集合的基本运算，并集.【考查方式】描述法，列举法表示出集合，根据两集合并集为其中一集合，求参数取值范围. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】2{|1}{|11}P x x x x ==-剟?，[1,1]P M P a =⇒∈- ，选C.2．复数i 212i-=+（）A ．iB ．i -C ．43i 55-- D ．43i 55-+ 【测量目标】复数的代数运算.【考查方式】直接求复数的代数式的值. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】22i 2(i 2)(12i)2i i i 242(1)2412i (12i)(12i)141i ii i 4(1)-----+---+====++----，选A. 3．在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是（）A ．π(1,)2B ．π(1,)2-C ．()1,0D ．(1π)，【测量目标】坐标系和参数方程.【考查方式】给出参数方程，化为圆的标准方程得到圆心，进而得到圆心极坐标. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为0,1-（），极坐标为π(1,)2-，选B.4．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）第4题图A ．3-B ．12- C ．13 D ．2【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】看懂程序框图内的逻辑，代数关系，求值. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】循环操作4次时S 的值分别为11,,3,232--，选D. 5．如图，,,AD AE BC 分别与圆O 切于点,,D E F 延长AF 与圆O 交于另一点G .给出下列三个结论： ①CA BC AB AE AD ++=+； ②AF AG AD AE = ③ADG AFB ∽△△ 其中正确结论的序号是（）第5题图A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【测量目标】圆的性质.【考查方式】给出图形，根据圆的性质，判断命题的正确性. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】①正确.由条件可知BD BF =，CF CE =，可得CA BC AB AE AD ++=+. ②正确.通过条件可知AD AE =.由切割定理可得2AF AG AD AD AE == . ③错误.连接FD ，若ADG AFB ∽△△，则有ABF DGF ∠=∠.通过图像可知 2ABF BFD BDF DGF ∠=∠+∠=∠，因而错误.答案选A.6．根据统计，一名工作组装第x 件某产品所用的时间（单位：分钟）为,()x A f x x A <=…（A ，c 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A的值分别是（） A ．75，25 B ．75，16 C ．60，25 D ．60，16 【测量目标】分段函数，函数的应用.【考查方式】将分段函数应用到实际问题中，进行分段求解. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】由条件可知，x A …时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即(4)3060f c ==⇒=，()1516f A A ==⇒=，选D. 7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（）第7题图A ．8 B． C ．10 D．【测量目标】空间三视图的表面积.【考查方式】已知四面体的三视图，通过三视图还原几何体，求最大面的面积. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由三视图还原几何体如下图，该四面体四个面的面积中最大的是PAC △，面积为10，选C.第7题图8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t ∈R .记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为（）A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,12【测量目标】平行四边形的定义，直角坐标系.【考查方式】根据已给的两点和含参的两点，在直角坐标系中确定平行四边形，得到坐标，求出参数.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】如下图，分别对应点为12，9，11,选C.第8题图第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分. 9．在ABC △中.若b =5，π4B ∠=， tan A =2，则sin A =____________；a =_______________. 【测量目标】正弦定理，同角三角函数的基本关系.【考查方式】给出一角和其对应边的大小以及另一角的正切值，根据正弦定理和同角关系求角A 正弦值和对应边长. 【难易程度】中等【参考答案】5，【试题解析】由tan 2A =⇒sin 12cos sin cos 2A A A A =⇒=，又22sin cos 1A A +=所以 221sin sin 14A A +=解得sin A =55,πsin 4a ==a =10．已知向量a =1），b =（0，-1），c =（k.若2-a b 与c 共线，则k =________. 【测量目标】向量的坐标和线性运算.【考查方式】给出两向量的具体坐标和一向量参数坐标，根据共线关系，求参数值. 【难易程度】容易【参考答案】1【试题解析】2-=a b 由2-a b 与c31k k =⇒= 11．在等比数列{n a }中，1a =12，44a =-，则公比q =______________；12...n a a a +++=____________.【测量目标】等比数列通项以及前n 项和.【考查方式】给出等比数列两项，利用等比数列的通项求公比，继而求出前n 绝对值的和. 【难易程度】中等【参考答案】2-，1122n --【试题解析】由{}n a 是等比数列得341a a q =，又141,4,2a a ==- 所以31422q q -=⇒=-，{||}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，1121||||||22n n a a a -+++=- .12．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有__________个.（用数字作答）【测量目标】排列，组合及其应用. 【考查方式】通过排列组合计算个数. 【难易程度】容易【参考答案】14【试题解析】个数为42214-=.13．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<⎩… 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是_______【测量目标】利用函数单调性求参数的范围.【考查方式】已知函数的解析式和条件，求参数的取值范围. 【难易程度】中等【参考答案】（0,1）【试题解析】2()(2)f x x x=…单调递减且值域为(0,1]，3()(1)(2)f x x x =-<单调递增且值域为(,1)-∞，()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0,1）.14．曲线C 是平面内与两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离的积等于常数2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论： ① 曲线C 过坐标原点； ② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积不大于212a . 其中，所有正确结论的序号是 . 【测量目标】命题的正确性.【考查方式】给出已知条件，判断命题的正确性. 【难易程度】较难【参考答案】②③【试题解析】①曲线C 经过原点，这点不难验证是错误的，如果经过原点，即么1a =，与条件不符；②曲线C 关于原点对称，这点显然正确，如果在某点处212||||,PF PF a =关于原点的对称点处也一定符合212||||;PF PF a =③三角形12F F P 的面积invm S 12=12||||PF PF 121sin 2F PF ∠…12||||PF PF =22a三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数π()4cos sin()16f x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】函数sin()y A x ωϕ=+的图像及其变换，两角和的正弦.【考查方式】将已给的解析式通过两角和的正弦化为sin()y A x ωϕ=+形式，得到周期；根据函数图像及性质求最值.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为π()4cos sin()16f x x x =+-1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x (步骤1) 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=π2sin(2)6x =+（步骤2）所以)(x f 的最小正周期为π（步骤3）（Ⅱ）因为ππππ2π,2.64663x x --+所以剟剟于是，当πππ2,626x x +==即时，)(x f 取得最大值2；（步骤4）当πππ2,,()666x x f x +=-=-即时取得最小值1-.（步骤5）16．（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠= . （I ）求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.第16题图【测量目标】空间中线线，线面，面面的位置关系，二面角，空间向量及其运算. 【考查方式】建立合适的空间直角坐标系，得到各个点的坐标，使立体几何问题成为代数问题，从而证明线面垂直，二面角的余弦值，以及空间内长度. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.(步骤1)又因为PA ABCD ⊥平面. 所以PA BD ⊥.所以BD PAC ⊥平面.(步骤2) （Ⅱ）设AC BD O = .因为602BAD PA PB ∠=︒==，,所以1BO AO CO ===，3.(步骤3)如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,(0,(1,0,0),P A B C .（步骤4）所以设PB 与AC 所成角为θ，则cos ||||PB AC PB AC θ=== . (步骤5)（Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=设(0,),P t （0t ＞），则(1,)BP t =-设平面PBC 的法向量(,,)x y z =m ,则0,0BC BP ==m m (步骤6)所以0,0x x tz ⎧-+⎪⎨--+=⎪⎩令,3=y 则.6,3t z x ==所以6)t=m (步骤7)同理，平面PDC的法向量6()t=-n因为平面PCB PDC ⊥平面, 所以0 m n =，即03662=+-t ，解得6=t ，所以PA =6(步骤8)第16题图17．本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.第17 题图（Ⅰ）如果8X =,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（Ⅱ）如果9X =，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望. （注：方差()()()2222121n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ，其中x 为1x ，2x ，…… n x 的平均数）【测量目标】茎叶图，离散型随机事件的分布列和期望.【难易程度】中等【考查方式】直接根据茎叶图求平均数和方差；继而求事件的分布列和期望.【试题分析】当8X =时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为 8891035;44x +++==(步骤1)方差为 .1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s (步骤2) （Ⅱ）当9X =时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y 的可能取值为17，18，19，20，21事件“17Y =”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此（(17)P Y =）=.81162=(步骤3) 同理可得;41)18(==Y P ;41)19(==Y P .81)21(;41)20(====Y P Y P (步骤4)(步骤5)17171818191920202121EY P Y P Y P Y P Y P Y =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=（）（）（）（）（）1111117181920211984448=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(步骤6)18．（本小题共13分）已知函数2()()e xkf x x k =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()ef x …，求k 的取值范围. 【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出含参数的函数解析式，利用导数求其单调区间；根据最值和不等式解出参数的取值范围.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）221()()e .xk f x x k k'=-(步骤1)令()0f x '=，得k x ±=.当0k ＞时，)()(x f x f '与的情况如下所以，)(x f 的单调递增区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调递减区间是),(k k -当0k <时，)()(x f x f '与的情况如下所以，)(x f 的单调递减区间是（k -∞-,）和),(+∞k ；单调递增区间是(,)k k -(步骤3)（Ⅱ）当0k >时，因为11(1)e ek kf k ++=>所以不会有1(0,),().e x f x ∀∈+∞…(步骤4)当0k <时，由（Ⅰ）知)(x f 在（0，+∞）上的最大值是24().e k f k -= 所以1(0,),()e x f x ∀∈+∞…等价于241().e ek f k -=…(步骤5) 解得102k -<…. 故当1(0,),()e x f x ∀∈+∞…时，k 的取值范围是).0,21[-(步骤6) 19．（本小题共14分）已知椭圆22:14x G y +=过点,0m （）作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A B ，两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式.【考查方式】已知椭圆的标准方程，求椭圆的焦点和离心率；过定点的直线与圆相切，与椭圆有两个交点，求两交点距离的最大值. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以c ==(步骤1)所以椭圆G 的焦点坐标为)0,3(),0,3(-，离心率为.23==a c e (步骤2) （Ⅱ）由题意知，||1m ….当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A B 、的坐标分别为),23,1(),23,1(- 此时3||=AB (步骤3)当1m =-时，同理可得3||=AB当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -=(步骤4) 由0448)41(.14),(2222222=-+-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-=m k mx k x k y x m x k y 得设A B 、两点的坐标分别为),)(,(2211y x y x ，则2222122214144,418km k x x k m k x x +-=+=+(步骤5) 又由l 与圆.1,11||,1222222+==+=+k k m k km y x 即得相切所以212212)()(||y y x x AB -+-=]41)44(4)41(64)[1(2222242k m k k m k k +--++=2 .3||342+=m m (步骤6) 由于当3±=m 时，,3||=AB 所以),1[]1,(,3||34||2+∞--∞∈+= m m m AB .(步骤7)因为||2,||||AB m m ==+ 且当3±=m 时，||2AB =，所以||AB 的最大值为2. (步骤8)20．（本小题共13分）若数列12,,...,(2)n n A a a a n =…满足111(1,2,...,1)n a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++．（Ⅰ）写出一个满足150a a ==，且5()S A ＞0的E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，2000n =，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定的整数2n n （）…，是否存在首项为0的E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件的E 数列n A ；如果不存在，说明理由.【测量目标】数列的概念和通项公式，等差数列的综合应用,归纳推理.【考查方式】已知数列的的条件，写出符合该条件的一般数列；知道首项和项数利用归纳推理判断充要条件；探究深层次的数列问题.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列5A .(步骤1) （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列5A ）（Ⅱ）必要性：因为E 数列5A 是递增数列，所以)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .所以5A 是首项为12，公差为1的等差数列. (步骤2)所以2000122000112011a =+-⨯=（）.充分性，由于20001999211,1a a a a -⋯⋯-……，所以200012000119991999a a a a -+，即剟.(步骤3)又因为12000122011a a ==，,所以200011999a a =+.故n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列. (步骤4)综上，结论得证.（Ⅲ）令.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则 (步骤5)因为2111112c c a a c a a ++=++=… ,1211+++++=n n c c c a a所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S)].1()2)(1()1)(1[(2)1(121--++--+----=n c n c n c n n (步骤6) 因为1,1k k c c =±-所以为偶数(1,,1).k n =-所以12(1)(1)(1)(2)(1)n c n c n c --+--++- 为偶数,所以要使()0,n S A =必须使(1)2n n -为偶数, 即4整除(1),n n -亦即4n m =或*41()n m m =+∈N .(步骤7)当*41(),n m m =+∈N 时E 数列n A 的项满足4141420,1,k k k a a a +--===-14=k a ),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时当*41(),n n m m E A =+∈N 时数列的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a当*4243(),(1)n m n m m n m =+=+∈-N 或时不能被4整除，此时不存在E 数列n A ，使得.0)(,01==n A S a (步骤8)。

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷,含答案).doc

2011 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（全国卷，含答案）本试卷分第Ⅰ卷 ( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

第Ⅰ卷 1 至 2 页。

第Ⅱ卷 3 至 4 页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．．3．第Ⅰ卷共 l2 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题(1) 复数 z 1i ， z 为 z 的共轭复数，则 zz z 1（ A ） 2i（ B ） i（ C ） i（ D ） 2i【答案】 B(2) 函数 y 2 x( x 0) 的反函数为（ A ） yx 2( x R)（ B ）4（ C ）y 4x 2( x R)（）Dyx 2( x 0)4y 4x 2 ( x 0) 【答案】 B(3) 下面四个条件中，使 a b 成立的充分而不必要的条件是（ A ） a ＞b 1（ B ） a ＞b 1（C ） a 2＞ b 2（ D ） a 3＞ b 3【答案】 A(4) 设 S n 为等差数列a n 的前 n 项和，若 a 1 1，公差 d2 ， S k 2 S k 24 ，则 k（ A ） 8 （B ） 7（ C ） 6（ D ） 5【答案】 D(5) 设函数 f ( x) cos x(0) ，将 yf ( x) 的图像向右平移个单位长度后，所得的图3像与原图像重合，则的最小值等于（ A ）1（B ） 3（C ） 6（ D ） 93【答案】 C(6) 已知直二面角l , 点 A ， AC l , C 为垂足 , B ， BD l , D 为垂足．若 AB2, AC BD 1，则 D 到平面 ABC 的距离等于2 (B) 36 (D) 1(A)3 (C)33【答案】 CA(7) 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有(A) 4 种(B)10 种(C)18 种(D)20 种lD【答案】 BCB E(8) 曲线 y e 2 x1在点 (0,2) 处的切线与直线 y 0 和 y x 围成的三角形的面积为(A)1(B)1 (C)2 (D)1323【答案】 A(9) 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1 时， f (x)2x(1 x) , 则 f (5 )11112(A) -(B)(C)(D)2442【答案】 A(10) 已知抛物线C ： y 24x 的焦点为 F ，直线 y2x 4 与 C 交于 A ， B 两点．则cos AFB(A)4(B)3 (C)3 (D)4 5555【答案】 D(11) 已知平面 α截一球面得圆 M ，过圆心 M 且与 α 成 600 二面角的平面 β 截该球面得圆 N .若该球面的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为(A) 7 (B) 9(C)11(D)13【答案】 D(12) r r rr rr r 1 rr r rr设向量 a ， b ， c 满足 | a | | b |1， agb， ac,bc60 ，则 | c | 的最大值2等于(A) 2 (B)3(c)2(D) 1【答案】 AB绝密★启用前2011 年普通高等学校招生全国统一考试ACD理科数学 ( 必修 +选修 II)第Ⅱ卷注意事项：1 答题前，考生先在答题卡上用直径0． 5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

《2011年高考试题——数学理(北京卷)精校版》

绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出地四个选项中，选出符合题目要求地一项.（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 地取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）（2）复数212i i-=+ （A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+ （3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ地圆心地极坐标系是 (A) (1,)2π (B) (1,)2π- (C) (1,0) (D)(1，π)（4）执行如图所示地程序框图，输出地s 值为（A ）-3（B ）-12（C ）13（D ）2（5）如图，AD ，AE ，BC 分别与圆O 切于点D ，E ，F ，延长AF 与圆O 交于另一点G.给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA ；○2AF ·AG=AD ·AE③△AFB ～△ADG其中正确结论地序号是（A ）①② （B ）②③（C ）①③ （D ）①②③ （6）根据统计，一名工作组装第4件某产品所用地时间（单位：分钟）为（A ，C 为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 地值分别是（A ）75，25 （B ）75，16 （C ）60，25 （D ）60，16(7)某四面体地三视图如图所示，该四面体四个面地面积中，最大地是(A) 8 (B) (C)10 (D)（8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）地整点地个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数地点，则函数()N t 地值域为（A ）{}9,10,11 （B ）{}9,10,12（C ）{}9,11,12 （D ）{}10,11,12第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.（9）在ABC ∆中.若b=5，4B π∠=，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________.（10）已知向量a =，1），b =（0，-1），c =（k.若a -2b 与c 共线，则k=___________________.（11）在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=-4，则公比q=______________；12...n a a a +++=_________________.(12)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样地四位数共有__________个.（用数字作答）(13)已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩若关于x 地方程f(x)=k 有两个不同地实根，则数k 地取值范围是_______（14）曲线C 是平面内与两个定点F 1（-1，0）和F 2（1，0）地距离地积等于常数 a 2(a >1)地点地轨迹.给出下列三个结论：① 曲线C 过坐标原点；② 曲线C 关于坐标原点对称；③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2地面积大于21a 2. 其中，所有正确结论地序号是 .三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题共13分）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-. （Ⅰ）求()f x 地最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上地最大值和最小值. （16）（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=.(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角地余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 地长.（17）本小题共13分以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学地植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（Ⅰ）如果X=8,求乙组同学植树棵树地平均数和方差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学地植树总棵树Y 地分布列和数学期望.（注：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，……n x 地平均数）（18）（本小题共13分）已知函数2()()x kf x x k e =-.（Ⅰ）求()f x 地单调区间；（Ⅱ）若对于任意地(0,)x ∈+∞，都有()f x ≤1e，求k 地取值范围. （19）（本小题共14分）已知椭圆22:14x G y +=.过点（m ,0）作圆221x y +=地切线l 交椭圆G 于A ，B 两点.（I ）求椭圆G 地焦点坐标和离心率；（II ）将AB 表示为m 地函数，并求AB 地最大值.(20)(本小题共13分)若数列12,,...,(2)n n A a a a n =≥满足11(1,2,...,1)k k a a k n +-==-，数列n A 为E 数列，记()n S A =12...n a a a +++.（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0地E 数列n A ；（Ⅱ）若112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列地充要条件是n a =2011；（Ⅲ）对任意给定地整数n （n ≥2），是否存在首项为0地E 数列n A ，使得()n S A =0？如果存在，写出一个满足条件地E 数列n A ；如果不存在，说明理由.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.SixE2。

2011年北京高考数学答案解析(理科)

2011北京高考数学理科试卷分析说明：2011北京理科卷考点全面，，虽然"线性规划"、"不等式"两个小章未考到，但其中包含的图形处理技巧和最值思想，在第13题函数题需要用到数形结合和19题解析几何大题最后的最值问题中有所体现，所以今年的高考题考到了几乎所有章节。

对于学生而言，每个章节都不能遗漏。

考试难度和计算量总体上比平时的期中期末考试、一、二模更简单：1.小题：前14道小题中，只有第8题和第14题需要多思考才能做对，方法很常规，并没有设置障碍。

其他12个小题全是常规题型，非常容易得分，只要保证计算不错，中等基础的学生能拿到12个题满分。

2.大题：在后面的6个大题80分的考点中，前三个大题考的基础题型，大部分考生不算错的情况下能够得满分；从后三个大题才开始设置难度，拉开了学生层次。

第一题：三角函数大题依然考的热点考点，化简和求最值，学生基础中等偏下水平即可做对。

第二题：立体几何也是常见考点，垂直和角的问题，今年没有考二面角，考的线线角更简单，基础弱的学生甚至可以用几何向量法做出这三问，顺利拿到14分。

第三题：是统计题，没有像以前一样设计难度，考点全部是基础型，茎叶图、期望值、方差等在平时的小题考试中经常出现，求的概率甚至可以用数数的方法做出来。

从第四题开始，就要求中等以上基础了。

第四题：导数题一开始便求导，却是个复合函数，学生平时练少了就会疏忽此处而算错，此题就完全丢分。

到求单调性和最值的部分就是常规方法，但第一问就需要讨论参数，用画表格，讨论的方法能顺利解出两问，计算没有难度，中等偏上水平学生能拿到分。

平时学习只要求做到第一问的学生可能在讨论时会卡住，对于学习浅的同学第一问的分数也很难拿到。

第五题：解析几何考的是椭圆，第一问考基础知识是送分题，一般学生都能拿到分。

第二问考的是常规方法，只需要联立方程，用韦达定理求弦长公式，最后求最值即可做出。

计算量一如既往是整份试卷中最大的一题，也是决定能否过140分的关键一题，让很多学生畏惧，基础好的学生勇于一试。

2011年北京(理)答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A （3）B （4）D （5）A （6）D （7）C （8）C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）102552 （10）1（11）—2 2121--n （12）14 （13）（0，1）（14）②③三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x x x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x所以)(x f 的最小正周期为π （Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1. （16）（共14分）证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD. 又因为PA ⊥平面ABCD. 所以PA ⊥BD. 所以BD ⊥平面PAC. （Ⅱ）设AC ∩BD=O.因为∠BAD=60°，PA=PB=2, 所以BO=1，AO=CO=3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O —xyz ，则P （0，—3，2），A （0，—3，0），B （1，0，0），C （0，3，0）. 所以).0,32,0(),2,3,1(=-= 设PB 与AC 所成角为θ，则4632226cos =⨯=. （Ⅲ）由（Ⅱ）知).0,3,1(-=BC 设P （0，－3，t ）（t>0），则),3,1(t --=设平面PBC 的法向量),,(z y x m =, 则0,0=⋅=⋅m m所以⎪⎩⎪⎨⎧-+--=+-03,03tz y x y x令,3=y 则.6,3t z x ==所以)6,3,3(tm =同理，平面PDC 的法向量)6,3,3(tn -= 因为平面PCB ⊥平面PDC, 所以n m ⋅=0，即03662=+-t解得6=t所以PA=6（17）（共13分）解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为;435410988=+++=方差为.1611])43510()4359()4358()4358[(4122222=-+-+-+-=s（Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。

2011年高考理科数学(含答案)_1全国卷

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)数学注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1z z z --=（） (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为（）(A)()24xy x R =∈ (B)()204xy x=≥(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（） (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k=（） (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（） (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 96.已知直二面角l αβ--，点,,A A C l C α∈⊥为垂足，,,B B D l D β∈⊥为垂足，若2,1A B A C B D ===，则D 到平面ABC 的距离等于（）(A)22(B)33(C)63(D) 17.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21xy e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（） (A)13(B) 12(C)23(D) 19.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） (A) 12-(B) 14-(C)14(D)1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos A F B ∠=（） (A)45(B)35(C) 35-(D) 45-11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（） (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于（）(A) 2 (B) 3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= .15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927xyC -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F A F ∠的角平分线，则 2A F = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111A B C D A B C D - 的棱11B B C C 、上，且12B E E B =,12C F F C =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年高考试题——数学理(北京卷)解析版

绝密★使用完毕前2011年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时间长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是（A ）(-∞, -1] （B ）[1, +∞）（C ）[-1，1] （D ）（-∞，-1] ∪[1，+∞）【答案】C【解析】：2{|1}{|11}P x x x x =≤=-≤≤，[1,1]P M P a =⇒∈- ，选C 。

（2）复数212i i-=+（A ）i （B ）-i （C ）4355i -- （D ）4355i -+【答案】A 【解析】：22i 2(i 2)(12i)2242(1)2412i(12i)(12i)1414(1)i i ii ii i---------+====++----，选A 。

（3）在极坐标系中，圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标系是 (A) (1,)2π(B) (1,)2π-(C) (1,0) (D)(1，π)【答案】B【解析】：222sin (1)1x y ρθ=-⇒++=，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为(1,)2π-，选B 。

（4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（A ）-3 （B ）-12（C ）13（D）2 【答案】D【解析】：循环操作4次时S的值分别为11,,3,232--，选D。

（5）如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G。

给出下列三个结论：○1AD+AE=AB+BC+CA；○2AF·AG=AD·AE③△AFB ～△ADG其中正确结论的序号是（A）①②（B）②③（C）①③（D）①②③【答案】A.【解析】：①正确。

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1
绝密★使用完毕前

2011年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）
本试卷共5页，150分。考试时间长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，
在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求的一项。

（1）已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么
（A）(-∞, -1] （B）[1, +∞）（C）[-1，1] （D）（-∞，-1] ∪[1，+∞）
（2）复数212ii

（A）i （B）-i （C）4355i （D）4355i
（3）如果,0loglog2121yx那么
（A）y< x<1 （B）x< y<1
（C）1< x

（4）若p是真命题，q是假命题，则
（A）p∧q是真命题（B）p∨q是假命题
（C）﹁p是真命题（D）﹁q是真命题
（5）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
（A）32

（B）16+162
（C）48
（D）16+322

(6)执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为
(A)2(B)3
(C)4(D)5

2
每批生产x件，则平均仓储时间为8x天，且没见产品每天的仓储费用为1元。为

使平均没见产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
（A）60件（B）80件（C）100件（D）120件
（8）已知点A(0,2)，B(2,0). 若点C在函数y = x的图像上，则使得ΔABC的面积为2
的点C的个数为
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）在ABC中。若b=5，4B，sinA=13，则a=_______________________。

（10）已知双曲线2221yxb（b＞0）的一条渐近线的方程为2yx，则
b
= 。

（11）已知向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3）。若a-2b与c共线，则
k=___________________。
（12）在等比数列{an}中，a1=12，a4=-4，则公比q=______________；a1+a2+…+an=
_________________。

(13)已知函数32,2()(1),2xfxxxx若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根，则数k
的取值范围是_______
（14）设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3)，D(t,3)(tR)。记N（t）为平行四边形ABCD内部
（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N(0)=
N(t)的所有可能取值为
三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题共13分）
已知函数

3
（16）（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模
糊，无法确认，在图中以X表示。

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数
为19的概率。

（17）（本小题共14分）
如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点。
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由。
（18）（本小题共13分）
已知函数()()xfxxke。
（Ⅰ）求()fx的单调区间；
（Ⅱ）求()fx在区间[0,1]上的最小值。
（19）（本小题共14分）

已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为（22,0），斜率为I的直
线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）。
（I）求椭圆G的方程；
（II）求PAB的面积。
（20）（本小题共13分）
若数列12:,,,(2)nnAaaan满足11(1,2,,1)kkaakn，则称nA为E数列，记

4
（Ⅰ）写出一个E数列A5满足130aa；

（Ⅱ）若112a，n=2000，证明：E数列nA是递增数列的充要条件是na=2011；
（Ⅲ）在14a的E数列nA中，求使得nSA=0成立得n的最小值。