协方差结构分析的步骤和解读
从方差到协方差分析，这里有你需要掌握的重要知识点护理科研
从方差到协方差分析，这里有你需要掌握的重要知识点护理科研作为统计学的重要内容之一，方差分析大家或多或少都听说过，而且知道，方差分析是用在三个或三个以上的组间比较（两组比较用t 检验）。
可是现在突然冒出另一个词——协方差后，好像一下子无从下手了。
今天，我们就借讲述协方差分析的机会帮大家一起梳理整个方差分析的所有重点内容。
1. 从方差说起做方差分析当然不能不懂什么是方差。
我们通过下面这个例子来回顾一下方差的概念。
例如，某地区男性身高的总体均数为1.7（m），根据这个信息，我们大概可以推测这个地区每个男性的身高都会在1.7上下波动，你可能是1.75，他可能是1.68。
我们用每一个个体的身高值与总体均数（即1.7）相减，将差值做平方，然后加和再除以总人数，就得到了方差（开方后即得到“标准差”）。
因此，方差或者标准差是综合衡量一组数据个体间差异大小的重要指标，统计学上称为离散趋势。
方差越大（或者说标准差大），就证明，平均而言，数据离均数越远，人们的身高波动很大，比如，有人可能是1.8，而有的人是1.5；方差小，则意味着，大家身高差异小，可能一个人是1.71，另一个是1.69。
这里可以想象一下，参加国庆阅兵队伍的士兵，身高的方差肯定特别小，因为大家身高几乎一样。
2. 方差分析是在做什么对于方差分析，教科书上是这样解释的：因为方差是反映数据变异程度的指标，方差分析也称变异度分析，其基本思想是根据研究的目的和设计类型，将全部观察值的总变异分解为两个或多个部分，然后将分解的变异与随机误差引起的变异进行比较，来推断某个研究因素是否真正存在影响效应。
好理解吗？我想大部分初学者理解起来都很困难。
上面这段话中出现最多次、同时也最不好理解的关键词或许是——变异，所以，我们先来好好看看这个词。
什么叫做变异？为了与生物学中的基因变异相区别，我认为在这里把“变异”理解为“差异”可能更为合适。
比如，一个班每个学生的生日、身高、体重等几乎都不可能完全相同，一定会有不同。
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协方差分析，我见过的最详细SPSS教程！一、问题与数据某研究者拟分析不同强度体育锻炼对血脂浓度的影响，招募45位中年男性分为三组：第一组进行高强度体育锻炼干预（为期6周），第二组进行低强度体育锻炼干预（为期6周），第三组为对照组。
为了判断高/低强度体育锻炼哪个更有助于降低血脂浓度，研究者测量了每位研究对象接受干预前的血脂浓度（pre）和干预后的血脂浓度（post）变量，并收集了分组（group）变量信息。
部分数据如下图：二、对问题的分析研究者想判断不同干预方法（group）对因变量（post）的影响，但是不能忽视协变量（pre）对因变量的作用。
针对这种情况，我们可以使用单因素协方差检验，但需要先满足以下10项假设：假设1：因变量是连续变量。
假设2：自变量存在2个或多个分组。
假设3：协变量是连续变量。
假设4：各研究对象之间具有相互独立的观测值。
假设5：各组内协变量和因变量之间存在线性关系。
假设6：各组间协变量和因变量的回归直线平行。
假设7：各组内因变量的残差近似服从正态分布。
假设8：各组内因变量的残差具有等方差性。
假设9：各组间因变量的残差方差齐。
假设10：因变量没有显著异常值。
经分析，本研究数据满足假设1-4，那么应该如何检验假设5-10，并进行单因素协方差分析呢？三、SPSS操作检验假设5：各组内协变量和因变量之间存在线性关系为检验假设5，我们需要先绘制协变量与因变量在不同组内的散点图。
在主界面点击Graphs→ Chart Builder，在Chart Builder对话框下，从Choose from选择Scatter/Dot。
在中下部的8种图形中，选择“Grouped Scatter”，并拖拽到主对话框中。
将pre、post和group变量分别拖拽到“X-Axis？”、“Y-Axis？”和“Set color”方框内。
在Element Properties框内点击Y-Axis1 (Point1)，在Scale Range框内取消对Minimum的勾选。
协方差分析
我们先来看一个问题：芬兰由几十个小的自治区组成。
在芬兰，白酒的批发和零售是国家垄断的。
几个世纪以来，法律规定白酒只能在城市自治区中销售。
但是去年这条法律要做修改了，该国的相关部门尝试性地在农村自治区销售白酒,进而研究白酒的销售方式是否会影响当地的交通事故量在去年<a name=baidusnap0></a>夏天</B>，他们任选12个农业自治区，在其中4个开设了白酒专卖店；另外4个授权饭店销售白酒；余下的4个保持原来的状态，即禁止销售白酒。
为比较销售白酒对交通事故是否有影响，我们搜集到三组实验区域一年后的交通事故发生数：销售白酒对当地的交通事故有影响吗？认为白酒的销售没有影响交通事故率。
真的是这样吗？稍加分析我们就会发现，我们的分析有问题直接收集统计资料的有两种方式：实验式和非实验式。
如果条件可以完全控制的话（只一个因素变化，其他因素统一）实验式收集数据进行方差分析理论上是可以保证精度的。
但是实验条件不能完全控制的时候就要采取统计控制，即用统计的方法排除数据中的干扰因素从而提高精度。
――我们知道，就算12个地区白酒的销售方式是随机指定的，由于每组仅仅有四个地区，很难保证三组地区的交通事故只与白酒的销售有关而其他因素统一水平。
协方差分析可以解决这类问题。
协方差分析是如何解决这个问题的呢? 观测值一般均值+水平影响+协变量影响+随机误差从离差分解的角度我们来解释协方差分析于是，我们用协变量对观测值进行修正，去掉“遗传”因素下面的问题是，如何计算回归系数我们把回归系数的计算分为两种情况计算总离差平方和时: 我们最终要检验的是分组自变量对因变量有无以原命题为真为基础进行的.因此,这里我们认为ti 0,即,用回归模型计算回归系数.其最小二乘无偏估计值为为了简化表示，我们定义当计算组内离差平方和时，我们使用组内回归系数它的计算如下：同样为了简化表示，我们定义接着就要计算组间平方和了。
协方差分析理论与案例
协方差分析理论与案例假设我们有N 个个体的K 个属性在T 个不同时期的样本观测值，用it y ,it x ，…，N,t=1，…，T,k=1，…，K 表示。
一般假定y 的观测值是某随机实验的结果，该实验结果在属性向量x 和参数向量θ下的条件概率分布为(,)f y x θ。
使用面板数据的最终目标之一就是利用获取的信息对参数θ进行统计推断，譬如常假设假定的y 是关于x 的线性函数的简单模型。
协方差分析检验是识别样本波动源时广泛采用的方法。
方差分析：常指一类特殊的线性假设，这类假设假定随机变量y 的期望值仅与所考察个体所属的类（该类由一个或多个因素决定）有关，但不包括与回归有关的检验。
而协方差分析模型具有混合特征，既像回归模型一样包含真正的外生变量，同时又像通常的方差一样允许每个个体的真实关系依赖个体所属的类。
常用来分析定量因素和定性因素影响的线性模型为：*,1,,,1,,it it itit it y x u i N t T αβ'=++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 从两个方面对回归系数估计量进行检验：首先，回归斜率系数的同质性；其次，回归截距系数的同质性。
检验过程主要有三步：(1) 检验各个个体在不同时期的斜率和截距是否都相等；(2) 检验（各个体或各时期的）回归斜率（向量）是否都相等； (3) 检验各回归截距是否都相等。
显然，如果接受完全同同质性假设（1），则检验步骤中止。
但如果拒绝了完全同质性性假设，则（2）将确定回归斜率是否相同。
如果没有拒绝斜率系数的同质性假设，则（3）确定回归截距是否相等。
（1）是从（2）、（3）分离出来的。
基本思想：在作两组或多组均数1y ，2y ，…，k y 的假设检验前，用线性回归分析方法找出协变量X 与各组Y 之间的数量关系，求得在假定X 相等时修定均数1y '，2y '，…，k y '然后用方差分析比较修正均数间的差别，这就是协方差分析的基本思想。
第十三章--协方差分析
;
proc glm; class c;
model y=c x /solution SS3; /*solution:输出回归系数并检验*/
lsmeans c
/*输出修正均数*/
/stderr
/*输出修正均数的标准误*/
pdiff;
/*输出修正均数两两比较的P值*/
run
The GLM Procedure
（“3.中的分析项目”与方差分析一致）
⑵总的离均差平方和、积和 lXX=∑X2-C1=9614-8893.5=720.5, (13-4) lYY=∑Y2-C2=206613-204057.04=2555.96, (13-5) lXY=∑XY-C3=43681-42600.25=1080.75, (13-6) ⑶组间离均差平方和、积和
19911 25.375 96.875
XY
24
462
2213
9614 206613
43681 19.250 92.208
1.H0:各总体增重的修正均数相等 H1:各总体增重的修正均数不全等 或全不等, α＝0.05
2. 列表计算（表 13-3） 3.⑴校正数 C1=(∑X)2/N=4622/24=8893.5, (13-1) C2=(∑Y)2/N=22132/24=204057.04,(13-2) C3=∑X∑Y/N=462×2213/24=42600.25 (13-3)
总的
Y
Y
2
l YY
l l
2 XY
XX
（13-10）
=2555.96-1080.752/720.5=934.84
组内
Y
Y
2
=1238.38-420.872/175.25
第11章 协方差结构模型.
（4）观测变量数大于公共因素数。
d1 d2 d3
1 1 1
x1 x2 x3
1
ks1
x1 11 1 1 x 2 21 1 2 x 3 31 1 32 2 3
2
3） 极大似然法(ML) 用极大似然法估计 、、使FML＝T r S 1 log log S - q
（4）验证性因素分析模型的评价
得到了参数的估计值后，需要对模型与数据间 是否拟合进行评价。拟合指数主要反映了Σ 与S拟合 的程度。常用的模型拟合指数有： 绝对拟合指数有： 2统计量，p>0.05 拟合优度指数GFI >0.90 调整的拟合优度指数AGFI >0.90 近似均方根误差RMSEA <0.08
4）两指标法则：
法则1：a. 因素负荷矩阵的每一行有且仅有一个非零值; b. 至少有两个潜变量相关；c. 每个潜变量至少有两个非 零的测量变量；d.残差的协方差矩阵为对角阵。同时满 足上述四个条件，则模型可识别。 法则2： a. 因素负荷矩阵的每一行有且仅有一个非零值; b. 对于每个潜在变量，至少有一个潜变量与之相关； c. 每个潜变量至少有两个非零的测量变量。同时满足上述 三个条件，模型可识别。
1
1
1 1
y9 y10 y11 y12
eta4 ksi2 eta5
1
1
1
1
5、验证性因素分析的其他问题
（1）样本容量 被试数与自由参数的比例至少达到10:1 （2）变量数量
有的研究者主张每个潜在因子应该用三个或四个指标 表示。
协方差分析A
A1
16.2 15.1 15.8 14.8 17.1 15.0
A2
16.8 17.5 17.1 15.9 18.4 17.7
A3
19.0 20.1 18.9 18.2 20.5 19.7
方差分析就是把总的 试验数据的波动分成
1、反映因素水平改变引起的波动。 然后加以比较进行统
2、反映随机因素所引起的波动。
5.1
3.9 2.9 3.1 2.9 3.5 4.9 2.5 4.8 4.6 5.6 3.9 3.0
28
不平衡二因素方差分析SAS程序的输入：
29
不平衡二因素方差分析SAS程序输出结果：
结论： GLM按两 种方法输 出 1、按有交 互作用输 出 2、按主效 应输出。
30
2、交互模型 MODEL y=a b c a*b a*c b*c a*b*c;
3、嵌套效应 MODEL y=a b c(a b);
4、混合效应模型号 MODEL y=a b(a) c(a) b*c(a);
10
例：1、单因素方差分析
某劳动卫生组织研究棉布、府绸、的确凉、尼龙四种衣料内棉花吸附十 硼氢量。每种衣料做五次测量，所得数据如下。试检验各种衣料见棉花吸 附十硼氢量有没有显著差别？
1 27332 6
6084 18
4214217 .3 5332
计算出F值：
QA
4217.3
(3 1) 2 28.38
QE
1114.7
(3(6 1))
5
5
列表：
方差来源 显因著素性A 分试显验著误）差 总误差
离差平方和 4217.3 1114.7 5332
12
单因素方差分析SAS程序输出结果：
协方差分析
Ø协方差分析的类别：单因素、多因素；一个协 变量、多个协变量；线性回归校正、非线性回 归校正
12.1 协方差分析的模型和假定
单向分类资料方差分析的数学模型
Y ij = µ + a i + ε ij
假设处理内的 Yij 与一个协变量 X ij 有回归关系，数学模型如下：
Ø在试验中，对处理以外的一切条件都需要采取有 效措施严加控制，使它们在各处理间在相同试验 条件下进行，这叫试验控制目的是降低随机误 差，提高检验的灵敏度
各组间的效应进行比较，必须保持组间的 影响因素（干扰因素的比例）相同，组间 才具有可比性。
处理因素效应
T1 + S1 + e1 （试验1组）
－ T2 + S2 + e2 （试验2组）
A×B
ab-1 a-1 b-1
∑ ∑ n
x2 ij.
−
xL2
/
N
n
yi2j − yL2 / N
ijk
ijk
∑ ∑ bn
x2 i..
−
xL2
/
N
bn
y2 i..
−
yL2
/
N
i
i
∑ ∑ an
x2 . j.
−
xL2
/
N
an
y2 . j.
−
yL2
/
N
j
j
∑ n xij yij − x... y... / N ijk
SST*(Y ) = SS总离回归 = SST(Y ) − SS总回归 = 0.2556 − 0.1621 = 0.0935
第三章 协方差分析
第一节 协方差分析的意义 一、协方差的概念
有N对x、y的有限总体，其离均差乘积和除以N， 叫做协方差。
(x x )(y y )
COV N
而对于样本则为：
COVˆ (x x)( y y)
n 1
2
对于一个样本，可以用均方（MS）反映该变数的 变异度，对于一个双变数样本，可以用均积（MP， 也叫协方）反映其变异度，此变异度可描述为相关变 异度或协同变异度，它反映了两个相关变数相互影响 的大小，协方差绝对值愈大，两个变数相互影响愈大。
二、主要作用
在以前的学习中，我们知道当有k个单变数样本时， 总方差的平方和与自由度可以分解为不同变异来源的 平方和与自由度，从而获得相应的均方（MS），这 叫方差分析。协方差也同样均有类同的性质：当有
3
k个双变数样本时，总协方的乘积和与自由度也可以 分解为不同变异来源的乘积和与自由度，从而获得相 应的协方（MP）。由于协方是相关回归分析中的一 个重要统计数，所以，当得到不同变异来源的自由度、 平方和、乘积和后，就能把方差分析和相关回归分析 结合起来应用，这就是协方差分析。其主要作用有：
0.4633 12.556** 4.40 0.0369
F测验结果显示，各饲料之间的仔猪增重量有极显著差 异，这一结论与矫正前的F测验结果（F<1）完全不同，说明 了仔猪初始重对仔猪增重的影响，也说明了利用x变数对y变 数进行了统计控制，这是协方差分析的重要功能。
24
五 、各处理矫正平均数的多重比较 1.t测验（逐对比较）：
17
进行y值矫正时，首先计算误差项回归系数（第13页表）：
be
SPe SS x (e)
7.526 1.0114 7.441
spss学习系列23.协方差分析
spss学习系列23.协⽅差分析（⼀）原理⼀、基本思想在实际问题中，有些随机因素是很难⼈为控制的，但它们⼜会对结果产⽣显著影响。
如果忽略这些因素的影响，则有可能得到不正确的结论。
这种影响的变量称为协变量（⼀般是连续变量）。
例如，研究3种不同的教学⽅法的教学效果的好坏。
检查教学效果是通过学⽣的考试成绩来反映的，⽽学⽣现在考试成绩是受到他们⾃⾝知识基础的影响，在考察的时候必须排除这种影响。
协⽅差分析将那些难以控制的随机变量作为协变量，在分析中将其排除，然后再分析控制变量对于观察变量的影响，从⽽实现对控制变量效果的准确评价。
协⽅差分析要求协变量应是连续数值型，多个协变量间互相独⽴，且与控制变量之间没有交互影响。
前⾯单因素⽅差分析和多因素⽅差分析中的控制变量都是⼀些定性变量，⽽协⽅差分析中既包含了定性变量（控制变量），⼜包含了定量变量（协变量）。
协⽅差分析在扣除协变量的影响后再对修正后的主效应进⾏⽅差分析，是⼀种把直线回归或多元线性回归与⽅差分析结合起来的⽅法，其中的协变量⼀般是连续性变量，并假设协变量与因变量间存在线性关系，且这种线性关系在各组⼀致，即各组协变量与因变量所建⽴的回归直线基本平⾏。
当有⼀个协变量时，称为⼀元协⽅差分析，当有两个或两个以上的协变量时，称为多元协⽅差分析。
⼆、协⽅差分析需要满⾜的条件（1）⾃变量是分类变量，协变量是定距变量，因变量是连续变量；对连续变量或定距变量的协变量的测量不能有误差；（2）协变量与因变量之间的关系是线性关系，可以⽤协变量和因变量的散点图来检验是否违背这⼀假设；协变量的回归系数（即各回归线的斜率）是相同的，且不等于0，即各组的回归线是⾮⽔平的平⾏线。
否则，就有可能犯第⼀类错误，即错误地接受虚⽆假设；（3）⾃变量与协变量相互独⽴，若协⽅差受⾃变量的影响，那么协⽅差分析在检验⾃变量的效应之前对因变量所作的控制调整将是偏倚的，⾃变量对因变量的间接效应就会被排除；（4）各样本来⾃具有相同⽅差σ2的正态分布总体，即要求各组⽅差齐性。
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协方差结构分析的步骤和解读
协方差结构分析（Covariance Structure Analysis）是一种常用的统计分析方法，用于研究变量之间的关系和模型的拟合程度。
它可以帮助研究者理解复杂的数据结构，并从中提取有意义的信息。
本文将介绍协方差结构分析的步骤和解读方法。
一、数据准备与前提检验
在进行协方差结构分析之前，首先需要准备好相关的数据。
数据应当包含多个
变量，且变量之间存在一定的关联关系。
同时，还需要进行前提检验，确保数据符合协方差结构分析的基本要求。
常见的前提检验包括数据的正态性检验、变量之间的相关性检验等。
二、模型设定与拟合
在进行协方差结构分析时，需要根据研究目的和理论基础构建合适的模型。
模
型的设定应当包括变量之间的关系假设以及测量模型的设定。
常见的模型设定包括路径模型、因子模型等。
在设定好模型后，需要使用合适的统计软件进行模型的拟合。
常用的拟合指标包括卡方拟合度指标、均方根误差逼近指标、比较拟合指标等。
三、参数估计与解释
模型拟合完成后，可以进行参数估计和解释。
参数估计可以通过最大似然估计
方法进行。
通过参数估计，可以获得模型中各个变量的系数值，从而了解变量之间的关系。
同时，还可以获得模型的拟合程度指标，如拟合优度指标、修正的拟合优度指标等。
这些指标可以帮助研究者评估模型的拟合程度。
四、模型检验与修正
在进行协方差结构分析时，模型的检验和修正是一个重要的环节。
模型检验可
以通过拟合优度指标、标准化残差等进行。
如果模型拟合不理想，需要进行修正。
修正的方法包括添加或删除路径、修改模型设定等。
修正后，需要重新进行模型拟合和参数估计，直到模型达到理想的拟合程度。
五、结果解读与讨论
在完成模型拟合和修正后，可以进行结果的解读和讨论。
首先，需要解读模型中各个变量的系数值。
系数值代表了变量之间的关系强度和方向。
正系数表示正向关系，负系数表示负向关系。
其次，还可以解读模型的拟合程度指标。
拟合优度指标越接近1，说明模型拟合程度越好。
最后，需要对结果进行讨论，结合理论和实际情况，深入分析变量之间的关系和影响机制。
六、结论与应用
最后，根据协方差结构分析的结果，可以得出结论并进行应用。
结论应当基于对模型结果的解读和讨论，总结变量之间的关系和影响机制。
同时，还可以将协方差结构分析的结果应用于实际问题，如制定政策、改进管理等。
总之，协方差结构分析是一种重要的统计分析方法，可以帮助研究者理解变量之间的关系和模型的拟合程度。
通过正确的步骤和解读方法，可以从复杂的数据中提取有意义的信息，并为实际问题的解决提供依据。