椭圆的性质及常考题含答案

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椭圆的简单几何性质(附练习题答案及知识点回顾)

椭圆的简单几何性质基础卷1．设a , b , c 分别表示同一椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，则a , b , c 的大小关系是（A ）a >b >c >0 （B ）a >c >b >0 （C ）a >c >0, a >b >0 （D ）c >a >0, c >b >02．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为（A ）221916x y += （B ）2212516x y += （C ）2212516x y +=或2211625x y += （D ）2211625x y += 3．已知P 为椭圆221916x y +=上一点，P 到一条准线的距离为P 到相应焦点的距离之比为（A ）54 （B ）45 （C ）417 （D ）7474．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离，则椭圆的离心率为（A ）23 （B ）33 （C ）316 （D ）6165．在椭圆12222=+by a x 上取三点，其横坐标满足x 1+x 3=2x 2，三点顺次与某一焦点连接的线段长是r 1, r 2, r 3，则有（A ）r 1, r 2, r 3成等差数列（B ）r 1, r 2, r 3成等比数列（C ）123111,,r r r 成等差数列（D ）123111,,r r r 成等比数列 6．椭圆221925x y +=的准线方程是（A ）x =±254 （B ）y =±165 （C ）x =±165 （D ）y =±2547．经过点P (－3, 0), Q (0, －2)的椭圆的标准方程是 .8．对于椭圆C 1: 9x 2+y 2=36与椭圆C 2:2211612x y +=，更接近于圆的一个是 . 9．椭圆12222=+by a x 上的点P (x 0, y 0)到左焦点的距离是r = .10．已知定点A (－2, 3)，F 是椭圆2211612x y +=的右焦点，在椭圆上求一点M ，使|AM |+2|MF |取得最小值。

椭圆的试题及答案高中

椭圆的试题及答案高中一、选择题1. 椭圆的焦点在x轴上，且离心率为$\frac{1}{2}$，若椭圆的长轴长为6，则椭圆的短轴长为（）。

A. 3B. 4C. 5D. 6答案：B解析：已知椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，长轴长2a=6，所以a=3。

根据离心率公式，可以得出c=$\frac{3}{2}$。

再根据椭圆的性质，b²=a²-c²，代入a和c的值，可得b²=$\frac{9}{4}$，所以b=2，短轴长为2b=4。

2. 已知椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，其中a>b>0，若椭圆C上存在一点P，使得$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0$，则a的取值范围是（）。

A. $a>1$B. $a>2$C. $a>3$D. $a>4$答案：B解析：已知$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0$，说明OP垂直于F1F2，即点P在椭圆的短轴端点上。

根据椭圆的性质，短轴端点到焦点的距离为b，而焦点到原点的距离为c。

由于$\overrightarrow{F_1F_2} = 2c$，所以$\overrightarrow{OP} = b$。

根据勾股定理，有$a^2 = b^2 + c^2$。

由于$\overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{F_1F_2} = 0$，所以$b = 2c$。

代入勾股定理，得到$a^2 = 5c^2$。

又因为椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，所以$a = \frac{5}{4}c$。

椭圆及其性质检测题与详解答案

椭圆及其性质检测题与详解答案A 级——保大分专练1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )A ．x 24＋y 2＝1B ．y 216＋x 24＝1 C ．x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1D ．x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1 解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a ＝2b .因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，则a＝4，b ＝2，椭圆的标准方程为y 216＋x 24＝1，故选C.2．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32解析：选D 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1＞0，2－m ＞0，2－m ＞|m |－1，解得m ＜－1或1＜m ＜32，故选D.3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．33C ．22D ．12解析：选B 由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m3＝1，所以a 2＝m2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33.4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A ．32B ．332C ．94D ．154解析：选B 由椭圆方程知c ＝1，所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)，代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)，所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3，故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1B ． 2C ．2D ．2 2解析：选D 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.6．(2019·惠州调研)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A ．514B ．59C ．49D ．513解析：选D 如图，设线段PF1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，故|PF 2||PF 1|＝513，故选D. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．答案：(－5,0)8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．解析：法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为(±5，0)，设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ＞0)，代入点A (3，－2)得9λ＋5＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 210＝19．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B＝________.解析：由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin C sin A ＋sin B ＝5c a ＋b ＝5×610＝3.答案：310．点P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2的最大值是60°，则椭圆的离心率e ＝________.解析：如图所示，当点P 与点B 重合时，∠F1PF 2取得最大值60°，此时|OF 1|＝c ，|PF 1|＝|PF 2|＝2c .由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ＝2a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.答案：1211．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.12．已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·PA ―→的最大值和最小值．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2.又F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，PA ―→＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF ―→·PA ―→＝x 20－x 0－2＋y 20 ＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.当x 0＝2时，PF ―→·PA ―→取得最小值0，当x 0＝－2时，PF ―→·PA ―→取得最大值4.B 级——创高分自选1．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫55，35 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25 C ．⎝⎛⎭⎪⎫25，35 D ．⎝⎛⎭⎪⎫35，55 解析：选A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋c ，b ＜b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a －c 2＞14a 2－c 2a 2－c 2＜2c ，解得55＜e ＜35. 2．(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A ．254B ．83C ．8D ．94解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4， ∴|F 1F 2|＝2c ＝8.由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝64.∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝100－64＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |，∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94.故选D.3．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )．由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m )．直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n x －m y ＝n2－m x －2解得点E 的纵坐标y E ＝－n 4－m 24－m 2＋n2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.。

椭圆的几何性质(简单性质)

3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
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【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ，构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3，所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)．设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，

椭圆单元测试题(含答案)

椭圆单元测试题(含答案)一. 选择题1. 下列哪个不是椭圆的性质？A. 任何椭圆都有两个焦点B. 椭圆的离心率小于1C. 椭圆是一条闭合曲线D. 直径是椭圆上任意两点的距离的最大值答案：D2. 下列哪个公式可以用来计算椭圆面积？A. $S = \frac{\pi}{2}ab$B. $S = \pi ab$C. $S = \frac{4}{3}\pi ab$D. $S = 2\pi ab$答案：B3. 一个椭圆的长轴长度是6，短轴长度是4，则该椭圆的离心率是多少？A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{4}{5}$D. $\frac{5}{6}$答案：C二. 填空题1. 椭圆的离心率等于$\rule{1.5cm}{.15mm}$除以$\rule{1.5cm}{.15mm}$。

答案：焦距差，长轴长度2. 设椭圆的长轴长度为$a$，短轴长度为$b$，则其离心率的计算公式为$\rule{5cm}{.15mm}$。

答案：$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$三. 计算题1. 已知一个椭圆的长轴长度是10，短轴长度是8，求它的面积。

解：由公式$S = \pi ab$可得，该椭圆的面积为$S = \pi \times 10 \times 8 = 80\pi$。

答案：$80\pi$2. 已知一个椭圆的长轴长度是12，离心率是$\frac{1}{2}$，求它的短轴长度。

解：由公式$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$可得，$b =a\sqrt{1-\epsilon^2}$。

代入数据，可得$b = 6\sqrt{3}$。

答案：$6\sqrt{3}$。

椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)

（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离厅汀2|叫做椭圆的焦距。

对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）；（2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3）作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然，当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4）下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同，它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。

椭圆的焦点在x 轴上标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标；一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。

2022年上海高中数学系列3：椭圆及其性质(含答案)

3椭圆及其性质知识点：1.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数2a (122a F F >)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程及性质:标准方程22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b +=>>中心坐标()0,0焦点坐标(,0)c ±(0,)c ±顶点(,0),(0,)a b ±±(,0),(0,)b a ±±范围a x a -≤≤，b y b-≤≤a y a -≤≤，b x b-≤≤长轴长2a 长半轴长a 短轴长2b 短半轴长b对称轴关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称离心率c e a=3.椭圆的光学性质；从椭圆的一个焦点发出的光线在到达椭圆上后，被经过到达点的切线反射后必经过椭圆的另一个焦点．4.椭圆焦点三角形：周长为22a c +，面积公式见15题.5.点与椭圆的位置关系：(1)00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上2200221x y a b ⇔+=(2)00(,)P x y 在椭圆22221(0)xy a b a b +=>>内2200221x y a b ⇔+<(3)00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外2200221x y a b⇔+>6.直线与椭圆的位置关系：(1)消元:由直线方程代入曲线方程，消去一个变量，得到另一变量的二次方程；(2)判别式求解:根据二次方程解的情况判定其交点情况.7.弦长公式：直线y kx b =+和椭圆22221x y a b +=相交于1122( ) ( )P x y Q x y ，，，，则1212PQ x x y y =-=-；8.弦中点等问题：MN 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一条弦，Q 是弦MN 的中点，分别用MN OQ k k 、表示相应直线的斜率，则22MN OQ b k k a⋅=-都为定值；9.斜率之积为定值问题：AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的一条弦，P 是椭圆上的一点(异于AB )，分别用 PA PB k k 、表示相应直线的斜率，则22PA PB b k k a⋅=-.练习题：上海高中数学系列1.椭圆221y x k +=的一个焦点为(0，则k =________．32.方程2214x y m +=表示焦点在y轴上的椭圆，其焦点坐标是3.椭圆227321x y +=上一点到两个焦点的距离之和为__________．4.中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点12111()(0 332P P -，、，的椭圆方程为__________22541x y +=．5.设12 F F 、是椭圆:C 22184x y +=的两个焦点，则在椭圆C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为2．6.椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是____224x y +=．7.已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于,A B ，则11AF BF +的取值范围为：__________4[1 ]3，.8.椭圆()01342222>=+m my m x 的左焦点为F ，直线(22)x t m t m =-<<与椭圆相交于点A 、B ，则FAB ∆的周长的最大值是8m (用m 表示).9.点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12,F F 是椭圆的2个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，点P 的纵坐标为__________.8310.已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=.直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅ 的最小值为．811.以椭圆2212516x y +=的两个焦点和短轴两个顶点为四个顶点的椭圆方程是(B )A.221169x y += B.221916x y += C.2212516x y += D.2211625x y +=12.椭圆C ：221169x y +=与直线l ：(21)(1)74(R)m x m y m m +++=+∈，的交点情况是(C )A.没有交点 B.有一个交点 C.D.由m 的取值而确定13.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为(C )A.221255x y += B.2213010x y += C.2213616x y += D.2214525x y +=14.点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点(不与点A 重合)，若0PO PA ⋅=(O 是坐标原点)，则离心率的取值范围是(B ).A.1( 1)2， B.2 1)2C.3(1)2D.以上说法都不对yxP F O15.若点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，12,F F 为两个焦点，12F MF α∠=，(1)求证：12F MF ∆的面积为2tan2b α.(2)若椭圆2221(0)9x y b b +=>上存在一点M ，使12120F MF ∠=︒，求实数b 的取值范围.解：(1)12121||||sin 2F MF S MF MF α∆=222221212121212||||(2)(||||)2||||(2)cos 2||||2||||MF MF c MF MF MF MF c MF MF MF MF α+-+--==221212442||||2||||a c MF MF MF MF --=221242||||2(cos 1)cos 1b b MF MF αα∴==++122212sin tan2cos 12F MF b S b ααα∆∴=⋅⋅=+(2)椭圆上存在一个点M ，使12120F MF ∠=︒，即12max ()120F MF ∠≥︒，12tan tan 602c F MF b ∠∴=≥︒=，即22223,3,93,02c c b b b b ≥≥∴-≥∴<≤16.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线:l y kx m =+(0k ≠且0m ≠)与椭圆C 交于两点11(,)M x y 、22(,)N x y ，且21212y y k x x ⋅=，试求直线l 的斜率k ，并求m 的取值范围.解：(1) 椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为⎪⎩⎪⎨⎧+==⨯=∴222322222c b a c b a 解得3,1,2===c b a ∴椭圆C 的标准方程1422=+y x .(2)由题意,得0≠k ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，消去y 并整理得：0)1(48)41(222=-+++m kmx x k 设)()(2211y x N y x M ，，，，则221418kkmx x +-=+，222141)1(4k m x x +-=由题意12≠m (否则021=x x ，则21,x x 中至少有一个为0，直线ON OM ,中至少有一个斜率不存在，矛盾)2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=∴，2212212122121)(k x x m x x km x x k x x y y =+++=∴由0≠m 得：412=k 解得21±=k 由0)14(16)1)(41(1664222222>+-=-+-=∆m k m k m k 得21100112<<<<<<--<<-m m m m 或或或.17.已知复数(,,)z x yi x y R i =+∈是虚数单位，且22z z ++-=.⑴求复数z 对应点),(y x Z 的轨迹E 的方程；⑵过点(,0)B m作方向向量为( 1)的直线l 交曲线E 于 C D 、两点，若点(1,0)Q 恰在以线段CD 为直径圆的内部，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由22z z ++-=点),(y x Z 在以)0,2(),0,2(-为焦点，622=a 的椭圆上于是：2,2,6222=-===c a b c a 故点),(y x Z 的轨迹E 的方程为：12622=+y x (2)CD 方程为：)(33m x y --=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=063)(3322y x m x y 得：062222=-+-m mx x 因直线与椭圆有两交点，于是0>∆解得：3232<<-m 由题意知，0<⋅QD QC ，即0),1(),1(<-⋅-D D C C y x y x 将)(33m x y C C --=，)(33m x y D D --=代入上式整理得：03131)((342<++++-m m x x x x D C D C 将⎪⎩⎪⎨⎧-==+262m x x mx x D C D C 代入上式解得：323<<-m ，综上，323<<-m .18.已知椭圆E 两个焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点2322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线AM ,NB 的交点P 仍在椭圆E 上；(3)你能否将(2)推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.解：(1)设标准方程为22221(0)1x y b b b +=>+，又,22E ⎛∈ ⎝⎭，故221/23/411b b +=+，解得1b =，因此标准方程为22:12x E y +=.(2)方法一(求两直线交点坐标)：设0000(,),(,)M x y N x y -，(,)P x y 则联立两直线方程01010202:():()AMBN y l y x x x x y l y x x x x ⎧=-⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，消去y 得0001021201020124()()2y y x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=-⇒=----0010202011010120124()22y x x x x y x y x y x x x x x x x x x +--=-=-----()()()()222012021222201201242222x x x y x x x y x x x x x x +-⎡⎤-⎣⎦∴+=+----由于2212002,22x x y x ==-化简得2222200102122220010212888822224444x x x x x x x x y x x x x x x x --+++∴+==--+++2212x y ⇔+=，即交点P 在椭圆上.方法二(解析法)：设0000(,),(,)M x y N x y -，则01010202:():()AMBNy l y x x x x y l y x x x x ⎧=-⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，再记(,)P x y ，则P 满足上述两方程，化简后得01000200()()y y x yx xy y y x yx xy -=-⎧⎨+=+⎩，两式相乘得22222201200()y y x x y x x y -=-，再由2212002,22x x x y ==-代入消元化简，得22222022y y y x y +=，2212x y ⇔+=，即交点P 在椭圆上.方法三(解析法)：设0000(,),(,)M x y N x y -，则01010202:():()AMBN y l y x x x x y l y x x x x ⎧=-⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，再记(,)P m n ，则P 满足上述两方程，化简后得()()01010202:():()AM BN l n x x y m x l n x x y m x -=-⎧⎪⎨-=--⎪⎩，两边平方，()()2222010122220202()()n x x y m x n x x y m x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩观察得12,x x 是方程()()222200nx x y m x -=-的两根，即12,x x 是方程()()22222222200000220n y x myn x x n x y m -+-+-=的两根，222222222200120002222n x y m x x n y n x y m n y -∴==⇒-=--由于220022x y =-，得()2222222200022222n y n y ym m n -=--⇒+=即交点P 在椭圆上.(3)推广：给定椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设,M N 为E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且212x x a =，则直线AM ,NB 的交点P 仍在椭圆E 上.。

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习高中数学-椭圆常考题型汇总及练第一部分：复运用的知识一）椭圆几何性质椭圆的第一定义是：平面内与两定点F1、F2距离和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。

两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（2c）。

椭圆的几何性质以x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1为例：范围由标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式2≤x^2/a^2 + y^2/b^2 ≤1，即abx≤a，y≤b。

这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形里（封闭曲线）。

该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题。

椭圆还有以下对称性：关于原点、x轴、y轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

椭圆的顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)。

长轴为A1A2，长度为2a；短轴为B1B2，长度为2b。

椭圆的离心率e有以下几个性质：（1）椭圆焦距与长轴的比e=c/a，其中c为焦距；（2）a^2=b^2+c^2，即a是长半轴长，b是短半轴长；（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关。

当e接近于1时，椭圆越扁；当e接近于0时，椭圆越接近圆。

椭圆还有通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦）和焦点三角形等性质。

二）运用的知识点及公式在解题过程中，我们需要掌握以下知识点和公式：1、两条直线.2、XXX定理：若一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不同的根x1,x2，则2bc/(a(x1+x2))=-1，x1+x2=-b/a。

1.中点坐标公式：对于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)，它们的中点坐标为(x,y)，其中x=(x1+x2)/2，y=(y1+y2)/2.2.弦长公式：如果点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上，则y1=kx1+b，y2=kx2+b。

椭圆复习题pdf含答案

椭圆复习题pdf含答案1. 椭圆的标准方程是什么？答案：椭圆的标准方程为 \[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]，其中a和b分别代表椭圆的长半轴和短半轴。

2. 椭圆的离心率如何计算？答案：椭圆的离心率e可以通过公式 \[e = \sqrt{1 -\frac{b^2}{a^2}}\] 计算，其中a是长半轴，b是短半轴。

3. 椭圆的焦点位置如何确定？答案：椭圆的焦点位于长轴上，其坐标为 $(\pm c, 0)$，其中c可以通过公式 \[c = \sqrt{a^2 - b^2}\] 计算。

4. 椭圆的准线方程是什么？答案：椭圆的准线方程为 $x = \pm \frac{a^2}{c}$，其中a是长半轴，c是焦点到中心的距离。

5. 椭圆的面积如何计算？答案：椭圆的面积可以通过公式 \[A = \pi ab\] 计算，其中a是长半轴，b是短半轴。

6. 椭圆的周长如何估算？答案：椭圆的周长可以通过近似公式 \[P \approx \pi \left[3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)}\right]\] 估算，其中a是长半轴，b 是短半轴。

7. 椭圆的几何性质包括哪些？答案：椭圆的几何性质包括：对称性（关于长轴和短轴对称），离心率（描述椭圆扁平程度），焦点（椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数），以及准线（椭圆上任意一点到准线的距离与到焦点的距离之比等于离心率）。

8. 椭圆与双曲线有何不同？答案：椭圆与双曲线的主要区别在于离心率。

椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。

此外，椭圆是封闭曲线，双曲线是开放曲线。

9. 椭圆在实际应用中有哪些？答案：椭圆在实际应用中非常广泛，例如在物理学中描述行星轨道，在工程学中用于设计椭圆齿轮，在建筑学中用于设计椭圆屋顶等。

10. 椭圆的参数方程是什么？答案：椭圆的参数方程为 \[x = a \cos t\] 和 \[y = b \sin t\]，其中t是参数，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。

高中数学椭圆专题(经典例题考题练习)附答案

高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。

这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。

2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。

(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。

(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。

一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。

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椭圆的性质2.椭圆的离心率：ce a=，焦距与长轴长之比，01e <<，e 越趋近于1，椭圆越扁；反之，e 越趋近于0，椭圆越趋近于圆．题型一：椭圆的定义例1 到两定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离之和等于8的点的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．线段 D ．射线答案：C例2平面内一动点M到两定点F 1、F2距离之和为常数2a，则点M的轨迹为( )A．椭圆B．圆 C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹解析：当2a＞|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段；当2a＜|F1F2|时，轨迹不存在．答案：D巩固已知F 1，F2是椭圆x225＋y29＝1的左、右两个焦点．(1)求F1，F2的坐标；(2)若AB为过椭圆的焦点F1的一条弦，求△ABF2的周长．解析：(1)由椭圆的方程x225＋y29＝1可知，a2＝25，b2＝9，∴c2＝a2－b2＝25－9＝16，∴c＝4.∴F1(－4,0)，F2(4,0)．(2)由椭圆的定义可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝10，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝10.∴△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝20.题型二焦点三角形问题1.对焦点三角形12F PF △的处理方法，通常是运用⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin 2.若P 是椭圆：12222=+by ax 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为2tan2θb（用余弦定理与a PF PF 221=+可得）.例3 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．解析：由已知a ＝2，b ＝3，得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，即|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos 120°，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.①由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4，即|PF 2|＝4－|PF 1|.②②代入①解得|PF 1|＝65.∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF 1F 2的面积是335.巩固已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)的焦点分别是F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2.(1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．解析：(1)依题意知c ＝1，又c 2＝a 2－b 2，且3a 2＝4b 2，所以a 2－34a 2＝1，即14a 2＝1.a 2＝4.因此b 2＝3.从而椭圆方程为y 24＋x 23＝1.(2)由于点P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×2＝4，又|PF 1|－|PF 2|＝1，所以|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，又|F 1F 2|＝2c ＝2，所以由余弦定理得cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2，2·|PF 1|·|PF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－222×52×32＝35.即∠F 1PF 2的余弦值等于35. 题型三求椭圆的离心率例4 已知椭圆的两个焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝60°，求该椭圆的离心率．解析：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，画出草图如右图所示．由AF 1⊥AF 2知△AF 1F 2为直角三角形，且∠AF 2F 1＝60°.由椭圆定义知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，则在Rt△AF 1F 2中，由∠AF 2F 1＝60°得|AF 2|＝c ，|AF 1|＝3c ，所以|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝(3＋1)c ，所以离心率e ＝c a＝3－1.点评：求离心率的值或取值范围是一类重要问题，解决这类问题通常有两种办法： ①直接求出a 和c 的值，套用公式e ＝c a求得离心率；②根据题目条件提供的几何关系，建立参数a ，b ，c 之间的关系式，结合椭圆定义以及a 2＝b 2＋c 2等，消去b ，得到a 和c 之间的关系，从而求得离心率的值或范围．巩固设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2。

过F 2作椭圆长轴的垂线交于点P.若21PF F ∆为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

（答案12-）巩固椭圆x 2a 2 ＋y 2b2＝1( a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是 F 1，F 2.若 |AF 1|, |F 1F 2|，|F 1B | 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：由椭圆的定义知，|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|BF 1|＝a ＋c .因为|AF 1|，|F 1F 2|，|BF 1|成等比数列，因此4c 2＝(a －c )(a ＋c )，整理得5c 2＝a 2，两边同除以a 2得5e 2＝1，解得e ＝55. 题型四椭圆的标准方程求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为22=1x y m n+(0)0m n m n ≠＞，＞且，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221Ax By ＋＝ (A＞0，B ＞0且A ≠B )，这种形式在解题中更简便．例5 已知中心在原点的椭圆经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫63，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1，求椭圆的标准方程．解析：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．因为点⎝⎛⎭⎪⎫63，3和点⎝ ⎛⎭⎪⎫223，1都在椭圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫632＋n ×（3）2＝1，m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＋n ×12＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 3＋3n ＝1，8m 9＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝19.所以所求的椭圆的标准方程为x 2＋y 29＝1.例6已知()()121,0,1,0F F -是椭圆C 的两个焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线交C 于A 、B 两点，且3AB =，则C 的方程为（）（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=【巩固】1.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．解析：(1)由于椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．∴2a ＝5＋42＋5－42＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9. 故所求椭圆的方程为x 225＋y 29＝1.(2)由于椭圆的焦点在y 轴上，∴设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.故所求椭圆的方程为y 24＋x 2＝1.题型五：椭圆与弦1. 若直线与椭圆有两个公共点1122()()M x y N x y ，，，，可结合韦达定理，代入弦长公式MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-或MN ＝2121221(1)[(y )4]y y y k++-或MN ＝2121x x k -+求距离．例7 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x 轴上，又椭圆截直线y ＝x ＋2所得线段AB 的长为1625. (1)求椭圆方程； (2)求△OAB 的面积．解析：(1)∵a ＝2b ，∴设椭圆方程为x 24b 2＋y 2b 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 24b 2＋y 2b2＝1，得5x 2＋16x ＋16－4b 2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝162－20（16－4b2）＝16（5b 2－4）＞0，x 1＋x 2＝－165，x 1x 2＝16－4b 25.设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， ∴|AB |＝（x 1－x 2）2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝425·5b 2－4＝1625. ∴5b 2－4＝16，∴b 2＝4，即b ＝2. ∴a ＝2b ＝4.∴椭圆方程为x 216＋y 24＝1.(2)点O 到直线y ＝x ＋2的距离d ＝22＝2，∴S △AOB ＝12·|AB |·d ＝12×1625×2＝165.点评：直线 l 的斜率为 k ，与椭圆的两个交点坐标为 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦AB 的长为 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.巩固 1.在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短．解析：设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0.Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0 ∵ m 2＝16∴ m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4.如图，显然y ＝32x －4与椭圆x 24＋y27＝1的切点P 距l 最近，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.2. 已知斜率为2的直线经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．解析：方法一因为直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1,0)，又直线的斜率为2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43.|AB |＝（x A －x B ）2＋（y A －y B）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－432＝1259＝535.方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的解．消y 得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1·x 2＝0.所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2（1＋k 2AB ）＝（1＋k 2AB ）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋22）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553.例8 已知椭圆x 22＋y 2＝1，求过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12且被P 平分的弦所在直线的方程．解析：方法一由题意可知，该直线的斜率存在，不妨设所求直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝kx ＋12－12k ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋12－12k ，得(2＋4k 2)x 2＋4k (1－k )x ＋(1－k )2－4＝0，设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1＋x 2＝－4k1－k2＋4k2＝1，解之得k ＝－12.∴直线方程为2x ＋4y －3＝0.方法二设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由题意知，所求直线的斜率存在，设为k ，则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，得y 21－y 22＝－12(x 21－x 22)，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，即k ＝－12，∴直线方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋4y －3＝0.点评：求弦的中点坐标一般用韦达定理．。