运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
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运筹学--第三章运输问题
并设Xij----第i个盐产地运往第j个盐销地的运量。 目标函数为：
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
minS=3 x11 3 x12 4 x13 5 x14 6 x21 ...... 2x34
运出量等于产量：
x11＋x12＋x13＋x14＝70 x21＋x22＋x23＋x24＝80 x31＋x32＋x33＋x34＝100
P13 e1 e6 P14 e1 e7 P21 e2 e4 P23 e2 e6 P32 e3 e5 P34 e3 e7
后面 有理 论探 讨。
即不存在一组不全为零的数 k1 , k2 ,..., k6使得：
k1 P13 k2 P14 ... k6 P34 0成立
u1 u2 u3 v1 v2 v3 v4
x11 1
x12 1
x13 1
x14 1
1
0 1
0 1
0
x21 0 1 0 1
x22 0 1 0 0 1
x23 0 1 0 0 1
x24 0 1 0 0
x31 0 0 1 1
x32 0 0 1 0 1
x33 0 0 1 0 0 1
1
1
x34 0 0 1 0 0 0 1
3 2 2
1 4 5
销地 产地 A1 A2 A3 销量
3 4
B1 x11 x21 x31 3
B2 x12 x22 x32 6
B3 x13 x23 x33 5
B4 x14 x24 x34 6
产量 7 4 9 20
回顾
min z cij xij
i 1 j 1
如何求初始可行解？
约束方程 m n 7个， 模型中有变量 m n 12个，
运筹学——运输问题
22
2021/7/26
表3.20
销地
产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
2
5
7
A2
1
3
4
A3
6
3
9
销量
3
6
5
6
表3.21
销地
产地
B1
B2
A1
A2
3-
A3
6
销量
3
6
B3
B4
产量
5
2-
7
1+
4
3
9
5
6
23
2021/7/26
例：用表上作业法求下列运输问题的最优解:
销地 B1
B2
B3 产量
产地
A1
5
1
8 12
10
2021/7/26
1.求初始基可行解 方法1：最小元素法
基本思想：就近供应，即 从运价最小的地方开始供 应（调运），然后次小， 直到供完为止.
A1 A2 A3 销量
B1
3
3
1
7
03
B2
11
9
6
4
06
B3
4
3
1
2
10
045
B4
3
10
8
3
5
6
产量 73 410 93
11
2021/7/26
1.求初始基可行解 方法2：Vogel法
j1
m
xij bj ( j 1, , n)
i1
xij
0
(i 1,
,m
j 1,
运筹学第3章-运输问题特殊的线性规划
（1）选择一个xij，令xij= min{ai，bj}=
baij第满i足个第产j地个的销产地量需全求部运到第j个销地
将具体数值填入xij在表中的位置；
（2）调整产销剩余数量：从ai和bj中分别减去 xij的值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即 该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有 需求缺口bj-ai；若bj-xij =0，则划去销地Bj所在 的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai 尚有存余量ai-bj；
1、闭回路法
以确定了初始调运方案的作业表为基础，以一个非 基变量作为起始顶点，寻求闭回路。
该闭回路的特点是：除了起始顶点是非基变量外， 其他顶点均为基变量（对应着填上数值的格）。
可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，对于每 一个非基变量而言，以其为起点的闭回路存在且唯 一。
闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）-
-（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
ij cij ui v j
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数 ij 小于零，则首先在作业表上以xij
为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
输问题，再用表上作业法求出最优调运方
案。
如何转化 ？
第一步，将产地、转运点、销地重新编排， 转运点既作为产地又作为销地；
第二步，各地之间的运距（或运价）在原 问题运距（运价）表基础上进行扩展：从 一地运往自身的单位运距（运价）记为零， 不存在运输线路的则记为M（一个足够大 的正数）；
第三步，由于经过转运点的物资量既 是该点作为销地的需求量，又是该点 作为产地时的供应量，但事先又无法 获取该数量的确切值，因此通常将调 运总量作为该数值的上界。
baij第满i足个第产j地个的销产地量需全求部运到第j个销地
将具体数值填入xij在表中的位置；
（2）调整产销剩余数量：从ai和bj中分别减去 xij的值，若ai-xij=0，则划去产地Ai所在的行，即 该产地产量已全部运出无剩余，而销地Bj尚有 需求缺口bj-ai；若bj-xij =0，则划去销地Bj所在 的列，说明该销地需求已得到满足，而产地Ai 尚有存余量ai-bj；
1、闭回路法
以确定了初始调运方案的作业表为基础，以一个非 基变量作为起始顶点，寻求闭回路。
该闭回路的特点是：除了起始顶点是非基变量外， 其他顶点均为基变量（对应着填上数值的格）。
可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，对于每 一个非基变量而言，以其为起点的闭回路存在且唯 一。
闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）-
-（闭回路上偶数次顶点运距或运价之和）
位势法计算非基变量xij检验数的公式
ij cij ui v j
四、方案调整
当至少有一个非基变量的检验数是负值时， 说明作业表上当前的调运方案不是最优的，应 进行调整。
若检验数 ij 小于零，则首先在作业表上以xij
为起始变量作出闭回路，并求出调整量ε：
输问题，再用表上作业法求出最优调运方
案。
如何转化 ？
第一步，将产地、转运点、销地重新编排， 转运点既作为产地又作为销地；
第二步，各地之间的运距（或运价）在原 问题运距（运价）表基础上进行扩展：从 一地运往自身的单位运距（运价）记为零， 不存在运输线路的则记为M（一个足够大 的正数）；
第三步，由于经过转运点的物资量既 是该点作为销地的需求量，又是该点 作为产地时的供应量，但事先又无法 获取该数量的确切值，因此通常将调 运总量作为该数值的上界。
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。
这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。
但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法——表上作业法。
此外，有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型首先来分析下面的问题。
例3.1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。
三个收购站A 1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。
已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3—1所示（单位：千元/kt），问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少？设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即x11+x12+x13 = 50x21+x22+x23 = 45x31+x32+x33 = 65另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量，即 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70因此有该问题的数学模型为min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33 x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70x ij ≥0，i=1，2，3；j=1，2，3 生产实际中的一般的运输问题可用以下数学语言描述。
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
运筹学Chapter 3 运输问题分解
(4) 在余下的供销点的供销关系中,继续安排调运,直到 安排完成所有供销任务,得到一个完整的方案为止。
2018/9/12
确定初始基可行解（初始调运方案）
14
2.西北角法
解题思想 : 优先满足运输表中西北角 ( 即左上角 ) 上 空格的供销量需求. 解题步骤: (1). 最先填xij = min(ai,bj),即( Ai,Bj )； (2). 若 xij = ai ，则 Ai 行不在考虑,且 Bj 列剩下 bj ai 来填左上角其它空格. (3). 若 xij = bj ，则 Bj 列不再考虑,且 Ai 行剩下 ai bj 来填左上角其它空格. (4). 如此继续完成调运,最后得出一个初始方案。
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/9/12 10
2018/9/12 5
2.运输问题约束条件的系数矩阵
x11 1 x12 x1n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn
m行
n行
系数列向量的结构：
第i个
第(m+j)个
T
Aij 0,,0,1,0,,0,1,0,,0
2018/9/12 16
二、解的最优性检验
得到了初始可行解后，应对其进行判别是否是最优解,常用 方法有：闭回路法和对偶变量法。 1.闭回路法 解题思想：对运输表中的解的各非基变量即某空格 (Ai,Bj) 进行检验;若存在检验数为负，说明将xij变为基变量后，将使运 费减少；故当前解不是最优解；若所有检验数为正，则无论怎 样变换解均不能使运输费降低，即当前解是最优解。 解题步骤：以某空格 (Ai,Bj) 为顶点，由填有数字的其它格 为其它顶点，通过水平线段和竖直线段组成封闭多边形。可以 是简单的多边形，也可以是复杂的多边形。然后顺时针或逆时 针转，以 (Ai,Bj) 为第一顶点格，奇格为正，偶格为负，将单位 运价之代数和作为该空格的检验数sij ：若所有sij≥0，则是最优 解 ：若存在 sij＜0，则不是最优解。 2018/9/12 17
2018/9/12
确定初始基可行解（初始调运方案）
14
2.西北角法
解题思想 : 优先满足运输表中西北角 ( 即左上角 ) 上 空格的供销量需求. 解题步骤: (1). 最先填xij = min(ai,bj),即( Ai,Bj )； (2). 若 xij = ai ，则 Ai 行不在考虑,且 Bj 列剩下 bj ai 来填左上角其它空格. (3). 若 xij = bj ，则 Bj 列不再考虑,且 Ai 行剩下 ai bj 来填左上角其它空格. (4). 如此继续完成调运,最后得出一个初始方案。
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/9/12 10
2018/9/12 5
2.运输问题约束条件的系数矩阵
x11 1 x12 x1n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x21 x22 x2 n xm1 xm 2 xmn
m行
n行
系数列向量的结构：
第i个
第(m+j)个
T
Aij 0,,0,1,0,,0,1,0,,0
2018/9/12 16
二、解的最优性检验
得到了初始可行解后，应对其进行判别是否是最优解,常用 方法有：闭回路法和对偶变量法。 1.闭回路法 解题思想：对运输表中的解的各非基变量即某空格 (Ai,Bj) 进行检验;若存在检验数为负，说明将xij变为基变量后，将使运 费减少；故当前解不是最优解；若所有检验数为正，则无论怎 样变换解均不能使运输费降低，即当前解是最优解。 解题步骤：以某空格 (Ai,Bj) 为顶点，由填有数字的其它格 为其它顶点，通过水平线段和竖直线段组成封闭多边形。可以 是简单的多边形，也可以是复杂的多边形。然后顺时针或逆时 针转，以 (Ai,Bj) 为第一顶点格，奇格为正，偶格为负，将单位 运价之代数和作为该空格的检验数sij ：若所有sij≥0，则是最优 解 ：若存在 sij＜0，则不是最优解。 2018/9/12 17
运筹学Chapter-3--运输问题
2018/11/27 4
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/11/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/11/27 10
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
二、运输问题的数学模型的特点
1.运输问题有有限最优解 对运输问题的数学模型，若令变量 ai b j xij , i 1,2,, m; j 1,2,, n Q 其中： Q ai b j
i 1 j 1 m n
是运输问题的 一个可行解
另外，在运输问题的数学模型中,目标函数是取最小值,它 的值不会趋于无穷大, 在实际问题中也不可能出现这种情况 , 因此,运输问题有有限最优解。 对运输问题数学模型的约束条件进行整理,得其系数矩阵 的结构形式为：
第三章
运输问题
讲四节： 第一节 第二节 运输问题及其数学模型 用表上作业法求解运输问题
第三节
第四节
2018/11/27
运输问题的进一步讨论
应用问题举例
1
§3-1 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
设某物品有m个产地A1, A2 ,…, Am；各产地的产量
分别是a1,a2,…,am；有n个销地B1, B2,…, Bn。各销地 的销量分别是 b1,b2,…,bn ；假如从产地 Ai(i=1,2,…,m) 向销地Bj( j= 1,2,…,n)运输单位物品的运价是cij；问怎 样调运这些物品才能使总运费最小？
6 2 5
10 10-8=2 2-2=0 22 8-8=0 22-14=8 48
14-14=0 14
4 1 3 6 该运输问题一个初始可行解为： x13=10, x14=6, x21=8, x23=2, x32=14, x34=8.
1. 最小元素法：
总运费＝ 4×10＋11 ×6＋2 ×8＋3×2＋5 ×14＋6 ×8 ＝ 246 2018/11/27 10
这个问题是一个多产地多销地的单品种物品运输
运筹学 第三章 运输问题
（或者在同时划去Ai行与Bj列时，在该行或该列的任意空格处填加一 个0。）
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
2021/3/14
26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
这样可以保证填过数或零的格为m+n-1个，即保证基变量的个数为 m+n-1个。
2021/3/14
14
2.Vogel法
Vogel法的思想是:一地的产品如果不能按照最小运
费就近供应，就考虑次小运费，这就有差额，差额越大， 说明不能按最小运费调运时，运费增加得越多。因而差 额越大处，就应当采用最小运费调运。
同理可以求得 v4=10，u2= -1，等等见上表。
检验数的求法，即用公式 ijciju，i vj
如 1 1 c 1 1 u 1 v 1 3 0 2 1 。
2021/3/14
23
位势法计算检验数：
检验数： ijcijCBB1Pij
cijYiP jcij(u1,..u.m , ,v1,.v.n.)Pij
3
B4
ui
3 10
0
-1 8
-1
35
-5
10
B1
3
31
7
2
B2
11 9
64
9
B3
4(+1) 3 1 (-1) 2
10
3
B4
ui
3(-1) 10
0
+1 8
-1
35
-5
10
2021/3/14
26
调整运量后的新方案：
销地
产地
B1
A1
A2
3
A3
B2
B3
5
6
销量
3
6
5
B4
产量
2
7
1
4
3
9
运筹学第3章：运输问题
收点 发点 B1 10 B2 5 7 10 12 7 15 15 3 5 8
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
5
B3
B4
产量
B1
B2
B3
B4
A1
A2 A3 销量
15 5
25 18 3 5 45
20
22 12
11
17 24
30
19 16
21
30 28
对应的目标函数值为： z＝10×20＋5×11+7×17+15×19＋30×3+5×28＝889(元) 3、伏格尔法 ⑴在运价表中分别增加一行(列差额)和一列(行差额)，并分 别计算出各行和各列次最小运价和最小运价的差额。 ⑵从行差额或列差额中选出最大者，选择它所在的行或列中 的最小运价优先安排运量。
第三章 运输问题
(Transportation Problem)
运输问题及其数学模型 表上作业法 运输问题的进一步讨论
WinQSB软件应用
第一节 运输问题及其数学模型
一、运输问题的数学模型
【例1】已知某产品有A1、A2、A3三个生产地，其可供应的产量分别为15、 25、5吨；有B1、B2、B3、B4四个销售地可以销售该产品，其对该产品的需求 量分别为10、12、15、8吨。从Ai运往Bj单位产品的运价如下表所示。
⑴在运价表中找到最小运价cLk； ⑵将AL的产品给B k；
①若aL>b k，则将aL改写为aL-bk，划掉bk，同时将运价表中 K列的运价划掉； ②若aL<b k，则将bk改写为bk-aL，划掉aL，同时将运价表中 L行的运价划掉。
如此重复⑴、⑵，直到分配完毕。
【例3-2】以例3-1为例进行说明。
二、运输问题的特点
1、平衡运输问题必有可行解，也必有最优解； 2、运输问题的基本可行解中应包括 m+n-1个基变量。
运筹学 第三版 清华大学出版社 第3章运输问题
运输问题应用—建模
1
1.运输问题的数学模型.
问题的提出 一般的运输问题就是要解决把 某种产品从若干个产地调运到若干个 销地，在每个产地的供应量与每个销 地的需求量已知，并知道各地之间的 运输单价的前提下，如何确定一个使 得总的运输费用最小的方案。
2
例3.1:某公司从两个产地A1、A2将物 品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的 产量、各销地的销量和各产地运往各销 地每件物品的运费如下表所示，问：应 如何调运可使总运输费用最小？
32
2.运输问题求解 —表上作业法
1、初始基本可行解的确定 （1）西北角法：从西北角（左上 角）格开始，在格内的右下角标上允 许取得的最大数。然后按行（列）标 下一格的数。若某行（列）的产量 （销量）已满足，则把该行（列）的 其他格划去。如此进行下去，直至得 到一个基本可行解。
33
2.运输问题求解 —表上作业法
表3-3 运输问题数据表
销地 产地
B1 c11 c21
B2 … Bn c12 … c1n c22 … c2n
产量
┇
A1 A2
┇
┇
Am
销量
cm1 b1
cm2 b2
┇ ┇ … cmn
┇
a1 a2
am
… bn
设 xij 为从产地 Ai 运往销地 Bj 的运 输量，根据这个运输问题的要求，可以建立 9 运输变量表（表 3-4）。
2.运输问题求解 —表上作业法
一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输 问题的初始基本可行解，必须保证 找到 m + n – 1 个不构成闭回路的 基变量。 一般的方法步骤如下：
26
2.运输问题求解 —表上作业法
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编号
运费表{zij / wij}
ui
-2 / 20 2 / 11 3 0 / 6 3
I 5 9 10 7 / 2 10
-1 / 18 3 / 7 4 1 4
vj 5 1 0 3
分配表{xij}
5
5
3 3 4 x24 10 3+ 12 15
3 3 12 12
中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在转移。此时，一要耐心， 二要正确选择出变量 踏石法迭代中需注意的问题： 1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未 选够数或未选对
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2 3 12 12
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2
5
19
10
3 12 15
3 12 12
m n 7 有6个基变量
34
f (x) wij xij 205
i1 j1
幻灯片 6
2、最低费用法 采用最小费用优先分配的原则，看一步
3、求入变量 xij 的最大值及新基变量的解 从 xij 出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“ ”和“+”，表示“ ” 和“+” xij ，从而迭代后仍满足分配的平衡 标有“ ”的变量中最小者就是出变量 xij* ，对应 xij*的值就是所求入变量 xij 的最大值 标有“ ”的变量减去 xij*，标有“+”的变量加上 xij*
f(x)=121，比 西北角法低
84 幻灯片 7
分配表{xij}
5
5
334
10
3 12 15
3 3 12 12
3、运费差额法 采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大)优先分
配的原则，看两步
编号
运费表{wij}
20 11 (3) 6
I 5 9 10 2
分配表{xij}
x13
1、西北角法
从 x11 开始分配，从西北向东南方向逐个分配
xij 的分配公式
销地
产量
运量
1 2 n ai
产地
1
x11 x12 x1n a1
2
x21 x22 x2n a2
m
xm1 xm2 xmn am
销量 bj b1 b2 bn
例 3.2.1
销地
产量
运费
1 2 3 4 ai
产地
1 20 11 3 6 5
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
x12
5
10
15
3 12 12
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6
5
5
II 5 9 10 2
10
18 7 (4) 1
x33 12 15
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
20 11 3 6
III 5 9 (10) 2
18 7 4 1
为产销平衡 设 xij 表示产地 i 运往销地 j 的物资量，wij 表示对应的单位运费，则我们有运输问题
的数学模型如下：
运输问题有 m n 个决策变量，m+n 个约束条件。由于产销平衡条件，只有 m+n–1 个相 互独立，因此，运输问题的基变量只有 m+n–1 个 幻灯片 3
3.2 运输问题的求解方法 约束条件非常有规律，技术系数非 0 即 1 基变量的个数远小于决策变量的个数 采用表上作业法，称为位势法和踏石法 运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表)
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2
5
x22
10
15
3 12 12
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2
5
1 x23
10
15
3 12 12
销地
运量
1
产地
13
2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
2
5
19
10
x33
15
3 12 12
销地
运量
1
产地
13
分配表{xij}
5
5
3 3
4+ 10
x32 7 8 15
3 3 12 12
OBJ=101
编号
运费表{ zij / wij}
ui
3 / 20 6 / 11 3 0 / 6 1
III 5 8 / 9 5 / 10 2 1
4 / 18 7 4 1 0
vj 4 7 4 1
分配表{xij}
5
5
3
7 10
3 7 5 15
ai bj
i 1,2,,m j 1,2,,n
xij 0
max a1u1 a2 u2 b1v1 b2v2 b3v3
u1 u1
v1 v2
w11 w12
u1
u2
v1
v3 w13 w21
u2
v2
w22
u2
v3 w23
u1 , u2 , v1 , v2 , v3 不限
5
10
18 7 4 1
12 15
3 3 12 12
编号
运 费 表 {wij}
分 配 表 {xij}
20 11 3 6 3
5
II
5 9 10 2 7 3
7 10
18 7 4 1 3
15
13 2 1 1
3 3 12 12
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6 3
5
III 5 9 10 2 7 3
3 3 12 12
答：最优解如上分配表，OBJ=98 幻灯片 13
3.3 运输问题迭代中的一些具体问题
3.3.1 闭合回路的画法
从入变量 xij 出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇到其它基变量，
则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法
闭合回路不一定是矩形
3.3.2 产销不平衡
供过于求，即 ai > bj ，增加一个虚收点 Dn+1，bn+1= ai - bj , 令
wi,n+1=0, i=1,2,…,m
供小于求，即 ai < bj ，增加一个虚发点 Wm+1，am+1= bj - ai , 令
wm+1,j=0, j=1,2,…,n
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n 1。必须补足基变量的个数，
否则不能正常解出 m+n 个 ui 和 vj
2 5 9 10 2 10
3 18 7 4 1 15 销量 bj 3 3 12 12
幻灯片 5
例 3.2.1 西北角法
销地
运量
1
产地 1 2 3
销量 bj 3
产量
2 3 4 ai
5 10 15 3 12 12
xij
min
(ai (bj
i j
行已分配的总量 列已分配的总量
) )
i 行尚余物资量 j 列待分物资量
3.2.2 利用位势法检验分配方案是否最优 不采用单纯型法，如何获得 xij 的检验数 找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出对应对偶问题的解，若该对偶问题
的解非可行，则原问题的解不是最优解；否则，达到最优解
编号
运费表{wij}
分配表{xij}
20 11 3 6 3
5
I
5 9 10 2 3 3
10
18 7 4 1 3
15
13 2 1 1
3 3 12 12
m
n
max g(u,v) aiui bjv j
i 1
j 1
ui v j wij ui , v j 不限 i 1,2,,m, j 1, 2,,n
幻灯片 9
mn
min f ( x) wij xij
i1 j1
ijmn11xxiijj
mn
min f ( x) wij xij
i1 j1
ijmn11xxiijj
ai bj
xij 0
i 1,2,,m 产地约束 j 1,2,,n 销量约束
销地
运费
1 2n
产地
1
w11 w12 w1n
2
w21 w22 w2n
m
wm1 wm2 wmn
幻灯片 4
3.2.1 寻找初始可行解的方法
幻灯片 11
3.2.3 踏石法 1、找入变量
从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
2、以 xij 为起点，寻找由原基变量构成的闭合回路 该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基变量；因此，闭合回路 中必有偶数个变量(包括 xij )，且回路中每行每列只有两个变量
幻灯片 1
©管理与人文学院 忻展 红
1999，4
第三章 运输问题
— 数学模型及其解法