导数在研究函数中应用之函数单调性
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用 2导数在研究函数中的应用第1课时函数的单调性课件
解： .令，得或 .当时，， 单调递增；当时，， 单调递减.综上，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 ．
【点拨】确定函数单调区间的步骤如下.第一步，确定函数 的定义域.第二步，求.第三步，解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间.注意函数间断点.
A. B.， C. D.，
解：函数的定义域为，.由，得 .依题意，得 解得 .故选B.
√
10.已知，，， ，则 ( )
A. B. C. D.
解：因为当时,，所以在 上单调递减.因为，即，所以 .故选C.
√
11.已知函数.若在上单调递增，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
变式1（1） 函数 的单调递减区间为____________.
，
解：因为，所以且 .所以 .令，解得或 .所以的单调递减区间为， .故填， .
（2）已知函数,，求函数 的单调区间.
解： .令，得或 .当或 时，；当时， .所以在,上单调递增，在,上单调递减, 在, 上单调递增.
考点二 含参函数的单调性
2.利用导数判断函数 单调性的步骤 第1步，确定函数的________； 第2步，求出导数 的______； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各个区间上的正负，由此得出函数 在定义域内的单调性. 3.函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得______，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得______，函数的图象就比较“平缓”.
6.已知函数，则 的大致图象为 ( )
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
专题12 利用导数解决函数的单调性
专题12导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用.导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一求无参函数的单调区间例1已知函数()ln xf x e=.（1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【解析】（1）当1a =时，()ln 1xx f x e+=，第一步，计算函数()f x 的定义域：()0,+∞.第二步，求出函数()f x 的导函数'()f x ：()1ln 1xx x f x e --'=第三步，令()1ln 1g x x x=--，则()g x 在()0,∞+上为减函数，且()10g =所以，当()0,1x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减.故()f x 递增区间为()0,1；()f x 递减区间为()1,+∞【变式演练1】函数()2sin sin 2f x x x =⋅，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调递增区间为__________．【答案】(0,)3π；（区间两端开闭都可以）【分析】利用三角恒等变换得32sin y =，再利用换元法设sin [0,1]t x =∈，利用导数和复合函数的单调性解不等式0sin x <<，即可得到答案；【详解】令223sin sin 22sin cos sin 2sin y x x x x x =⋅=⋅=，设sin [0,1]t x =∈，则3()2h t t =，∴()'362h t tt ='，2242246122346t t t t t t---=，[0.1)t∈，∴()002h t t >⇒<<'，∴0sin 03x x π<<<<，∴()f x 在区间(0,)3π单调递增.故答案为：(0,)3π.【点睛】本题考查复合函数的单调性与导数的结合，考查运算求解能力，求解时注意复合函数的单调性是同增异减的原则.【变式演练2】已知函数()()2ln 1x xf x x e e -=+++，则不等式()()2210f x f x --+≤的解集为___________.【答案】(]1,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】首先根据题意得到()f x 是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数()f x 的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】因为()()2ln 1x xf x x e e -=+++，x ∈R ，所以()()()2ln 1x xf x x e e f x -+-=++=，所以()f x 是偶函数.因为()22222111x x xx x x e f x e e x x e-'==++-+-+当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增.又因为()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递减.所以()()2210f x f x --+≤，即()()221f x f x -≤+，所以221x x -≤+，即23830x x +-≥，解得3x ≤-或13x ≥.故答案为：(]1,3,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭.【变式演练3】已知函数()2sin f x x x =-+，若a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a c b<<【答案】D 【解析】【分析】求得函数()f x 单调性与奇偶性，再结合指数函数与对数函数的性质，得出2log 72>>，得到()22(log 7)(f f f >>，进而得到2(2)(log 7)(f f f -->>，即可得到答案.【详解】由题意，函数()2sin f x x x =-+的定义域为R ，且()2()sin()2sin ()f x x x x x f x -=-⋅-+-=-=-，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是R 上的奇函数，又由()2cos 0f x x '=-+<，所以函数()f x 为R 上的单调递减函数，又因为133>=，22log 7log 42>=且22log 7log 83<=，即22log 73<<，所以2log 72>>，可得()22(log 7)(f f f >>，又由函数()f x 是R 上的奇函数，可得()(2)2f f --=，所以2(2)(log 7)(f f f -->>，即a c b <<.故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数的单调性，以及指数函数与对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用函数的基本性质，结合指数函数与对数函数的性质求得自变量的大小关系式解答的关键，着重考查了推理与运算能力.【变式演练4】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211xf x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()x f x g x e=，利用导数分析出函数()y g x =在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减，并推导出函数()()x f x g x e=的图象关于直线1x =-对称，进而可判断出各选项的正误.【详解】构造函数()()xf xg x e=，则()()()x f x f x g x e '-'=，当1x ≠-时，()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦.当1x >-时，则()()0f x f x '->，()0g x '<；当1x <-时，则()()0f x f x '-<，()0g x '>.所以，函数()()xf xg x e=在(),1-∞-上单调递增，在()1,-+∞上单调递减.又()()211xf x f x e-+=--，所以()()1111xxf x f x ee-+---+--=，即()()11g x g x -+=--，故函数()()x f x g x e=的图象关于直线1x =-对称．对于A 选项，()()10g g ->，即()()10ef f ->，()1f -与()0f 的大小关系不确定，A 选项错误；对于B 选项，()()21g g -<-，即()()221e f ef -<-，即()()21ef f -<-，B 选项正确；对于C 、D 选项，()()20g g -=，即()()220e f f -=，C 、D 选项错误.故选：B ．【点睛】本题考查利用构造函数法判断函数值的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解题的关键，考查推理能力，属于难题.类型二判定含参数的函数的单调性例2已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）第一步，计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：()2122122(0)'x ax x x x xf a x -+=+-=>，记()2221g x x ax =-+.第二步，讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0：当0a ≤时，因为0x >，所以()1g x >，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a <≤时，因为()2420a ∆=-≤，所以()0g x ≥，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当a >时，由()00x g x >⎧⎨>⎩，解得22,22a a x ⎛+∈⎪⎝⎭，第三步，根据导函数的符号变换判断其单调区间：所以函数()f x 在区间22,22a a ⎛-+⎝⎭上单调递减，在区间20,2a ⎛- ⎪⎝⎭和22a ⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.【变式演练5】（主导函数是一次型函数）已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；【解析】（1）因为()ln (0)f x x ax x =->，所以11()'-=-=ax f x a x x，当0a时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，令()0f x '>，即10ax ->，解得10x a<<；令()0f x '<，即10ax -<，解得1x a>，综上所述：当0a 时，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；当0a >时，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.【变式演练6】（主导函数为类一次型）已知函数()xf x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【解析】（Ⅰ）函数()y f x =的定义域为R ，且()xf x a e -'=-.①当0a ≤时，()0f x '<，函数()y f x =在R 上单调递减；②当0a >时，令()0f x '<，可得ln x a <-；令()0f x '>，可得ln x a >-.此时，函数()y f x =的单调递减区间为(),ln a -∞-，单调递增区间为()ln ,a -+∞；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥.（1）讨论()f x 的单调性；【解析】（1）函数()2ln a f x x a x x =--的定义域为()0,∞+，()222221a a x ax af x x x x-+'=+-=.令()22g x x ax a =-+，244a a ∆=-.①当2440a a ∆=-≤时，即当01a ≤≤时，对任意的0x >，()0g x ≥，则()0f x '≥，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当2440a a ∆=->时，即当1a >时，方程()0g x =有两个不等的实根，设为1x 、2x ，且12x x <，令220x ax a -+=，解得10x a =>，20x a =+>.解不等式()0f x '<，可得a x a <<+解不等式()0f x '>，可得0x a <<-或x a >+此时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a ，()a ++∞，单调递减区间为(a a -+.综上所述，当01a ≤≤时，函数()y f x =的单调递增区间为()0,∞+，无递减区间；当1a >时，函数()y f x =的单调递增区间为(0,a ，()a ++∞，单调递减区间为(a a -+；【变式演练8】（主导函数是类二次型）已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【解析】（1）()2(2)x x f x kxe x x ke '=-=-，当0k ≤时20x ke -<，令'()0f x >得0x <，令'()0f x <得0x >，故()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞，当02k <≤时，令'()0f x =得0x =，或2ln 0x k=≥，当02k <<时2ln0k >，当'()0f x >时2ln x k >或0x <；当'()0f x >时20ln x k <<；()f x 的单调递增区间为()2,0,ln ,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.当2k =时2ln0k=，当0x >时'()0f x >；当0x <时'()0f x >；()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；【变式演练9】已知函数()22ln f x x x =-，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则m 的取值范围是（）A ．1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)0,1【答案】A 【分析】利用导数求出函数()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，进而可得出()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围.【详解】因为()22ln f x x x =-的定义域为()0,∞+，()14f x x x'=-，由()0f x '>，得140x x ->，解得12x >，所以()f x 的递增区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则()12,1,2m m ⎛⎫+⊆+∞ ⎪⎝⎭，所以12122m mm +>⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得114m ≤<.因此，实数m 的取值范围是1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：A.【点睛】方法点睛：利用函数()f x 在区间D 上单调递增求参数，可转化为以下两种类型：（1）区间D 为函数()f x 单调递增区间的子集；（2）对任意的x D ∈，()0f x '≥恒成立.同时也要注意区间左端点和右端点值的大小关系.类型三由函数单调性求参数取值范围例3．若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】第一步：计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ：因为()()21ln 242f x x b x =-++，故可得()2b f x x x '=-++，第二步根据题意转化为相应的恒成立问题：因为()f x 在区间()2,-+∞是减函数，故02bx x -+≤+在区间()2,-+∞上恒成立.因为20x +>，故上式可整理化简为()2b x x ≤+在区间()2,-+∞上恒成立，因为()2y x x =+在区间()2,-+∞上的最小值为1-，第三步得出结论：故只需b ≤-1.故选：A.【点睛】本题考查根据函数的单调性，利用导数求解参数范围的问题，属基础题.【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（）A ．4B ．16C ．20D ．18【答案】B 【解析】【分析】由函数()()22xf x exax b =-++在()1,1-上单调递增得：()2402a x a b x -+-++≥在()1,1-上恒成立，转化成26020a b b +-≥⎧⎨+≥⎩，结合线性规划知识求解即可【详解】因为函数()()22xf x e xax b =-++在()1,1-上单调递增，所以()()()()22''22'xx f x ex ax b e x ax b =-+++-++=()2402x a x a b e x ⎡⎤+-++≥⎣⎦-在()1,1-上恒成立．又0x e >，所以()2402a x a b x -+-++≥在()1,1-上恒成立．记()()224g x a x x a b -=+-++，则()()()()12401240g a a b g a a b ⎧-=---++≥⎪⎨=-+-++≥⎪⎩，整理得：26020a b b +-≥⎧⎨+≥⎩，把横坐标看作a 轴，纵坐标看作b 轴，作出不等式组表示的区域如下图，令2816a z b =++，则2288a z b =-+-，抛物线28a b =-恰好过图中点()4,2G -，由线性规划知识可得：当抛物线2288a zb =-+-过点()4,2G -时，28z -最小，此时z 取得最小值．所以()2min 4821616z =+⨯-+=故选B【点睛】本题主要考查了单调性与导数的关系，还考查了恒成立问题及线性规划求最值，考查计算能力及转化能力，属于中档题．【变式演练12】（转化为变号零点）已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【答案】D【解析】【分析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，22()2a x a f x x x x-'=-=，根据题意可得到，12<<，从而可得答案．【详解】解： 函数2()1f x x alnx =-+，定义域{|0}x x >，∴22()2a x a f x x x x-'=-=，当0a时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，当0a >时，在⎫+∞⎪⎪⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增，在⎛ ⎝上，()0f x '<，()f x 单调递减， 函数2()1f x x alnx =-+在(1,2)内不是单调函数，12∴<<，28a ∴<<，故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到02a -是关键，也是难点所在，属于中档题．【变式演练13】（直接给给定单调区间）已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（）A ．-4B ．-2C ．2D ．4【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的单调区间，得到导函数()'fx 的零点，结合根与系数关系，求得m n +的值.【详解】依题意()'22f x x mx n =++，由于函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，所以3x =-，1x =是()'22fx x mx n =++的两个零点，所以3121313m m n n -+=-=⎧⎧⇒⎨⎨-⨯==-⎩⎩，所以2m n +=-.故选：B【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.【变式演练14】（转化为存在型恒成立）若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是()A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【答案】D【解析】【分析】f (x )在(1,+∞)上存在单调递增区间,等价于()f x '>0在(1,+∞)上有解.因此结合()f x '的单调性求出其在(1,+∞)上的最值,即可得出结论.【详解】f (x )321132x x =-++2ax 在(1,+∞)上存在单调递增区间,只需()f x '>0在(1,+∞)上有解即可.由已知得2()2f x x x a '=-++,该函数开口向下,对称轴为12x =,故()f x '在(1,+∞)上递减,所以(1)f '=2a >0,解得a >0.故选:D.【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用,难度不大.。
例谈导数在研究函数的单调性中的应用
转化 为方 程 （ ） 一０ 区间 Ｍ 上 有实根 问题来 求解． 在
应 注 意 零 点存 在 定 理 的 应 用 ．
三 、 明 函 数 的 单 调 性 证
是含参数的一元二次不等式 的解法．
用之 一 ， 进一 步研 究 函数 的极 值 、 值等 其他 重要 性 是 最 质 的基础． 用导 数 求 函数 的单 调性 的关 键 是 解 不 等 利 式， 特别是含有参数 的不 等式 既是重 点 ， 也是 难点． 面 下
通 过 例 题 说 明导 数 在 研 究 函 数 的 单 调 性 中 的应 用 ．
究 函数 性 质 的重 要 且 有 力 的 ｌ Ｔ具 ， 别 是 对 于 函数 的 单 特 调 性 ， 导 数 ” 工 具 ， 对 其 进 行 全 面 的分 析 ． 时 利 以“ 为 能 同 ＆ 】 一 ＋ ｎ ＋ １ １ 解 得 ∈ 。 。 ≤ ，
故 “的取值 范围是［ ， ×） ÷ ＋Ｃ ． ３
一
而求解． 值得 注意的是 ： 导 函数 是二 次 函数 时 ， 若 也常利
用 一 元 二 次方 程 根 的 分 布 来 求 解 ．
、
求 函数 的单 调 区 间
【 ３ 已知 函数 ＿ 一 ＋ （ －ａ ￣ －ａ ａ ２ｘ 例 】 厂 ） 。 １ ） （＋ ） （ ｖ
【 １ 已 知 ＿ ） 。 ｎ ＋ ＋ｎ 求 二 ｆ ｒ 例 】 厂 （ 一 ＋ ， ＝ ｏ） ＝
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例 谈 导 数 在 研 究 函数 的 单 调 性 中 的 应 用
导数在研究函数中的应用 课件
【训练 1】 证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0，e)上是增函数.
证明
∵f(x)＝lnx
x，∴f′(x)＝x·1xx－2 ln
x＝1－xl2n
x .
又 0<x<e，∴ln x<ln e＝1.
∴f′(x)＝1－xl2n x>0，
故 f(x)在区间(0，e)上是单调递增函数.
类型二 利用导数求函数的单调区间 【例2】 求下列函数的单调区间：
此时函数的增区间是(－∞，＋∞).
当 t>0 时，解 x2≥t 得 x≥ t或 x≤－ t；
由 f′(x)≤0 解得－ t≤x≤ t.
此时函数 f(x)的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)，
减区间是(－ t， t). 综上可知，当 t≤0 时，函数 f(x)的增区间是(－∞，＋∞)，无减 区间； 当 t＞0 时，函数 f(x)的增区间是(－∞，－ t)和( t，＋∞)，减区
又∵x＞0，∴x＞
3 3.
令 f′(x)＜0，即 2·3x2x－1＜0，
解得 x＜－ 33或 0＜x＜ 33.又∵x＞0，∴0＜x＜ 33.
∴f(x)的单调递增区间为
33，＋∞，
单调递减区间为0，
3
3
.
(4)f′(x)＝3x2－3t，令 f′(x) ≥0，得 3x2－3t≥0，
即 x2≥t.∴当 t≤0 时，f′(x) ≥0 恒成立，
2.函数f(x)＝2x－sin x在(－∞，＋∞)上是( )
A.增函数
B.减函数
C.先增后减
D.不确定
解析 f′(x)＝2－cos x＞0.
答案 A
3.函数y＝ex＋x在R上是________函数. 解析 y′＝ex＋1＞1＞0，故函数y＝ex＋x在R上是增函数. 答案 增
第18讲 利用导数研究函数的单调性(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习
3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围
(1)函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为 f′(x)≥0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不
恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间． 函数 y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为 f′(x)≤0 在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒 为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间． (2)函数 y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为 f′(x)＞0 的解集是(a，b)；
6、函数 f(x)＝x3－6x2 的单调递减区间为________．
【答案】(0,4)
【解析】：f′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，
由 f′(x)<0，得 0<x<4，
∴函数 f(x)的单调递减区间为(0,4)．
7、(多填题)已知函数 f(x)＝x3＋mx2＋nx－2 的图象过点(－1，－6)，函数 g(x)＝f′(x)＋6x 的图象关于 y 轴对
∴h(x)在(2，3)递增，h(x)>h(2)＝3，
∴实数 a 的取值范围为 a≤3；
②由题意得 g′(x)＝x2－ax＋2<0 在(－2，－1)上有解，∴a<x＋2在(－2，－1)上有解， x
【答案】D
【解析】
函数
f(x)＝－2lnx－x－3的定义域为(0，＋∞)，且 x
f′(x)＝－2x－1＋x32＝－x2＋x22x－3，解不等式
f′(x)>0，即 x2＋2x－3<0，由于 x>0，解得 0<x<1.因此，函数 y＝f(x)的单调递增区间为(0，1).故选 D.
3、函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图像如图，则函数 y＝ax2＋3bx＋c的单调递增区间是( ) 23
导数的应用-单调性nbsp新课件[1].1
课后作业
P78习题3.3第1、2题
思考题: 函数f(x)=2x3－6x2+7 能不能画
出该函数的草图？
小结:
1.学习函数导数与单调性的关系．首先要确定函 数的定义域，再通过讨论导数的符号来判断函数 的单调区间，或证明函数的单调性． ２.利用导数的符号来判断函数的单调区间，是导 数几何意义在研究曲线变化规律的一个应用，它 充分体现了数形结合的思想． ３.掌握研究数学问题的一般方法： 从特殊到一般；从简单到复杂。
导数在研究函数中的应用
—单调性
分析：从图形看 若函数在区间(a,b)内单调递增，我们 发现在（a，b）上切线的斜率为正，即 在（a，b）内的每一点处的导数值为正
若函数在区间(a,b)内单调递减，发 现在（a，b）上切线的斜率为负，即 在(a,b)内的每一点处的导数值为负，
一般地， 设函数y＝f（x）在区间上可导，
例2、确定函数f(x)=sinx在x∈（０,２π） 上的单调减区间 解: f’(x)=cosx 令f’(x)＜０由cosx ＜０, 又x∈（０ , ２π） ∴x∈（ π／2, 3π／2） 所以函数f(x)单调减区间 是（ π／2 , 3π／2）
例３、若函数f(x)=ax3-x2+x-5(a≠0) 在Ｒ上单调递增,求a取值范围.
1)如果在某区间上f′(x)>0，那么f（x） 为该区间上的增函数，
2)如果在某区间上f′(x)<0，那么f（x） 为该区间上的减函数。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
o
a
b
x
o a
bபைடு நூலகம்
x
思考:上述结论的逆命题正确吗? 观察三次函数y=x3的图象； 一般地,设函数y=f(x)在某个区间内 可导,则函数在该区间 如果f(x)为增函数, 则 f′(x) ≥0. 如果f(x)为减函数, 则 f′(x) ≤0. 注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性导数是研究函数的一个重要工具，可以用来研究函数的单调性。
含参函数即包含一个或多个参数的函数，我们可以通过对导数的研究来研究含参函数的单调性，下面我们就来详细介绍。
首先，我们先回顾一下导数的定义。
对于含有一个自变量的函数y=f(x)，我们可以通过求导来得到函数在其中一点的斜率。
导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) {f(x+h)-f(x)} / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
如果函数在其中一点的导数大于0，我们可以认为该点函数是递增的；如果导数小于0，则是递减的。
如果导数恒大于0，则函数是严格递增的；如果导数恒小于0，则函数是严格递减的。
对于含参函数y=f(x，a，b，c...)，其中a，b，c...为参数，我们也可以研究其单调性。
我们可以首先将含参函数看作一个关于自变量x的函数，然后求导。
求导后的函数中不再含有参数，其导数的正负号和零点即可以用来研究函数在不同参数取值情况下的单调性。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明。
考虑函数y=f(x,a)=ax^2，其中a为参数。
我们可以先固定a的值，然后研究函数关于x的变化情况，再通过参数a的取值来研究函数的单调性。
首先，我们分别求导得到函数关于自变量x的导数：f'(x,a) = 2ax现在我们可以根据导数的正负号来研究函数的单调性。
当a>0时，f'(x,a)恒大于0，即导数恒大于0，说明函数递增；当a<0时，f'(x,a)恒小于0，即导数恒小于0，说明函数递减。
接下来，我们可以通过研究参数a的取值来研究函数的单调性。
当a>0时，函数为开口向上的抛物线，随着a的增大，函数的正值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强；当a<0时，函数为开口向下的抛物线，随着a的减小，函数的负值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强。
导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)
图 （ １ ） 中的曲线越来越 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终大于 １ ； 图 （ ２ ） 中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的右半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ３ ） 中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 的左半段的切线斜率小于 １ ； 图 （ ４ ） 中的曲线越来越 “ 平缓 ”， 在区间 （ ０ ， １ ） 上各点处 的切线斜率始终小于 １． 因此 ， 只有图 ５-３-１ （ １ ） 中的图像有可能表示函数 y ＝ f（ 可能成为严格递增区间与严格 递减区间的分界点 ．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间 ．
解函数在x 0处没有定义 ．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０ 无解 ， 所以函数 f（ x ）没有驻点 ． 但当 x ＞０ 时 ，f′（ x ） ＜０ ，f（ x ） 单调递减 ； 当 x ＜０ 时 ，f′（ x） ＞０ ， f（ x ） 单调递增 ． 可 见 ， 函数 f （ x ） 的严格递增区间为 （－∞，０）， 严格 递减区间为（０，＋∞）
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１． 利用导数研究下列函数的单调性 ， 并说明所得结果与你 之前的认识是否一致 ：
宋老师数学精品工作室 ２． 确定下列函数的单调区间 ：
随堂检测 宋老师数学精品工作室
1、函数y＝x2cos 2x的导数为（ ）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性 ． 但导数值还可 以进一步用以判断函数变化速度的快慢 ： 导数f′（ x ０ ） 是函数 f（ x ） 在点 x ０ 的切线的斜率 ， 所以它描述了曲线 y＝f（ x ） 在点 x０ 附近相 对于x轴的倾斜程度 ： 当f′（ x ０ ） ＞０ 时 ，f′（ x０ ） 越大 ， 曲线 y ＝ f （ x ） 在点 x ０ 附近相对于 x 轴倾斜得越厉害 ，f（ x ） 递增得 越快 ； 而当f′（ x ０ ） ＜０ 时 ，f′（ x ０ ） 越小 ， 曲线y ＝ f （ x ） 在点 x０ 附近相对于x轴倾斜得越厉害 ， f （ x ） 递减得越快 ． 综合这 两个方面 ， 导数的绝对值越大 ， 函数图像就越 “ 陡峭 ”， 也就是 函数值变化速度越快 ．
利用导数研究函数的单调性的题型分析
利用导数研究函数的单调性题型分析题型一：利用导数求函数的单调区间 例：求下列函数的单调区间. (1)y = 2x 3— 3x 解：⑴由题意得y '=6x 2— 3. (2)f (x ) = 3x 2 - 2ln x . 2 或 x > 2 ， 当x € (— 8，— )时，函数为增函数，当 x € ，+8 )时，函数也为增函数. 2 2 令 y '=6x 2— 3 >0 ,解得 x v — 令 y '=6x 2— 3 v 0 , 解得二v x v2当x € (— -, 2)时，函数为减函数. 2 2 故函数的递増区间为(一8,--^)和(-^ ,+8 )，递减区间为(一-^，-^).⑵函数的定义域为(0，+8 )， 2 3x 2— 1 f '(x ) = 6x —-= 2 • x3x 2 — 1 “ 3• ------ >0.且 x >0,可解得 x >—; x 3 3x 2— 1 - 3 • v 0，由 x > 0 得，0 v x v ， x 3 •••f(x )的增区间为(十，+8 )，减区间为(0, 十). 3 3 令 f '(x ) > 0，即令 f '(x )v 0，即规律总结： 1•在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义 域内讨论，定义域为实数集 R 可以省略不写. 2 .当求得的单调区间不止一个时， 单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“U 连接，如(1)题中的增区间. 变式训练：求下列函数的单调区间： (1)求函数f (x ) = 2x 3— 9x 2 + 12x — 3的单调区间; ⑵求函数y = x 3 — 2x 2 + x 的单调区间. 【解】(1)此函数的定义域为 R, f '(x ) = 6x 2— 18x + 12 = 6(x — 1)(x — 2). 令 6(x — 1)(x — 2) v 0,解得 1 v x v 2 , 所以函数f (x )的单调递减区间是(1,2).1或x v 一.3因此y= x3—2x2+ x的单调递增区间为1 （1, ）, （—m，?）•令 6(x— 1)(x — 2) >0,解得x>2 或x v 1 ,所以函数f(x)的单调递增区间是(2 ,+^ ),(—汽1). ⑵此函数的定义域为R.y '=3x2— 4x+ 1,令 3x2— 4x + 1 >0 ,解得x >11再令 3x2— 4x + 1 v 0,解得一v x v 1.31因此y= x3— 2x2+ x的单调递减区间为（才,1）.bx例：讨论函数f(x)= 2 ---- (— 1 v x v 1 , b丸)的单调性.x2— 1【思路探究】(1)函数的定义域是怎样的？函数是奇函数还是偶函数？(2)若先讨论x € (0,1) 上的单调性，能否判断f '(X)在(0,1)上的正负？b的取值对其有影响吗？解：因f(x)的定义域为(一1,1)；函数f(x)是奇函数，.••只需讨论函数在 (0,1)上的单调性.“ b(x21)•f (x)= 2 2~(x 1)t」2 2 2(x21)当 0 v x v 1 时，x2+ 1 > 0, (x2— 1)2> 0,••• T 20(x 1)•••当b > 0 时，f'(x) v 0. •••函数f(x)在 (0,1)上是减函数；当b v 0时，f'(x)>0 ,•函数f(x)在(0,1)上是增函数；又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，从而可知: 当b > 0时，f(x)在(—1,1)上是减函数；当b v 0时，f(x)在(—1,1)上是增函数.规律方法：1.利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f '(x)>0(f'(x)v 0)在给定区间上恒成立.一般步骤为：①求导数f(X);②判断f'(x)的符号;③给出单调性结论.2 .导数的正负决定了函数的增减，当导函数中含有参数时，应注意对参数进行分类讨论.变式训练：b求函数y = x+一(b工0)的单调区间.xb b x2—b【解】函数y = x +一（b工0）的定义域为{x|x^0}, y' = — _= 厂x x2 x2①当b v 0时，在函数定义域内y ' >恒成立，所以函数的单调递增区间为(一3 0)和(0, )；②当b > 0时，令y，解得x>r b或x v—- b，所以函数的单调递增区间为(一® —-，：b) 和(” ,：b ,+^ )；令y 'V，解得—” b v x v ; b且x丸, 所以函数的单调递减区间为(一, 0)和(0 , 'b).题型二：利用函数单调性求参数1 1例: (2013 •郑州模拟函数f(x)= ax+ x ln x,且图象在点(一，f(-))处的切线斜率为1(e为自e ef (x) x然对数的底数).(1)求实数a的值；(2)设g(x) ，研究函数g(x)的单调性x 11解：(1)f(x) = ax+ x ln x, f'x(= a + 1 + In x，依题意f'(-) = a= 1，所以a = 1. ef (x) x x ln x x— 1 — In x⑵因为g(x) =莒，所以g 'X-；—1 设 0(x)= x — 1 — In x，贝U『x( = 1 —一.x1当x>1时，『x(= 1 —_>0 , 0(x)是增函数,x对？x>1 , 0(x)> 0(1) = 0,即当x>1 时，g '刈>0 ,故g(x)在(1 ,+^ )上为增函数；1当0< x<1时，『刈=1—一<0 , 0(x)是减函数，x对？x€ (0,1) , 0(x)> 0(1) = 0,即当 0<x<1 时，g 'x(>0 ,故g(x)在(0,1)上为增函数.方法规律：1 •导数法求函数单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f 'x(; (3)在函数f(x)的定义域内解不等式f 'x(>0和f '刈<0 ; (4)根据⑶的结果确定函数f(x)的单调区间.2 .导数法证明函数f(x)在(a, b)内的单调性的步骤：(1)求f' x( ； (2)确认f'x)在(a, b)内的符号；(3)作出结论：f 'x(>0时为增函数；f'刈<0时为减函数.3 .导数法求参数的取值范围：已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f'x) > 0(或f '刈< 0) x€ (a, b),转化为不等式恒成立求解.训练:解：函数 f (x)的定义域为(0, ), f '(x) 2x -(2x) 1 (2x 1)(2x 1) 2x 2x 2x由f'(x) 0 得x1，由 f'(x)，要使函数在定义域内的一个子区间k 1,k 1内不是单调函数，则有0 k 1k 1,解得1 k -，即k的取值范围2 3是［叱).22.(2013 数且a丰f(x)= (x + a)2—7b ln x + 1，其中a, b 是常)上单调递增，求a的取值范围；1.若函数f x x Inx 1在其定义域内的一个子区间k 1,k 1内不是单调函数,2则实数k的取值范围__________________ .•湖北省八校高三第二次联考)已知函数0.(1) bir 1 时，f(x)在区间(1 ,+^4⑵当b = -a2时，讨论f(x)的单调性.7【解】 (1)b三 1 ,「.f(x) = (x + a)2— 7ln x + 1 ,.f(x) = 2x + 2a—x7•••当x>1时，f(x)是增函数，••• f 'x( = 2x + 2a —一》0在x>1时恒成立.x7即a>——x在x>1时恒成立.2x7 7 5 5•.•当x>1 时，y = —x 是减函数，.••当x>1 时，y = —x< — ,「.a h.2x 2x 2 25故a的取值范围是［2宀).4(2) b' = ；a2,.・.f(x)= (x + a)2— 4a2ln x+ 1, x € (0 ,+^ ).2x2+ 2ax— 4a2 2 (x—a)( x+ 2a)•f(x)= = .x x当a>0时，f'刈>0，得x> a或x< — 2a,故f(x)的减区间为(0, a)，增区间为(a,+^ )；当a<0时，f' x)>0，得x> — 2a或x< a，故f(x)的减区间为(0，— 2a)，增区间为(一2a,a3.设函数f(x) = ax—一一 2ln x.x(1) 若f'(2) = 0,求f(x)的单调区间；(2) 若f(x)在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.a 2解：⑴W)的定义域为(0,+^),律)=o,且f'(x)= a+X2-；，a 4•••a+4 -仁0=5.3分4 4 2 2f心5+门—厂尹—5x+2)，1由f'(x) > 0 结合x > 0 ,得 0 v x v 或x > 2 ,1 1•••f(x)的递增区间为(0, 2］和［2宀)，递减区间为(2，2).6分⑵若f(x)在定义域上是增函数，则f '(x)>0对x>0恒成立，8分a 2 ax2— 2x+ a•f(x) = a + 二— = 2 ，•需x>0 时ax2— 2x+ a» 恒成立 10 分x2 xx22x化为a对x>0恒成立，x2+ 12x 2••• 一 = <1，当且仅当x = 1时取等号.x2+1 1x + 一x•••a>1，即a€ [1 ,+s).12 分3x4•已知函数f(x)= — 2x2+ In x,其中a为常数.(1)若a = 1，求函数f(x)的单调区间;a若函数f(x)在区间［1,2］上为单调函数，求a的取值范围.解：(1)若a= 1 时，f(x) = 3x — 2x2+ In x，定义域为(0,+^ ),1 — 4x2+ 3x + 1f' x( = 一一 4x + 3 =x x (4x 1)(x 1)x(x>0).当f 'x(>0 , x € (0,1)时，函数f(x) = 3x — 2x2+ In x 单调递增.当f '刈<0 , x € (1 ,+s )时，函数(x) = 3x —2x2+ In x 单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1 ,+^ ).3 1(2)f 'x( = -— 4x +一，若函数f(x)在区间［1,2］上为单调函数，即在［1,2］上,a x3 1 3 1f '刈= —4x + 一>0 或f' x) = —4x + 一< 0 ,a x a x即一一4x+—》0或一一4x+—W0在［1,2］上恒成立.即一》4x— -或—W4x.axax a x a x1 3 3令h(x)= 4x-一，因为函数h(x)在［1,2］上单调递增，所以一》h(2)或w h(1),x a a3 15 3 2即—》—或一w 3，解得a<0或0< aw—或a > 1.a 2 a 5题型三：利用导数解决不等式例：定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),已知f(x 1)是偶函数且(x 1)f '(x) 0.若为x2，且为x2 2,则f (x1)与f(x2)的大小关系是A. f(xj f(X2)B.f(xJ f(X2)C. f(G f(X2)D.不确定解析：由(x 1)f '(x) 0可知，当x 1时,f '(x) 0函数递减.当x 1时,f '(x) 0函数递增•因为函数f(x 1)是偶函数，所以f (x 1) f (1 x), f (x) f (2 x),即函数的对称轴为x 1.所以若1 X1 x2 ,则f(X1) f(X2)•若X1 1 ,则必有X2 2,则X2 2 X1 1,此时由f(X2)f(2 X1),即f(X2)f (2 为)f(xj，综上f(x) f (X2)，选 C.变式训练：1.函数f (x)在定义域R内可导，若f(1 x) f (1 x),且当x ( ,1)时，1(x 1) f (x) 0,设a f(0) , b f(—), c f (3)，则(D)2A. a b cB. b c aC. c b aD. cab2•已知函数f(x)对定义域R内的任意x都有f (x) = f (4 x),且当x 2时其导函数f (X)满足xf (x) 2f (X),若2 a 4则a aA. f(2 ) f(3) f (log 2 a)B. f(3) f (log 2 a) f (2 )C. f (log 2a) f (3) f(2a)D. f (log2a) f(2a) f(3)解：由f (x) = f (4 x),可知函数关于x 2对称.由xf (x) 2 f (x),得(x 2) f (x) 0, 所以当x 2时，f(x) 0 ,函数递增，所以当x 2时，函数递减.当A、 f (0)<f (0.6)<f (-0.5)B、f (0)<f (-0.5)<f(0.6)C、f (0.6)<f (-0.5)<f(0)D、f(-0.5)vf (0)<f (0.6)解：因为函数f(x)=x2 cosx为偶函数，所以f( 0.5) f(0.5)，f' (x)=2x sinx ‘丄或0 x -,即不等式的2 2 2 a 4,1 log2 a 2,222a24,即4 2a16.所以f (log2 a) f(4 log2a),所以2 4 log2a3 ,即24 log2 a 3 2a,所以f(4 log2a) f(3) f(2a),即f (log 2 a) f (3) f(2a)，选 C.3.已知函数f(x)=x2-cosx，贝U f (0.6),f (0),f (-0.5)的大小关系是0 x时，f' (x)=2 x sin x 0 ，所以函数在0 x~递增，所以有f(0)vf (0.5)<f(0.6)，即f (0)<f( 0.5)<f(0.6)，选B4 . [2013 •太原模]已知函数f(x + 1)是偶函数，且x>1时，f'M)<0恒成立, 又f(4) = 0 ,则(x +3)f(x+ 4)<0 的解集为()A. ( — s,—2) U (4 ,+s B) (—6, -3) U (04)C. (—s,—6) U (4 ,+s D). ( — 6 , —3) (0 ,+s)解：函数f(x +1)是偶函数，其图象关于y轴对称，这个函数图象向右平移1个单位得函数y = f(x)的图象，可得函数y = f(x)的图象关于直线x = 1对称，x>1时，f'x()v0恒成立，说明函数在(1 ,+s )上单调递减，根据对称性可得函数在(—s, 1)上单调递增•根据f(4) = 0 可得当x>4时，f(x)<0，根据对称性可得当x< — 2时，f(x)<0，当一2<x<1或1< x<4时,x+ 3>0 , x + 3<0 , x + 3>0 ,f(x)>0.不等式(x+ 3)f(x + 4)<0等价于或当时，f (x + 4) <0 f (x+ 4) >0. f ( x+ 4) <0x> — 3, x+ 3<0 , x v — 3,解得x>0 ;当时，x+ 4>4 或x + 4< — 2 , f (x + 4) >0 — 2< x + 4<1 或 1< x + 4<4 ,解得—6<x< — 3.故不等式(x + 3) f(x+ 4)<0 的解集为(—6 , — 3) U (0 ,+s ).15.设f (x)是定义在 R上的奇函数，当x 0时，f '(x) 0 ,且f ( ?) 0 ,则不等式f (x) 0的解集为_____ .解：因为函数f (x)为奇函数。
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导数在研究函数中应用之函数单调性
函数的导数在研究函数的性质时有着广泛的应用，其中之一就是研究
函数的单调性。
函数的单调性是指函数在定义域上的增减性质。
在实际应
用中，研究函数的单调性可以帮助我们分析函数的变化趋势，找出函数取
值的最大值和最小值，进而解决一些实际问题。
首先，我们来回顾一下函数的导数定义：对于函数y=f(x)，如果在
点x处导数存在，那么函数在点x处的导数就是函数在该点的切线斜率，
用符号f'(x)表示。
注意，函数的导数可以看作是函数的变化率，因此函
数在其中一区间上单调增加的条件就是函数在该区间上导数恒大于0；同理，函数在其中一区间上单调减少的条件就是函数在该区间上导数恒小于0。
在研究函数的单调性时，我们可以通过分析函数的导数来判断函数在
其中一区间上的单调性。
具体来说，我们通过以下几个步骤来研究函数的
单调性：
1.首先，找出函数的定义域。
函数的定义域是指使得函数有意义的x
的取值范围。
在研究函数单调性时，我们只关注函数的定义域内部的区间。
2.接下来，求出函数的导函数。
导函数是函数的导数函数，用来描述
函数的变化趋势。
3.然后，解方程f'(x)=0，找出函数导数的零点。
当导数的值为0时，函数可能存在极值点，因此我们需要找出这些点。
4.根据求出的导数的零点，将函数的定义域划分成多个区间，在每个
区间内分别讨论函数的单调性。
5.最后，根据导函数的正负变化情况判断函数在每个区间上的单调性。
导函数的正负变化可以通过判断导函数的符号来实现。
如果导函数在一些
区间上始终为正，那么函数在该区间上单调增加；如果导函数在一些区间
上始终为负，那么函数在该区间上单调减少。
通过以上分析，我们可以得出一个重要结论：函数在导数大于0的区
间上单调增加，在导数小于0的区间上单调减少。
当然，导数为0的点除外，因为这些点可能是函数的极值点。
函数的单调性在实际应用中有着很重要的作用。
例如，我们在经济学
中经常研究产品的生产与销售关系。
假设我们有一个函数描述了一些产品
的产量与价格之间的关系，我们可以通过研究函数的单调性来分析价格对
产量的影响。
如果该函数在一定价格范围内单调递增，那么可以得出结论，产品的价格越高，产量也越高。
反之，如果该函数在一定价格范围内单调
递减，那么可以得出结论，产品的价格越高，产量越低。
此外，在优化问题中，研究函数的单调性也是十分重要的。
例如，我
们想要找到函数的最大值或最小值，可以通过分析函数的单调性来确定函
数取值的上下限。
如果我们能够确定函数在一些区间上单调递增，那么函
数的最大值一定在区间结尾或者导数为0的点上取到。
同理，如果我们能
够确定函数在一些区间上单调递减，那么函数的最小值也一定在区间结尾
或者导数为0的点上取到。
综上所述，函数的导数在研究函数的单调性上有着重要的作用。
通过
分析函数的导数，我们可以判断函数在其中一区间上的单调性，并且可以
将函数的定义域划分成若干个区间，通过讨论函数在每个区间上的单调性
来分析函数的变化趋势。
函数的单调性不仅在数学领域有着重要的应用，
同样在实际应用中也有着广泛的应用。