不定积分的定义
不定积分的定义表达式
不定积分的定义表达式嘿，小伙伴们！咱们来聊聊不定积分的定义表达式吧。
不定积分啊，就像是一个神秘的魔法盒子，它和导数有着千丝万缕的关系呢。
不定积分的定义表达式其实就是在找一个函数的原函数。
如果有一个函数f(x)，那么它的不定积分∫f(x)dx就表示一个函数族。
这个函数族里的函数呢，它们的导数就是f(x)。
比如说，如果f(x) = 2x，那我们都知道x²的导数是2x，但是x² + C（C是任意常数）的导数也都是2x哦。
所以∫2xdx = x²+ C。
从几何意义上来说，不定积分表示的是一族曲线。
这些曲线在每一点的切线斜率都等于原来的函数f(x)。
这就好像是一群有着相同基因（斜率）的曲线家族一样，超级有趣呢。
而且呀，不定积分的运算规则也有很多好玩的地方。
像和的积分等于积分的和，常数可以提到积分号外面。
这些规则就像是游戏里的小技巧，能让我们在求不定积分的时候更加得心应手。
求不定积分也不是那么一帆风顺的，有些函数的不定积分可不好找呢。
比如像e⁻x²这种函数，它的不定积分就不能用我们平常学的那些基本函数表示出来，这时候就需要用到一些特殊的方法，像级数展开之类的高级玩法啦。
不过呢，虽然有难的地方，但是当我们成功求出一个不定积分的时候，那种成就感就像打游戏通关了一样，超棒的！不定积分可是数学分析里很重要的一部分，它在物理、工程等好多领域都有着广泛的应用。
比如说在计算物理中的功、能的时候，不定积分就会大显身手。
概括性来讲呢，不定积分的定义表达式虽然看起来有点抽象，但是只要我们多做几道题，多思考思考，就会发现它其实很有趣，也很有用的。
第五章_不定积分
微积分
（三）不定积分的几何意义 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
O
x0
x
微积分
例3. 设曲线通过点( 1 , 2 ) , 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
sin x 2、设 f x ，则 x
f x dx
sin x x
x2
3、 f x dx e
x2
C，
则 f x 2 xe
微积分
5.3、 基本积分表
x x 1 x x dx 实例 C. 1 1 ( 1)
(也称配元法 , 凑微分法)
微积分
例1. 求 解: 令 u a x b , 则 d u ad x , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注意换回原变量
注: 当
时
微积分
例2. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
e xd x e x C
ax x C (7 ) a d x ln a
微积分
dx (8) sec 2 xd x tan x C cos 2 x dx (9) 2 csc 2 xd x cot x C sin x (10) sec x tan xdx sec x C
（二）不定积分的运算性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x )dx g ( x ) d x
定积分与不定积分定义
定积分与不定积分定义
定积分和不定积分是高数中的重要概念，它们均有其特定的定义。
定积分是指将复杂函数拆分成一系列简单函数，然后将其求和计算出函数在某一区间上的总和。
它可以用来计算曲线下的面积、曲线的位移以及函数的变化等。
定积分是求取函数积分的一种方法，其定义为：若f(x)是定义在区间[a,b]上的连续
函数，则把[a,b]上f(x)的积分称为定积分，记作：∫abf(x)dx不
定积分是指在求取函数的积分时，没有给定区间，即没有给定函数的定义域，而是由求积分的过程中求出区间。
不定积分是求取函数积分的一种方法，其定义为：若f(x)是定义在实数集
上的连续函数，则把f(x)的不定积分称为不定积分，记作：
∫f(x)dx定积分和不定积分的应用十分广泛，它们在数学、物理、经济学等领域都有着重要的作用。
在求解复杂函数的积分问题时，定积分和不定积分可以通过求取函数的定积分和不定积分等方法来解决。
定积分和不定积分是高数中的重要概念，它们的定义和应用都十分广泛，可以用来解决多种复杂函数的积分问题。
在研究高数中，要深入研究定积分和不定积分的定义和应用，以便更好地理解复杂函数的求积分问题。
不定积分常用的16个基本公式
不定积分常用的16个基本公式近年来，随着数学研究的深入发展，不定积分及其应用在许多领域发挥着重要作用。
它不仅可以在数学方面发挥重要作用，而且可以在工程，物理，经济学等多个学科中得到应用。
不定积分可以根据它的定义和它的公式来求解，其中有16个主要的基本公式。
首先，不定积分的定义是什么？它是用来表示一个函数的增量的定义，就是说，它是一个函数f（x）的“梯形”，得到这个梯形的面积，可以用不定积分法来进行计算。
其中，有16个主要的基本公式，分别是：1）不定积分公式：intf（x）dx=f（x）+ c2）乘积公式：intu（x）v（x）dx=intu（x）dx intv（x）dx 3）反函数公式：int（1/U）dx=ln|U（x）|+c4）倍拆公式：int（f（x）+g（x））dx=intf（x）dx+intg（x）dx5）定积分公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b6）分部积分公式：intf（x）dx=f（x）intf（x）dx+c7）牛顿-洛克（N）公式：int_a^bf（x）dx=intf（x）dx|_a^b + (b-a) intf（x）dx|_a^b8）级数积分：int[f（x）+ fi（x）]dx= intf（x）dx+ intf （x）dx|_a^b9）变量变换：intu（x）dx= intu（u）du10）定积分变换：int_a^bf（x）dx= int_a^bf（u）du11）约瑟夫-马尔科夫（J-M）公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f （x） intf（x）dx|_a^b12）奇拆公式：intf（x）dx=intf（x）dx+f（x） intf（x）dx|_a^b 13）展开与积分公式：intu（x）v（x）dx= intu（x）dx intv （x）dx+intv（x）dx intu（x）dx14）矩形公式：int_a^bf（x）dx=frac{f（a）+f（b）}{2} int_a^b1dx 15）双曲函数公式：intfrac{1}{u（x）}dx=intfrac{1}{u（x）}dx+c 16）椭圆曲线公式：intfrac{1}{u（x）v（x）}dx= intfrac{1}{u （x）}dx+ intfrac{1}{v（x）}dx上述16个基本公式，构成了不定积分的基础，是解决不定积分问题不可缺少的重要部分。
不定积分的概念与性质
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
不定积分的定义和性质
F ( x) G( x) C（C为任意常数）
不定积分的定义：
在区间 I 内，函数 f ( x ) 的带有任意常数项的原函数 称为 f ( x )在区间 I 内的不定积分，记为
f ( x)dx 。
即：
积分号
f ( x)dx F ( x) C
积分常数
被积 函数 积分 变量
求不定积分的中心问题是 寻求被积函数f ( x ) 的一个 原函数。
（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如， 曲线 y F ( x) 沿y轴平行移 C 位而得到。当 C 0 时向上移动； 当 C时，向下移动。 0 y f ( x) （2）由于 [ F ( x) C ]' F ' ( x) f ( x) ，即横坐标相同点x处， o x f (x) 每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，都等于 ，从而 使相应点的切线平行。
现证(1) f ( x)dx g ( x)dx f ( x)dx g ( x)dx f ( x) g ( x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例5
求积分 (
3
2
3
2
1 x 2
x x
(6)
cos xdx sin x C; sin xdx cos x C;
cos
sin
dx
2 2
(12)
(7)
(13)
a dx
x
a
x
C;
ln a
(8)
x
sec xdx tan x C ;
csc xdx cot x C;
不定积分的反常积分
不定积分的反常积分反常积分是一类对于某些函数来说在普通积分意义下无法求解的积分。
在很多情况下，反常积分会涉及到某些函数的不定积分，因此我们需要了解不定积分的相关知识，才能对反常积分进行学习和研究。
一、不定积分的定义和基本性质不定积分指的是对于给定的函数$f(x)$，求出所有的函数$F(x)$，满足$F'(x)=f(x)$。
这些函数$F(x)$称为函数$f(x)$的不定积分，通常用符号$\int f(x)dx$表示。
在求解不定积分的过程中，我们通常需要使用一些常见的积分公式和方法，如分部积分法、换元积分法、三角函数积分法等。
不定积分的性质包括线性性、积分表示的可加性等。
具体来说，线性性指的是对于任意的常数$a,b$，有$\int (af(x)+bg(x))dx=a\intf(x)dx+b\int g(x)dx$。
积分表示的可加性则指对于任意的函数$f(x),g(x)$，有$\int_a^b(f(x)+g(x))dx=\int_a^bf(x)dx+\int_a^bg(x)dx$。
二、反常积分的定义和分类反常积分在普通积分意义下无法求解，因此需要对其进行特殊的定义。
对于给定的函数$f(x)$和一个正实数$a$，反常积分可以分为下限为$a$的反常积分和上限为$a$的反常积分。
分别用符号$\int_a^\infty f(x)dx$和$\int_{-\infty}^a f(x)dx$表示，具体含义为：$\int_a^\infty f(x)dx=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf(x)dx$$\int_{-\infty}^a f(x)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^af(x)dx$也就是说，将积分区间中的一个边界点改为无穷远（或负无穷远）时，所得到的积分就称为反常积分。
三、反常积分的收敛和发散对于反常积分$\int_a^\infty f(x)dx$或$\int_{-\infty}^a f(x)dx$，如果当$t$趋于无穷时，$\int_a^tf(x)dx$或$\int_t^af(x)dx$存在有限的极限，则称该反常积分收敛，否则称该反常积分发散。
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义：若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0)；8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0)；
9、∫sec2xdx=tanx+C；10、∫csc2xdx=-cotx+C；11、∫secx·tanxdx=secx+C；
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C；13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1；
(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
不定积分概念
ln(x)
C.
1dx x
ln
|
x
|
C
.
二、 基本积分表
实例
x 1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) x dx x1 C ( 1);
例 求 x5dx.
解
x6 x5 ,
6
x5dx x6 C . 6
例 求 cos xdx.
解
sin x cos x
cos xdx sin x C.
例求
1dx. x
解 当x 0时，
ln x 1 ,
x
1dx x
ln
x
C.
当x 0时， ln(x) 1 (1) 1
x
x
1dx x
x
原函数存在定理：如果函数 f ( x)在区间I上连续,
则存在可导函数F( x), 使 F( x) f ( x), x I .
简言之：连续函数一定有原函数.
例如 sin x cos x (sin x C) cos x
(sin x＋1) cos x （C 为任意常数） 原函数非唯一：
若 F(x) f (x), 则对任一常数 C,有(F(x) C) f (x), 即 F(x) C 都是 f (x) 的原函数.
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
例 求积分 x2 xdx.
5
解 x2 xdx x 2dx
不定积分
§1、不定积分的概念与性质
进入
§2、换元积分法 §3、分部积分法
进入
进入
一、原函数
1.定义:
可导函数F ( x ) 的 如果在区间I 内， 导函数为 f ( x ) ， 即x I ，都有 F ( x ) f ( x )
那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x ) 或dF ( x ) f ( x )dx ，
例 求下列不定积分 (1) 3 dx (2)
2x 5
x 1 x 2 dx
(3)
2 1 sin dx 2 x x
(4)
dx x ln x
§2、换元积分法
解: (1) 3 dx 3 1 1 d (2 x 5) 3 ln(2 x 5) C. 2x 5 2x 5 2 2 (2)
由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表：
kdx kx C,
x x e dx e C,
1 1 x dx 1 x C ( 1), ax x a dx ln a C (a 0, a 1),
1 x dx ln x C ,
或 f ( x )dx 在区间 I 内原函数.
sin x 是cos x 的原函数. 1 1 ln x ( x 0) ln x 是 在区间(0, )内的原函数. x x f ( x ) 是 f ( x) ( x) 的一个原函数.
例
sin x cos x
微分与积分的互逆性
或 d f ( x)dx f ( x)dx;
（2） kf ( x)dx k f ( x)dx
积分的运算性质
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不定积分的定义
不定积分是微积分中重要的概念之一，可以用来求出函数的原函数。
这篇文章旨在介绍不定积分的定义，以及如何求解不定积分。
不定积分定义
不定积分的定义是：设f(x)是定义在区间I上的一个函数，如果存在一个函数F(x)，使得对于区间内任意一点x∈I，都有F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)在区间I上的一个原函数，记作：
∫ f(x) dx = F(x) + C
其中C是任意常数，称为“积分常数”。
不定积分的求解方法
在求解不定积分时，我们需要先找到f(x)的原函数F(x)，然后将F(x)加上一个任意常数C，即可得到函数的不定积分。
但是，F(x)的求解并不总是容易的，有时需要使用一些技巧和公式。
下面介绍一些常用的求解不定积分的方法：
1. 直接求导数
对于一些常见的函数，我们可以根据其求导数的知识来求解其不定积分。
例如，我们知道sin(x)的导数是cos(x)，那么sin(x)的不定积分就是-cos(x) + C。
2. 代换法
有时候，我们可以通过代换来简化不定积分的求解。
例如，当需要求解∫2x(1+x^2)dx时，我们可以将1+x^2看做一个整体，令u = 1+x^2，那么dx = du/2x，将其代入原式中得到：
∫2x(1+x^2)dx = ∫u du = (u^2/2) + C = (1+x^2)^2/2 + C
3. 分部积分法
对于一些积分形式为乘积形式的函数，我们可以使用分部积分
法来求解其不定积分。
例如，需要求解∫x^2sin(x)dx时，我们可以
将其分解为x^2的导数和sin(x)的原函数相乘，即：
∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2∫xcos(x)dx
对于∫xcos(x)dx，我们仍然可以使用分部积分法，将x看做一个
整体，cos(x)的原函数为sin(x)，以此类推。
最终得到：
∫x^2sin(x)dx = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C
4. 三角换元法
三角换元法是一种常用的代换方法，在需要求解一些三角函数
的不定积分时特别有用。
例如，需要求解∫sin^3(x)dx时，我们可以将其分解为sin(x)的导数和cos(x)sin^2(x)的积分，即：
∫sin^3(x)dx = -cos(x)sin^2(x) + 2∫cos(x)sin^2(x)dx
对于∫cos(x)sin^2(x)dx，我们可以使用三角换元法，令u = sin(x)：
∫cos(x)sin^2(x)dx = ∫(1-u^2)du = u - u^3/3 + C = sin(x) - sin^3(x)/3 + C
综上所述，不定积分是微积分中的重要概念之一，可以用来求出函数的原函数。
在求解不定积分时，我们需要找到函数的原函数，并将其加上一个任意常数。
不同的求解方法适用于不同的积分形式，我们可以根据具体的问题选择相应的求解方法。