(完整版)不定积分的概念与存在定理
不定积分的定义和性质
2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
解:
x6 6
x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x
1 1 x2
,
1 1 x2
dx
arctan
x
C.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx
f
(x)dx
f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）
不定积分的概念
由c(0) 20 c 19
c(x) ex 19
3.基本积分公式
实例
x1 x
1
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
例 5 若 f(x)dx x2e2x c,则f (x) _____
例6 : 若f (ex ) 1 e2x ,且f (0) 1,求f (x)
例7 设f(x)的导数为sinx,则下列有可能为f(x) 的 原 函 数 的 是(____) (A) 1 sinx; (B)1 - sinx; (C)1 cosx;(D) 1 - cosx
(1) kdx kx C (k是常数);
基
本 (2) 积
xdx x1 C ( 1); 1
分 (3) 表
dx x
ln
|
x
|
C;
1
(4) 1 x2dx arctan x C arc cot x C;
(5)
1 dx arcsin x C arccos x C; 1 x2
称为f (x)的 不定积分，记为 f ( x)dx .
f(x)的不定积分就是f(x)的全体原函数，即：
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 x5dx.
解
x6
x5,
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
3、把 f ( x) 的一个原函数F ( x) 的图形叫做函数 f ( x)
不定积分的概念和公式表
例4
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx
1 x2
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx 1 x2
3arctan x 2arcsin x
例5
求积分
1 x x x(1 x2
2
)
dx.
解
1 x x x(1 x2
2
)
dx
x (1 x2 x(1 x2 )
)dx
1
1 x
2
1 x
dx
1
1 x2
dx
1dx x
arctan x ln x
例6
求积分
1 2x2
x2
(1
x2
dx. )
解
1 2x2
x 2 (1
x2
dx )
1 x 2 dx
1
1 x2dx
1 arctan x C. x
例7 求积分 (2x 3x )2dx.
解
(2x 3x )2dx
(22x 2 2x 3x 32x )dx
(4x 2 6x 9x )dx
4x 26x 9x C ln4 ln6 ln9
例8 求积分
(
1
2
x2
x4 1 x2
) dx.
解
(
2 1
x2
x4 1 x2
) dx.
2 dx 1 x2
x4 1 1 1 x2 dx.
2arcsin x
1
1 x
2
dx
x4 1 1 x2 dx.
证
f ( x)dx g( x)dx
微积分--不定积分
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第四节 几种特殊类型函数的积分
设Pm(x)和Qn(x)分别是m次和n次实系数多项式,则
形如
Pm ( x ) Qn ( x )
的函数称为有理函数.当m<n时,称为真分式,否则称 为假分式.
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最简真分式(其中A、B为常数)：
(1) A xa A ( x a)
2 k
( a为常数); ( k 1为整数，a为常数); ( p, q为常数, 且p 4q 0)
2
1 x 1
2
x 1是
1 x 1
2
在(1,)内的一个原函数 .
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一个函数具有原函数时,它的原函数 不止一个 .
定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连 续,则在区间I上存在可导函数F(x),使对任意x∈I,都有 F(x)=f(x)．
定理2 设F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,则在区间 I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任 意常数)的形式 . 证 (1)已知F(x)是f(x)的一个原函数,故F(x)=f(x)． 又[F(x)+C]= F(x)= f(x),
x a x a
2 2
1
ln | sec t tan t | C , ln | | C
a x a | C
2 2
ln | x
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例21 解
求
dx x 2x 3
2
.
x
dx
2
2x 3
( x 1)
1 2
1
2
( 2)
2
不定积分的概念与性质
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
不定积分概念及公式
5．1 不定积分的概念一．原函数的概念定义1：设 f (x) 是定义在区间上的已知函数，若存在一个函数F(x) 对于该区间上的每一点都有： F (x) f (x) 或dF(x) f ( x) dx 。
则：F(x)为f(x)的一个原函数。
例：(x3) 3x2,则：x3是3x2的一个原函数，另外由于(x31) 3x2,(x31) 3x2,(x33) 3x2，。
即：x31,x31, x3 3 , 。
等等也都是3x2的原函数。
即：x3 C ( C常数)全为3x2的原函数。
所以，有下面定理。
定理：一个函数 f (x) ，若有一个原函数F(x) ，则必有无穷多个。
而这写原函数只相差一个常数。
F(x) C是f(x) 的全体原函数。
例：设e x cosx是 f (x) 的原函数，求： f (x)。
解：由原函数概念可知，若e x cosx是f (x) 的原函数则有(e x cosx) e x sin x f (x) ，所以 f(x) (e x sin x) =e x cosx 二．不定积分的定义定义2。
设函数F(x)为函数 f (x)的一个原函数，则f(x) 的全部原函数F(x) C ( C为任意常数)称为函数 f (x) 的不定积分。
记作： f (x)dx。
即： f (x)dx F(x) C 。
f (x) ：被积函数， f ( x)dx ：被积表达式，x ：积分变量，：积分号， C ：积分常数。
存在原函数的函数为：可积函数。
求已知函数的不定积分，只要求出它的一个原函数，再加一个 C (任意常数)。
例：求积分3x 2dx解：( x3) 3x2∴ 3x2dx x 3 C例：求积分cosxdx解：(sin x) cos x∴ cosdx sin x C例：求积分e x dx解：(e x) e x∴ e x dx e x C例：求积分1dxx1 1 15) 2dx ( ) d ；6) dx ( ) d x1解：( ln x) ，(x 0)x 11[ln( x)] 1 ( 1) 1 ,(x 0) xx 1dx ln x Cx不定积分 (互逆)求导数。
不定积分24个基本公式
不定积分24个基本公式一、原函数不定积分的概念原函数的定义：如果区间I上，可导函数F(x)的导函数为f'(x),即对任一x∈I都有 F'(x)=f(x) 或 dF(x)=f(x) dx 那么函数F(x)就称为f(x)(或 f(x) dx)在区间 I 内的一个原函数。
原函数存在定理：如果函数f(x)在区间 I 上连续，那么在区间 I 上存在可导函数F(x)，使对任一x∈I都有 F'(x)=f(x).简单地说：连续函数一定有原函数。
不定积分的定义：在区间 I 上，函数f(x)的带有任意常数项的的原函数称为f(x)( f(x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，记作∫ f(x)dx . 其中记号∫ 称为积分号，f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达式，x 称为积分变量。
二、基本积分公式三、不定积分的性质设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则∫ [ f(x) ± g(x)]dx= ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx 。
记：合拢的加减积分可以分开加减积分2. 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，k为非零常数，则∫ k f(x) dx=k ∫ f(x) dx记者:非零常数乘以积分，可以把常数拿出来，乘以不定积分。
四、第一类换元积分法设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元公式：也叫做凑微分法五、第二类换元积分法设x=ψ(t)是单调的可导函数，并且ψ'(t)≠0，又设f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数，则有换元公式是x=ψ(x)的反函数。
三种常见的换元公式(注：利用三角形理解去记)利用第二种换元积分法解出的常见的积分公式：六、分部积分法设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为 (uv)'=u'v+uv',移项，得： u v'=(u v)'-u' v对这个等式两边求积分∫ u v' dx=u v- ∫ u' v dx 称为分部积分公式按零件的集成顺序集成:反对力量指的是三，意思是从后面集成容易，先集成那个。
第3-1不定积分的概念和性质
(8)
(9)
tan x C sec x d x
2 csc x d x cot x C
(10) (11)
(12)
(13)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C dx 1 x arctan x C 或 arc cot x C
其中
— 积分号;
— 积分变量; C —积分常数
— 被积函数; — 被积表达式.
例如,
2 x dx x C cos xdx sin x C
2
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: 设此曲线方程为y f ( x ),
2
2
6. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
7. 已知 求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
2
Ax
2
2
1 x2
B 1 x2
( A B ) 2 Ax
2
dx 1 x2
arcsin x C 或 arc cos x C
例2. 求 解: 原式 = 3 2 dx 4
x
1 1 x2
dx 5 csc 2 xdx
3 x 2 4arcsin x 5cot x C ln 2
3 ( x 1 ) 例3. 求 x 2 dx . 3 2 x 3 x 3 x 1 解: 原式 = dx 2 x 3 1 ( x 3 2 )dx x x
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(15) ch x dx sh x C
例3. 求
解: 原式
x34 dx
x
341
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求
解:
原式
1 2
sin
x
dx
1 2
cos
x
C
f (x) dx 的图形
y
的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
O
x0
x
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
y
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
(1,2)
因此所求曲线为 y x2 1
O
x
例2. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t)
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 dt
x
2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0)
O
先求 由
知
v(t) ( g ) d t g t C1
定理1. 存在原函数 .
(定积分中证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2. 原函数都在函数族
证: 1)
( C 为任意常数 ) 内 .
即
又知
[(x) F(x)] (x) F(x) f (x) f (x) 0
故
(x) F(x) C0 (C0 为某个常数)
即 (x) F(x) C0 属于函数族 F(x) C .
x
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) exdx ex C
(13) a xdx a x C ln a
(14) sh x dx ch x C
sh x ex ex 2
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足
则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, A cos t 3,
m
m
m
二、原函数存在定理
1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
三、 基本积分表
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时 ( ln x ) [ ln(x) ] 1
不定积分的概念与存在定理
一、 原函数与不定积分的概念 二、 原函数存在定理 三、 基本积分表
一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
由v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) g t v0
再求
由
知
x
x x(t)
x0 x(0)
O
x(t)
(
g
t
v0
)d
t
1 2
g
t
2
v0t
C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是所求运动规律为
x(t)
1 2
g
t
2
v0t
x0
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分, 记作
其中
— 积分号;
— 积分变量;
若
则
— 被积函数; — 被积表达式.
( C 为任意常数 )
例如,
exdx ex C
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数 , 不可丢 !
sin xdx cos x C
不定积分的几何意义:
的原函数的图形称为 的积分曲线 .