1 不定积分定义
不定积分概念与性质
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x
（ C为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x) f ( x) ，则对于任意常数 C ，
F( x) C 都是 f ( x)的原函数.
(13)
a xdx
ax C; ln a
基本积分表
• ∫0dx=c • ∫xndx = xn+1 /(n+1)+c • ∫1/xdx= ln|x|+ c • ∫axdx= ax/lna + c • ∫exdx= ex + c • ∫cosxdx=sinx + c • ∫sinxdx=-cosx + c
例 sin x cos x sin x是cos x的原函数. ln x 1 ( x 0)
x ln x是1 在区间(0,)内的原函数.
x
定理 原函数存在定理：
如果函数 f ( x) 在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F ( x) ， 使x I ，都有F ( x) f ( x).
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
求不定积分的方法
(1) 直接积分法 (2) 第一类换元法 (3) 第二类换元法 (4) 分部积分法
直接积分法
根据不定积分的性质和基本积分公式， 对于一些比较简单的函数的不定积分可以直 接求出结果，或者只需经过简单的恒等变换， 再辅以积分的法则，就可按基本公式求出结 果，这样的积分方法，叫做直接积分法。
y F(x) C ；
4、由F ' ( x) f ( x) 可知，在积分曲线族 y F ( x) C ( C是任意常数 ) 上横坐标相同的点处作切线，这
高数大一不定积分知识点总结
高数大一不定积分知识点总结高数是大一学生们必须学习的一门数学课程，其中的不定积分是一个重要的知识点。
不定积分在微积分中的地位非常重要，它是定积分的基础和反向运算。
在学习不定积分时，我们需要了解一些基本的知识点，掌握一些常见的积分公式和技巧。
首先，我们来了解一下不定积分的定义。
不定积分是对函数进行求积分的过程，结果是一个函数族，而不是一个具体的数值。
不定积分的表示符号是∫，例如∫f(x)dx。
其中f(x)是被积函数，dx 表示对变量x进行积分。
在求解不定积分时，常常需要使用一些基本的积分公式。
比如多项式的不定积分公式：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （C为常数）。
在使用这个公式时，我们可以通过逐项积分，将不定积分转化为多项式之间的求解。
除了多项式的积分公式外，还有一些常见的积分公式需要我们掌握。
例如三角函数的积分公式，如：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。
还有指数函数的积分公式，如：∫e^x dx = e^x + C。
这些公式在不定积分的计算中经常用到，我们应该熟练掌握它们。
在实际求解不定积分时，有时我们需要进行一些变量的替换或者换元积分。
这是为了简化积分的计算。
换元积分的基本步骤是：首先选择一个新的变量，然后将原积分中的旧变量用新变量表示，最后对新变量进行积分。
这样可以将原积分转化为对新变量的积分，通常会更容易求解。
例如，对于∫sin(2x) dx，我们可以选择令u=2x，然后将积分变为∫sin(u) du，通过积分公式求解即可。
有时我们还需要利用一些特殊的技巧来求解不定积分。
例如分部积分法，它是求解由两个函数相乘的积分的一种方法。
分部积分的公式是：∫u dv = uv - ∫v du。
我们可以通过选择合适的u和dv，然后利用这个公式来逐步简化积分的计算。
此外，还有一些特殊函数的不定积分需要我们掌握。
例如反三角函数的不定积分，如：∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C。
第一节 不定积分的概念与性质
因[x 为 arx ct 1la n 1 n x (2)]arx c, tan 2
所以 xarcxta 1ln n1 (x2)是 arcx的 tan一个原 2
= =
微分运算与求不定积分的运算是互逆的:
d
F(x)F(x),dF(x)
F( x)C f(x), f(x)dx
由此可知：
(1)d d xf(x)dxf(x), d [f(x)d x]f(x)d x;
(2)F(x)dxF(x) +C, dF(x)F(x)+C.
( 2)
例3 d x x C.
二、 基本积分表
实例
x1 x
1
xdxx1 C. 1
(1)
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1 )k dkx x C(k 是常数);
本 积
0dxC 1dxxC
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1.
证明
arc 2 x s1 )ia ,nr(c 1 c 2 x)o 和 2 s a(rcx tan 1 x
都是 1 的原函. 数 xx2
2. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
f(x ) f(x ) 0 F (x ) G (x ) C （ C为任意常数）
不定积分的定义：
函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分，
记 为 f ( x ) d . x
不定积分的概念与性质
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
第一节不定积分概念与基本积分公式(数学分析)(数学分析)
∫ adx=ax+C, ∫
xα dx =
其 中 a是 常 数
∫ dx
= x +C
1 x α +1 + C . α +1
其 中 α 是 常 数 ， 且 α ≠ −1.
12
1 3、 ∫ dx = ln x + C. x 特别有: ∫ ex dx = ex + C.
1 x 4、 ∫ a dx = a + C, 其中a > 0, 且a ≠ 1. ln a
若 F ( x )已 知 ， f ( x )未 知 ， 由 F ( x ) → f ( x ), 则 称 （3）式 为 求 导 运 算 ， ' 称 f ( x )为 F ( x )的 导 数 。 若 f ( x )已 知 ， F ( x )未 知 ， 由 f ( x ) → F ( x ), 则 称 （3）式 为 积 分 运 算 ， 称 F ( x )为 ' f ( x )的 原 函 数 。
7
思考题： 1、 如果函数f ( x)的定义域是若干个分离的区间，那么它的原函数彼此之 间是否仅相差一个常数？ x2 , 可考虑函数 f ( x) = x, x ∈ (−∞, − 1) U (0, + ∞), 则 : F ( x) = 2 x2 , x ∈ (−∞, − 1) , 都是f ( x) = x 在 (−∞, − 1) U (0, + ∞)的原 G ( x) = 22 x + 1 , x ∈ (0, + ∞) 2 函数，它们之间的关系如何？ 2、 设F ( x)是连续函数f在R上的原函数，问： 1 ）、如果f ( x)是以T为周期的周期函数，那么F ( x)是否为周期函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f 2)、 如果f ( x)是偶函数，那么F ( x)是否为奇函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1l n ([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数） 例1． 因为 23)3(x x='， 得⎰+=C xds x332例2． 因为，0>x 时，xx 1)(ln ='；0<x 时，xx xx 1)(1])[ln(='--='-，得xx 1)||(l n ='，因此有⎰+=C x dx x||ln 1例3． 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
不定积分的性质与基本积分公式
2
= arctan x + C
=
−arccot x + C.
前页 后页 返回
由导数线性运算法则可得到不定积分的线性运算
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f + k2g 在 I上也存在原函数, 且
∫ ∫ ∫ ( k1 f ( x) + k2g( x) )dx = k1 f ( x)dx + k2 g( x)dx.
∫ s (t ) = v0 dt = v0 t + C .
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) = v0(t − t0 ) + s0 .
前页 后页 返回
四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. ∫ 0dx = C.
2. ∫1dx = ∫dx =x + C. ∫3. xαdx = xα+1 + C (α ≠ −1, x > 0).
dx 所以(1)式成立.
前页 后页 返回
第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
∫ g(ϕ( x))ϕ′( x)dx = ∫ g(ϕ( x))dϕ( x) = G(ϕ( x)) + C,
其中 G′(u) = g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx = d(ax);
(2) dx = d( x + a);
前页 后页 返回
§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(10)∫ sec xtan x dx = sec x + C.
(11) ∫ csc x cot x dx = −csc x + C.
(12) ∫ 1 1 − x2 1 (13) ∫ dx = arctan x + C. 2 1+ x dx = arcsin x + C.
xα+1 xα dx = +C ∫ α +1
= sec x,
所以，已给等式成立.
当（sec x + tan x） 0时，类似地可以验证已给等式成立. <
综上所述，已给等式成立.
例7
已知某曲线过点(1,2), 其上∀点( x, y )处切线
求其方程 的斜率为x的两倍，
解
设曲线方程 y = f ( x)
f ′( x) = 2 x
y
则由题意知
∴ f (x) = ∫ 2 xdx = x 2 + C
2 nห้องสมุดไป่ตู้
性质1可以推广到有限多个函数的情形， 性质 可以推广到有限多个函数的情形，即 可以推广到有限多个函数的情形
∫[ f (x) ± f (x) ±L± f (x)]dx
1
= ∫ f1(x)dx ±∫ f2 (x)dx ±L± ∫ fn (x)dx.
性质2 性质
被积函数中不为零的常数因子可以移到积分
定义:∫ f ( x )dx表示函数f ( x )的原函数的全体,
则称
∫ f ( x )dx
为 f ( x ) 的不定积分
即
积分变量
∫
积 分 号
f ( x )dx = F ( x ) + C
被 积 函 数
被积表达式
∀ 常 数 项
例3 解 例4
求∫ x 5dx
x6 Q ( )′ = x 5 , 6
x6 ∴ ∫ x 5dx = +C 6
1 dx 求∫ 2 1+ x ′ 解 Q (arctan x ) =
1 1 + x2
1 dx = arctan x + C ∴∫ 2 1+ x
例5
解
1 求∫ dx x
1 当x > 0时，有(ln x)' = . x 1 ∫ xdx = ln x + C ( x > 0)
F ′( x) = f ( x)
(1)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是 唯一的,且有无穷多个
Q 若 F ′( x) = f ( x),
则 [ F ( x) + C ]′ = f ( x)
即若 F ( x) 是 f ( x) 的原函数， F ( x) + C 亦是 . 则
(2) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意 两个原函数只差一个常数项.
例8
求 ∫ x 2 xdx
5 2
5 +1 2
x 2 7 解 ∫ x 2 xdx = ∫ x dx = +C = x2 + C. 5 7 +1 2 1 例9 求 ∫ 3 dx x x
解
∫ x3
1
x 2 2 + C= − x + C . dx = ∫ x dx = 7 x 5 − +1 2
−
7 2
7 − +1 2
1 1 1 当x < 0时， 有[ln(− x)]' = ⋅ (−1) = , ⋅ (− x)' = −x −x x
1 ∴ ∫ dx = ln(− x) + C ( x < 0) x
当 > 0, x ln x ln x = x ln(−x) 当 < 0,
1 所以∫ dx = ln x + C x ( x ≠ 0).
2 =8 LL (1)
若也熟悉导数运算： F(x)已知，f (x)未知，由F(x)
2 ′ ) = 2 x LL ('1 → (fx(x),则称（）)' 3 式为求导运算，
称f (x)为F(x)的导数。若 f (x)已 知，F(x)未知，由f (x) → F(x),则 称（） 3 '式为积分运算，称F(x)为
号的前面. 号的前面.
(2)
∫ kf ( x)dx = k∫ f ( x)dx.
(常数 k ≠ 0)
注意：不定积分没有积和商的运算法则。
性质1 性质
函数代数和的不定积分等于不定积分的代数
和，即 (1) 证
∫[ f ( x) ± g( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx;
只要证明上式右端的导数等于左端的被积函数 即可.由导数运算法则以及不定积分与微分的关 系，有
例1
(sin x = cos x
′ )
∴ sin x 是 cos x 的一个原函数 ( −∞ , ∞ )
1 ∴ ln x 是 的一个原函数 (0, +∞ ) x
1 (ln x = x
)′
例如
在 (−∞, +∞)上 sinx是 cos x 的原函数 而
sin x + 1,sin x + 2 sin 1,sin x + 3 也是它的原函数
即 sinx 加任意常数都是 cos x 的原函数. 的原函数
这样就给我们提出了问题： 原函数存在的条件？ 原函数有多少个？ 这些原函数之间有何关系？ 如何求出这些原函数？
原函数存在定理 若函数ƒ(x)在区间I上连续, 则ƒ(x)
在区间I上的原函数一定存在.
例2
f ( x) = x 2 ∈ CR
1 3 ∃F ( x) = x , 3
(4) ∫ ax dx = a + C. lna
x
(5) ∫ e dx = e + C.
x x
(6) ∫ sin x dx = −cos x + C
(7) ∫ cos x dx = sin x + C.
dx (8) ∫ 2 = ∫ csc2 x dx = −cot x + C. sin x
dx (9) ∫ 2 = ∫ sec2 x dx = tan x + C. cos x
第四章 积分及其应用 本章主要内容
一元函数的不定积分和定积分的概念与性质、 积分法、无穷区间的广义积分和定积分的应用。 §4.1不定积分概念与性质 4.1不定积分概念与性质 【学习本节要达到的目标】 1、理解不定积分和原函数的概念 2、理解不定积分与微分的关系 2、掌握不定积分的性质
回顾: 微分学的基本问题是“已知一个函数, 如何求它的导数.” 那么, 如果已知一个函数的导数, 要求原来的函数, 这类问题, 是微分法的逆问题. 这就产生了积分学. 提出这样的逆问题，是因为它存在于许多实际的问 题中，例如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已 知曲线上每一点处的切线斜率（或斜率所满足的某一规 律），求曲线方程等等。 要解决这些实际问题，自然会想到微分运算的逆运 算，这就是产生积分运算的原因。
+C
∫
x
x
( 2e ) x +C = ∫ ( 2e ) x dx = ln( 2e )
2x 练习： 练习： 求 ∫ x dx e
三、不定积分的运算性质
性质1 性质 函数代数和的不定积分等于不定积分的代数 和，即 (1)
∫[ f ( x) ± g( x)]dx =∫ f ( x)dx ± ∫ g( x)dx;
x3 − 3 x2 + 3 x − 1 ( x − 1) dx 练习 ∫ dx = ∫ 2 2 x x
3
解
x − 2 dx. 例13 求 ∫ 2 x +1 4 (x2 −1)(x2 +1) −1 −2 x dx ∫ 2 dx = ∫ 2 x +1 x +1
5
例10 求（） 1 dx, （ ）2x exdx 1∫ 3 2∫
解
ax +C axdx = ∫ lna
1 3
x x
(1) ∫ 3 dx = x dx = 1 x ∫ x x − 4 +1 3
2x x (2) 2 e dx = ⋅e +C ln 2
1
4 − 3
4 − +1 3
+ C = −3 x
−
[∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx]' = [∫ f (x)dx]' ±[∫ g(x)dx]'
= f (x) ± g(x)，
这说明 ∫ f (x)dx ± ∫ g(x)dx 是函数 f (x) ± g(x) 的不定积分，所以欲证的等式成立.
例11 求 解
− 5x2 + 4x − 3)dx. ∫ (2x
O
y
y = F ( x) + C
y = F (x )
x
x
在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k, 因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的 切线彼此平行（如图）.f (x)为积分曲线在(x, f (x)) 为积分曲线在( 为积分曲线在 处的切线斜率. 处的切线斜率.
练习 设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程. 解 设所求的曲线方程为 y = f ( x),依题意可知
为了更好地理解积分运算是导数（微分）运算的逆运算，我 们在介绍积分运算时，把乘方运算（开方）和它作比较：
若 a已 知 ， b未 知 ， 由 a 我们熟悉乘方运算： → b , 则 称 （3） 式 为 乘 方 3 运 算 ， 称 b为 a的 立 方 。 若 b已 知 ， a 未 知 ， 由 于是提出新问题： 3 b (→ = 8则LL (23） 式 为 ?) a , 称 （ )